四川省宜宾市叙州区第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省宜宾市叙州区第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出直线的斜率，利用直线的倾斜角与斜率的关系可求得该直线的倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，直线的方程即为，则，
，因此，.
故选：C.
2. 圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【答案】C
【解析】
【分析】利用圆的一般方程的圆心和半径公式，即得解
【详解】可化为，
由圆心为，半径，
易知圆心的坐标为，半径为.
故选：C
3. 已知直线的方向向量为,平面的法向量为,则直线与所成的角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先计算线的方向向量和面的法向量夹角的余弦值的绝对值,也即是线与面夹角的正弦值,由此即可选出选项.
【详解】解:由题知,
记直线与平面所成角为,
则,
所以直线与平面所成的角为.
故选:A
4. 某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 频率分布直方图中a的值为0.012
B. 估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80
C. 估计这20名学生数学考试成绩的众数为80
D. 估计总体中成绩落在内的学生人数为110
【答案】B
【解析】
【分析】根据所有矩形的面积和为1求出，然后逐一判断即可.
【详解】由可得，故A错误
前三个矩形的面积和为，所以这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80，故B正确
这20名学生数学考试成绩的众数为，故C错误
这20名学生数学考试成绩落在内的学生人数为，则总体中成绩落在内的学生人数为，故D错误
故选：B
5. 设平面向量，，其中m，，记“”为事件A，则事件A发生的概率为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由向量的数量积公式结合古典概型概率公式得出事件A发生的概率.
【详解】由题意可知，即，
因为所有的基本事件共有种，其中满足的为，，只有1种，所以事件A发生的概率为.
故选：D
6. 已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】当截距为0时，设出直线的点斜式；当截距不为0时，设出直线的截距式，进而将点代入方程解出参数，最后得到答案.
【详解】当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线的方程为，
把点代入方程，得，即，所以直线的方程为；
当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，设直线的方程为，
把点代入方程，得，即，所以直线的方程为．
故选：D．
7. 已知圆：，过直线上的点作圆的两条切线，切点分别为，．若存在点，使得，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】若，此时四边形为正方形，若点存在，则应满足圆心到直线的距离小于等于正方形对角线的长，从而解得斜率取值范围，求得最小值.
【详解】由题知，若，此时四边形为以为边长的正方形，此时，
若存在点，则应满足圆心到直线的距离小于等于2，
即，解得，即的最小值为.
故选：C
8. 已知，是椭圆：（）的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得为等边三角形，可得在轴上，设的坐标，可得的纵坐标与的关系，再由直线的斜率，可得，的关系，进而求出椭圆的离心率．
【详解】因为且，所以三角形为等边三角形，
所以可得在轴上，设为，可得，①
又因为②，由①②可得：，
故选：．
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 方程表示圆，则实数a的可能取值为（ ）
A. 4B. 2C. 0D.
【答案】AD
【解析】
【分析】先把整理成圆的标准形式，满足右边关于的表达式大于零.
【详解】把方程整理成
，即
，若表示圆则满足
即，即
所以或，观察答案中只有和符合题意.
故选：AD
10. 下列说法中错误的是（ ）
A. 不过原点的直线都可以用方程表示
B. 若直线，则两直线的斜率相等
C. 过两点的直线都可用方程表示
D. 若两条直线中，一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则两条直线垂直
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据对直线的截距式、两点式的理解即可判断AC；根据两直线的位置关系即可判断BD.
【详解】A：直线截距式方程不能表示过原点和垂直于坐标轴的直线，故A错误；
B：和的斜率有可能不存在，故B错误；
C：选项中的方程是直线的两点式方程化为整式后的结果，
直线的两点式方程不能表示垂直于坐标轴的直线，
但化为整式后就可以表示任意直线，故C正确；
D：直线斜率不存在，则直线垂直于x轴；
直线斜率存在，但不一定为0，所以两直线不一定垂直，故D错误.
故选：ABD.
11. 已知甲袋内有a个红球，b个黑球，乙袋内有b个红球，a个黑球，从甲、乙两袋内各随机取出1个球，记事件“取出的2个球中恰有1个红球”，“取出的2个球都是红球”，“取出的2个球都是黑球”，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据古典概型的概率计算公式，结合独立事件概率的乘法公式，分别计算三个事件的概率，可得答案.
【详解】解：若取出的2个球为1个红球1个黑球，其概率，
若2个球都是红球，其概率，
若2个球都是黑球，其概率，且，
故B正确，C错误；
而，故A错误；
，D正确，
故选：BD．
12. 在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，，平面平面ABCD，点M在线段PC上运动（不含端点），则（ ）
A. 存在点M使得
B. 四棱锥外接球的表面积为
C. 直线PC与直线AD所成角为
D. 当动点M到直线BD的距离最小时，过点A，D，M作截面交PB于点N，则四棱锥的体积是
【答案】BCD
【解析】
【分析】取AD的中点G，证明平面PGC，然后由线面垂直的性质定理判断A，把四棱锥补形成一个如图2的正方体，根据正方体的性质判断BC，由平面PGC，当动点M到直线BD的距离最小时，从而得为PC的中点，N为QA的中点，再由体积公式计算后判断D．
【详解】如图1，取AD的中点G，连接GC，PG，BD，,则，
因为平面平面ABCD，平面平面，平面，
所以平面ABCD，平面，则．
又因为，所以，
又，平面，所以平面PGC．
因为平面PGC，平面PGC，所以不成立，A错误．
因为△APD为等腰直角三角形，将四棱锥的侧面APD作为底面一部分，补成棱长为1的正方体．如图2，则四棱锥的外接球即为正方体的外接球，其半径，即四棱锥外接球的表面积为，B正确．
如图2，直线PC与直线AD所成角即为直线PC与直线BC所成角，为，C正确．
如图1，因为平面PGC，当动点M到直线BD的距离最小时，
由上推导知，，，
，，，，
因此M为PC的中点．如图3，由M为PC的中点，即为中点,平面即平面与的交点也即为与的交点,可知N为QA的中点，故，D正确．
故选：BCD．
【点睛】方法点睛：空间几何体的外接球问题，（1）直接寻找球心位置，球心都在过各面外心用与该面垂直的直线上，（2）对特殊的几何体，常常通过补形（例如把棱锥）补成一个长方体或正方体，它们的外接球相同，而长方体（或正方体）的对角线即为外接球的直径，由此易得球的半径或球心位置．
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知直线，若，则实数a的值是___________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据向量垂直列方程，化简求得值.
【详解】由题意可知，故，即
解得或.
故答案:或
14. 已知圆柱的母线长，底面半径，则该圆柱的侧面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用圆柱的侧面积公式求解.
【详解】因为圆柱的母线长，底面半径，
所以该圆柱的侧面积为,
故答案为：
15. 点是圆的弦的中点，则直线的方程是__________．
【答案】
【解析】
【详解】圆心，，
则，
则直线方程是，
即．
16. 设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与线段AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．若，则实数k的值为______.
【答案】或
【解析】
【分析】先求出椭圆方程，联立直线与椭圆方程，结合由E、F关于原点对称求出坐标，利用向量坐标运算建立方程求解即可.
【详解】依题意得椭圆的方程为，直线AB，EF的方程分别为，.
如图，

设D，E，F三点的坐标分别为，，，其中，
由得，则满足方程，
故，由知，
得，
由点D在直线AB上，知，即，
所以，化简得，解得或.
故答案为：或
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过两点，；
（2）长轴长是短轴长的2倍，且过点．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】分焦点在轴和焦点在轴两种情况设椭圆方程，将点代入列方程，解方程即可.
【小问1详解】
①当焦点在轴时，设椭圆方程为，则，解得，所以此时椭圆方程为；
②当焦点在轴时，设椭圆方程为，则，解得，不符合要求；
所以椭圆方程为.
【小问2详解】
①当焦点在轴时，设椭圆方程为，则，解得，所以此时椭圆方程为；
②当焦点在轴时，设椭圆方程为，则，解得，所以此时椭圆方程为，
所以椭圆方程为或.
18. 已知顶点为，，．
（1）求过且平行于直线的直线的方程；
（2）求边上的高所在直线的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平行求出斜率，结合点斜式方程即可解题；
（1）根据垂直求出斜率，结合点斜式方程即可解题.
【小问1详解】
，所以直线AB的斜率为－1，
所以过C且平行于直线AB的直线的斜率也为-1，
所以其直线方程为，化简得．
【小问2详解】
因为直线AB的斜率为－1，
所以直线CD的斜率为1，又经过点，
所以直线CD的方程为，化简得．
19. 2019年4月，习近平总书记到重庆市石柱县中益乡小学看望老师和同学们，总书记希望看到更多的青年志愿者扎根贫困地区，献身乡村教育.各师范院校应届毕业生积极参与，现有几所高等师范院校大量优秀毕业生有意前往某市贫困地区.该市教育局组织了一场资格考察，规定每位学生需缴纳考试费200元.现从中抽查了100名学生成绩，制作了测试成绩X（满分200分）的频率分布直方图，规定185分为率取分数线.被录取的学生将会获得每人的交通和伙食补贴.
（Ⅰ）若该市某县需要20名老师，按比例分配老师，得分195以上的老师会有几名？
（Ⅱ）令Y表示每个学生的缴费支出和补助收入的代数和，用含X的函数来表示Y并根据概率分布直方图估计的概率.
【答案】（Ⅰ）5名；（Ⅱ）0.84.
【解析】
【分析】（Ⅰ）利用分层抽样的性质能求出得分195以上的老师的人数.
（Ⅱ）由，解得，从而的概率为：，由此能估计的概率.
【详解】（Ⅰ）若该市某县需要20名老师，按比例分配老师，
得分195以上的老师会有：
（名）.
（Ⅱ），
解得，
∴的概率为：
.
【点睛】本题考查了分层抽样、频率分布直方图，考查了基本运算能力，属于基础题.
20. 已知圆经过，，三点.
（1）求圆的方程；
（2）设点在圆上运动，点，且点满足，记点的轨迹为，求的方程.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求出圆的方程即可；
（2）设，利用得到点的坐标，将点代入圆，化简即可得到点的轨迹方程.
【小问1详解】
设圆的方程为，
将三点，，分别代入方程，
则，解得，，，
所以圆的方程为；
【小问2详解】
设，，
因为点满足，，
所以，，
则，所以.
因为点在圆上运动，
所以，
所以，所以，
所以点的轨迹方程为.
21. 如图所示，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，．
（1）当时，求证：平面；
（2）若平面与平面所成锐角二面角的余弦值为时，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，利用线面平行的判定定理可得出平面；
（2）证明平面，且，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用空间向量法可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值.
【详解】（1）取的中点，连接、，
当时，为的中点，又是的中点，且，
且，且，
四边形是平行四边形，，
平面，平面，平面，
（2）由于四边形为正方形，则，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
又，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系如下图所示：
则、、、，，
，则，
设平面的一个法向量为，
由，即，令，可得，，
所以，平面的一个法向量为，
易知，为平面的一个法向量，
由题意可得，，
即，
，解得.
【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：
（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；
（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；
（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.
22. 已知圆经过椭圆的右焦点，且经过点作圆的切线被椭圆截得的弦长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线经过椭圆的右焦点与椭圆交于，两点，且，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】
【分析】（1）根据圆的性质，结合椭圆之间的关系，利用代入法进行求解即可；
（2）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.
【详解】解：（1）因为圆经过椭圆的右焦点，所以，，
且过点作圆的切线被椭圆截得的弦长为，
所以在椭圆上，即，
所以，，故椭圆的方程为．
（2）当直线的斜率为零或不存在时，显然不满足题意．
设直线方程为，
联立，化简整理，得．
设交点，的坐标为，，
则，，
故有
由，得，
即有，解得，
所以直线的方程为或．