四川省眉山市2020-2021学年高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

这是一份四川省眉山市2020-2021学年高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接求抛物线的准线方程即可．
【详解】抛物线的准线方程为
故选：B
2．棱长为2的正四面体的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出一个面的面积乘以4即可.
【详解】正四面体的各个面面积相等；
一个面为边长为2的等边三角形，其面积为：
所以，棱长为2的正四面体的表面积是．
故选：D
3．设是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】利用可能平行判断A，利用线面的位置关系定义可判断B，利用或与异面判断C，与可能平行、相交、异面，判断D.
【详解】，，则可能平行，故A不正确；
，则可能平行，可能线在面内；
，，由线面平行的性质可得，故C正确；
，，与可能平行、相交、异面，故D不正确.
故选：C.
【点睛】方法点睛：空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.
4．“实数”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先求出和垂直对应的的值，即可判断.
【详解】若直线与直线垂直，
当时，，，两直线垂直，符合题意，
当时，，解得，
或3，
故“实数”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.
故选：A.
5．双曲线的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题可得，即，即得渐近线方程.
【详解】由方程可得双曲线的焦点在轴上，
实轴长是虚轴长的两倍，，
则，故渐近线方程为.
故选：C.
6．下列说法正确的是（ ）
A．若“且”为真命题，则，中至多有一个为真命题；
B．命题“若，则”的否命题为“若，则若”；
C．命题“”的否定是“”；
D．命题“若则”的逆否命题为真命题．
【答案】B
【分析】根据复合命题的真假判断规则判断A；若p则q的否命题为若则；特称命题的否定为全称命题；原命题与逆否命题的真假性相同.
【详解】若“且”为真命题，则，均为真命题，A错误；
命题“若，则”的否命题为“若，则若”，B正确；
命题“”的否定是“”，C错误；
命题“若则”为假命题，如，但，因此此命题的逆否命题为假命题，D错误.
故选：B
7．函数在处有极大值，则的值等于（ ）
A．9B．6C．3D．2
【答案】B
【分析】对函数求导，利用以及解出，进而得出答案．
【详解】由题意得，因为在处有极大值，所以，解得，所以，
故选：B
8．圆与圆公切线的条数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将圆化为标准方程，分别判断两个圆的圆心坐标与半径，计算两圆圆心距离，判断两个圆的位置关系，从而得公切线条数.
【详解】的圆心坐标，半径为；化为标准方程为，
所以圆心坐标，半径为，则，
所以两个圆外切，所以公切线条数为条.
故选：D.
9．已知函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用导数求出的单调性即可得到答案.
【详解】，当时，当时
所以在上单调递减，在上单调递增
所以的最小值为
故选：A
10．椭圆，过点的直线交椭圆于两点，且，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设，，可得 ，，将两点坐标分别代入椭圆方程，两式相减可得，由可求出直线的斜率，利用点斜式即可求出直线的方程
【详解】设，，
则，两式相减可得，
所以，
因为，所以点为弦的中点，
所以 ，，
所以，即，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程是 ，
即，
故选：A
【点睛】思路点睛：关于中点弦问题往往采取设而不求的方法，利用整体代入思想求出中点弦所在直线的斜率，再结合中点可得直线的方程.
11．设，分别是椭圆和双曲线的公共焦点，是的一个公共点，且，线段的垂直平分线经过点，若和的离心率分别为，，则的值为（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】A
【分析】设双曲线的方程为，根据题意，得到，又由双曲线的定义，求得所以，根据椭圆的定义，求得长半轴，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】设双曲线的方程为，焦点，
因为线段的垂直平分线经过点，可得，
又由，根据双曲线的定义可得，
所以，
设椭圆的长轴长为，
根据椭圆的定义，可得，解得，
所以.
故选：A.
【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的解题策略：
1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
12．正方体的棱长为3，点E，F分别在棱上，且，，下列几个命题：
①异面直线与垂直；
②过点B，E，F的平面截正方体，截面为等腰梯形；
③三棱锥的体积为
④过点作平面，使得，则平面截正方体所得的截面面积为．
其中真命题的序号为（ ）
A．①④B．①③④C．①②③D．①②③④
【答案】B
【分析】对于①：取的三等分点为，使，利用已知条件找到异面直线， 所成的角，即可得出结果；
对于②：取 的三等分点为，使，利用已知条件得到四边形 即为所求截面，即可得出结论；
对于③：利用等体积法求解即可；
对于④：取 的三等分点为，使，取 的三等分点为，使，
猜想出面 即为所求的截面，建立空间坐标证明推测，代入数值即可求出结论．
【详解】解：对于①：取的三等分点为，使，又，
且，
四边形为平行四边形，
且，
四边形 为平行四边形，
，
则 为异面直线， 所成的角，
连接，由题意得：，
所以，
故①正确；
对于②：取 的三等分点为，使，又，
且，
四边形 为平行四边形，
则 且，
又由①得： 且，
于是且，
四边形 为平行四边形，
，
取的中点为，连接，
又，
，
则四边形 即为所求截面，
由题意知：，
则②不正确；
对于③：，
又面，，
所以，
故③正确；
对于④：取 的三等分点为，使，取 的三等分点为，使，
，
则面 即为所求的截面，
建立如图所示的空间坐标系，
则，0，，，3，，，3，，，0，，，1，，
，，，
所以面，
由已知条件得：
，
等腰梯形 的高为：
，
所以截面面积为：，
故④正确．
故选：．
【点睛】本题主要考查异面直线所成角以及线线平行问题，还考查了等体积法求四棱锥的体积以及利用空间向量解决线面垂直问题； 问题的关键是截面不容易找．
二、填空题
13．若变量满足则目标函数则目标函数的最大值为________．
【答案】28
【分析】本题首先可以通过不等式组在平面直角坐标系上画出可行域，然后将目标函数化为直线方程的斜截式，通过数形结合即可得出最优解，最后带入目标函数中即可得出结果．
【详解】
如图所示，根据不等式组可画出可行域并求出可行域的三个顶点坐标为、、，然后画出函数的图像，通过对函数平移可知过点时目标函数取最大值，最大值为．
【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．
14．直线：被圆截得的弦长等于________．
【答案】
【分析】先求出圆心到直线的距离，即可求出弦长.
【详解】圆化为，可得圆心为，半径为3，
圆心到直线的距离，
则弦长为.
故答案为：.
15．已知等腰直角三角形中，，，为的中点，将它沿翻折，使点与点间的距离为，此时三棱锥的外接球的表面积为____．
【答案】12
【分析】根据题意可判断出两两垂直，即可求出外接球半径，得出表面积.
【详解】等腰直角三角形中，，，
为的中点，，
，
，满足，，
两两垂直，
设外接球的半径为，则，即，
三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：.
【点睛】本题考查三棱锥外接球问题，解题的关键是得出两两垂直.
16．实数满足，则点到直线的距离的取值范围是___．
【答案】
【分析】分段讨论去绝对值判断出表示的图形，可得出表示的图形在和之间，利用平行线间距离公式即可求出.
【详解】实数满足，
当时，方程为，表示一段圆弧，
当时，方程为，表示双曲线的一部分，
当时，方程为，表示双曲线的一部分，
当时，方程为，不表示任何图形，
画出表示的图形，
可知双曲线的一条渐近线为，和平行，
设和平行且和圆在第一象限相切的直线为，
则，解得，
可得表示的图形在和之间，
则和的距离为，
和的距离为，
则结合图形可得点到直线的距离的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查解析几何的综合问题，解题的关键是得出表示的图形，数形结合可求出.
三、解答题
17．点在抛物线上，且A，B为上两点，A与B的横坐标之和为4．
（1）求抛物线的方程；
（2）求直线AB的斜率．
【答案】（1）（2）1
【分析】（1）通过点（4，4）在抛物线上，求出p．即可得到抛物线C的方程；
（2）设，且x1+x2＝4，转化求解直线的斜率即可．
【详解】（1）因为点（4,4）在抛物线上，代入得：，
所以抛物线的方程为
（2）设，且，
则
=，故直线AB的斜率为1.
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．
18．如图：在多面体ABCDE中，平面ACD，平面ACD，，，F是CD的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）取CE的中点M，连结MF，MB，先证明四边形ABMF是平行四边形，得出AF∥BM，即可得证；
（2）先通过AF⊥CD和AF⊥DE证明AF⊥平面CDE，即可证BM⊥平面CDE，即得证.
【详解】解：（1）证明：取CE的中点M，连结MF，MB，
∵F是CD的中点，∴MF∥DE且MF＝DE，
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，MF∥AB，∵AB＝DE，∴MF＝AB，
∴四边形ABMF是平行四边形，∴AF∥BM，
AF平面BCE，BM⊆平面BCE，∴AF∥平面BCE；
（2）证明：∵AC＝AD，∴AF⊥CD，
又∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD，
∴AF⊥DE，又CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE，
又∵BM∥AF，∴BM⊥平面CDE，
∵BM平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.
19．已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）是否存在实数，使得在上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，.
【分析】（1）由，求导，利用导数的几何意义求得曲线在点处的切线方程，再求得切线的轴、轴上的截距，代入三角形的面积公式求解.
（2）求导，令，得或，然后分，，由在上的最小值为求解.
【详解】（1）当时，，，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即，
直线在轴、轴上的截距均为，
所以三角形的面积为．
（2），
令，得或．
当，即时，
当时，，单调递减；
当时．，单调递增．
则，解得，
当，即时，当时，，单调递减，
则，解得，舍去．
综上：存在，使得在上的最小值为．
【点睛】方法点睛：（1）求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．（2）已知函数的最值求参数，一般先用参数表示最值，列方程求解参数．
20．如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面，，.
（1）求证：；
（2）若和梯形的面积都等于，求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）取的中点为，连结.先证明平面，再证明；（2）先求出，再求出梯形的高h,再利用求解.
【详解】（1）由是三棱台得，平面平面，
从而.
取的中点为，连结.
∵，∴，
∴四边形为平行四边形，∴.
∵，为的中点，∴，∴.
∵平面平面，且交线为，平面，
∴平面，而平面，
∴.
（2）∵正三角形的面积为，
∴，.∴正三角形的面积.
∵梯形的面积等于，∴梯形的高.
∴.
【点睛】本题主要考查空间垂直关系的证明，考查空间几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
21．已知函数(为自然对数的底数)，函数.
（1）求函数的最小值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）最小值；（2）.
【分析】（1）求得导函数，利用导数判断单调性即可求出极值进而求得最值；
（2）若不等式在上恒成立，等价于在上恒成立，只需构造函数，利用导数求得最值即可得解.
【详解】解：（1）当，函数定义域为
令，则
所以的减区间为，；增区间为
所以当时，函数有最小值.
（2）不等式在上恒成立等价于不等式在上恒成立，
故不等式在上恒成立，
令，，则
当时，，所以在上为增函数；
当时，，所以在上为减函数；
所以，所以.
【点睛】结论点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；
（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.
22．已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点且离心率，过点作斜率不为0的直线与椭圆交于两点．
（1）求椭圆方程；
（2）求证：；
（3）求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）由条件直接求解即可；
（2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆的方程消元可得，然后证明即可；
（3）首先表示出，然后利用换元法转化为双勾函数求解即可.
【详解】（1）由题意知，所以，
所以椭圆方程为
（2）设直线的方程为，

，
（3）
令，所以，
由双勾函数单调性可知，时，有最大值
【点睛】方法点睛：①解析几何中的平行和垂直问题常利用向量解决，②常利用换元法求解分式型函数的最值.
减
减
极小值
增