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四川省成都外国语学校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题
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这是一份四川省成都外国语学校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题，共21页。试卷主要包含了本试卷分为第Ⅰ卷两部分，考试结束后，将答题卡交回， 若且，下列不等式一定成立的是， 函数的值域是， 函数的大致图象为， 下列数学符号使用正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
2.本堂考试120分钟，满分150分；
3.答题前，考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂.
4.考试结束后，将答题卡交回.
第Ⅰ卷 选择题部分，共60分
一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 函数的定义域为（ ）
A B.
C. D.
4. “”是“函数在上为增函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
5. 若且，下列不等式一定成立的是（ ）
A B. C. D.
6. 函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
7. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
8. 若函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列数学符号使用正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列各选项给出两个函数中，表示相同函数的有（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
11. 设正实数满足，则（ ）
A. 的最小值为
B. 最小值为2
C. 的最大值为1
D. 的最小值为2
12. 已知定义在的函数满足以下条件：
（1）对任意实数恒有；
（2）当时，的值域是
（3）
则下列说法正确的是（ ）
A. 值域为
B. 单调递增
C.
D. 的解集为
第Ⅱ卷 非选择题部分，共90分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知集合，且，则的值为_________．
14. 设函数则__________.
15. 一元二次不等式的解集为________.
16. 设函数的定义域为D，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为“严格增函数”，对于“严格增函数”，有以下四个结论：
①“严格增函数”一定在D上严格增；
②“严格增函数”一定是“严格增函数”（其中，且）
③函数是“严格增函数”（其中表示不大于x的最大整数）
④函数不是“严格增函数”（其中表示不大于x的最大整数）
其中，所有正确的结论序号是______.
四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，集合，或
（1）求;
（2）求
18. 已知函数过点．
（1）判断在区间上的单调性，并用定义证明；
（2）求函数在上的最大值和最小值．
19. (1)已知函数，则的值域；
(2)已知，求的解析式；
(3)已知函数对于任意的都有，求 的解析式.
20. 已知关于x的不等式的解集为．
（1）当时，求的最小值；
（2）当时，函数的图象恒在直线的上方，求实数m的取值范围．
21. 已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）判断在上单调性，并用单调性定义证明；
（3）解不等式．
22. 若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，.
（1）求的解析式；
（2）求函数在内的“倒域区间”；
（3）求函数在定义域内的所有“倒域区间”.
成都外国语学校2023-2024学年度上期半期考试
高一数学试卷
注意事项：
1.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
2.本堂考试120分钟，满分150分；
3.答题前，考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂.
4.考试结束后，将答题卡交回.
第Ⅰ卷 选择题部分，共60分
一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用交集的运算求解即可.
【详解】由题知，.
故选：C
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析判断即可得解.
【详解】解：因为命题“，”为存在量词命题，
所以其否定为“，”．
故选：B．
3. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据开偶数次发根号里的数大于等于零，分母不等于零计算即可.
【详解】由，
得，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：D.
4. “”是“函数在上为增函数”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数的性质与必要不充分条件的判定即可得到答案.
【详解】当时，满足，但是函数在上为减函数，则正推无法推出；
反之，若函数在上为增函数，则，则反向可以推出，
则“”是“函数在上为增函数”的必要不充分条件，
故选：B.
5. 若且，下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】ACD举反例确定错误，B作差法可判断.
【详解】A，时，，A错误；
B，，B正确；
C，时，，C错误；
D，时，，D错误.
故选：B
6. 函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的性质即可求解.
【详解】函数的图象是一条开口向下的抛物线，对称轴为，
所以该函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，又，
所以，即函数的值域为.
故选：B.
7. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】根据函数的奇偶性以及函数的解析式判断出正确答案.
【分析】的定义域为，
，
所以是奇函数，图象关于原点对称，所以A选项错误.
当时，，所以C选项错误.
当时，令，解得，所以B选项错误.
所以正确的是D.
故选：D
8. 若函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】确定函数的单调性，考虑和两种情况，将问题转化为或，再根据函数值结合函数单调性得到答案.
【详解】函数是定义在实数集上的偶函数，在区间上是严格减函数，
故函数在上单调递增，且，
当时，由，即，得到或（舍弃），所以，
当时，由，即，得到，所以，
综上所述，或，
故选：B.
二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列数学符号使用正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据集合与元素之间关系符号和集合与集合之间的关系符号来判断即可.
【详解】对于A，N表示自然数集，不是自然数，故成立，则A选项正确;
对于B，Z表示整数集，，故成立，则B选项正确;
对于C，表示空集，没有任何一个元素，即，故C选项不正确;
对于D，空集是任何一个非空集合的真子集，故成立，则D选项正确.
故选：ABD.
10. 下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】BD
【解析】
【分析】根据函数的“三要素”一一判断每个选项中的函数，看定义域和对应关系是否相同，即可得答案.
【详解】对于A，函数的定义域为R，的定义域为，
故二者不是相同函数，A错误；
对于B，的定义为域为R，的定义域为R，
二者对应关系也相同，值域都为，故二者表示相同函数，B正确；
对于C，的定义域为R，的定义域为，
故二者不是相同函数，C错误；
对于D，与的的定义域均为，对应关系相同，
值域均为，故二者表示相同函数，D正确；
故选：BD
11. 设正实数满足，则（ ）
A. 的最小值为
B. 的最小值为2
C. 的最大值为1
D. 的最小值为2
【答案】CD
【解析】
【分析】由已知条件结合基本不等式及其相关变形，分别检验各个选项即可判断正误.
【详解】对于选项， ，
当且仅当且时，即，时取等号，则错误；
对于选项， ,当且仅当
时等号成立，则，即的最大值为2，则错误；
对于选项，，即，当且仅当时，等号成立，则正确；
对于选项， ，当且仅
当时，等号成立，则正确,
故选: .
12. 已知定义在的函数满足以下条件：
（1）对任意实数恒有；
（2）当时，的值域是
（3）
则下列说法正确的是（ ）
A. 值域为
B. 单调递增
C.
D. 的解集为
【答案】BCD
【解析】
【分析】计算得到，A错误，根据单调性的定义得到B正确，计算，，得到C正确，题目转化为得到，根据函数的单调性得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：令可得，故，
令可得，，
，当时，，则，
综上所述：，错误；
对选项B：任取且，，，
则，所以函数在上单调递增，正确；
对选项C：取得到；
取得到；
取得到，正确；
对选项D：，，
即，
即，
函数单调递增，且，故，正确；
故选：BCD
【点睛】关键点睛：本题考查了抽象函数问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据题目信息转化得到，再利用函数的单调性解不等式是解题的关键.
第Ⅱ卷 非选择题部分，共90分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知集合，且，则的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】由得，列式求解，然后检验元素的互异性.
【详解】∵，∴，又，
∴或，解得或，
当不满足元素的互异性，舍去，
所以.
故答案为：.
14. 设函数则__________.
【答案】1
【解析】
【分析】分段函数求值，根据自变量的取值范围代入相应的对应关系.
【详解】当时，，
则.
故答案为：1
15. 一元二次不等式的解集为________.
【答案】
【解析】
【分析】由一元二次不等式的解法进行求解即可.
【详解】，或
所以一元二次不等式的解集为，
故答案为：
16. 设函数的定义域为D，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为“严格增函数”，对于“严格增函数”，有以下四个结论：
①“严格增函数”一定在D上严格增；
②“严格增函数”一定是“严格增函数”（其中，且）
③函数是“严格增函数”（其中表示不大于x的最大整数）
④函数不是“严格增函数”（其中表示不大于x的最大整数）
其中，所有正确的结论序号是______.
【答案】②③④
【解析】
【分析】根据“严格增函数”的定义对四个结论逐一分析，从而确定正确答案.
【详解】①，函数，定义域为，
存在，对于任意，都有，
但在上不单调递增，所以①错误.
②，是“严格增函数”，则存在，使得对任意，都有，
因为，所以，
故，即存在实数，使得对任意，都有，
所以是“严格增函数”， ②正确.
③，，定义域为，当时，对任意的，
都有，即，
所以函数是“严格增函数”.
④，对于函数，
，所以是周期为的周期函数，
，若，则，不符合题意.
当且时，若，
则，即（*），
其中，若，则总存在，使得，
当时，若是正整数，则，（*）不成立，
若不是正整数，不恒成立，
所以函数不是“严格增函数”.
故答案为：②③④
【点睛】本题主要考查新定义函数的理解，对于新定义函数的题，解题方法是通过转化法，将“新”转化为“旧”来解题，选择题中，可利用特殊值进行举反例来排除.
四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，集合，或
（1）求;
（2）求
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据并集概念进行计算；
（2）先求出，进而利用交集概念进行计算.
【小问1详解】
或或；
【小问2详解】
，
18. 已知函数过点．
（1）判断在区间上的单调性，并用定义证明；
（2）求函数在上的最大值和最小值．
【答案】（1）在区间上单调递增，证明见解析
（2）最大值，最小值为
【解析】
【分析】（1）求出函数的表达式，利用单调性定义即可判断函数的单调性；
（2）根据单调性即可得出函数在上最大值和最小值.
【小问1详解】
单调递增，由题意证明如下，
由函数过点，有，
解得，所以的解析式为：．
设，且，有
．
由，得．
则，即．
∴在区间上单调递增．
【小问2详解】
由在上是增函数，
所以在区间上的最小值为，最大值为．
19. (1)已知函数，则的值域；
(2)已知，求的解析式；
(3)已知函数对于任意的都有，求 的解析式.
【答案】（1）；
（2），其中；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数的性质即可得函数的值域；
（2）配凑法或换元法求函数的解析式
（3）列方程组法求函数的解析式
【详解】（1）由于，故，故函数的值域为
（2），其中+1≥1，
故所求函数的解析式为，其中.
（3）∵对于任意的x都有，
∴将x替换为-x，得，
联立方程组：
消去，可得.
20. 已知关于x的不等式的解集为．
（1）当时，求的最小值；
（2）当时，函数的图象恒在直线的上方，求实数m的取值范围．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）依题意可得，和是方程的两根，从而可求得，的值，再利用基本不等式即可求解；
（2）依题意可得，已知条件等价于在上恒成立，分离参数转化为最值问题即可求解．
【小问1详解】
因为关于的不等式的解集为，
所以和是方程的两根，
所以，解得，
由可知，，所以当时，
，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为1．
【小问2详解】
结合（1）可得，
对于，函数的图象恒在函数的图象的上方，
等价于在上恒成立，
即在上恒成立，则即可，
因为，所以，
所以实数的取值范围为．
21. 已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明；
（3）解不等式．
【答案】21. ，
22. 减函数；证明见解析；
23.
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质和求解即可.
（2）利用函数单调性定义证明即可.
（3）首先将题意转化为解不等式，再结合的单调性求解即可.
【小问1详解】
函数是定义在上的奇函数，
；，解得，
∴，而，解得，
∴，．
小问2详解】
函数在上为减函数；
证明如下：任意且，则
因为，所以，又因为，
所以，所以，
即，所以函数在上为减函数．
【小问3详解】
由题意，，又，所以，
即解不等式，所以，
所以，解得，
所以该不等式的解集为．
22. 若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，.
（1）求的解析式；
（2）求函数在内的“倒域区间”；
（3）求函数在定义域内的所有“倒域区间”.
【答案】（1）
（2）
（3）和
【解析】
【分析】（1）设，利用奇函数的定义可求得函数在上的解析式，由此可得出函数在上的解析式；
（2）设，分析函数在上的单调性，可出关于、的方程组，解之即可；
（3）分析可知，只需讨论或，分析二次函数的单调性，根据题中定义可得出关于实数、的等式组，求出、的值，即可得出结果.
【小问1详解】
解：当时，则，
由奇函数的定义可得，
所以，.
【小问2详解】
解：设，因为函数在上递减，且在上的值域为，
所以，，解得，
所以，函数在内的“倒域区间”为.
【小问3详解】
解：在时，函数值的取值区间恰为，
其中且，，所以，，则，
只考虑或，
①当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，，则，所以，，所以，，
由（2）知在内的“倒域区间”为；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，所以，，所以，.
，
因为在上单调递减，则，解得，
所以，在内的“倒域区间”为.
综上所述，函数在定义域内的“倒域区间”为和.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，解题的关键在于分析函数的单调性，结合题意得出关于参数的方程，进行求解即可.
注意事项：
1.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
2.本堂考试120分钟，满分150分；
3.答题前，考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂.
4.考试结束后，将答题卡交回.
第Ⅰ卷 选择题部分，共60分
一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 函数的定义域为（ ）
A B.
C. D.
4. “”是“函数在上为增函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
5. 若且，下列不等式一定成立的是（ ）
A B. C. D.
6. 函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
7. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
8. 若函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列数学符号使用正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列各选项给出两个函数中，表示相同函数的有（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
11. 设正实数满足，则（ ）
A. 的最小值为
B. 最小值为2
C. 的最大值为1
D. 的最小值为2
12. 已知定义在的函数满足以下条件：
（1）对任意实数恒有；
（2）当时，的值域是
（3）
则下列说法正确的是（ ）
A. 值域为
B. 单调递增
C.
D. 的解集为
第Ⅱ卷 非选择题部分，共90分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知集合，且，则的值为_________．
14. 设函数则__________.
15. 一元二次不等式的解集为________.
16. 设函数的定义域为D，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为“严格增函数”，对于“严格增函数”，有以下四个结论：
①“严格增函数”一定在D上严格增；
②“严格增函数”一定是“严格增函数”（其中，且）
③函数是“严格增函数”（其中表示不大于x的最大整数）
④函数不是“严格增函数”（其中表示不大于x的最大整数）
其中，所有正确的结论序号是______.
四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，集合，或
（1）求;
（2）求
18. 已知函数过点．
（1）判断在区间上的单调性，并用定义证明；
（2）求函数在上的最大值和最小值．
19. (1)已知函数，则的值域；
(2)已知，求的解析式；
(3)已知函数对于任意的都有，求 的解析式.
20. 已知关于x的不等式的解集为．
（1）当时，求的最小值；
（2）当时，函数的图象恒在直线的上方，求实数m的取值范围．
21. 已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）判断在上单调性，并用单调性定义证明；
（3）解不等式．
22. 若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，.
（1）求的解析式；
（2）求函数在内的“倒域区间”；
（3）求函数在定义域内的所有“倒域区间”.
成都外国语学校2023-2024学年度上期半期考试
高一数学试卷
注意事项：
1.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
2.本堂考试120分钟，满分150分；
3.答题前，考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂.
4.考试结束后，将答题卡交回.
第Ⅰ卷 选择题部分，共60分
一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用交集的运算求解即可.
【详解】由题知，.
故选：C
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析判断即可得解.
【详解】解：因为命题“，”为存在量词命题，
所以其否定为“，”．
故选：B．
3. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据开偶数次发根号里的数大于等于零，分母不等于零计算即可.
【详解】由，
得，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：D.
4. “”是“函数在上为增函数”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数的性质与必要不充分条件的判定即可得到答案.
【详解】当时，满足，但是函数在上为减函数，则正推无法推出；
反之，若函数在上为增函数，则，则反向可以推出，
则“”是“函数在上为增函数”的必要不充分条件，
故选：B.
5. 若且，下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】ACD举反例确定错误，B作差法可判断.
【详解】A，时，，A错误；
B，，B正确；
C，时，，C错误；
D，时，，D错误.
故选：B
6. 函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的性质即可求解.
【详解】函数的图象是一条开口向下的抛物线，对称轴为，
所以该函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，又，
所以，即函数的值域为.
故选：B.
7. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】根据函数的奇偶性以及函数的解析式判断出正确答案.
【分析】的定义域为，
，
所以是奇函数，图象关于原点对称，所以A选项错误.
当时，，所以C选项错误.
当时，令，解得，所以B选项错误.
所以正确的是D.
故选：D
8. 若函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】确定函数的单调性，考虑和两种情况，将问题转化为或，再根据函数值结合函数单调性得到答案.
【详解】函数是定义在实数集上的偶函数，在区间上是严格减函数，
故函数在上单调递增，且，
当时，由，即，得到或（舍弃），所以，
当时，由，即，得到，所以，
综上所述，或，
故选：B.
二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列数学符号使用正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据集合与元素之间关系符号和集合与集合之间的关系符号来判断即可.
【详解】对于A，N表示自然数集，不是自然数，故成立，则A选项正确;
对于B，Z表示整数集，，故成立，则B选项正确;
对于C，表示空集，没有任何一个元素，即，故C选项不正确;
对于D，空集是任何一个非空集合的真子集，故成立，则D选项正确.
故选：ABD.
10. 下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】BD
【解析】
【分析】根据函数的“三要素”一一判断每个选项中的函数，看定义域和对应关系是否相同，即可得答案.
【详解】对于A，函数的定义域为R，的定义域为，
故二者不是相同函数，A错误；
对于B，的定义为域为R，的定义域为R，
二者对应关系也相同，值域都为，故二者表示相同函数，B正确；
对于C，的定义域为R，的定义域为，
故二者不是相同函数，C错误；
对于D，与的的定义域均为，对应关系相同，
值域均为，故二者表示相同函数，D正确；
故选：BD
11. 设正实数满足，则（ ）
A. 的最小值为
B. 的最小值为2
C. 的最大值为1
D. 的最小值为2
【答案】CD
【解析】
【分析】由已知条件结合基本不等式及其相关变形，分别检验各个选项即可判断正误.
【详解】对于选项， ，
当且仅当且时，即，时取等号，则错误；
对于选项， ,当且仅当
时等号成立，则，即的最大值为2，则错误；
对于选项，，即，当且仅当时，等号成立，则正确；
对于选项， ，当且仅
当时，等号成立，则正确,
故选: .
12. 已知定义在的函数满足以下条件：
（1）对任意实数恒有；
（2）当时，的值域是
（3）
则下列说法正确的是（ ）
A. 值域为
B. 单调递增
C.
D. 的解集为
【答案】BCD
【解析】
【分析】计算得到，A错误，根据单调性的定义得到B正确，计算，，得到C正确，题目转化为得到，根据函数的单调性得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：令可得，故，
令可得，，
，当时，，则，
综上所述：，错误；
对选项B：任取且，，，
则，所以函数在上单调递增，正确；
对选项C：取得到；
取得到；
取得到，正确；
对选项D：，，
即，
即，
函数单调递增，且，故，正确；
故选：BCD
【点睛】关键点睛：本题考查了抽象函数问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据题目信息转化得到，再利用函数的单调性解不等式是解题的关键.
第Ⅱ卷 非选择题部分，共90分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知集合，且，则的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】由得，列式求解，然后检验元素的互异性.
【详解】∵，∴，又，
∴或，解得或，
当不满足元素的互异性，舍去，
所以.
故答案为：.
14. 设函数则__________.
【答案】1
【解析】
【分析】分段函数求值，根据自变量的取值范围代入相应的对应关系.
【详解】当时，，
则.
故答案为：1
15. 一元二次不等式的解集为________.
【答案】
【解析】
【分析】由一元二次不等式的解法进行求解即可.
【详解】，或
所以一元二次不等式的解集为，
故答案为：
16. 设函数的定义域为D，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为“严格增函数”，对于“严格增函数”，有以下四个结论：
①“严格增函数”一定在D上严格增；
②“严格增函数”一定是“严格增函数”（其中，且）
③函数是“严格增函数”（其中表示不大于x的最大整数）
④函数不是“严格增函数”（其中表示不大于x的最大整数）
其中，所有正确的结论序号是______.
【答案】②③④
【解析】
【分析】根据“严格增函数”的定义对四个结论逐一分析，从而确定正确答案.
【详解】①，函数，定义域为，
存在，对于任意，都有，
但在上不单调递增，所以①错误.
②，是“严格增函数”，则存在，使得对任意，都有，
因为，所以，
故，即存在实数，使得对任意，都有，
所以是“严格增函数”， ②正确.
③，，定义域为，当时，对任意的，
都有，即，
所以函数是“严格增函数”.
④，对于函数，
，所以是周期为的周期函数，
，若，则，不符合题意.
当且时，若，
则，即（*），
其中，若，则总存在，使得，
当时，若是正整数，则，（*）不成立，
若不是正整数，不恒成立，
所以函数不是“严格增函数”.
故答案为：②③④
【点睛】本题主要考查新定义函数的理解，对于新定义函数的题，解题方法是通过转化法，将“新”转化为“旧”来解题，选择题中，可利用特殊值进行举反例来排除.
四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，集合，或
（1）求;
（2）求
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据并集概念进行计算；
（2）先求出，进而利用交集概念进行计算.
【小问1详解】
或或；
【小问2详解】
，
18. 已知函数过点．
（1）判断在区间上的单调性，并用定义证明；
（2）求函数在上的最大值和最小值．
【答案】（1）在区间上单调递增，证明见解析
（2）最大值，最小值为
【解析】
【分析】（1）求出函数的表达式，利用单调性定义即可判断函数的单调性；
（2）根据单调性即可得出函数在上最大值和最小值.
【小问1详解】
单调递增，由题意证明如下，
由函数过点，有，
解得，所以的解析式为：．
设，且，有
．
由，得．
则，即．
∴在区间上单调递增．
【小问2详解】
由在上是增函数，
所以在区间上的最小值为，最大值为．
19. (1)已知函数，则的值域；
(2)已知，求的解析式；
(3)已知函数对于任意的都有，求 的解析式.
【答案】（1）；
（2），其中；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数的性质即可得函数的值域；
（2）配凑法或换元法求函数的解析式
（3）列方程组法求函数的解析式
【详解】（1）由于，故，故函数的值域为
（2），其中+1≥1，
故所求函数的解析式为，其中.
（3）∵对于任意的x都有，
∴将x替换为-x，得，
联立方程组：
消去，可得.
20. 已知关于x的不等式的解集为．
（1）当时，求的最小值；
（2）当时，函数的图象恒在直线的上方，求实数m的取值范围．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）依题意可得，和是方程的两根，从而可求得，的值，再利用基本不等式即可求解；
（2）依题意可得，已知条件等价于在上恒成立，分离参数转化为最值问题即可求解．
【小问1详解】
因为关于的不等式的解集为，
所以和是方程的两根，
所以，解得，
由可知，，所以当时，
，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为1．
【小问2详解】
结合（1）可得，
对于，函数的图象恒在函数的图象的上方，
等价于在上恒成立，
即在上恒成立，则即可，
因为，所以，
所以实数的取值范围为．
21. 已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明；
（3）解不等式．
【答案】21. ，
22. 减函数；证明见解析；
23.
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质和求解即可.
（2）利用函数单调性定义证明即可.
（3）首先将题意转化为解不等式，再结合的单调性求解即可.
【小问1详解】
函数是定义在上的奇函数，
；，解得，
∴，而，解得，
∴，．
小问2详解】
函数在上为减函数；
证明如下：任意且，则
因为，所以，又因为，
所以，所以，
即，所以函数在上为减函数．
【小问3详解】
由题意，，又，所以，
即解不等式，所以，
所以，解得，
所以该不等式的解集为．
22. 若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，.
（1）求的解析式；
（2）求函数在内的“倒域区间”；
（3）求函数在定义域内的所有“倒域区间”.
【答案】（1）
（2）
（3）和
【解析】
【分析】（1）设，利用奇函数的定义可求得函数在上的解析式，由此可得出函数在上的解析式；
（2）设，分析函数在上的单调性，可出关于、的方程组，解之即可；
（3）分析可知，只需讨论或，分析二次函数的单调性，根据题中定义可得出关于实数、的等式组，求出、的值，即可得出结果.
【小问1详解】
解：当时，则，
由奇函数的定义可得，
所以，.
【小问2详解】
解：设，因为函数在上递减，且在上的值域为，
所以，，解得，
所以，函数在内的“倒域区间”为.
【小问3详解】
解：在时，函数值的取值区间恰为，
其中且，，所以，，则，
只考虑或，
①当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，，则，所以，，所以，，
由（2）知在内的“倒域区间”为；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，所以，，所以，.
，
因为在上单调递减，则，解得，
所以，在内的“倒域区间”为.
综上所述，函数在定义域内的“倒域区间”为和.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，解题的关键在于分析函数的单调性，结合题意得出关于参数的方程，进行求解即可.
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