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苏科版九年级数学上册同步精品讲义 第16讲 方差（学生版+教师版）
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这是一份苏科版九年级数学上册同步精品讲义 第16讲 方差（学生版+教师版），文件包含苏科版九年级数学上册同步精品讲义第16讲方差教师版docx、苏科版九年级数学上册同步精品讲义第16讲方差学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共27页， 欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点01 极差
一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。
极差＝最大值－最小值.
【微点拨】
（1）极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.
（2）一组数据的极差越小，这组数据的波动幅度也越小，也就越稳定.
【即学即练1】一组数据1，﹣1，2，5，3的极差是（ ）
A．6B．5C．4D．3
知识点02 方差
在一组数据中，各个数据与它们的平均数的差的平方分别是
，我们用它们的平均数来描述这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差，记作.
【微点拨】
（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.
（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.
（3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍.
【即学即练2】某数学兴趣小组为了了解本班同学一周课外阅读的时间，随机调查了5名同学，并将所得数据整理如表：
表中有一个数字被污染后而模糊不清（该处用□表示），但曾计算得该组数据的平均数为6，则这组数据的方差和中位数分别为（ ）
A．1.5，4B．2，4C．2，6D．6，6
能力拓展
考法01 根据方差判断稳定性
【典例1】开展党史学习教育，是党中央因时因势作出的重大决策，是大力推进红色基因传承的重要举措，是凝聚智慧力量奋进新征程的现实需要．某学校在党员教师中开展了学习党史知识竞赛，将参赛的甲，乙两组党员教师成绩（单位：分）整理如下：
整理数据：
甲组：6，6，9，7，9，10，9．
乙组：7，6，10，5，9，9，10．
分析数据：
(1)表中的___，______，_____；
(2)已知甲组教师成绩的方差为，请计算乙组教师成绩的方差，并说明哪组教师的成绩更稳定？
考法02 运用方差做决策
【典例2】省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，成绩（单位：环）如下表：
(1)分别计算甲、乙六次测试成绩的平均数和方差；
(2)你认为推荐谁参加全国比赛更合适？请说明理由．
分层提分
题组A 基础过关练
1．某店专营某品牌运动鞋，该店老板统计了一周内不同尺码的运动鞋的销售量如图，如果每双鞋的利润相同，你认为该店老板最关注的销售数据是下列统计量中的（ ）
A．平均数B．方差C．众数D．中位数
2．在方差的计算公式中，数字10和20表示的意义分别是（ ）
A．数据得个数和平均数B．数据的方差和平均数
C．数个数和方差D．以上都不对
3．甲、乙、丙、丁四位同学都参加了5次数学模拟测试，每个人这5次成绩的平均数都是125分，方差分别是，则这5次测试成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．小华统计了自己过去五个学期期末考试数学成绩，分别为87，84，90，89，95，这组数据的中位数和方差分别为（ ）
A．90，66B．90，13.2C．89，66D．89，13.2
5．甲、乙、丙、丁四名同学在一次投掷实心球训练中，在相同条件下各投掷10次，他们成绩的平均数与方差s2如下表：
若要选一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，则应该选择_____（填甲或乙、丙、丁）．
6．甲、乙两名射击选手十次射击成绩的方差分别是 ，你认为________（填甲或乙）的成绩比较稳定．
7．为了考察甲、乙两块试验田中小麦的长势，随机从这两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度、整理数据后，发现甲、乙两块试验田麦苗的平均高度相同，方差，，则这两块试验田中小麦长势比较整齐的是______试验田．
题组B 能力提升练
1．一组数据的方差计算公式，则该方差计算公式中的值是（ ）
A．3B．C．D．
2．下表记录了甲、乙、丙、丁四名射箭选手10次测试成绩的平均数与方差：
要选择一名成绩好且发挥稳定的选手参加射箭比赛，应该选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
3．将数据、、、、、的每一个数据都增加，则下列说法中错误的是( )
A．平均数增加B．中位数增加C．有众数则增加D．方差增加
4．在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式，由公式提供的信息，则该样本的中位数和平均数分别是（ ）
A．2.5，3B．3，3C．3，2.5D．3，4
5．袁隆平院士工作站暨赣南革命老区石城红米科研示范基地已经于2021年正式启动.首期选择6块条件相同的试验田，同时播种甲、乙两种红米并核定亩产，结果甲、乙两种红米水稻的平均产量均为亩，方差分别为，，则产量稳定适合推广的品种为______.
6．某校要从甲、乙两名同学中选取一名成绩稳定的同学去参加数学竞赛，已知五次模拟测试中统计所得的信息为＝115，S甲2＝12，＝115，S乙2＝36，则应选择____参加竞赛．
7．数据的平均数是4，方差是3，则数据的平均数和方差分别是_________，___________．
8．甲、乙两台机床在相同的条件下，同时生产一种直径为10mm的滚珠．现在从中各抽取100个进行检测，结果这两台机床生产的滚珠平均直径均为10mm，但，，则______机床生产这种滚珠的质量更稳定．
9．我市农科院培育了A，B两个新品种的桃树，在口感相同的情况下，农科院希望选育出个大品相好的品种．科研人员从两个品种的桃树上分别抽取了个桃子，然后再分别从中随机抽取了个桃子，记录了它们的质量（单位：克）如下：
(1)根据表中数据，可得个A品种桃子质量的中位数、众数、平均数都是，求个B品种桃子质量的中位数、众数、平均数分别是多少？
(2)在（1）的条件下，农科院可选育哪个品种的桃子？说出你的理由．
(3)根据表中数据可得A，B桃子质量的方差分别为，，根据桃子质量的稳定性，农科院应选育哪个品种的桃子？
10．八（1）班组织了一次食品安全知识竞赛，甲，乙两队各5人的成绩（10分制）如表所示．
(1)甲队成绩的中位数是_________分，乙队成绩的众数是________分；
(2)分别计算甲队、乙队的方差，并判断哪队的成绩更稳定？为什么？
题组C 培优拔尖练
1．甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：）如下表所示：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A．丁B．丙C．乙D．甲
2．一组数据2，4，5，6，5．对该组数据描述正确的是（ ）
A．平均数是4.4B．中位数是4.5
C．众数是4D．方差是9.2
3．已知一组数据a，b，c的平均数为10，方差为4，那么数据的平均数和方差分别是（ ）
A．10，4B．7，4C．3，1D．7，1
4．射击运动员小东10次射击的成绩（单位：环）：7.5，8，7.5，8.5，9，7，7，10，8.5，8．这10次成绩的平均数是8.1，方差是0.79，如果小东再射击一次，成绩为10环，则小东这11次成绩的方差______0.79．（填“大于”、“等于”或“小于”）
5．随着北京冬奥会的成功举办，越来越多的人喜欢上冰雪运动．为了解当地一家滑雪场的经营情况，小聪对该滑雪场自2022年1月31日至2月13日共两周的日接待游客数（单位：千人）进行了统计，并绘制成下面的统计图．
根据统计图提供的信息，有下列三个结论：
①按日接待游客数从高到低排名，2月6日在这14天中排名第4；
②记第一周，第二周日接待游客数的方差分别为S12，S22，则S12＞S22；
③这14天日接待游客数的众数和中位数都是2.0千人．
其中所有正确结论的序号是______________．
6．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是，那么另一组数据2x1－2，2x2－2，2x3－2，2x4－2，2x5－2的方差是____________．
7．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是，那么另一组数据2x1－2，2x2－2，2x3－2，2x4－2，2x5－2的方差是____________．
8．2022年5月25、26日国家实施义务教育质量监测．监测部门从某校八年级全体学生中任意抽取40名学生，平均分成甲、乙两个小组参加艺术测试．根据测试成绩绘制出如下的统计表和统计图（成绩均为整数，满分为10分）．
甲组成绩统计表
请根据上面的信息，解答下列问题：
(1)____________，甲组成绩的众数是____________；乙组成绩的中位数是____________．
(2)请你计算出甲组的平均成绩．
(3)已知甲组成绩的方差，乙组的平均成绩是8.5，请计算出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更均衡？
9．为增强防疫意识，某初中在元旦举行了疫情防控知识竞赛活动，现从本校甲、乙两班中各随机抽取名同学的测试成绩进行整理、描述和分析，如图所示：
(1)两组数据的平均数、中位数、众数、方差如上表所示，请补充完整．
(2)根据上述数据，请从两个不同角度评价甲班与乙班掌握防疫知识的情况．
课程标准
课标解读
1.了解极差、方差和标准差的意义和求法，体会它们刻画数据波动的不同特征；
2.学会用极差、方差与标准差来处理数据．
1. 了解方差的定义和计算公式。
2.会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。
学生编号
1
2
3
4
5
一周课外阅读时间（小时）
7
5
4
□
8
平均数
中位数
众数
甲组
8
b
c
乙组
a
9
9和10
队员
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
甲
9
7
10
10
9
9
乙
10
8
9
8
10
9
甲
乙
丙
丁
平均数（米）
11.1
11.1
10.9
10.9
方差s2
1.1
1.2
1.3
1.4
甲
乙
丙
丁
平均数（分）
9.5
9.5
9.2
9.2
方差
3.6
7.4
3.6
7.4
品种桃子
品种桃子
甲
8
10
9
6
9
乙
10
8
9
7
8
甲
乙
丙
丁
9
8
9
9
1.6
0.8
2
0.8
成绩
7
8
9
10
人数
3
9
3
5
班级
平均数/分
中位数/分
众数/分
方差
甲班
83.7
82
46.21
乙班
83.7
86
13.21
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知识精讲
知识点01 极差
一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。
极差＝最大值－最小值.
【微点拨】
（1）极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.
（2）一组数据的极差越小，这组数据的波动幅度也越小，也就越稳定.
【即学即练1】一组数据1，﹣1，2，5，3的极差是（ ）
A．6B．5C．4D．3
知识点02 方差
在一组数据中，各个数据与它们的平均数的差的平方分别是
，我们用它们的平均数来描述这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差，记作.
【微点拨】
（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.
（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.
（3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍.
【即学即练2】某数学兴趣小组为了了解本班同学一周课外阅读的时间，随机调查了5名同学，并将所得数据整理如表：
表中有一个数字被污染后而模糊不清（该处用□表示），但曾计算得该组数据的平均数为6，则这组数据的方差和中位数分别为（ ）
A．1.5，4B．2，4C．2，6D．6，6
能力拓展
考法01 根据方差判断稳定性
【典例1】开展党史学习教育，是党中央因时因势作出的重大决策，是大力推进红色基因传承的重要举措，是凝聚智慧力量奋进新征程的现实需要．某学校在党员教师中开展了学习党史知识竞赛，将参赛的甲，乙两组党员教师成绩（单位：分）整理如下：
整理数据：
甲组：6，6，9，7，9，10，9．
乙组：7，6，10，5，9，9，10．
分析数据：
(1)表中的___，______，_____；
(2)已知甲组教师成绩的方差为，请计算乙组教师成绩的方差，并说明哪组教师的成绩更稳定？
考法02 运用方差做决策
【典例2】省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，成绩（单位：环）如下表：
(1)分别计算甲、乙六次测试成绩的平均数和方差；
(2)你认为推荐谁参加全国比赛更合适？请说明理由．
分层提分
题组A 基础过关练
1．某店专营某品牌运动鞋，该店老板统计了一周内不同尺码的运动鞋的销售量如图，如果每双鞋的利润相同，你认为该店老板最关注的销售数据是下列统计量中的（ ）
A．平均数B．方差C．众数D．中位数
2．在方差的计算公式中，数字10和20表示的意义分别是（ ）
A．数据得个数和平均数B．数据的方差和平均数
C．数个数和方差D．以上都不对
3．甲、乙、丙、丁四位同学都参加了5次数学模拟测试，每个人这5次成绩的平均数都是125分，方差分别是，则这5次测试成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．小华统计了自己过去五个学期期末考试数学成绩，分别为87，84，90，89，95，这组数据的中位数和方差分别为（ ）
A．90，66B．90，13.2C．89，66D．89，13.2
5．甲、乙、丙、丁四名同学在一次投掷实心球训练中，在相同条件下各投掷10次，他们成绩的平均数与方差s2如下表：
若要选一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，则应该选择_____（填甲或乙、丙、丁）．
6．甲、乙两名射击选手十次射击成绩的方差分别是 ，你认为________（填甲或乙）的成绩比较稳定．
7．为了考察甲、乙两块试验田中小麦的长势，随机从这两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度、整理数据后，发现甲、乙两块试验田麦苗的平均高度相同，方差，，则这两块试验田中小麦长势比较整齐的是______试验田．
题组B 能力提升练
1．一组数据的方差计算公式，则该方差计算公式中的值是（ ）
A．3B．C．D．
2．下表记录了甲、乙、丙、丁四名射箭选手10次测试成绩的平均数与方差：
要选择一名成绩好且发挥稳定的选手参加射箭比赛，应该选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
3．将数据、、、、、的每一个数据都增加，则下列说法中错误的是( )
A．平均数增加B．中位数增加C．有众数则增加D．方差增加
4．在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式，由公式提供的信息，则该样本的中位数和平均数分别是（ ）
A．2.5，3B．3，3C．3，2.5D．3，4
5．袁隆平院士工作站暨赣南革命老区石城红米科研示范基地已经于2021年正式启动.首期选择6块条件相同的试验田，同时播种甲、乙两种红米并核定亩产，结果甲、乙两种红米水稻的平均产量均为亩，方差分别为，，则产量稳定适合推广的品种为______.
6．某校要从甲、乙两名同学中选取一名成绩稳定的同学去参加数学竞赛，已知五次模拟测试中统计所得的信息为＝115，S甲2＝12，＝115，S乙2＝36，则应选择____参加竞赛．
7．数据的平均数是4，方差是3，则数据的平均数和方差分别是_________，___________．
8．甲、乙两台机床在相同的条件下，同时生产一种直径为10mm的滚珠．现在从中各抽取100个进行检测，结果这两台机床生产的滚珠平均直径均为10mm，但，，则______机床生产这种滚珠的质量更稳定．
9．我市农科院培育了A，B两个新品种的桃树，在口感相同的情况下，农科院希望选育出个大品相好的品种．科研人员从两个品种的桃树上分别抽取了个桃子，然后再分别从中随机抽取了个桃子，记录了它们的质量（单位：克）如下：
(1)根据表中数据，可得个A品种桃子质量的中位数、众数、平均数都是，求个B品种桃子质量的中位数、众数、平均数分别是多少？
(2)在（1）的条件下，农科院可选育哪个品种的桃子？说出你的理由．
(3)根据表中数据可得A，B桃子质量的方差分别为，，根据桃子质量的稳定性，农科院应选育哪个品种的桃子？
10．八（1）班组织了一次食品安全知识竞赛，甲，乙两队各5人的成绩（10分制）如表所示．
(1)甲队成绩的中位数是_________分，乙队成绩的众数是________分；
(2)分别计算甲队、乙队的方差，并判断哪队的成绩更稳定？为什么？
题组C 培优拔尖练
1．甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：）如下表所示：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A．丁B．丙C．乙D．甲
2．一组数据2，4，5，6，5．对该组数据描述正确的是（ ）
A．平均数是4.4B．中位数是4.5
C．众数是4D．方差是9.2
3．已知一组数据a，b，c的平均数为10，方差为4，那么数据的平均数和方差分别是（ ）
A．10，4B．7，4C．3，1D．7，1
4．射击运动员小东10次射击的成绩（单位：环）：7.5，8，7.5，8.5，9，7，7，10，8.5，8．这10次成绩的平均数是8.1，方差是0.79，如果小东再射击一次，成绩为10环，则小东这11次成绩的方差______0.79．（填“大于”、“等于”或“小于”）
5．随着北京冬奥会的成功举办，越来越多的人喜欢上冰雪运动．为了解当地一家滑雪场的经营情况，小聪对该滑雪场自2022年1月31日至2月13日共两周的日接待游客数（单位：千人）进行了统计，并绘制成下面的统计图．
根据统计图提供的信息，有下列三个结论：
①按日接待游客数从高到低排名，2月6日在这14天中排名第4；
②记第一周，第二周日接待游客数的方差分别为S12，S22，则S12＞S22；
③这14天日接待游客数的众数和中位数都是2.0千人．
其中所有正确结论的序号是______________．
6．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是，那么另一组数据2x1－2，2x2－2，2x3－2，2x4－2，2x5－2的方差是____________．
7．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是，那么另一组数据2x1－2，2x2－2，2x3－2，2x4－2，2x5－2的方差是____________．
8．2022年5月25、26日国家实施义务教育质量监测．监测部门从某校八年级全体学生中任意抽取40名学生，平均分成甲、乙两个小组参加艺术测试．根据测试成绩绘制出如下的统计表和统计图（成绩均为整数，满分为10分）．
甲组成绩统计表
请根据上面的信息，解答下列问题：
(1)____________，甲组成绩的众数是____________；乙组成绩的中位数是____________．
(2)请你计算出甲组的平均成绩．
(3)已知甲组成绩的方差，乙组的平均成绩是8.5，请计算出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更均衡？
9．为增强防疫意识，某初中在元旦举行了疫情防控知识竞赛活动，现从本校甲、乙两班中各随机抽取名同学的测试成绩进行整理、描述和分析，如图所示：
(1)两组数据的平均数、中位数、众数、方差如上表所示，请补充完整．
(2)根据上述数据，请从两个不同角度评价甲班与乙班掌握防疫知识的情况．
课程标准
课标解读
1.了解极差、方差和标准差的意义和求法，体会它们刻画数据波动的不同特征；
2.学会用极差、方差与标准差来处理数据．
1. 了解方差的定义和计算公式。
2.会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。
学生编号
1
2
3
4
5
一周课外阅读时间（小时）
7
5
4
□
8
平均数
中位数
众数
甲组
8
b
c
乙组
a
9
9和10
队员
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
甲
9
7
10
10
9
9
乙
10
8
9
8
10
9
甲
乙
丙
丁
平均数（米）
11.1
11.1
10.9
10.9
方差s2
1.1
1.2
1.3
1.4
甲
乙
丙
丁
平均数（分）
9.5
9.5
9.2
9.2
方差
3.6
7.4
3.6
7.4
品种桃子
品种桃子
甲
8
10
9
6
9
乙
10
8
9
7
8
甲
乙
丙
丁
9
8
9
9
1.6
0.8
2
0.8
成绩
7
8
9
10
人数
3
9
3
5
班级
平均数/分
中位数/分
众数/分
方差
甲班
83.7
82
46.21
乙班
83.7
86
13.21
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