2024届全国乙卷理科大联考数学试卷

这是一份2024届全国乙卷理科大联考数学试卷，共6页。试卷主要包含了请将各题答案填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
第Ⅰ卷
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则
A．B．C．D．
2．若复数满足（为虚数单位），则
A．B．C．D．
3．执行如图的程序框图，则输出的值为
A．B．C．D．
4．已知为第二象限角，且终边与单位圆的交点的横坐标为，则
A．B．C．D．
5．已知数列是递增的等比数列，其前项和为.若，，则
A． B． C．或 D．或
6．甲、乙和另外5位同学站成两排拍照，前排3人，后排4人．若每个人都随机站队，且前后排不认为相邻，则在甲、乙站在同一排的条件下，两人不相邻的概率为
A．B．C．D．
7．某校为庆祝建校60周年，有奖征集同学们设计的文创作品．王同学设计的一款文创水杯获奖，其上部分是圆台(多功能盖)，下部分是正六棱台(水杯)，圆台与棱台的高之比为，寓意建校60周年，学校发展步入黄金期．这款水杯下部分的三视图如图所示，则这款水杯下部分的容(体)积约为
A．B．C．D．
8．已知函数则满足的的取值范围为
A．B．C．D．
9．已知抛物线：的焦点为，准线为．过抛物线顶点的直线与准线交于点，与抛物线交于另一点．若，则点的横坐标为
A．B．C．D．
10．先将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所有点向右平移2个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，则下列结论正确的是
A．的最小正周期为4B．点是图象的一个对称中心
C．在上单调递增D．在上有506个极值点
11．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，弦的中点为且．若过原点与点的直线的斜率不小于，则双曲线的离心率的取值范围为
A．B．C．D．
12．定义在上的函数满足为偶函数，当时，，其中是的导数．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知向量与的夹角为，则 ．
14．的展开式中项的系数为 ．（用数字作答）
15．已知数列的前项和为，且，，则数列的通项公式为 ．
16．已知三棱锥的底面是边长为2的正三角形，且，三棱锥的内切球的表面积为，若，则点到平面的距离的取值范围为 ．
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17．（12分）
已知的内角所对的边分别为，且．
（1）求；
（2）若的面积为，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，
求的周长．
18．（12分）
游泳是一项体育竞技项目，也是一项有氧运动，受到了越来越多人的喜欢．某学校暑期开设了青少年游泳短训班，统计了部分学员练习游泳的时间（单位：小时），所作的频率分布直方图如图：
（1）确定的值，并估计短训班全体学员练习时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）短训班结课时进行了一次测试，练习时间在（单位：小时）内有5人获，1人获，这6人组成甲组；练习时间在（单位：小时）内有2人获，4人获，这6人组成乙组．某教练先随机选择一组，再从这一组中随机选出3位学员，求被选出的学员中测试成绩为的人数的分布列与数学期望．
19．（12分）
如图，在四棱锥中，为正三角形，四边形为菱形，为棱的中点，．
（1）求证：；
（2）若平面平面，求平面与平面所成二面角的正弦值．
20．（12分）
已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）当时，求函数的最值；
（2）当时，讨论函数的极值点个数．
21．（12分）
已知椭圆（）的左、右焦点分别为，左顶点为，以点为圆心，1为半径的圆经过点，点是椭圆上一点，点为椭圆所在平面内一点，且满足，点与圆上的点之间的最大距离为7．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作直线，与圆的另一个交点为，与椭圆的另一个交点为．是否存在直线，使？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求直线的极坐标方程；
（2）设直线与曲线交于两点，求的面积．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．