资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩13页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
- (适用辅导班)2023-2024年高二数学寒假讲义+分层练习（基础班）1.4《基本不等式》 (2份打包，原卷版+教师版) 试卷 0 次下载
- (适用辅导班)2023-2024年高二数学寒假讲义+分层练习（基础班）2.1《函数及其表示》 (2份打包，原卷版+教师版) 试卷 0 次下载
- (适用辅导班)2023-2024年高二数学寒假讲义+分层练习（基础班）2.3《二次函数与幂函数》 (2份打包，原卷版+教师版) 试卷 0 次下载
- (适用辅导班)2023-2024年高二数学寒假讲义+分层练习（基础班）2.4《指数与指数函数》 (2份打包，原卷版+教师版) 试卷 0 次下载
- (适用辅导班)2023-2024年高二数学寒假讲义+分层练习（基础班）2.5《对数与对数函数》 (2份打包，原卷版+教师版) 试卷 0 次下载
(适用辅导班)2023-2024年高二数学寒假讲义+分层练习（基础班）2.2《函数的性质》 (2份打包，原卷版+教师版)
展开
这是一份(适用辅导班)2023-2024年高二数学寒假讲义+分层练习（基础班）2.2《函数的性质》 (2份打包，原卷版+教师版)，文件包含适用辅导班2023-2024年高二数学寒假讲义基础班22《函数的性质》原卷版doc、适用辅导班2023-2024年高二数学寒假讲义基础班22《函数的性质》原卷版pdf、适用辅导班2023-2024年高二数学寒假讲义基础班22《函数的性质》教师版pdf、适用辅导班2023-2024年高二数学寒假讲义基础班22《函数的性质》教师版doc等4份试卷配套教学资源，其中试卷共89页， 欢迎下载使用。
知识点一 函数的单调性
1．增函数与减函数
2．单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
[提醒] (1)函数单调性定义中的x1，x2具有以下三个特征：一是任意性，即“任意两数x1，x2∈D”，“任意”两字决不能丢；二是有大小，即x1x2)；三是同属一个单调区间，三者缺一不可．
(2)若函数在区间D上单调递增(或递减)，则对D内任意的两个不等自变量x1，x2的值，都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0(或eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0).
(3)函数f(x)在给定区间上的单调性，是函数在此区间上的整体性质，不一定代表在整个定义域上有此性质．
3．谨记常用结论
(1)函数f(x)与f(x)＋c(c为常数)具有相同的单调性．
(2)k>0时，函数f(x)与kf(x)单调性相同；k<0时，函数f(x)与kf(x)单调性相反．
(3)若f(x)恒为正值或恒为负值，则f(x)与eq \f(1,fx)具有相反的单调性．
(4)若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于零时，f(x)·g(x)是增(减)函数；当两者都恒小于零时，f(x)·g(x)是减(增)函数．
(5)在公共定义域内，增＋增＝增，减＋减＝减，增﹣减＝增，减﹣增＝减．
(6)复合函数y＝f[g(x)]的单调性判断方法：“同增异减”．
[重温经典]
1．函数f(x)＝x2﹣2x的单调递增区间是( )
A．(1，＋∞) B．(﹣∞，1) C．(﹣1，＋∞) D．(﹣∞，﹣1)
答案：A
2．如果二次函数f(x)＝x2﹣(a﹣1)x＋5在区间(eq \f(1,2)，1)上是增函数，则实数a的取值范围为________．
解析：∵函数f(x)＝x2﹣(a﹣1)x＋5的对称轴为x＝eq \f(a－1,2)且在区间(eq \f(1,2)，1)上是增函数，∴eq \f(a－1,2)≤eq \f(1,2)，即a≤2.
答案：(﹣∞，2]
3．函数f(x)＝lg(9﹣x2)的定义域为________；其单调递增区间为________．
解析：对于函数f(x)＝lg(9﹣x2)，令t＝9﹣x2＞0，解得﹣3＜x＜3，可得函数的定义域为(﹣3,3)．
令g(x)＝9﹣x2，则函数f(x)＝lg(g(x))，又函数g(x)在定义域内的增区间为(﹣3,0]，所以函数f(x)＝lg(9﹣x2)在定义域内的单调递增区间为(﹣3,0]．
答案：(﹣3,3) (﹣3,0]
4．(易错题)设定义在[﹣1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．
答案：[﹣1,1]，[5,7]
5．若函数y＝eq \f(2x＋k,x－2)与y＝lg3(x﹣2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是________．
解析：由于y＝lg3(x﹣2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数，故函数
y＝eq \f(2x＋k,x－2)＝eq \f(2x－2＋4＋k,x－2)＝2＋eq \f(4＋k,x－2)在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k＜0，得k＜﹣4.
答案：(﹣∞，﹣4)
6．已知函数f(x)为定义在区间[﹣1,1]上的增函数，则满足f(x)解析：由题设得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤1，,x<\f(1,2)，))解得﹣1≤x答案：[﹣1，eq \f(1,2)).
知识点二 函数的最值
1．函数的最值
2.函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值．
[提醒] (1)对于单调函数，最大(小)值出现在定义域的边界处；
(2)对于非单调函数求最值，通常借助图象求解更方便；
(3)一般地，恒成立问题可以用求最值的方法来解决，而利用单调性是求最值的常用方法．注意以下关系：
f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a；f(x)≤a恒成立⇔f(x)max≤a.解题时，要务必注意“＝”的取舍．
[重温经典]
1．函数f(x)＝eq \f(2,x－1)在[2,6]上的最大值是________．
答案：2
2．若函数f(x)＝﹣eq \f(a,x)＋b(a>0)在[eq \f(1,2)，2]上的值域为[eq \f(1,2)，2]，则a＝________，b＝________.
解析：∵f(x)＝﹣eq \f(a,x)＋b(a>0)在[eq \f(1,2)，2]上是增函数，∴f(x)min＝f(eq \f(1,2))＝eq \f(1,2)，f(x)max＝f(2)＝2.
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2a＋b＝\f(1,2)，,－\f(a,2)＋b＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝\f(5,2).))
答案：1 eq \f(5,2)
3．(易错题)函数y＝eq \f(x2－1,x2＋1)的值域为________．
解析：法一：由y＝eq \f(x2－1,x2＋1)，可得x2＝eq \f(1＋y,1－y).由x2≥0，知eq \f(1＋y,1－y)≥0，解得﹣1≤y<1，
故所求函数的值域为[﹣1,1)．
法二：由y＝eq \f(x2－1,x2＋1)＝eq \f(x2＋1－2,x2＋1)＝1＋eq \f(－2,x2＋1)，令t＝x2＋1，则t≥1，∴eq \f(－2,t)∈[﹣2,0)，
∴y＝1＋eq \f(－2,t)∈[﹣1,1)，∴所求函数的值域为[﹣1,1)．
答案：[﹣1,1)
4．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，x≥1，,－x2＋2，x<1))的最大值为________．
解析：当x≥1时，函数f(x)＝eq \f(1,x)为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；
当x<1时，易知函数f(x)＝﹣x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.
答案：2
5．已知函数f(x)＝﹣x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值﹣2，则f(x)的最大值为________．
解析：函数f(x)＝﹣x2＋4x＋a＝﹣(x﹣2)2＋4＋a，x∈[0,1]，且函数f(x)有最小值﹣2.
故当x＝0时，函数f(x)有最小值，当x＝1时，函数f(x)有最大值．
∵当x＝0时，f(0)＝a＝﹣2，∴f(x)＝﹣x2＋4x﹣2，
∴当x＝1时，f(x)max＝f(1)＝﹣12＋4×1﹣2＝1.
答案：1
知识点三 函数的奇偶性
1．函数奇偶性的定义及图象特征
2.函数奇偶性的几个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
3．有关对称性的结论
(1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于x＝a对称．
若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．
(2)若f(x)＝f(2a﹣x)，则函数f(x)关于x＝a对称；若f(x)＋f(2a﹣x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称．
[重温经典]
1．(多选)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上是增函数的有( )
A．y＝2﹣|x| B．y＝x C．y＝x2﹣1 D．y＝x3
解析：选BC A．令y＝f(x)＝2﹣|x|，f(﹣x)＝2﹣|﹣x|＝2﹣|x|＝f(x)，是偶函数，但在(0，＋∞)上，y＝2﹣x是减函数，故A错误；B.令y＝f(x)＝x，f(﹣x)＝(﹣x)＝x，是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，故B正确；C.令y＝f(x)＝x2﹣1，f(﹣x)＝(﹣x)2﹣1＝x2﹣1＝f(x)，是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，故C正确；D.令y＝f(x)＝x3，f(﹣x)＝(﹣x)3＝﹣x3＝﹣f(x)，是奇函数，故D错误．故选B、C.
2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(﹣1)＝________.
答案：﹣2
3．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(﹣2)＋f(0)＝________.
解析：由题意知f(﹣2)＝﹣f(2)＝﹣(22＋1)＝﹣5，f(0)＝0，∴f(﹣2)＋f(0)＝﹣5.
答案：﹣5
4．已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x>0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的解析式为________________．
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(﹣x)＝﹣f(x)．当x＝0时，有f(﹣0)＝﹣f(0)，∴f(0)＝0.
当x<0时，﹣x>0. f(x)＝﹣f(﹣x)＝﹣(﹣x＋1)＝x﹣1.∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x>0，,0，x＝0，,x－1，x<0.))
答案：f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x>0，,0，x＝0，,x－1，x<0))
5．(易错题)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a﹣1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是________．
解析：∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a﹣1,2a]上的偶函数，∴a﹣1＋2a＝0，∴a＝eq \f(1,3).
又f(﹣x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)
6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(﹣lg35)的值为________．
解析：当x≥0时f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(0)＝30＋m＝0，解得m＝﹣1，∴f(x)＝3x﹣1.
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(﹣lg35)＝﹣f(lg35)＝﹣(3lg35﹣1)＝﹣4.
答案：﹣4
知识点四 函数的周期性
1．周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
3．谨记常用结论
定义式f(x＋T)＝f(x)对定义域内的x是恒成立的．
(1)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数f(x)的周期为T＝|a﹣b|；
(2)若在定义域内满足f(x＋a)＝﹣f(x)，f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，f(x＋a)＝﹣eq \f(1,fx)(a>0)，则f(x)为周期函数，且T＝2a为它的一个周期．
[重温经典]
1．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈(﹣1,1)时，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4x2＋2，－1答案：1
2．(教材改编题)若f(x)是R上周期为2的函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)﹣f(4)＝________.
解析：由f(x)是R上周期为2的函数知，f(3)＝f(1)＝1，f(4)＝f(2)＝2，∴f(3)﹣f(4)＝﹣1.
答案：﹣1
3．已知f(x)是R上的奇函数，且对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则f(2 022)＝________.
解析：∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，
∴当x＝﹣3时，有f(3)＝f(﹣3)＋f(3)＝0，∴f(﹣3)＝0，f(3)＝0，∴f(x＋6)＝f(x)，周期为6.
故f(2 022)＝f(0)＝0.
答案：0
4．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(﹣1)＝________.
解析：因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4﹣x)，f(﹣x)＝f(4＋x)，
又f(﹣x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(﹣1)＝f(4﹣1)＝f(3)＝3.
答案：3
5．定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(﹣3，0]时，f(x)＝﹣x﹣1，当x∈(0,2]时，f(x)＝lg2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 021)的值等于________．
解析：定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，即函数的最小正周期为5.当x∈(0,2]时，f(x)＝lg2x，所以f(1)＝lg21＝0，f(2)＝lg22＝1.当x∈(﹣3,0]时，f(x)＝﹣x﹣1，所以f(3)＝f(﹣2)＝1，f(4)＝f(﹣1)＝0，f(5)＝f(0)＝﹣1.所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 021)＝404×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(1)＝404×1＋0＝404.
答案：404
第2课时 精研题型明考向——函数的性质及其应用
一、真题集中研究——明考情
1．(复合函数的单调性及定义域)已知函数f(x)＝lg(x2﹣4x﹣5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是( )
A．(﹣∞，﹣1] B．(﹣∞，2] C．[2，＋∞) D．[5，＋∞)
解析：选D ∵f(x)＝lg(x2﹣4x﹣5)在(a，＋∞)上单调递增，y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－4a－5≥0，,a≥2，))∴a≥5.故a的取值范围为[5，＋∞)．
2．(函数的单调性、奇偶性)设函数f(x)＝ln|2x＋1|﹣ln|2x﹣1|，则f(x)( )
A．是偶函数，且在(eq \f(1,2)，+∞)单调递增
B．是奇函数，且在(﹣eq \f(1,2),eq \f(1,2))单调递减
C．是偶函数，且在(﹣∞,﹣eq \f(1,2))单调递增
D．是奇函数，且在(﹣∞,﹣eq \f(1,2))单调递减
解析：选D 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|2x＋1|>0，,|2x－1|>0))⇒x≠±eq \f(1,2)，∴函数f(x)的定义域为{x|x≠±eq \f(1,2)，x∈R}，关于原点对称，
又∵f(﹣x)＝ln|﹣2x＋1|﹣ln|﹣2x﹣1|＝ln|2x﹣1|﹣ln|2x＋1|＝﹣f(x)，∴f(x)是奇函数，排除A、C；
当x∈(﹣eq \f(1,2),eq \f(1,2))时，f(x)＝ln(2x＋1)﹣ln(1﹣2x)，则f′(x)＝eq \f(2,2x＋1)﹣eq \f(－2,1－2x)＝eq \f(4,1－4x2)>0，
∴f(x)在(﹣eq \f(1,2),eq \f(1,2))单调递增，排除B；当x∈(﹣∞,﹣eq \f(1,2))时，f(x)＝ln(﹣2x﹣1)﹣ln(1﹣2x)，
则f′(x)＝eq \f(－2,－2x－1)﹣eq \f(－2,1－2x)＝eq \f(4,1－4x2)<0，∴f(x)在(﹣∞,﹣eq \f(1,2))单调递减，∴D正确．
3．(函数的性质及解不等式)若定义在R的奇函数f(x)在(﹣∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x﹣1)≥0的x的取值范围是( )
A．[﹣1,1]∪[3，＋∞) B．[﹣3，﹣1]∪[0,1]
C．[﹣1,0]∪[1，＋∞) D．[﹣1,0]∪[1,3]
解析：选D 法一：由题意知f(x)在(﹣∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(﹣2)＝f(2)＝f(0)＝0.
当x>0时，令f(x﹣1)≥0，得0≤x﹣1≤2，∴1≤x≤3；
当x<0时，令f(x﹣1)≤0，得﹣2≤x﹣1≤0，∴﹣1≤x≤1，
又x<0，∴﹣1≤x<0；当x＝0时，显然符合题意．
综上，原不等式的解集为[﹣1,0]∪[1,3]，故选D.
法二：当x＝3时，f(3﹣1)＝0，符合题意，排除B；当x＝4时，f(4﹣1)＝f(3)<0，不符合题意，排除A、C.故选D.
4．(由函数的奇偶性求解析式)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex﹣1，则当x<0时，f(x)＝( )
A．e﹣x﹣1 B．e﹣x＋1 C．﹣e﹣x﹣1 D．﹣e﹣x＋1
解析：选D 当x<0时，﹣x>0，∵当x≥0时，f(x)＝ex﹣1，∴f(﹣x)＝e﹣x﹣1.
又∵f(x)为奇函数，∴当x<0时，f(x)＝﹣f(﹣x)＝﹣e﹣x＋1.
5．(抽象函数的奇偶性、单调性及比较大小)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )
A．f(lg3eq \f(1,4))>f()>f() B．f(lg3eq \f(1,4))>f()>f()
C．f()>f()>f(lg3eq \f(1,4)) D．f()>f()>f(lg3eq \f(1,4))
解析：选C 因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(lg3eq \f(1,4))＝f(﹣lg34)＝f(lg34)．
又因为lg34>1>2>2>0且函数f(x)在(0，＋∞)单调递减，所以f(2>f(2)>f(lg3eq \f(1,4)).故选C.
6．(由函数的奇偶性求值)已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝x，则f(﹣8)的值是________．
解析：由函数f(x)是奇函数得f(﹣8)＝﹣f(8)＝﹣8＝﹣(23)＝﹣4.
答案：﹣4
[把脉考情]
二、题型精细研究——提素养
题型一 函数单调性的判断及应用
考法(一) 确定函数的单调性及求单调区间
[例1] (1)函数f(x)＝|x2﹣3x＋2|的单调递增区间是( )
A.[eq \f(3,2)，＋∞) B.[1,eq \f(3,2)]和[2，＋∞) C．(﹣∞，1]和[eq \f(3,2)，2] D.(﹣∞，eq \f(3,2)]和[2，＋∞)
(2)函数y＝eq \r(x2＋x－6)的单调递增区间为__________，单调递减区间为________．
(3)讨论函数f(x)＝eq \f(ax,x2－1)(a>0)在(﹣1,1)上的单调性．
[解析] (1)f(x)＝|x2﹣3x＋2|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－3x＋2，x≤1或x≥2，,－x2－3x＋2，1(2)令u＝x2＋x﹣6，
则y＝eq \r(x2＋x－6)可以看作是由y＝eq \r(u)与u＝x2＋x﹣6复合而成的函数．
令u＝x2＋x﹣6≥0，得x≤﹣3或x≥2.
易知u＝x2＋x﹣6在(﹣∞，﹣3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，
而y＝eq \r(u)在[0，＋∞)上是增函数，
所以y＝eq \r(x2＋x－6)的单调递减区间为(﹣∞，﹣3]，单调递增区间为[2，＋∞)．
答案：(1)B (2)[2，＋∞) (﹣∞，﹣3]
(3)法一：定义法
设﹣1∵﹣10，x1x2＋1>0，(xeq \\al(2,1)﹣1)·(xeq \\al(2,2)﹣1)>0.又a>0，∴f(x1)﹣f(x2)>0，
故函数f(x)在(﹣1,1)上为减函数．
法二：导数法
f′(x)＝eq \f(ax′x2－1－axx2－1′,x2－12)＝eq \f(ax2－1－2ax2,x2－12)＝eq \f(a－x2－1,x2－12)＝﹣eq \f(ax2＋1,x2－12).
∵a>0，x∈(﹣1,1)，∴f′(x)<0.
∴f(x)在(﹣1,1)上是减函数．
[方法技巧] 确定函数单调性的常用方法
考法(二) 比较大小
[例2] 函数f(x)＝eq \f(ex＋e－x,ex－e－x)，若a＝f(﹣eq \f(1,2))，b＝f(ln 2)，c＝f(ln eq \f(1,3))，则有( )
A．c>b>a B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a
[解析] ∵f(x)＝eq \f(ex＋e－x,ex－e－x)，∴f(x)在(﹣∞，0)，(0，＋∞)上为减函数，
易知x<0时，f(x)<0，x>0时，f(x)>0，又∵ln 2>0，﹣eq \f(1,2)<0，ln eq \f(1,3)<0，∴b>0，a<0，c<0.
又﹣eq \f(1,2)＝﹣ln eq \r(e)，ln eq \f(1,3)＝﹣ln 3，且﹣ln eq \r(e)>﹣ln 3，
∴﹣eq \f(1,2)>ln eq \f(1,3)，∵f(x)在(﹣∞，0)上单调递减，∴f(﹣eq \f(1,2))a，∴b>c>a，故选D.
[答案] D
[方法技巧]
利用函数的单调性比较大小的方法
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的方法进行求解．
考法(三) 解函数不等式
[例3] 定义在[﹣2,2]上的函数f(x)满足(x1﹣x2)·[f(x1)﹣f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2﹣a)>f(2a﹣2)，则实数a的取值范围为( )
A．[﹣1,2) B．[0,2) C．[0,1) D．[﹣1,1)
[解析] 因为函数f(x)满足(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0，x1≠x2，所以函数在[﹣2,2]上单调递增，
所以﹣2≤2a﹣2[答案] C
[方法技巧]
在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
考法(四) 利用单调性求参数的取值范围
[例4] (1)已知函数y＝lg(6﹣ax＋x2)在[1,2]上是增函数，则实数a的取值范围为________．
(2)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋4x，x≤4，,lg2x，x>4.))若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
[解析] (1)设u＝6﹣ax＋x2，∵y＝lgu是减函数，∴函数u在[1,2]上是减函数．
∵u＝6﹣ax＋x2，对称轴为直线x＝eq \f(a,2)，∴eq \f(a,2)≥2，且u>0在[1,2]上恒成立．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,2)≥2，,6－2a＋4>0，))解得4≤a<5，∴实数a的取值范围为[4,5)．
(2)作出函数f(x)的图象如图所示，
由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.
[答案] (1)[4,5) (2)(﹣∞，1]∪[4，＋∞)
[方法技巧]
利用函数单调性求参数的策略
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
(3)分段函数的单调性需要分段研究，既要保证每一段函数的单调性，还要注意两段端点值的大小．
[针对训练]
1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．f(x)＝﹣x2 B．f(x)＝3﹣x C．f(x)＝ln |x| D．f(x)＝x＋sin x
解析：选C 选项A中的函数是偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，故不正确；选项B中的函数是非奇非偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，故不正确；选项C中的函数是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，故正确；选项D中的函数是奇函数，在R上单调递增，故不正确．故选C.
2．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，且在[﹣1,0]上单调递减，设a＝f(eq \r(2))，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是( )
A．b解析：选C 因为偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2，则a＝f(eq \r(2))＝f(eq \r(2)﹣2)，b＝f(2)＝f(0)，c＝f(3)＝f(﹣1)．因为﹣13．已知函数f(x)的定义域为R，且在[0，＋∞)上是增函数，g(x)＝﹣f(|x|)，若g(lg x)>g(1)，则x的取值范围是( )
A．(0,10) B．(10，＋∞) C.(eq \f(1,10)，10) D.(0，eq \f(1,10))∪(10，＋∞)
解析：选C ∵g(﹣x)＝﹣f(|﹣x|)＝g(x)，∴g(x)是偶函数，又f(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴g(x)在[0，＋∞)上是减函数．∵g(lg x)>g(1)，∴g(|lg x|)>g(1)，∴|lg x|<1，∴eq \f(1,10)4．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax，x>1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(a,2)))x＋2，x≤1，))满足对任意的实数x1≠x2都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0成立，则实数a的取值范围为________．
解析：由题意，函数f(x)在(﹣∞，1]和(1，＋∞)上都是增函数，且f(x)在(﹣∞，1]上的最高点不高于其在(1，＋∞)上的最低点，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>1，,4－\f(a,2)>0，,a≥4－\f(a,2)＋2，))解得a∈[4,8)．答案：[4,8)
题型二 函数最值的求法
[典例] (1)函数f(x)＝(eq \f(1,3))x﹣lg2(x＋2)在区间[﹣1,1]上的最大值为________．
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x≤1，,x＋\f(6,x)－6，x>1，))则f(x)的最小值是________．
(3)函数f(x)＝2x2﹣eq \r(x2＋1)的最小值为________．
[解析] (1)(单调性法)由于y＝(eq \f(1,3))x在R上单调递减，y＝lg2(x＋2)在[﹣1,1]上单调递增，
所以f(x)在[﹣1,1]上单调递减，故f(x)在[﹣1,1]上的最大值为f(﹣1)＝3.
(2)(利用单调性和基本不等式求解)因为函数y＝x2在(﹣∞，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以当x≤1时，f(x)min＝f(0)＝0.
当x>1时，y＝x＋eq \f(6,x)≥2eq \r(6)，当且仅当x＝eq \r(6)时，等号成立，此时f(x)min＝2eq \r(6)﹣6.
又2eq \r(6)﹣6<0，所以f(x)min＝2eq \r(6)﹣6.
(3)(换元法)令eq \r(x2＋1)＝t，t≥1，则x2＝t2﹣1，∴y＝2(t2﹣1)﹣t＝2t2﹣t﹣2(t≥1)．
∵y＝2t2﹣t﹣2(t≥1)的对称轴t＝eq \f(1,4)，∴ymin＝2×12﹣1﹣2＝﹣1，∴函数f(x)的最小值为﹣1.
[答案] (1)3 (2)2eq \r(6)﹣6 (3)﹣1
[方法技巧]
求解函数最值的4种常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)换元法：求形如y＝eq \r(ax＋b)＋(cx＋d)(ac≠0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解．
(3)分离常数法：求形如y＝eq \f(cx＋d,ax＋b)(ac≠0)的函数的值域或最值，常用分离常数法求解．
(4)基本不等式法：求形如y＝ax＋eq \f(b,x)(a>0，b>0)的函数的最小值常用基本不等式，注意等号成立的条件．
[针对训练]
1．(单调性法)函数f(x)＝eq \f(1,x－1)在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是eq \f(1,3)，则a＋b＝________.
解析：易知f(x)在[a，b]上为减函数，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fa＝1，,fb＝\f(1,3)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a－1)＝1，,\f(1,b－1)＝\f(1,3)，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝4.))所以a＋b＝6.
答案：6
2．(换元法)函数f(x)＝x﹣eq \r(x＋1)的最小值为________．
解析：令eq \r(x＋1)＝t(t≥0)，则x＝t2﹣1，所以y＝t2﹣t﹣1(t≥0)．又y＝t2﹣t﹣1(t≥0)的图象是对称轴为直线t＝eq \f(1,2)，开口向上的抛物线的一部分，所以ymin＝(eq \f(1,2))2﹣eq \f(1,2)﹣1＝﹣eq \f(5,4)，故函数f(x)的最小值为﹣eq \f(5,4).
答案：﹣eq \f(5,4)
3．(分离常数法)当﹣3≤x≤﹣1时，函数y＝eq \f(5x－1,4x＋2)的最小值为________．
解析：由y＝eq \f(5x－1,4x＋2)，可得y＝eq \f(5,4)﹣eq \f(7,42x＋1).∵﹣3≤x≤﹣1，∴eq \f(7,20)≤﹣eq \f(7,42x＋1)≤eq \f(7,4)，∴eq \f(8,5)≤y≤3.
∴所求函数的最小值为eq \f(8,5).
答案：eq \f(8,5)
题型三 函数奇偶性的判断及应用
考法(一) 函数奇偶性的判断
[例1]函数y＝x2lgeq \f(x－2,x＋2)的图象( )
A．关于x轴对称 B．关于原点对称
C．关于直线y＝x对称 D．关于y轴对称
[解析] 记f(x)＝x2lgeq \f(x－2,x＋2)，定义域为(﹣∞，﹣2)∪(2，＋∞)．
∵f(﹣x)＝(﹣x)2lgeq \f(－x－2,－x＋2)＝x2lgeq \f(x＋2,x－2)＝﹣x2lgeq \f(x－2,x＋2)＝﹣f(x)，
∴f(x)为奇函数，即函数y＝x2lgeq \f(x－2,x＋2)的图象关于原点对称．故选B.
[答案] B
[方法技巧] 函数奇偶性的判定方法
(1)定义法：
(2)图象法：
(3)性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：
奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
考法(二) 函数奇偶性的应用
[例2] (1)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝lg2(x＋2)﹣1，则f(﹣6)＝( )
A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4
(2)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.
[解析] (1)根据题意得f(﹣6)＝﹣f(6)＝1﹣lg2(6＋2)＝1﹣3lg22＝﹣2.故选C.
(2)函数f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax为偶函数，故f(﹣x)＝f(x)，即ln(e﹣3x＋1)﹣ax＝ln(e3x＋1)＋ax，
化简得lneq \f(1,e3x)＝2ax＝ln e2ax，即eq \f(1,e3x)＝e2ax，整理得e2ax＋3x＝1，所以2ax＋3x＝0，解得a＝﹣eq \f(3,2).
[答案] (1)C (2)﹣eq \f(3,2)
[方法技巧] 利用函数奇偶性可以解决以下问题
[针对训练]
1．(多选)设函数f(x)＝eq \f(ex－e－x,2)，则下列结论正确的是( )
A．|f(x)|是偶函数 B．﹣f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数
解析：选ABC ∵f(x)＝eq \f(ex－e－x,2)，则f(﹣x)＝eq \f(e－x－ex,2)＝﹣f(x)．∴f(x)是奇函数．易知A、B、C正确．
∵f(|﹣x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．
2．已知函数f(x)＝eq \f(2|x|＋1＋x3＋2,2|x|＋1)的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于( )
A．0 B．2 C．4 D．8
解析：选C f(x)＝eq \f(2·2|x|＋1＋x3,2|x|＋1)＝2＋eq \f(x3,2|x|＋1)，设g(x)＝eq \f(x3,2|x|＋1)，因为g(x)的定义域为R，关于原点对称，且g(﹣x)＝﹣g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0.因为M＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min，所以M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4.
3．若函数f(x)＝eq \f(k－2x,1＋k·2x)在定义域上为奇函数，则实数k＝________.
解析：由f(﹣1)＝﹣f(1)得eq \f(k－\f(1,2),1＋\f(1,2)k)＝﹣eq \f(k－2,1＋2k)，解得k＝±1.经检验，k＝±1时，函数f(x)都为奇函数．
答案：±1
题型四 函数周期性的判断及应用
[典例] (1)(已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝﹣f(x＋2)，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋lg2x，则f(2 020)＝( )
A．5 B.eq \f(1,2) C．2 D．﹣5
(2)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(﹣2，2]上，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs \f(πx,2)，0[解析] (1)由f(x)＝﹣f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，
所以f(2 020)＝f(505×4)＝f(0)＝﹣f(0＋2)＝﹣(22＋lg22)＝﹣5.
(2)由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，
所以f(15)＝f(﹣1)＝|﹣1+eq \f(1,2)|＝eq \f(1,2)，所以f(f(15))＝f(eq \f(1,2))＝cs eq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2).
[答案] (1)D (2)eq \f(\r(2),2)
[方法技巧]
函数周期性问题的求解策略
(1)判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
[针对训练]
1．(多选)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则( )
A．f(x)为奇函数 B．f(x)为周期函数
C．f(x＋3)为奇函数 D．f(x＋4)为偶函数
解析：选ABC 因为f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，所以f(x)关于(1,0)和(2,0)中心对称，所以f(x)的周期为2，所以f(x)的对称中心为(k,0)(k∈Z)，所以f(x)为奇函数．因为周期为2，所以f(x＋3)＝f(x＋1＋2)＝f(x＋1)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝f(x＋2)，所以f(x＋3)，f(x＋4)都为奇函数，故选A、B、C.
2．已知f(x)满足∀x∈R，f(x＋2)＝f(x)，且x∈[1,3)时，f(x)＝lg2x＋1，则f(2 023)的值为( )
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
解析：选C 因为f(x)满足∀x∈R，f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的最小正周期为2，
又2 023＝2×1 011＋1，且x∈[1，3)时，f(x)＝lg2x＋1，因此f(2 023)＝f(1)＝1.
3．已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝﹣eq \f(1,fx)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(﹣eq \f(11,2))＝______.
解析：∵f(x＋2)＝﹣eq \f(1,fx)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f(﹣eq \f(11,2))＝f(eq \f(5,2))，又2≤x≤3时，f(x)＝x，
∴f(eq \f(5,2))＝eq \f(5,2)，∴f(﹣eq \f(11,2))＝eq \f(5,2).
答案：eq \f(5,2)
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
1．下列函数为奇函数的是( )
A．f(x)＝x3＋1 B．f(x)＝lneq \f(1－x,1＋x) C．f(x)＝ex D．f(x)＝xsin x
解析：选B 对于A，f(﹣x)＝﹣x3＋1≠﹣f(x)，所以其不是奇函数；
对于B，f(﹣x)＝lneq \f(1＋x,1－x)＝﹣lneq \f(1－x,1＋x)＝﹣f(x)，所以其是奇函数；
对于C，f(﹣x)＝e﹣x≠﹣f(x)，所以其不是奇函数；
对于D，f(﹣x)＝﹣xsin(﹣x)＝xsin x＝f(x)，所以其不是奇函数．故选B.
2．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x﹣1)＜f(eq \f(1,3))的x的取值范围是( )
A.(eq \f(1,3)，eq \f(2,3)) B.[eq \f(1,3)，eq \f(2,3)) C.(eq \f(1,2)，eq \f(2,3)) D.[eq \f(1,2)，eq \f(2,3))
解析：选D 因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x﹣1)＜f(eq \f(1,3))，
所以0≤2x﹣1＜eq \f(1,3)，解得eq \f(1,2)≤x＜eq \f(2,3).
3．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是( )
A．f(x)·g(x)是偶函数 B．|f(x)|·g(x)是奇函数
C．f(x)·|g(x)|是奇函数 D．|f(x)·g(x)|是偶函数
解析：选CD ∵f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴f(﹣x)＝﹣f(x)，g(﹣x)＝g(x)．
对于A，f(﹣x)·g(﹣x)＝﹣f(x)·g(x)，函数是奇函数，故A错误．
对于B，|f(﹣x)|·g(﹣x)＝|f(x)|·g(x)，函数是偶函数，故B错误．
对于C，f(﹣x)·|g(﹣x)|＝﹣f(x)·|g(x)|，函数是奇函数，故C正确．
对于D，|f(﹣x)·g(﹣x)|＝|f(x)·g(x)|，函数是偶函数，故D正确．
4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x3，x≤0，,lnx＋1，x>0，))若f(2﹣x2)>f(x)，则实数x的取值范围是( )
A．(﹣∞，﹣1)∪(2，＋∞) B．(﹣∞，﹣2)∪(1，＋∞)
C．(﹣1,2) D．(﹣2,1)
解析：选D 因为当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数的图象是一条连续的曲线．
因为当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数，当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，
所以函数f(x)是定义在R上的增函数．因此，不等式f(2﹣x2)>f(x)等价于2﹣x2>x，
即x2＋x﹣2<0，解得﹣25．若函数f(x)＝2|x﹣a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(﹣∞，1) D．(﹣∞，1]
解析：选B f(x)＝2|x﹣a|＋3＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－2a＋3，x≥a，,－2x＋2a＋3，x1.所以a的取值范围是(1，＋∞)．
6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x﹣4)＝﹣f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(﹣25)C．f(11)解析：选D 因为奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[﹣2,0]上是增函数．
又因为函数f(x)满足f(x﹣4)＝﹣f(x)，所以f(x﹣8)＝﹣f(x﹣4)＝f(x)，所以函数f(x)为周期函数，
且周期为8，因此f(﹣25)＝f(﹣1)7．已知函数f(x)＝2 024x＋lg2 024(eq \r(x2＋1)＋x)﹣2 024﹣x＋3，则关于x的不等式f(1﹣2x)＋f(x)>6的解集为( )
A．(﹣∞，1) B．(1，＋∞) C．(﹣∞，2) D．(2，＋∞)
解析：选A ∵函数y1＝2 024x﹣2 024﹣x为奇函数，函数y2＝lg2 024(eq \r(1＋x2)＋x)为奇函数，
∴函数g(x)＝2 024x﹣2 024﹣x＋lg2 024(eq \r(x2＋1)＋x)为奇函数且在R上单调递增，∴f(1﹣2x)＋f(x)>6，
即g(1﹣2x)＋3＋g(x)＋3>6，即g(x)>g(2x﹣1)，∴x>2x﹣1，∴x<1，
∴不等式f(1﹣2x)＋f(x)>6的解集为(﹣∞，1)．
8．如果奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，则不等式eq \f(fx－f－x,x)<0的解集为( )
A．(﹣2,0)∪(2，＋∞) B．(﹣∞，﹣2)∪(0,2)
C．(﹣∞，﹣2)∪(2，＋∞) D．(﹣2,0)∪(0,2)
解析：选D 由函数f(x)为奇函数可知f(﹣x)＝﹣f(x)，因此eq \f(fx－f－x,x)<0可化为不等式eq \f(2fx,x)<0，故有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,fx<0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<0，,fx>0.))再由f(2)＝0，可得f(﹣2)＝0，由函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，可得函数f(x)在(﹣∞，0)上也为增函数，结合函数f(x)的单调性，作出示意图可得，所求不等式的解集为{x|﹣29．(多选)下列关于函数f(x)＝eq \f(\r(x2－x4),|x－1|－1)的性质描述正确的是( )
A．f(x)的定义域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1))
B．f(x)的值域为(﹣1,1)
C．f(x)在定义域上是增函数
D．f(x)的图象关于原点对称
解析：选ABD 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－x4≥0，,|x－1|－1≠0，))得﹣1≤x≤1且x≠0，
此时f(x)＝eq \f(\r(x2－x4),－x－1－1)＝eq \f(\r(x2－x4),－x)＝eq \f(|x|\r(1－x2),－x)，因此A正确；
当0＜x≤1时，f(x)＝﹣eq \r(1－x2)∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，0))，当﹣1≤x<0时，f(x)＝eq \r(1－x2)∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1))，
故f(x)的值域为(﹣1,1)，B正确；易知f(x)在定义域上不是增函数，选项C错误；
又f(﹣x)＝eq \f(|－x|\r(1－－x2),－－x)＝eq \f(|x|\r(1－x2),x)＝﹣f(x)，
则f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，D正确，故选A、B、D.
10．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))g(x)＝x2f(x﹣1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．
解析：由题意知g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x>1，,0，x＝1，,－x2，x<1.))函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．
答案：[0,1)
11．若f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－1x＋4a，x<1，,－ax，x≥1))是定义在R上的减函数，则a的取值范围是________．
解析：由题意知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－1<0，,3a－1×1＋4a≥－a，,a>0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<\f(1,3)，,a≥\f(1,8)，,a>0，))所以a∈[eq \f(1,8)，eq \f(1,3)).
答案：[eq \f(1,8)，eq \f(1,3)).
12．已知f(x)＝eq \f(x,x－a)(x≠a)．
(1)若a＝﹣2，试证f(x)在(﹣∞，﹣2)上单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
解：(1)证明：设x1则f(x1)﹣f(x2)＝eq \f(x1,x1＋2)﹣eq \f(x2,x2＋2)＝eq \f(2x1－x2,x1＋2x2＋2).
因为(x1＋2)(x2＋2)>0，x1﹣x2<0，
所以f(x1)﹣f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在(﹣∞，﹣2)上单调递增．
(2)设1则f(x1)﹣f(x2)＝eq \f(x1,x1－a)﹣eq \f(x2,x2－a)＝eq \f(ax2－x1,x1－ax2－a).
因为a>0，x2﹣x1>0，所以要使f(x1)﹣f(x2)>0，
只需(x1﹣a)(x2﹣a)>0恒成立，
所以a≤1.故a的取值范围为(0,1]．
13．已知函数f(x)＝x2＋a|x﹣2|﹣4.
(1)当a＝2时，求f(x)在[0,3]上的最大值和最小值；
(2)若f(x)在区间[﹣1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋2|x﹣2|﹣4＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－8，x≥2，,x2－2x，x<2))＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋12－9，x≥2，,x－12－1，x<2，))
当x∈[0,2)时，﹣1≤f(x)<0；
当x∈[2,3]时，0≤f(x)≤7，
所以f(x)在[0,3]上的最大值为7，最小值为﹣1.
(2)因为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋ax－2a－4，x>2，,x2－ax＋2a－4，x≤2，))
又f(x)在区间[﹣1，＋∞)上单调递增，
所以当x>2时，f(x)单调递增，则﹣eq \f(a,2)≤2，即a≥﹣4；
当﹣1且4＋2a﹣2a﹣4≥4﹣2a＋2a﹣4恒成立，
故a的取值范围为[﹣4，﹣2]．
14．设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，F(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx，x>0，,－fx，x<0.))
(1)若f(﹣1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的解析式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[﹣2,2]时，g(x)＝f(x)﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围．
解：(1)∵f(﹣1)＝0，∴b＝a＋1.
由f(x)≥0恒成立，知a>0且方程ax2＋bx＋1＝0中Δ＝b2﹣4a＝(a＋1)2﹣4a＝(a﹣1)2≤0，∴a＝1.
从而b＝2，f(x)＝x2＋2x＋1.
∴F(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋12，x>0，,－x＋12，x<0.))
(2)由(1)可知f(x)＝x2＋2x＋1，
∴g(x)＝f(x)﹣kx＝x2＋(2﹣k)x＋1，
由g(x)在[﹣2,2]上是单调函数，知﹣eq \f(2－k,2)≤﹣2或﹣eq \f(2－k,2)≥2，得k≤﹣2或k≥6.
即实数k的取值范围为(﹣∞，﹣2]∪[6，＋∞)．
第3课时 难点专攻夺高分——函数性质的综合应用
题型一 函数性质的交汇应用问题
函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．
考法(一) 单调性与奇偶性相结合
[例1]已知偶函数fx＋eq \f(π,2)，当x∈(﹣eq \f(π,2),eq \f(π,2))时，f(x)＝x＋sin x，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则( )
A．a[解析] ∵当x∈(﹣eq \f(π,2),eq \f(π,2))时，y＝sin x单调递增，y＝xeq \f(1,3)也为增函数，∴函数f(x)＝x＋sin x也为增函数．∵函数f(x+eq \f(π,2))为偶函数，∴f(﹣x+eq \f(π,2))＝f(x+eq \f(π,2))，f(x)的图象关于x＝eq \f(π,2)对称，∴f(2)＝f(π﹣2)，f(3)＝f(π﹣3)，∵0<π﹣3<1<π﹣2[答案] D
[方法技巧]
函数单调性与奇偶性的综合常利用奇偶函数的图象的对称性，以及奇偶函数在关于原点对称的区间上的单调性求解．
考法(二) 奇偶性与周期性相结合
[例2] (1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x﹣2)＝f(x＋2)，当x∈(0,2)时，f(x)＝﹣x2，则f(eq \f(13,2))＝( )
A．﹣eq \f(9,4) B．﹣eq \f(1,4) C.eq \f(1,4) D.eq \f(9,4)
(2)定义在R上的函数f(x)为奇函数，f(1)＝1，又g(x)＝f(x＋2)也是奇函数，则f(2 024)＝________.
[解析] (1)因为f(x﹣2)＝f(x＋2)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)是周期为4的函数，
所以f(eq \f(13,2))＝f(eq \f(13,2)﹣8)＝f(﹣eq \f(3,2))，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(﹣eq \f(3,2))＝﹣f(eq \f(3,2))＝﹣[﹣(eq \f(3,2))2]＝eq \f(9,4)，所以f(eq \f(13,2))＝eq \f(9,4).故选D.
(2)∵g(x)＝f(x＋2)是奇函数，∴g(﹣x)＝f(﹣x＋2)＝﹣f(x＋2)．
又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴﹣f(x＋2)＝f(﹣x﹣2)，
∴f(﹣x＋2)＝f(﹣x﹣2)＝f(﹣x＋2﹣4)，∴f(x)＝f(x﹣4)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．
∴f(2 024)＝f(4×506＋0)＝f(0)＝0.
[答案] (1)D (2)0
[方法技巧]
函数周期性与奇偶性的综合多是求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转换到已知函数解析式的定义域内求解．
考法(三) 单调性、奇偶性与周期性的综合
[例3] 定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+eq \f(3,2))＝f(x)，当x∈(0,eq \f(1,2)]时，f(x)＝lg(1﹣x)，则f(x)在区间(1,eq \f(3,2))内是( )
A．减函数且f(x)>0 B．减函数且f(x)<0
C．增函数且f(x)>0 D．增函数且f(x)<0
[解析] 当x∈(0,eq \f(1,2)]时，由f(x)＝lg (1﹣x)可知，f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，
所以f(x)在区间[-eq \f(1,2),0)上也单调递增，且f(x)<0.由f(x+eq \f(3,2))＝f(x)知，函数的周期为eq \f(3,2)，
所以在区间(1,eq \f(3,2))上，函数f(x)单调递增且f(x)<0.
[答案] D
[方法技巧]
对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
[针对训练]
1．设e是自然对数的底数，函数f(x)是周期为4的奇函数，且当0A.eq \f(3,5) B.eq \f(3,4) C.eq \f(4,3) D.eq \f(5,3)
解析：选D 因为函数以4为周期，所以f(eq \f(7,3))＝f(eq \f(7,3)﹣4)＝f(-eq \f(5,3))＝﹣f(eq \f(5,3))＝lneq \f(5,3)，所以e＝e＝eq \f(5,3).故选D.
2．已知函数f(x)是(﹣∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x﹣1，则f(2 024)＋f(2 025)的值为( )
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
解析：选D ∵f(x)的图象关于x＝1对称，∴f(2﹣x)＝f(x)．
∵函数f(x)为(﹣∞，＋∞)上的奇函数，∴f(﹣x)＝﹣f(x)，∴f(x)＝f(2﹣x)＝﹣f(﹣x)，
∴f(4﹣x)＝﹣f(2﹣x)＝f(﹣x)，∴周期T＝4.∵x∈[0,1]时，f(x)＝2x﹣1，∴f(1)＝21﹣1＝2﹣1＝1.
又函数f(x)是(﹣∞，＋∞)上的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(2 024)＋f(2 025)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1.
3．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(﹣x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝2x﹣cs x，则下列结论正确的是( )
A．f()C．f(2 018)解析：选C ∵f(x)是奇函数，∴f(x＋2)＝f(﹣x)＝﹣f(x)，∴f(x＋4)＝﹣f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，
∴f(2 018)＝f(2＋4×504)＝f(2)＝f(0)，f()＝f(eq \f(1,2))，f()＝f(eq \f(2,3))，∵当x∈[0,1]时，f(x)＝2x﹣cs x单调递增，∴f(0)题型二 新定义问题
所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现过或尚未介绍的一类函数．函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题．
[典例] 若两函数具有相同的定义、单调区间、奇偶性、值域，则称这两函数为“亲密函数”．下列三个函数y＝2|x|﹣1，y＝eq \f(x2,1＋x2)，y＝eq \f(x2,2)＋cs x﹣1中，与函数f(x)＝x4不是亲密函数的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[解析] 易知幂函数f(x)＝x4的定义域为R，是偶函数，在(﹣∞，0)上，f(x)单调递减，在(0，＋∞)上，f(x)单调递增，y≥0.三个函数的定义域都为R且都为偶函数，单调性也与y＝x4保持一致，但是y＝eq \f(x2,1＋x2)＝1﹣eq \f(1,1＋x2)的最大值接近1，y＝2|x|﹣1≥0，y＝eq \f(x2,2)＋cs x﹣1≥0，故选B.
[答案] B
[方法技巧]
深刻理解题目中新函数的定义、新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系是解题的关键．如果函数的某一性质(一般是等式、不等式)对某些数值恒成立，那么通过合理赋值可以得到特殊函数值甚至是函数解析式，进而解决问题．
[针对训练]
(多选)在实数集R上定义一种运算“★”，对于任意给定的a，b∈R，a★b为唯一确定的实数，且具有下列三条性质：(1)a★b＝b★a；(2)a★0＝a；(3)(a★b)★c＝c★(ab)＋(a★c)＋(c★b)﹣2c.
关于函数f(x)＝x★eq \f(1,x)的说法正确的是( )
A．函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3
B．函数f(x)为偶函数
C．函数f(x)的单调递增区间为(﹣∞，﹣1)，(1，＋∞)
D．函数f(x)不是周期函数
解析：选ACD 对于新运算“★”的性质(3)，令c＝0，则(a★b)★0＝0★(ab)＋(a★0)＋(0★b)＝ab＋a＋b，即a★b＝ab＋a＋b，∴f(x)＝x★eq \f(1,x)＝1＋x＋eq \f(1,x).当x>0时，f(x)＝1＋x＋eq \f(1,x)≥1＋2 eq \r(x·\f(1,x))＝3，当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时取等号，∴函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3，故A正确；函数f(x)的定义域为(﹣∞，0)∪(0，＋∞)，∵f(1)＝1＋1＋1＝3， f(﹣1)＝1﹣1﹣1＝﹣1，∴f(﹣1)≠﹣f(1)且f(﹣1)≠f(1)，∴函数f(x)为非奇非偶函数，故B错误；根据函数的单调性，知函数f(x)＝1＋x＋eq \f(1,x)的单调递增区间为(﹣∞，﹣1)，(1，＋∞)，故C正确；由C知，函数f(x)＝1＋x＋eq \f(1,x)不是周期函数，故D正确．
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、综合练——练思维敏锐度
1．下列函数既是奇函数，又在[﹣1，1]上单调递增的是( )
A．f(x)＝|sin x| B．f(x)＝ln eq \f(e－x,e＋x) C．f(x)＝eq \f(1,2)(ex﹣e﹣x) D．f(x)＝ln(eq \r(x2＋1)﹣x)
解析：选C 对于A，f(x)＝|sin x|为偶函数，不符合题意；
对于B，f(x)＝ln eq \f(e－x,e＋x)的定义域为(﹣e，e)，关于原点对称，
有f(﹣x)＝ln eq \f(e＋x,e－x)＝﹣ln eq \f(e－x,e＋x)＝﹣f(x)，为奇函数，
设t＝eq \f(e－x,e＋x)＝﹣1＋eq \f(2e,x＋e)，x∈(﹣e，e)，在(﹣e，e)上为减函数，
而y＝ln t为增函数，则f(x)＝ln eq \f(e－x,e＋x)在(﹣e，e)上为减函数，不符合题意；
对于C，f(x)＝eq \f(1,2)(ex﹣e﹣x)，有f(﹣x)＝eq \f(1,2)(e﹣x﹣ex)＝﹣eq \f(1,2)(ex﹣e﹣x)＝﹣f(x)，为奇函数，
且f′(x)＝eq \f(1,2)(ex＋e﹣x)>0，则f(x)在R上为增函数，符合题意；
对于D，f(x)＝ln(eq \r(x2＋1)﹣x)的定义域为R.
f(﹣x)＝ln(eq \r(x2＋1)＋x)＝﹣ln(eq \r(x2＋1)﹣x)＝﹣f(x)，为奇函数，
设t＝eq \r(x2＋1)﹣x＝eq \f(1,\r(x2＋1)＋x)，易知t在R上为减函数，而y＝ln t为增函数，
则f(x)＝ln(eq \r(x2＋1)﹣x)在R上为减函数，不符合题意．故选C.
2．已知f(x)是定义在[2b,1﹣b]上的偶函数，且在[2b,0]上为增函数，则f(x﹣1)≤f(2x)的解集为( )
A.[-1,eq \f(2,3)] B.[-1，eq \f(1,3)] C．[﹣1,1] D.[eq \f(1,3)，1]
解析：选B ∵f(x)是定义在[2b,1﹣b]上的偶函数，∴2b＋1﹣b＝0，∴b＝﹣1，∵f(x)在[2b,0]上为增函数，即函数f(x)在[﹣2,0]上为增函数，∴函数f(x)在(0,2]上为减函数，则由f(x﹣1)≤f(2x)，得|x﹣1|≥|2x|，即(x﹣1)2≥4x2，解得﹣1≤x≤eq \f(1,3).又∵函数f(x)的定义域为[﹣2,2]，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2≤x－1≤2，,－2≤2x≤2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤3，,－1≤x≤1.))综上，所求解集为[-1，eq \f(1,3)].
3．已知函数f(x)在[0,4]上是增函数，且函数y＝f(x＋4)是偶函数，则下列结论正确的是( )
A．f(2)C．f(5)解析：选B 因为函数y＝f(x＋4)是偶函数，所以函数y＝f(x＋4)的图象关于直线x＝0对称，
所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以f(5)＝f(3)，又函数y＝f(x)在[0,4]上是增函数，
所以f(2)4．如果对定义在R上的奇函数，y＝f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，所有x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数y＝f(x)为“H函数”，下列函数为H函数的是( )
A．f(x)＝sin x B．f(x)＝ex C．f(x)＝x3﹣3x D．f(x)＝x|x|
解析：选D 根据题意，对于任意不相等的实数x1，x2，x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立，
则有(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0恒成立，即函数f(x)是定义在R上的增函数，
故“H函数”为奇函数且在R上为增函数．据此依次分析选项：
对于A，f(x)＝sin x，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；
对于B，f(x)＝ex，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；
对于C，f(x)＝x3﹣3x，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；
对于D，f(x)＝x|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x≥0，,－x2，x<0))为奇函数且在R上为增函数，符合题意，故选D.
5．(多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称，给出下列关于f(x)的结论，其中正确的结论是( )
A．f(x)是周期函数
B．f(x)满足f(x)＝f(4﹣x)
C．f(x)在(0,2)上单调递减
D．f(x)＝cs eq \f(πx,2)是满足条件的一个函数
解析：选ABD 因为f(x)为偶函数，所以f(﹣x)＝f(x)，因为f(x)的图象关于点(1,0)对称，则f(﹣x)＝﹣f(2＋x)，故f(x＋2)＝﹣f(x)，故有f(x＋4)＝﹣f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是以4为周期的周期函数，故A正确；可得f(﹣x)＝f(x)＝f(x＋4)，把x替换成﹣x可得f(x)＝f(4﹣x)，故B正确；f(x)＝cseq \f(πx,2)是定义在R上的偶函数，(1,0)是其图象的一个对称中心，可得D正确；f(x)＝﹣cseq \f(πx,2)满足题意，但f(x)在(0,2)上单调递增，故C错误．
6．(多选)设函数f(x)是定义在R上的函数，满足f(﹣x)﹣f(x)＝0，且对任意的x∈R，恒有f(x＋2)＝f(2﹣x)，已知当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2))时，f(x)＝(eq \f(1,2))2﹣x，则有( )
A．函数的最大值是1，最小值是eq \f(1,4)
B．函数f(x)是周期函数，且周期为2
C．函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，4))上递减，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4，6))上递增
D．当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，4))时，f(x)＝(eq \f(1,2))2﹣x
解析：选AC ∵函数f(x)满足f(﹣x)﹣f(x)＝0，即f(﹣x)＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．
∵f(x＋2)＝f(2﹣x)＝f(x﹣2)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数，B错误；
∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2))时，f(x)＝(eq \f(1,2))2﹣x，∴x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2))时，f(x)是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝1，f(x)min＝f(0)＝eq \f(1,4).
根据函数f(x)是偶函数可知当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，2))时，最大值为1，最小值为eq \f(1,4)，
由周期性知当x∈R时，最大值为1，最小值为eq \f(1,4)，A正确；
又∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2))时，f(x)是增函数，∴x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，0))时，f(x)是减函数，
由T＝4知f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，4))上递减，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4，6))上递增，C正确；
令x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，0))，则﹣x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2))，f(﹣x)＝(eq \f(1,2))2＋x＝f(x)，∴f(x﹣4)＝(eq \f(1,2))2＋x﹣4＝(eq \f(1,2))x﹣2＝f(x)，
∴x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，4))时，f(x)＝(eq \f(1,2))x﹣2，D错误．故选A、C.
7．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x﹣2)．若当x∈[﹣3,0]时，f(x)＝6﹣x，则f(919)＝_______.
解析：∵f(x＋4)＝f(x﹣2)，∴f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期为6，
∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)．又f(x)为偶函数，∴f(919)＝f(1)＝f(﹣1)＝6.
答案：6
8．已知函数f(x)＝ex﹣eq \f(1,ex)﹣2sin x，其中e为自然对数的底数，若f(2a2)＋f(a﹣3)＋f(0)<0，则实数a的取值范围为________．
解析：因为f(0)＝0，f′(x)＝ex＋e﹣x﹣2cs x，ex＋e﹣x≥2，而2cs x≤2，所以f′(x)≥0，所以函数y＝f(x)是单调递增函数．又f(﹣x)＝﹣f(x)，即函数f(x)是奇函数，所以原不等式可化为f(2a2)<﹣f(a﹣3)＝f(3﹣a)，则2a2<3﹣a，即2a2＋a﹣3<0，解得﹣eq \f(3,2)答案：(﹣eq \f(3,2)，1).
9．定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4﹣x)＝f(x)．现有以下三个命题：
①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．
其中正确命题的序号是________．
解析：∵f(x)＋f(x＋2)＝0，∴f(x＋2)＝﹣f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，f(x)的周期为4，故①正确；
又f(4﹣x)＝f(x)，∴f(2＋x)＝f(2﹣x)，即f(x)的图象关于直线x＝2对称，故②正确；
由f(x)＝f(4﹣x)得f(﹣x)＝f(4＋x)＝f(x)，故③正确．
答案：①②③
10．设f(x)是(﹣∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝﹣f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当﹣4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．
解：(1)由f(x＋2)＝﹣f(x)，得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝﹣f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(π)＝f(﹣1×4＋π)＝f(π﹣4)＝﹣f(4﹣π)＝﹣(4﹣π)＝π﹣4.
(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝﹣f(x)，
得f[(x﹣1)＋2]＝﹣f(x﹣1)＝f[﹣(x﹣1)]，
即f(1＋x)＝f(1﹣x)．
故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．
设当﹣4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×(eq \f(1,2)×2×1)＝4.
11．已知定义在R上的函数f(x)，对于任意实数a，b都满足f(a＋b)＝f(a)f(b)，且f(1)≠0，当x>0时，f(x)>1.
(1)求f(0)的值；
(2)证明：f(x)在(﹣∞，＋∞)上是增函数；
(3)求不等式f(x2＋x)解：(1)令a＝1，b＝0，则f(1)＝f(1＋0)＝f(1)f(0)，∵f(1)≠0，∴f(0)＝1.
(2)证明：当x<0时，﹣x>0.
令a＝x，b＝﹣x，则f(x)f(﹣x)＝f(x﹣x)＝f(0)＝1，由f(﹣x)>0得f(x)>0，注意到f(0)＝1>0，
∴对于任意实数x，f(x)>0.
任取x1，x2∈R，且x10，f(x2﹣x1)>1，
∵f(x2)＝f[x1＋(x2﹣x1)]＝f(x1)f(x2﹣x1)>f(x1)，
∴函数y＝f(x)在(﹣∞，＋∞)上是增函数．
(3)∵eq \f(1,f2x－4)＝eq \f(f0,f2x－4)＝f(﹣2x＋4)，∴f(x2＋x)由(2)可得x2＋x<﹣2x＋4，解得﹣4∴原不等式的解集是(﹣4,1)．
12．已知函数f(x)对任意x∈R满足f(x)＋f(﹣x)＝0，f(x﹣1)＝f(x＋1)，若当x∈[0,1)时，f(x)＝ax＋b(a＞0且a≠1)，且f(eq \f(3,2))＝eq \f(1,2).
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数g(x)＝f2(x)＋f(x)的值域．
解：(1)因为f(x)＋f(﹣x)＝0，
所以f(﹣x)＝﹣f(x)，即f(x)是奇函数．
因为f(x﹣1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝f(x)，
即函数f(x)是周期为2的周期函数，所以f(0)＝0，即b＝﹣1.
又f(eq \f(3,2))＝f(-eq \f(1,2))＝﹣f(eq \f(1,2))＝1﹣eq \r(a)＝eq \f(1,2)，解得a＝eq \f(1,4).
(2)当x∈[0,1)时，f(x)＝ax＋b＝(eq \f(1,4))x﹣1∈(﹣eq \f(3,4)，0]，
由f(x)为奇函数知，当x∈(﹣1,0)时，f(x)∈(0，eq \f(3,4))，
又因为f(x)是周期为2的周期函数，所以当x∈R时，f(x)∈(﹣eq \f(3,4)，eq \f(3,4))，
设t＝f(x)∈(﹣eq \f(3,4)，eq \f(3,4))，所以g(x)＝f2(x)＋f(x)＝t2＋t＝(t+eq \f(1,2))2﹣eq \f(1,4)，
即y＝(t+eq \f(1,2))2﹣eq \f(1,4)∈[﹣eq \f(1,4)，).故函数g(x)＝f2(x)＋f(x)的值域为[﹣eq \f(1,4)，).
二、自选练——练高考区分度
1．(多选)若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：
(1)∀x∈R，都有f(﹣x)＋f(x)＝0； (2)∀x1，x2∈R，且x1≠x2，都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0.
下面四个函数中，是“优美函数”的为( )
A．f(x)＝sin x B．f(x)＝﹣2x3
C．f(x)＝e﹣x﹣ex D．f(x)＝ln(eq \r(x2＋1)＋x)
解析：选BC 由条件(1)，得f(x)是奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的减函数．
对于A，f(x)＝sin x在R上不单调，故不是“优美函数”；
对于B，f(x)＝﹣2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；
对于C，f(x)＝e﹣x﹣ex是奇函数，并且在R上单调递减，故是“优美函数”；
对于D，易知f(x)在R上单调递增，故不是“优美函数”．
故选B、C.
2．设函数f(x)＝ln(1＋|x|)﹣eq \f(1,1＋x2)，则使得f(x)>f(2x﹣1)成立的x的取值范围为________．
解析：由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，由f(x)>f(2x﹣1)，可得f(|x|)>f(|2x﹣1|)．
当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)﹣eq \f(1,1＋x2)，因为y＝ln(1＋x)与y＝﹣eq \f(1,1＋x2)在(0，＋∞)上都单调递增，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．由f(|x|)>f(|2x﹣1|)，可得|x|>|2x﹣1|，两边平方可得x2>(2x﹣1)2，
整理得3x2﹣4x＋1<0，解得eq \f(1,3)答案：(eq \f(1,3)，1).
3．给出关于函数f(x)的一些限制条件：①在(0，＋∞)上单调递减；②在(﹣∞，0)上单调递增；③是奇函数；④是偶函数；⑤f(0)＝0.在这些条件中，选择必需的条件，补充在下面问题中，并解决这个问题．
定义在R上的函数f(x)，________(填写你选定条件的序号)，且f(﹣1)＝0.求不等式f(x﹣1)>0的解集．
解：由题意易知条件①和②最好只选择一个，否则可能产生矛盾；条件③和④最好也只选择一个，否则f(x)就变成恒等于0的常数函数，失去研究价值．
如果选择条件①③.由f(x)是定义在R上的奇函数，可知f(0)＝0，f(1)＝﹣f(﹣1)＝0，且f(x)在关于原点对称的区间上的单调性一致．因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以，当00，当x≥1或﹣1≤x≤0时，f(x)≤0.f(x﹣1)>0⇔0故不等式f(x﹣1)>0的解集为(﹣∞，0)∪(1,2)．
如果选择条件①④⑤.因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(x)是偶函数，所以f(x)在 (﹣∞，0)上单调递增，注意到f(﹣1)＝0，所以f(x﹣1)>0⇔f(x﹣1)>f(﹣1)⇔f(|x﹣1|)>f(|﹣1|)⇔|x﹣1|<1⇔00的解集为(0,1)∪(1,2)．
选择其他条件组合的解法类似．
如果同时选择条件③④.易知f(x)＝0恒成立，不等式f(x﹣1)>0的解集为空集．
前提
设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
对于任意x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
奇函数
偶函数
定义
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
都有f(﹣x)＝﹣f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
都有f(﹣x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
图象特征
关于原点对称
关于y轴对称
常规
角度
1.函数单调性的判断及应用：主要考查判断函数的单调性、求单调区间，利用单调性求参数的取值范围、比较大小、求最值等；
2.函数奇偶性的判断及应用：主要考查判断函数的奇偶性，利用奇偶性求值等；
3.函数周期性的判断及应用：主要考查函数周期性的判断，利用周期性求值等
创新
角度
函数的性质与解不等式、函数的零点、命题的真假性、导数等交汇命题
定义法
先确定定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论
图象法
若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性
导数法
先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性
求函数值
将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值
求解析式
将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出
求解析式
中的参数
利用待定系数法求解，根据f(x)±f(﹣x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性建立方程(组)，进而得出参数的值
画函数图象
利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象
求特殊值
利用奇函数的最大值与最小值之和为零求一些特殊结构的函数值
知识点一 函数的单调性
1．增函数与减函数
2．单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
[提醒] (1)函数单调性定义中的x1，x2具有以下三个特征：一是任意性，即“任意两数x1，x2∈D”，“任意”两字决不能丢；二是有大小，即x1
(2)若函数在区间D上单调递增(或递减)，则对D内任意的两个不等自变量x1，x2的值，都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0(或eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0).
(3)函数f(x)在给定区间上的单调性，是函数在此区间上的整体性质，不一定代表在整个定义域上有此性质．
3．谨记常用结论
(1)函数f(x)与f(x)＋c(c为常数)具有相同的单调性．
(2)k>0时，函数f(x)与kf(x)单调性相同；k<0时，函数f(x)与kf(x)单调性相反．
(3)若f(x)恒为正值或恒为负值，则f(x)与eq \f(1,fx)具有相反的单调性．
(4)若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于零时，f(x)·g(x)是增(减)函数；当两者都恒小于零时，f(x)·g(x)是减(增)函数．
(5)在公共定义域内，增＋增＝增，减＋减＝减，增﹣减＝增，减﹣增＝减．
(6)复合函数y＝f[g(x)]的单调性判断方法：“同增异减”．
[重温经典]
1．函数f(x)＝x2﹣2x的单调递增区间是( )
A．(1，＋∞) B．(﹣∞，1) C．(﹣1，＋∞) D．(﹣∞，﹣1)
答案：A
2．如果二次函数f(x)＝x2﹣(a﹣1)x＋5在区间(eq \f(1,2)，1)上是增函数，则实数a的取值范围为________．
解析：∵函数f(x)＝x2﹣(a﹣1)x＋5的对称轴为x＝eq \f(a－1,2)且在区间(eq \f(1,2)，1)上是增函数，∴eq \f(a－1,2)≤eq \f(1,2)，即a≤2.
答案：(﹣∞，2]
3．函数f(x)＝lg(9﹣x2)的定义域为________；其单调递增区间为________．
解析：对于函数f(x)＝lg(9﹣x2)，令t＝9﹣x2＞0，解得﹣3＜x＜3，可得函数的定义域为(﹣3,3)．
令g(x)＝9﹣x2，则函数f(x)＝lg(g(x))，又函数g(x)在定义域内的增区间为(﹣3,0]，所以函数f(x)＝lg(9﹣x2)在定义域内的单调递增区间为(﹣3,0]．
答案：(﹣3,3) (﹣3,0]
4．(易错题)设定义在[﹣1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．
答案：[﹣1,1]，[5,7]
5．若函数y＝eq \f(2x＋k,x－2)与y＝lg3(x﹣2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是________．
解析：由于y＝lg3(x﹣2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数，故函数
y＝eq \f(2x＋k,x－2)＝eq \f(2x－2＋4＋k,x－2)＝2＋eq \f(4＋k,x－2)在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k＜0，得k＜﹣4.
答案：(﹣∞，﹣4)
6．已知函数f(x)为定义在区间[﹣1,1]上的增函数，则满足f(x)
知识点二 函数的最值
1．函数的最值
2.函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值．
[提醒] (1)对于单调函数，最大(小)值出现在定义域的边界处；
(2)对于非单调函数求最值，通常借助图象求解更方便；
(3)一般地，恒成立问题可以用求最值的方法来解决，而利用单调性是求最值的常用方法．注意以下关系：
f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a；f(x)≤a恒成立⇔f(x)max≤a.解题时，要务必注意“＝”的取舍．
[重温经典]
1．函数f(x)＝eq \f(2,x－1)在[2,6]上的最大值是________．
答案：2
2．若函数f(x)＝﹣eq \f(a,x)＋b(a>0)在[eq \f(1,2)，2]上的值域为[eq \f(1,2)，2]，则a＝________，b＝________.
解析：∵f(x)＝﹣eq \f(a,x)＋b(a>0)在[eq \f(1,2)，2]上是增函数，∴f(x)min＝f(eq \f(1,2))＝eq \f(1,2)，f(x)max＝f(2)＝2.
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2a＋b＝\f(1,2)，,－\f(a,2)＋b＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝\f(5,2).))
答案：1 eq \f(5,2)
3．(易错题)函数y＝eq \f(x2－1,x2＋1)的值域为________．
解析：法一：由y＝eq \f(x2－1,x2＋1)，可得x2＝eq \f(1＋y,1－y).由x2≥0，知eq \f(1＋y,1－y)≥0，解得﹣1≤y<1，
故所求函数的值域为[﹣1,1)．
法二：由y＝eq \f(x2－1,x2＋1)＝eq \f(x2＋1－2,x2＋1)＝1＋eq \f(－2,x2＋1)，令t＝x2＋1，则t≥1，∴eq \f(－2,t)∈[﹣2,0)，
∴y＝1＋eq \f(－2,t)∈[﹣1,1)，∴所求函数的值域为[﹣1,1)．
答案：[﹣1,1)
4．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，x≥1，,－x2＋2，x<1))的最大值为________．
解析：当x≥1时，函数f(x)＝eq \f(1,x)为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；
当x<1时，易知函数f(x)＝﹣x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.
答案：2
5．已知函数f(x)＝﹣x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值﹣2，则f(x)的最大值为________．
解析：函数f(x)＝﹣x2＋4x＋a＝﹣(x﹣2)2＋4＋a，x∈[0,1]，且函数f(x)有最小值﹣2.
故当x＝0时，函数f(x)有最小值，当x＝1时，函数f(x)有最大值．
∵当x＝0时，f(0)＝a＝﹣2，∴f(x)＝﹣x2＋4x﹣2，
∴当x＝1时，f(x)max＝f(1)＝﹣12＋4×1﹣2＝1.
答案：1
知识点三 函数的奇偶性
1．函数奇偶性的定义及图象特征
2.函数奇偶性的几个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
3．有关对称性的结论
(1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于x＝a对称．
若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．
(2)若f(x)＝f(2a﹣x)，则函数f(x)关于x＝a对称；若f(x)＋f(2a﹣x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称．
[重温经典]
1．(多选)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上是增函数的有( )
A．y＝2﹣|x| B．y＝x C．y＝x2﹣1 D．y＝x3
解析：选BC A．令y＝f(x)＝2﹣|x|，f(﹣x)＝2﹣|﹣x|＝2﹣|x|＝f(x)，是偶函数，但在(0，＋∞)上，y＝2﹣x是减函数，故A错误；B.令y＝f(x)＝x，f(﹣x)＝(﹣x)＝x，是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，故B正确；C.令y＝f(x)＝x2﹣1，f(﹣x)＝(﹣x)2﹣1＝x2﹣1＝f(x)，是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，故C正确；D.令y＝f(x)＝x3，f(﹣x)＝(﹣x)3＝﹣x3＝﹣f(x)，是奇函数，故D错误．故选B、C.
2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(﹣1)＝________.
答案：﹣2
3．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(﹣2)＋f(0)＝________.
解析：由题意知f(﹣2)＝﹣f(2)＝﹣(22＋1)＝﹣5，f(0)＝0，∴f(﹣2)＋f(0)＝﹣5.
答案：﹣5
4．已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x>0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的解析式为________________．
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(﹣x)＝﹣f(x)．当x＝0时，有f(﹣0)＝﹣f(0)，∴f(0)＝0.
当x<0时，﹣x>0. f(x)＝﹣f(﹣x)＝﹣(﹣x＋1)＝x﹣1.∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x>0，,0，x＝0，,x－1，x<0.))
答案：f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x>0，,0，x＝0，,x－1，x<0))
5．(易错题)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a﹣1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是________．
解析：∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a﹣1,2a]上的偶函数，∴a﹣1＋2a＝0，∴a＝eq \f(1,3).
又f(﹣x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)
6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(﹣lg35)的值为________．
解析：当x≥0时f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(0)＝30＋m＝0，解得m＝﹣1，∴f(x)＝3x﹣1.
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(﹣lg35)＝﹣f(lg35)＝﹣(3lg35﹣1)＝﹣4.
答案：﹣4
知识点四 函数的周期性
1．周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
3．谨记常用结论
定义式f(x＋T)＝f(x)对定义域内的x是恒成立的．
(1)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数f(x)的周期为T＝|a﹣b|；
(2)若在定义域内满足f(x＋a)＝﹣f(x)，f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，f(x＋a)＝﹣eq \f(1,fx)(a>0)，则f(x)为周期函数，且T＝2a为它的一个周期．
[重温经典]
1．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈(﹣1,1)时，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4x2＋2，－1
2．(教材改编题)若f(x)是R上周期为2的函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)﹣f(4)＝________.
解析：由f(x)是R上周期为2的函数知，f(3)＝f(1)＝1，f(4)＝f(2)＝2，∴f(3)﹣f(4)＝﹣1.
答案：﹣1
3．已知f(x)是R上的奇函数，且对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则f(2 022)＝________.
解析：∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，
∴当x＝﹣3时，有f(3)＝f(﹣3)＋f(3)＝0，∴f(﹣3)＝0，f(3)＝0，∴f(x＋6)＝f(x)，周期为6.
故f(2 022)＝f(0)＝0.
答案：0
4．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(﹣1)＝________.
解析：因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4﹣x)，f(﹣x)＝f(4＋x)，
又f(﹣x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(﹣1)＝f(4﹣1)＝f(3)＝3.
答案：3
5．定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(﹣3，0]时，f(x)＝﹣x﹣1，当x∈(0,2]时，f(x)＝lg2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 021)的值等于________．
解析：定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，即函数的最小正周期为5.当x∈(0,2]时，f(x)＝lg2x，所以f(1)＝lg21＝0，f(2)＝lg22＝1.当x∈(﹣3,0]时，f(x)＝﹣x﹣1，所以f(3)＝f(﹣2)＝1，f(4)＝f(﹣1)＝0，f(5)＝f(0)＝﹣1.所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 021)＝404×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(1)＝404×1＋0＝404.
答案：404
第2课时 精研题型明考向——函数的性质及其应用
一、真题集中研究——明考情
1．(复合函数的单调性及定义域)已知函数f(x)＝lg(x2﹣4x﹣5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是( )
A．(﹣∞，﹣1] B．(﹣∞，2] C．[2，＋∞) D．[5，＋∞)
解析：选D ∵f(x)＝lg(x2﹣4x﹣5)在(a，＋∞)上单调递增，y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－4a－5≥0，,a≥2，))∴a≥5.故a的取值范围为[5，＋∞)．
2．(函数的单调性、奇偶性)设函数f(x)＝ln|2x＋1|﹣ln|2x﹣1|，则f(x)( )
A．是偶函数，且在(eq \f(1,2)，+∞)单调递增
B．是奇函数，且在(﹣eq \f(1,2),eq \f(1,2))单调递减
C．是偶函数，且在(﹣∞,﹣eq \f(1,2))单调递增
D．是奇函数，且在(﹣∞,﹣eq \f(1,2))单调递减
解析：选D 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|2x＋1|>0，,|2x－1|>0))⇒x≠±eq \f(1,2)，∴函数f(x)的定义域为{x|x≠±eq \f(1,2)，x∈R}，关于原点对称，
又∵f(﹣x)＝ln|﹣2x＋1|﹣ln|﹣2x﹣1|＝ln|2x﹣1|﹣ln|2x＋1|＝﹣f(x)，∴f(x)是奇函数，排除A、C；
当x∈(﹣eq \f(1,2),eq \f(1,2))时，f(x)＝ln(2x＋1)﹣ln(1﹣2x)，则f′(x)＝eq \f(2,2x＋1)﹣eq \f(－2,1－2x)＝eq \f(4,1－4x2)>0，
∴f(x)在(﹣eq \f(1,2),eq \f(1,2))单调递增，排除B；当x∈(﹣∞,﹣eq \f(1,2))时，f(x)＝ln(﹣2x﹣1)﹣ln(1﹣2x)，
则f′(x)＝eq \f(－2,－2x－1)﹣eq \f(－2,1－2x)＝eq \f(4,1－4x2)<0，∴f(x)在(﹣∞,﹣eq \f(1,2))单调递减，∴D正确．
3．(函数的性质及解不等式)若定义在R的奇函数f(x)在(﹣∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x﹣1)≥0的x的取值范围是( )
A．[﹣1,1]∪[3，＋∞) B．[﹣3，﹣1]∪[0,1]
C．[﹣1,0]∪[1，＋∞) D．[﹣1,0]∪[1,3]
解析：选D 法一：由题意知f(x)在(﹣∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(﹣2)＝f(2)＝f(0)＝0.
当x>0时，令f(x﹣1)≥0，得0≤x﹣1≤2，∴1≤x≤3；
当x<0时，令f(x﹣1)≤0，得﹣2≤x﹣1≤0，∴﹣1≤x≤1，
又x<0，∴﹣1≤x<0；当x＝0时，显然符合题意．
综上，原不等式的解集为[﹣1,0]∪[1,3]，故选D.
法二：当x＝3时，f(3﹣1)＝0，符合题意，排除B；当x＝4时，f(4﹣1)＝f(3)<0，不符合题意，排除A、C.故选D.
4．(由函数的奇偶性求解析式)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex﹣1，则当x<0时，f(x)＝( )
A．e﹣x﹣1 B．e﹣x＋1 C．﹣e﹣x﹣1 D．﹣e﹣x＋1
解析：选D 当x<0时，﹣x>0，∵当x≥0时，f(x)＝ex﹣1，∴f(﹣x)＝e﹣x﹣1.
又∵f(x)为奇函数，∴当x<0时，f(x)＝﹣f(﹣x)＝﹣e﹣x＋1.
5．(抽象函数的奇偶性、单调性及比较大小)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )
A．f(lg3eq \f(1,4))>f()>f() B．f(lg3eq \f(1,4))>f()>f()
C．f()>f()>f(lg3eq \f(1,4)) D．f()>f()>f(lg3eq \f(1,4))
解析：选C 因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(lg3eq \f(1,4))＝f(﹣lg34)＝f(lg34)．
又因为lg34>1>2>2>0且函数f(x)在(0，＋∞)单调递减，所以f(2>f(2)>f(lg3eq \f(1,4)).故选C.
6．(由函数的奇偶性求值)已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝x，则f(﹣8)的值是________．
解析：由函数f(x)是奇函数得f(﹣8)＝﹣f(8)＝﹣8＝﹣(23)＝﹣4.
答案：﹣4
[把脉考情]
二、题型精细研究——提素养
题型一 函数单调性的判断及应用
考法(一) 确定函数的单调性及求单调区间
[例1] (1)函数f(x)＝|x2﹣3x＋2|的单调递增区间是( )
A.[eq \f(3,2)，＋∞) B.[1,eq \f(3,2)]和[2，＋∞) C．(﹣∞，1]和[eq \f(3,2)，2] D.(﹣∞，eq \f(3,2)]和[2，＋∞)
(2)函数y＝eq \r(x2＋x－6)的单调递增区间为__________，单调递减区间为________．
(3)讨论函数f(x)＝eq \f(ax,x2－1)(a>0)在(﹣1,1)上的单调性．
[解析] (1)f(x)＝|x2﹣3x＋2|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－3x＋2，x≤1或x≥2，,－x2－3x＋2，1
则y＝eq \r(x2＋x－6)可以看作是由y＝eq \r(u)与u＝x2＋x﹣6复合而成的函数．
令u＝x2＋x﹣6≥0，得x≤﹣3或x≥2.
易知u＝x2＋x﹣6在(﹣∞，﹣3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，
而y＝eq \r(u)在[0，＋∞)上是增函数，
所以y＝eq \r(x2＋x－6)的单调递减区间为(﹣∞，﹣3]，单调递增区间为[2，＋∞)．
答案：(1)B (2)[2，＋∞) (﹣∞，﹣3]
(3)法一：定义法
设﹣1
故函数f(x)在(﹣1,1)上为减函数．
法二：导数法
f′(x)＝eq \f(ax′x2－1－axx2－1′,x2－12)＝eq \f(ax2－1－2ax2,x2－12)＝eq \f(a－x2－1,x2－12)＝﹣eq \f(ax2＋1,x2－12).
∵a>0，x∈(﹣1,1)，∴f′(x)<0.
∴f(x)在(﹣1,1)上是减函数．
[方法技巧] 确定函数单调性的常用方法
考法(二) 比较大小
[例2] 函数f(x)＝eq \f(ex＋e－x,ex－e－x)，若a＝f(﹣eq \f(1,2))，b＝f(ln 2)，c＝f(ln eq \f(1,3))，则有( )
A．c>b>a B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a
[解析] ∵f(x)＝eq \f(ex＋e－x,ex－e－x)，∴f(x)在(﹣∞，0)，(0，＋∞)上为减函数，
易知x<0时，f(x)<0，x>0时，f(x)>0，又∵ln 2>0，﹣eq \f(1,2)<0，ln eq \f(1,3)<0，∴b>0，a<0，c<0.
又﹣eq \f(1,2)＝﹣ln eq \r(e)，ln eq \f(1,3)＝﹣ln 3，且﹣ln eq \r(e)>﹣ln 3，
∴﹣eq \f(1,2)>ln eq \f(1,3)，∵f(x)在(﹣∞，0)上单调递减，∴f(﹣eq \f(1,2))
[答案] D
[方法技巧]
利用函数的单调性比较大小的方法
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的方法进行求解．
考法(三) 解函数不等式
[例3] 定义在[﹣2,2]上的函数f(x)满足(x1﹣x2)·[f(x1)﹣f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2﹣a)>f(2a﹣2)，则实数a的取值范围为( )
A．[﹣1,2) B．[0,2) C．[0,1) D．[﹣1,1)
[解析] 因为函数f(x)满足(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0，x1≠x2，所以函数在[﹣2,2]上单调递增，
所以﹣2≤2a﹣2
[方法技巧]
在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
考法(四) 利用单调性求参数的取值范围
[例4] (1)已知函数y＝lg(6﹣ax＋x2)在[1,2]上是增函数，则实数a的取值范围为________．
(2)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋4x，x≤4，,lg2x，x>4.))若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
[解析] (1)设u＝6﹣ax＋x2，∵y＝lgu是减函数，∴函数u在[1,2]上是减函数．
∵u＝6﹣ax＋x2，对称轴为直线x＝eq \f(a,2)，∴eq \f(a,2)≥2，且u>0在[1,2]上恒成立．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,2)≥2，,6－2a＋4>0，))解得4≤a<5，∴实数a的取值范围为[4,5)．
(2)作出函数f(x)的图象如图所示，
由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.
[答案] (1)[4,5) (2)(﹣∞，1]∪[4，＋∞)
[方法技巧]
利用函数单调性求参数的策略
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
(3)分段函数的单调性需要分段研究，既要保证每一段函数的单调性，还要注意两段端点值的大小．
[针对训练]
1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．f(x)＝﹣x2 B．f(x)＝3﹣x C．f(x)＝ln |x| D．f(x)＝x＋sin x
解析：选C 选项A中的函数是偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，故不正确；选项B中的函数是非奇非偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，故不正确；选项C中的函数是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，故正确；选项D中的函数是奇函数，在R上单调递增，故不正确．故选C.
2．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，且在[﹣1,0]上单调递减，设a＝f(eq \r(2))，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是( )
A．b
A．(0,10) B．(10，＋∞) C.(eq \f(1,10)，10) D.(0，eq \f(1,10))∪(10，＋∞)
解析：选C ∵g(﹣x)＝﹣f(|﹣x|)＝g(x)，∴g(x)是偶函数，又f(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴g(x)在[0，＋∞)上是减函数．∵g(lg x)>g(1)，∴g(|lg x|)>g(1)，∴|lg x|<1，∴eq \f(1,10)
解析：由题意，函数f(x)在(﹣∞，1]和(1，＋∞)上都是增函数，且f(x)在(﹣∞，1]上的最高点不高于其在(1，＋∞)上的最低点，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>1，,4－\f(a,2)>0，,a≥4－\f(a,2)＋2，))解得a∈[4,8)．答案：[4,8)
题型二 函数最值的求法
[典例] (1)函数f(x)＝(eq \f(1,3))x﹣lg2(x＋2)在区间[﹣1,1]上的最大值为________．
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x≤1，,x＋\f(6,x)－6，x>1，))则f(x)的最小值是________．
(3)函数f(x)＝2x2﹣eq \r(x2＋1)的最小值为________．
[解析] (1)(单调性法)由于y＝(eq \f(1,3))x在R上单调递减，y＝lg2(x＋2)在[﹣1,1]上单调递增，
所以f(x)在[﹣1,1]上单调递减，故f(x)在[﹣1,1]上的最大值为f(﹣1)＝3.
(2)(利用单调性和基本不等式求解)因为函数y＝x2在(﹣∞，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以当x≤1时，f(x)min＝f(0)＝0.
当x>1时，y＝x＋eq \f(6,x)≥2eq \r(6)，当且仅当x＝eq \r(6)时，等号成立，此时f(x)min＝2eq \r(6)﹣6.
又2eq \r(6)﹣6<0，所以f(x)min＝2eq \r(6)﹣6.
(3)(换元法)令eq \r(x2＋1)＝t，t≥1，则x2＝t2﹣1，∴y＝2(t2﹣1)﹣t＝2t2﹣t﹣2(t≥1)．
∵y＝2t2﹣t﹣2(t≥1)的对称轴t＝eq \f(1,4)，∴ymin＝2×12﹣1﹣2＝﹣1，∴函数f(x)的最小值为﹣1.
[答案] (1)3 (2)2eq \r(6)﹣6 (3)﹣1
[方法技巧]
求解函数最值的4种常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)换元法：求形如y＝eq \r(ax＋b)＋(cx＋d)(ac≠0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解．
(3)分离常数法：求形如y＝eq \f(cx＋d,ax＋b)(ac≠0)的函数的值域或最值，常用分离常数法求解．
(4)基本不等式法：求形如y＝ax＋eq \f(b,x)(a>0，b>0)的函数的最小值常用基本不等式，注意等号成立的条件．
[针对训练]
1．(单调性法)函数f(x)＝eq \f(1,x－1)在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是eq \f(1,3)，则a＋b＝________.
解析：易知f(x)在[a，b]上为减函数，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fa＝1，,fb＝\f(1,3)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a－1)＝1，,\f(1,b－1)＝\f(1,3)，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝4.))所以a＋b＝6.
答案：6
2．(换元法)函数f(x)＝x﹣eq \r(x＋1)的最小值为________．
解析：令eq \r(x＋1)＝t(t≥0)，则x＝t2﹣1，所以y＝t2﹣t﹣1(t≥0)．又y＝t2﹣t﹣1(t≥0)的图象是对称轴为直线t＝eq \f(1,2)，开口向上的抛物线的一部分，所以ymin＝(eq \f(1,2))2﹣eq \f(1,2)﹣1＝﹣eq \f(5,4)，故函数f(x)的最小值为﹣eq \f(5,4).
答案：﹣eq \f(5,4)
3．(分离常数法)当﹣3≤x≤﹣1时，函数y＝eq \f(5x－1,4x＋2)的最小值为________．
解析：由y＝eq \f(5x－1,4x＋2)，可得y＝eq \f(5,4)﹣eq \f(7,42x＋1).∵﹣3≤x≤﹣1，∴eq \f(7,20)≤﹣eq \f(7,42x＋1)≤eq \f(7,4)，∴eq \f(8,5)≤y≤3.
∴所求函数的最小值为eq \f(8,5).
答案：eq \f(8,5)
题型三 函数奇偶性的判断及应用
考法(一) 函数奇偶性的判断
[例1]函数y＝x2lgeq \f(x－2,x＋2)的图象( )
A．关于x轴对称 B．关于原点对称
C．关于直线y＝x对称 D．关于y轴对称
[解析] 记f(x)＝x2lgeq \f(x－2,x＋2)，定义域为(﹣∞，﹣2)∪(2，＋∞)．
∵f(﹣x)＝(﹣x)2lgeq \f(－x－2,－x＋2)＝x2lgeq \f(x＋2,x－2)＝﹣x2lgeq \f(x－2,x＋2)＝﹣f(x)，
∴f(x)为奇函数，即函数y＝x2lgeq \f(x－2,x＋2)的图象关于原点对称．故选B.
[答案] B
[方法技巧] 函数奇偶性的判定方法
(1)定义法：
(2)图象法：
(3)性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：
奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
考法(二) 函数奇偶性的应用
[例2] (1)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝lg2(x＋2)﹣1，则f(﹣6)＝( )
A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4
(2)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.
[解析] (1)根据题意得f(﹣6)＝﹣f(6)＝1﹣lg2(6＋2)＝1﹣3lg22＝﹣2.故选C.
(2)函数f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax为偶函数，故f(﹣x)＝f(x)，即ln(e﹣3x＋1)﹣ax＝ln(e3x＋1)＋ax，
化简得lneq \f(1,e3x)＝2ax＝ln e2ax，即eq \f(1,e3x)＝e2ax，整理得e2ax＋3x＝1，所以2ax＋3x＝0，解得a＝﹣eq \f(3,2).
[答案] (1)C (2)﹣eq \f(3,2)
[方法技巧] 利用函数奇偶性可以解决以下问题
[针对训练]
1．(多选)设函数f(x)＝eq \f(ex－e－x,2)，则下列结论正确的是( )
A．|f(x)|是偶函数 B．﹣f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数
解析：选ABC ∵f(x)＝eq \f(ex－e－x,2)，则f(﹣x)＝eq \f(e－x－ex,2)＝﹣f(x)．∴f(x)是奇函数．易知A、B、C正确．
∵f(|﹣x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．
2．已知函数f(x)＝eq \f(2|x|＋1＋x3＋2,2|x|＋1)的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于( )
A．0 B．2 C．4 D．8
解析：选C f(x)＝eq \f(2·2|x|＋1＋x3,2|x|＋1)＝2＋eq \f(x3,2|x|＋1)，设g(x)＝eq \f(x3,2|x|＋1)，因为g(x)的定义域为R，关于原点对称，且g(﹣x)＝﹣g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0.因为M＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min，所以M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4.
3．若函数f(x)＝eq \f(k－2x,1＋k·2x)在定义域上为奇函数，则实数k＝________.
解析：由f(﹣1)＝﹣f(1)得eq \f(k－\f(1,2),1＋\f(1,2)k)＝﹣eq \f(k－2,1＋2k)，解得k＝±1.经检验，k＝±1时，函数f(x)都为奇函数．
答案：±1
题型四 函数周期性的判断及应用
[典例] (1)(已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝﹣f(x＋2)，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋lg2x，则f(2 020)＝( )
A．5 B.eq \f(1,2) C．2 D．﹣5
(2)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(﹣2，2]上，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs \f(πx,2)，0
所以f(2 020)＝f(505×4)＝f(0)＝﹣f(0＋2)＝﹣(22＋lg22)＝﹣5.
(2)由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，
所以f(15)＝f(﹣1)＝|﹣1+eq \f(1,2)|＝eq \f(1,2)，所以f(f(15))＝f(eq \f(1,2))＝cs eq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2).
[答案] (1)D (2)eq \f(\r(2),2)
[方法技巧]
函数周期性问题的求解策略
(1)判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
[针对训练]
1．(多选)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则( )
A．f(x)为奇函数 B．f(x)为周期函数
C．f(x＋3)为奇函数 D．f(x＋4)为偶函数
解析：选ABC 因为f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，所以f(x)关于(1,0)和(2,0)中心对称，所以f(x)的周期为2，所以f(x)的对称中心为(k,0)(k∈Z)，所以f(x)为奇函数．因为周期为2，所以f(x＋3)＝f(x＋1＋2)＝f(x＋1)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝f(x＋2)，所以f(x＋3)，f(x＋4)都为奇函数，故选A、B、C.
2．已知f(x)满足∀x∈R，f(x＋2)＝f(x)，且x∈[1,3)时，f(x)＝lg2x＋1，则f(2 023)的值为( )
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
解析：选C 因为f(x)满足∀x∈R，f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的最小正周期为2，
又2 023＝2×1 011＋1，且x∈[1，3)时，f(x)＝lg2x＋1，因此f(2 023)＝f(1)＝1.
3．已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝﹣eq \f(1,fx)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(﹣eq \f(11,2))＝______.
解析：∵f(x＋2)＝﹣eq \f(1,fx)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f(﹣eq \f(11,2))＝f(eq \f(5,2))，又2≤x≤3时，f(x)＝x，
∴f(eq \f(5,2))＝eq \f(5,2)，∴f(﹣eq \f(11,2))＝eq \f(5,2).
答案：eq \f(5,2)
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
1．下列函数为奇函数的是( )
A．f(x)＝x3＋1 B．f(x)＝lneq \f(1－x,1＋x) C．f(x)＝ex D．f(x)＝xsin x
解析：选B 对于A，f(﹣x)＝﹣x3＋1≠﹣f(x)，所以其不是奇函数；
对于B，f(﹣x)＝lneq \f(1＋x,1－x)＝﹣lneq \f(1－x,1＋x)＝﹣f(x)，所以其是奇函数；
对于C，f(﹣x)＝e﹣x≠﹣f(x)，所以其不是奇函数；
对于D，f(﹣x)＝﹣xsin(﹣x)＝xsin x＝f(x)，所以其不是奇函数．故选B.
2．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x﹣1)＜f(eq \f(1,3))的x的取值范围是( )
A.(eq \f(1,3)，eq \f(2,3)) B.[eq \f(1,3)，eq \f(2,3)) C.(eq \f(1,2)，eq \f(2,3)) D.[eq \f(1,2)，eq \f(2,3))
解析：选D 因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x﹣1)＜f(eq \f(1,3))，
所以0≤2x﹣1＜eq \f(1,3)，解得eq \f(1,2)≤x＜eq \f(2,3).
3．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是( )
A．f(x)·g(x)是偶函数 B．|f(x)|·g(x)是奇函数
C．f(x)·|g(x)|是奇函数 D．|f(x)·g(x)|是偶函数
解析：选CD ∵f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴f(﹣x)＝﹣f(x)，g(﹣x)＝g(x)．
对于A，f(﹣x)·g(﹣x)＝﹣f(x)·g(x)，函数是奇函数，故A错误．
对于B，|f(﹣x)|·g(﹣x)＝|f(x)|·g(x)，函数是偶函数，故B错误．
对于C，f(﹣x)·|g(﹣x)|＝﹣f(x)·|g(x)|，函数是奇函数，故C正确．
对于D，|f(﹣x)·g(﹣x)|＝|f(x)·g(x)|，函数是偶函数，故D正确．
4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x3，x≤0，,lnx＋1，x>0，))若f(2﹣x2)>f(x)，则实数x的取值范围是( )
A．(﹣∞，﹣1)∪(2，＋∞) B．(﹣∞，﹣2)∪(1，＋∞)
C．(﹣1,2) D．(﹣2,1)
解析：选D 因为当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数的图象是一条连续的曲线．
因为当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数，当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，
所以函数f(x)是定义在R上的增函数．因此，不等式f(2﹣x2)>f(x)等价于2﹣x2>x，
即x2＋x﹣2<0，解得﹣2
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(﹣∞，1) D．(﹣∞，1]
解析：选B f(x)＝2|x﹣a|＋3＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－2a＋3，x≥a，,－2x＋2a＋3，x
6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x﹣4)＝﹣f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(﹣25)
又因为函数f(x)满足f(x﹣4)＝﹣f(x)，所以f(x﹣8)＝﹣f(x﹣4)＝f(x)，所以函数f(x)为周期函数，
且周期为8，因此f(﹣25)＝f(﹣1)
A．(﹣∞，1) B．(1，＋∞) C．(﹣∞，2) D．(2，＋∞)
解析：选A ∵函数y1＝2 024x﹣2 024﹣x为奇函数，函数y2＝lg2 024(eq \r(1＋x2)＋x)为奇函数，
∴函数g(x)＝2 024x﹣2 024﹣x＋lg2 024(eq \r(x2＋1)＋x)为奇函数且在R上单调递增，∴f(1﹣2x)＋f(x)>6，
即g(1﹣2x)＋3＋g(x)＋3>6，即g(x)>g(2x﹣1)，∴x>2x﹣1，∴x<1，
∴不等式f(1﹣2x)＋f(x)>6的解集为(﹣∞，1)．
8．如果奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，则不等式eq \f(fx－f－x,x)<0的解集为( )
A．(﹣2,0)∪(2，＋∞) B．(﹣∞，﹣2)∪(0,2)
C．(﹣∞，﹣2)∪(2，＋∞) D．(﹣2,0)∪(0,2)
解析：选D 由函数f(x)为奇函数可知f(﹣x)＝﹣f(x)，因此eq \f(fx－f－x,x)<0可化为不等式eq \f(2fx,x)<0，故有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,fx<0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<0，,fx>0.))再由f(2)＝0，可得f(﹣2)＝0，由函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，可得函数f(x)在(﹣∞，0)上也为增函数，结合函数f(x)的单调性，作出示意图可得，所求不等式的解集为{x|﹣2
A．f(x)的定义域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1))
B．f(x)的值域为(﹣1,1)
C．f(x)在定义域上是增函数
D．f(x)的图象关于原点对称
解析：选ABD 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－x4≥0，,|x－1|－1≠0，))得﹣1≤x≤1且x≠0，
此时f(x)＝eq \f(\r(x2－x4),－x－1－1)＝eq \f(\r(x2－x4),－x)＝eq \f(|x|\r(1－x2),－x)，因此A正确；
当0＜x≤1时，f(x)＝﹣eq \r(1－x2)∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，0))，当﹣1≤x<0时，f(x)＝eq \r(1－x2)∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1))，
故f(x)的值域为(﹣1,1)，B正确；易知f(x)在定义域上不是增函数，选项C错误；
又f(﹣x)＝eq \f(|－x|\r(1－－x2),－－x)＝eq \f(|x|\r(1－x2),x)＝﹣f(x)，
则f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，D正确，故选A、B、D.
10．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))g(x)＝x2f(x﹣1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．
解析：由题意知g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x>1，,0，x＝1，,－x2，x<1.))函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．
答案：[0,1)
11．若f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－1x＋4a，x<1，,－ax，x≥1))是定义在R上的减函数，则a的取值范围是________．
解析：由题意知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－1<0，,3a－1×1＋4a≥－a，,a>0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<\f(1,3)，,a≥\f(1,8)，,a>0，))所以a∈[eq \f(1,8)，eq \f(1,3)).
答案：[eq \f(1,8)，eq \f(1,3)).
12．已知f(x)＝eq \f(x,x－a)(x≠a)．
(1)若a＝﹣2，试证f(x)在(﹣∞，﹣2)上单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
解：(1)证明：设x1
因为(x1＋2)(x2＋2)>0，x1﹣x2<0，
所以f(x1)﹣f(x2)<0，即f(x1)
(2)设1
因为a>0，x2﹣x1>0，所以要使f(x1)﹣f(x2)>0，
只需(x1﹣a)(x2﹣a)>0恒成立，
所以a≤1.故a的取值范围为(0,1]．
13．已知函数f(x)＝x2＋a|x﹣2|﹣4.
(1)当a＝2时，求f(x)在[0,3]上的最大值和最小值；
(2)若f(x)在区间[﹣1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋2|x﹣2|﹣4＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－8，x≥2，,x2－2x，x<2))＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋12－9，x≥2，,x－12－1，x<2，))
当x∈[0,2)时，﹣1≤f(x)<0；
当x∈[2,3]时，0≤f(x)≤7，
所以f(x)在[0,3]上的最大值为7，最小值为﹣1.
(2)因为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋ax－2a－4，x>2，,x2－ax＋2a－4，x≤2，))
又f(x)在区间[﹣1，＋∞)上单调递增，
所以当x>2时，f(x)单调递增，则﹣eq \f(a,2)≤2，即a≥﹣4；
当﹣1
故a的取值范围为[﹣4，﹣2]．
14．设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，F(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx，x>0，,－fx，x<0.))
(1)若f(﹣1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的解析式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[﹣2,2]时，g(x)＝f(x)﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围．
解：(1)∵f(﹣1)＝0，∴b＝a＋1.
由f(x)≥0恒成立，知a>0且方程ax2＋bx＋1＝0中Δ＝b2﹣4a＝(a＋1)2﹣4a＝(a﹣1)2≤0，∴a＝1.
从而b＝2，f(x)＝x2＋2x＋1.
∴F(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋12，x>0，,－x＋12，x<0.))
(2)由(1)可知f(x)＝x2＋2x＋1，
∴g(x)＝f(x)﹣kx＝x2＋(2﹣k)x＋1，
由g(x)在[﹣2,2]上是单调函数，知﹣eq \f(2－k,2)≤﹣2或﹣eq \f(2－k,2)≥2，得k≤﹣2或k≥6.
即实数k的取值范围为(﹣∞，﹣2]∪[6，＋∞)．
第3课时 难点专攻夺高分——函数性质的综合应用
题型一 函数性质的交汇应用问题
函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．
考法(一) 单调性与奇偶性相结合
[例1]已知偶函数fx＋eq \f(π,2)，当x∈(﹣eq \f(π,2),eq \f(π,2))时，f(x)＝x＋sin x，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则( )
A．a
[方法技巧]
函数单调性与奇偶性的综合常利用奇偶函数的图象的对称性，以及奇偶函数在关于原点对称的区间上的单调性求解．
考法(二) 奇偶性与周期性相结合
[例2] (1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x﹣2)＝f(x＋2)，当x∈(0,2)时，f(x)＝﹣x2，则f(eq \f(13,2))＝( )
A．﹣eq \f(9,4) B．﹣eq \f(1,4) C.eq \f(1,4) D.eq \f(9,4)
(2)定义在R上的函数f(x)为奇函数，f(1)＝1，又g(x)＝f(x＋2)也是奇函数，则f(2 024)＝________.
[解析] (1)因为f(x﹣2)＝f(x＋2)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)是周期为4的函数，
所以f(eq \f(13,2))＝f(eq \f(13,2)﹣8)＝f(﹣eq \f(3,2))，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(﹣eq \f(3,2))＝﹣f(eq \f(3,2))＝﹣[﹣(eq \f(3,2))2]＝eq \f(9,4)，所以f(eq \f(13,2))＝eq \f(9,4).故选D.
(2)∵g(x)＝f(x＋2)是奇函数，∴g(﹣x)＝f(﹣x＋2)＝﹣f(x＋2)．
又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴﹣f(x＋2)＝f(﹣x﹣2)，
∴f(﹣x＋2)＝f(﹣x﹣2)＝f(﹣x＋2﹣4)，∴f(x)＝f(x﹣4)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．
∴f(2 024)＝f(4×506＋0)＝f(0)＝0.
[答案] (1)D (2)0
[方法技巧]
函数周期性与奇偶性的综合多是求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转换到已知函数解析式的定义域内求解．
考法(三) 单调性、奇偶性与周期性的综合
[例3] 定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+eq \f(3,2))＝f(x)，当x∈(0,eq \f(1,2)]时，f(x)＝lg(1﹣x)，则f(x)在区间(1,eq \f(3,2))内是( )
A．减函数且f(x)>0 B．减函数且f(x)<0
C．增函数且f(x)>0 D．增函数且f(x)<0
[解析] 当x∈(0,eq \f(1,2)]时，由f(x)＝lg (1﹣x)可知，f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，
所以f(x)在区间[-eq \f(1,2),0)上也单调递增，且f(x)<0.由f(x+eq \f(3,2))＝f(x)知，函数的周期为eq \f(3,2)，
所以在区间(1,eq \f(3,2))上，函数f(x)单调递增且f(x)<0.
[答案] D
[方法技巧]
对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
[针对训练]
1．设e是自然对数的底数，函数f(x)是周期为4的奇函数，且当0
解析：选D 因为函数以4为周期，所以f(eq \f(7,3))＝f(eq \f(7,3)﹣4)＝f(-eq \f(5,3))＝﹣f(eq \f(5,3))＝lneq \f(5,3)，所以e＝e＝eq \f(5,3).故选D.
2．已知函数f(x)是(﹣∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x﹣1，则f(2 024)＋f(2 025)的值为( )
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
解析：选D ∵f(x)的图象关于x＝1对称，∴f(2﹣x)＝f(x)．
∵函数f(x)为(﹣∞，＋∞)上的奇函数，∴f(﹣x)＝﹣f(x)，∴f(x)＝f(2﹣x)＝﹣f(﹣x)，
∴f(4﹣x)＝﹣f(2﹣x)＝f(﹣x)，∴周期T＝4.∵x∈[0,1]时，f(x)＝2x﹣1，∴f(1)＝21﹣1＝2﹣1＝1.
又函数f(x)是(﹣∞，＋∞)上的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(2 024)＋f(2 025)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1.
3．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(﹣x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝2x﹣cs x，则下列结论正确的是( )
A．f()
∴f(2 018)＝f(2＋4×504)＝f(2)＝f(0)，f()＝f(eq \f(1,2))，f()＝f(eq \f(2,3))，∵当x∈[0,1]时，f(x)＝2x﹣cs x单调递增，∴f(0)
所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现过或尚未介绍的一类函数．函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题．
[典例] 若两函数具有相同的定义、单调区间、奇偶性、值域，则称这两函数为“亲密函数”．下列三个函数y＝2|x|﹣1，y＝eq \f(x2,1＋x2)，y＝eq \f(x2,2)＋cs x﹣1中，与函数f(x)＝x4不是亲密函数的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[解析] 易知幂函数f(x)＝x4的定义域为R，是偶函数，在(﹣∞，0)上，f(x)单调递减，在(0，＋∞)上，f(x)单调递增，y≥0.三个函数的定义域都为R且都为偶函数，单调性也与y＝x4保持一致，但是y＝eq \f(x2,1＋x2)＝1﹣eq \f(1,1＋x2)的最大值接近1，y＝2|x|﹣1≥0，y＝eq \f(x2,2)＋cs x﹣1≥0，故选B.
[答案] B
[方法技巧]
深刻理解题目中新函数的定义、新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系是解题的关键．如果函数的某一性质(一般是等式、不等式)对某些数值恒成立，那么通过合理赋值可以得到特殊函数值甚至是函数解析式，进而解决问题．
[针对训练]
(多选)在实数集R上定义一种运算“★”，对于任意给定的a，b∈R，a★b为唯一确定的实数，且具有下列三条性质：(1)a★b＝b★a；(2)a★0＝a；(3)(a★b)★c＝c★(ab)＋(a★c)＋(c★b)﹣2c.
关于函数f(x)＝x★eq \f(1,x)的说法正确的是( )
A．函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3
B．函数f(x)为偶函数
C．函数f(x)的单调递增区间为(﹣∞，﹣1)，(1，＋∞)
D．函数f(x)不是周期函数
解析：选ACD 对于新运算“★”的性质(3)，令c＝0，则(a★b)★0＝0★(ab)＋(a★0)＋(0★b)＝ab＋a＋b，即a★b＝ab＋a＋b，∴f(x)＝x★eq \f(1,x)＝1＋x＋eq \f(1,x).当x>0时，f(x)＝1＋x＋eq \f(1,x)≥1＋2 eq \r(x·\f(1,x))＝3，当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时取等号，∴函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3，故A正确；函数f(x)的定义域为(﹣∞，0)∪(0，＋∞)，∵f(1)＝1＋1＋1＝3， f(﹣1)＝1﹣1﹣1＝﹣1，∴f(﹣1)≠﹣f(1)且f(﹣1)≠f(1)，∴函数f(x)为非奇非偶函数，故B错误；根据函数的单调性，知函数f(x)＝1＋x＋eq \f(1,x)的单调递增区间为(﹣∞，﹣1)，(1，＋∞)，故C正确；由C知，函数f(x)＝1＋x＋eq \f(1,x)不是周期函数，故D正确．
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、综合练——练思维敏锐度
1．下列函数既是奇函数，又在[﹣1，1]上单调递增的是( )
A．f(x)＝|sin x| B．f(x)＝ln eq \f(e－x,e＋x) C．f(x)＝eq \f(1,2)(ex﹣e﹣x) D．f(x)＝ln(eq \r(x2＋1)﹣x)
解析：选C 对于A，f(x)＝|sin x|为偶函数，不符合题意；
对于B，f(x)＝ln eq \f(e－x,e＋x)的定义域为(﹣e，e)，关于原点对称，
有f(﹣x)＝ln eq \f(e＋x,e－x)＝﹣ln eq \f(e－x,e＋x)＝﹣f(x)，为奇函数，
设t＝eq \f(e－x,e＋x)＝﹣1＋eq \f(2e,x＋e)，x∈(﹣e，e)，在(﹣e，e)上为减函数，
而y＝ln t为增函数，则f(x)＝ln eq \f(e－x,e＋x)在(﹣e，e)上为减函数，不符合题意；
对于C，f(x)＝eq \f(1,2)(ex﹣e﹣x)，有f(﹣x)＝eq \f(1,2)(e﹣x﹣ex)＝﹣eq \f(1,2)(ex﹣e﹣x)＝﹣f(x)，为奇函数，
且f′(x)＝eq \f(1,2)(ex＋e﹣x)>0，则f(x)在R上为增函数，符合题意；
对于D，f(x)＝ln(eq \r(x2＋1)﹣x)的定义域为R.
f(﹣x)＝ln(eq \r(x2＋1)＋x)＝﹣ln(eq \r(x2＋1)﹣x)＝﹣f(x)，为奇函数，
设t＝eq \r(x2＋1)﹣x＝eq \f(1,\r(x2＋1)＋x)，易知t在R上为减函数，而y＝ln t为增函数，
则f(x)＝ln(eq \r(x2＋1)﹣x)在R上为减函数，不符合题意．故选C.
2．已知f(x)是定义在[2b,1﹣b]上的偶函数，且在[2b,0]上为增函数，则f(x﹣1)≤f(2x)的解集为( )
A.[-1,eq \f(2,3)] B.[-1，eq \f(1,3)] C．[﹣1,1] D.[eq \f(1,3)，1]
解析：选B ∵f(x)是定义在[2b,1﹣b]上的偶函数，∴2b＋1﹣b＝0，∴b＝﹣1，∵f(x)在[2b,0]上为增函数，即函数f(x)在[﹣2,0]上为增函数，∴函数f(x)在(0,2]上为减函数，则由f(x﹣1)≤f(2x)，得|x﹣1|≥|2x|，即(x﹣1)2≥4x2，解得﹣1≤x≤eq \f(1,3).又∵函数f(x)的定义域为[﹣2,2]，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2≤x－1≤2，,－2≤2x≤2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤3，,－1≤x≤1.))综上，所求解集为[-1，eq \f(1,3)].
3．已知函数f(x)在[0,4]上是增函数，且函数y＝f(x＋4)是偶函数，则下列结论正确的是( )
A．f(2)
所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以f(5)＝f(3)，又函数y＝f(x)在[0,4]上是增函数，
所以f(2)
A．f(x)＝sin x B．f(x)＝ex C．f(x)＝x3﹣3x D．f(x)＝x|x|
解析：选D 根据题意，对于任意不相等的实数x1，x2，x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立，
则有(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0恒成立，即函数f(x)是定义在R上的增函数，
故“H函数”为奇函数且在R上为增函数．据此依次分析选项：
对于A，f(x)＝sin x，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；
对于B，f(x)＝ex，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；
对于C，f(x)＝x3﹣3x，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；
对于D，f(x)＝x|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x≥0，,－x2，x<0))为奇函数且在R上为增函数，符合题意，故选D.
5．(多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称，给出下列关于f(x)的结论，其中正确的结论是( )
A．f(x)是周期函数
B．f(x)满足f(x)＝f(4﹣x)
C．f(x)在(0,2)上单调递减
D．f(x)＝cs eq \f(πx,2)是满足条件的一个函数
解析：选ABD 因为f(x)为偶函数，所以f(﹣x)＝f(x)，因为f(x)的图象关于点(1,0)对称，则f(﹣x)＝﹣f(2＋x)，故f(x＋2)＝﹣f(x)，故有f(x＋4)＝﹣f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是以4为周期的周期函数，故A正确；可得f(﹣x)＝f(x)＝f(x＋4)，把x替换成﹣x可得f(x)＝f(4﹣x)，故B正确；f(x)＝cseq \f(πx,2)是定义在R上的偶函数，(1,0)是其图象的一个对称中心，可得D正确；f(x)＝﹣cseq \f(πx,2)满足题意，但f(x)在(0,2)上单调递增，故C错误．
6．(多选)设函数f(x)是定义在R上的函数，满足f(﹣x)﹣f(x)＝0，且对任意的x∈R，恒有f(x＋2)＝f(2﹣x)，已知当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2))时，f(x)＝(eq \f(1,2))2﹣x，则有( )
A．函数的最大值是1，最小值是eq \f(1,4)
B．函数f(x)是周期函数，且周期为2
C．函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，4))上递减，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4，6))上递增
D．当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，4))时，f(x)＝(eq \f(1,2))2﹣x
解析：选AC ∵函数f(x)满足f(﹣x)﹣f(x)＝0，即f(﹣x)＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．
∵f(x＋2)＝f(2﹣x)＝f(x﹣2)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数，B错误；
∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2))时，f(x)＝(eq \f(1,2))2﹣x，∴x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2))时，f(x)是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝1，f(x)min＝f(0)＝eq \f(1,4).
根据函数f(x)是偶函数可知当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，2))时，最大值为1，最小值为eq \f(1,4)，
由周期性知当x∈R时，最大值为1，最小值为eq \f(1,4)，A正确；
又∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2))时，f(x)是增函数，∴x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，0))时，f(x)是减函数，
由T＝4知f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，4))上递减，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4，6))上递增，C正确；
令x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，0))，则﹣x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2))，f(﹣x)＝(eq \f(1,2))2＋x＝f(x)，∴f(x﹣4)＝(eq \f(1,2))2＋x﹣4＝(eq \f(1,2))x﹣2＝f(x)，
∴x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，4))时，f(x)＝(eq \f(1,2))x﹣2，D错误．故选A、C.
7．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x﹣2)．若当x∈[﹣3,0]时，f(x)＝6﹣x，则f(919)＝_______.
解析：∵f(x＋4)＝f(x﹣2)，∴f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期为6，
∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)．又f(x)为偶函数，∴f(919)＝f(1)＝f(﹣1)＝6.
答案：6
8．已知函数f(x)＝ex﹣eq \f(1,ex)﹣2sin x，其中e为自然对数的底数，若f(2a2)＋f(a﹣3)＋f(0)<0，则实数a的取值范围为________．
解析：因为f(0)＝0，f′(x)＝ex＋e﹣x﹣2cs x，ex＋e﹣x≥2，而2cs x≤2，所以f′(x)≥0，所以函数y＝f(x)是单调递增函数．又f(﹣x)＝﹣f(x)，即函数f(x)是奇函数，所以原不等式可化为f(2a2)<﹣f(a﹣3)＝f(3﹣a)，则2a2<3﹣a，即2a2＋a﹣3<0，解得﹣eq \f(3,2)
9．定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4﹣x)＝f(x)．现有以下三个命题：
①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．
其中正确命题的序号是________．
解析：∵f(x)＋f(x＋2)＝0，∴f(x＋2)＝﹣f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，f(x)的周期为4，故①正确；
又f(4﹣x)＝f(x)，∴f(2＋x)＝f(2﹣x)，即f(x)的图象关于直线x＝2对称，故②正确；
由f(x)＝f(4﹣x)得f(﹣x)＝f(4＋x)＝f(x)，故③正确．
答案：①②③
10．设f(x)是(﹣∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝﹣f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当﹣4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．
解：(1)由f(x＋2)＝﹣f(x)，得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝﹣f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(π)＝f(﹣1×4＋π)＝f(π﹣4)＝﹣f(4﹣π)＝﹣(4﹣π)＝π﹣4.
(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝﹣f(x)，
得f[(x﹣1)＋2]＝﹣f(x﹣1)＝f[﹣(x﹣1)]，
即f(1＋x)＝f(1﹣x)．
故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．
设当﹣4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×(eq \f(1,2)×2×1)＝4.
11．已知定义在R上的函数f(x)，对于任意实数a，b都满足f(a＋b)＝f(a)f(b)，且f(1)≠0，当x>0时，f(x)>1.
(1)求f(0)的值；
(2)证明：f(x)在(﹣∞，＋∞)上是增函数；
(3)求不等式f(x2＋x)
(2)证明：当x<0时，﹣x>0.
令a＝x，b＝﹣x，则f(x)f(﹣x)＝f(x﹣x)＝f(0)＝1，由f(﹣x)>0得f(x)>0，注意到f(0)＝1>0，
∴对于任意实数x，f(x)>0.
任取x1，x2∈R，且x1
∵f(x2)＝f[x1＋(x2﹣x1)]＝f(x1)f(x2﹣x1)>f(x1)，
∴函数y＝f(x)在(﹣∞，＋∞)上是增函数．
(3)∵eq \f(1,f2x－4)＝eq \f(f0,f2x－4)＝f(﹣2x＋4)，∴f(x2＋x)
12．已知函数f(x)对任意x∈R满足f(x)＋f(﹣x)＝0，f(x﹣1)＝f(x＋1)，若当x∈[0,1)时，f(x)＝ax＋b(a＞0且a≠1)，且f(eq \f(3,2))＝eq \f(1,2).
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数g(x)＝f2(x)＋f(x)的值域．
解：(1)因为f(x)＋f(﹣x)＝0，
所以f(﹣x)＝﹣f(x)，即f(x)是奇函数．
因为f(x﹣1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝f(x)，
即函数f(x)是周期为2的周期函数，所以f(0)＝0，即b＝﹣1.
又f(eq \f(3,2))＝f(-eq \f(1,2))＝﹣f(eq \f(1,2))＝1﹣eq \r(a)＝eq \f(1,2)，解得a＝eq \f(1,4).
(2)当x∈[0,1)时，f(x)＝ax＋b＝(eq \f(1,4))x﹣1∈(﹣eq \f(3,4)，0]，
由f(x)为奇函数知，当x∈(﹣1,0)时，f(x)∈(0，eq \f(3,4))，
又因为f(x)是周期为2的周期函数，所以当x∈R时，f(x)∈(﹣eq \f(3,4)，eq \f(3,4))，
设t＝f(x)∈(﹣eq \f(3,4)，eq \f(3,4))，所以g(x)＝f2(x)＋f(x)＝t2＋t＝(t+eq \f(1,2))2﹣eq \f(1,4)，
即y＝(t+eq \f(1,2))2﹣eq \f(1,4)∈[﹣eq \f(1,4)，).故函数g(x)＝f2(x)＋f(x)的值域为[﹣eq \f(1,4)，).
二、自选练——练高考区分度
1．(多选)若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：
(1)∀x∈R，都有f(﹣x)＋f(x)＝0； (2)∀x1，x2∈R，且x1≠x2，都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0.
下面四个函数中，是“优美函数”的为( )
A．f(x)＝sin x B．f(x)＝﹣2x3
C．f(x)＝e﹣x﹣ex D．f(x)＝ln(eq \r(x2＋1)＋x)
解析：选BC 由条件(1)，得f(x)是奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的减函数．
对于A，f(x)＝sin x在R上不单调，故不是“优美函数”；
对于B，f(x)＝﹣2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；
对于C，f(x)＝e﹣x﹣ex是奇函数，并且在R上单调递减，故是“优美函数”；
对于D，易知f(x)在R上单调递增，故不是“优美函数”．
故选B、C.
2．设函数f(x)＝ln(1＋|x|)﹣eq \f(1,1＋x2)，则使得f(x)>f(2x﹣1)成立的x的取值范围为________．
解析：由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，由f(x)>f(2x﹣1)，可得f(|x|)>f(|2x﹣1|)．
当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)﹣eq \f(1,1＋x2)，因为y＝ln(1＋x)与y＝﹣eq \f(1,1＋x2)在(0，＋∞)上都单调递增，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．由f(|x|)>f(|2x﹣1|)，可得|x|>|2x﹣1|，两边平方可得x2>(2x﹣1)2，
整理得3x2﹣4x＋1<0，解得eq \f(1,3)
3．给出关于函数f(x)的一些限制条件：①在(0，＋∞)上单调递减；②在(﹣∞，0)上单调递增；③是奇函数；④是偶函数；⑤f(0)＝0.在这些条件中，选择必需的条件，补充在下面问题中，并解决这个问题．
定义在R上的函数f(x)，________(填写你选定条件的序号)，且f(﹣1)＝0.求不等式f(x﹣1)>0的解集．
解：由题意易知条件①和②最好只选择一个，否则可能产生矛盾；条件③和④最好也只选择一个，否则f(x)就变成恒等于0的常数函数，失去研究价值．
如果选择条件①③.由f(x)是定义在R上的奇函数，可知f(0)＝0，f(1)＝﹣f(﹣1)＝0，且f(x)在关于原点对称的区间上的单调性一致．因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以，当0
如果选择条件①④⑤.因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(x)是偶函数，所以f(x)在 (﹣∞，0)上单调递增，注意到f(﹣1)＝0，所以f(x﹣1)>0⇔f(x﹣1)>f(﹣1)⇔f(|x﹣1|)>f(|﹣1|)⇔|x﹣1|<1⇔0
选择其他条件组合的解法类似．
如果同时选择条件③④.易知f(x)＝0恒成立，不等式f(x﹣1)>0的解集为空集．
前提
设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
对于任意x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
奇函数
偶函数
定义
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
都有f(﹣x)＝﹣f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
都有f(﹣x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
图象特征
关于原点对称
关于y轴对称
常规
角度
1.函数单调性的判断及应用：主要考查判断函数的单调性、求单调区间，利用单调性求参数的取值范围、比较大小、求最值等；
2.函数奇偶性的判断及应用：主要考查判断函数的奇偶性，利用奇偶性求值等；
3.函数周期性的判断及应用：主要考查函数周期性的判断，利用周期性求值等
创新
角度
函数的性质与解不等式、函数的零点、命题的真假性、导数等交汇命题
定义法
先确定定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论
图象法
若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性
导数法
先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性
求函数值
将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值
求解析式
将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出
求解析式
中的参数
利用待定系数法求解，根据f(x)±f(﹣x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性建立方程(组)，进而得出参数的值
画函数图象
利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象
求特殊值
利用奇函数的最大值与最小值之和为零求一些特殊结构的函数值
相关试卷
(适用辅导班)2023-2024年高二数学寒假讲义+分层练习（基础班）2.7《函数与方程》 (2份打包，原卷版+教师版)： 这是一份(适用辅导班)2023-2024年高二数学寒假讲义+分层练习（基础班）2.7《函数与方程》 (2份打包，原卷版+教师版)，文件包含适用辅导班2023-2024年高二数学寒假讲义基础班27《函数与方程》原卷版doc、适用辅导班2023-2024年高二数学寒假讲义基础班27《函数与方程》原卷版pdf、适用辅导班2023-2024年高二数学寒假讲义基础班27《函数与方程》教师版doc、适用辅导班2023-2024年高二数学寒假讲义基础班27《函数与方程》教师版pdf等4份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。
(适用辅导班)2023-2024年高二数学寒假讲义+分层练习（基础班）2.6《函数的图象及其应用》 (2份打包，原卷版+教师版)： 这是一份(适用辅导班)2023-2024年高二数学寒假讲义+分层练习（基础班）2.6《函数的图象及其应用》 (2份打包，原卷版+教师版)，文件包含适用辅导班2023-2024年高二数学寒假讲义基础班26《函数的图象及其应用》原卷版doc、适用辅导班2023-2024年高二数学寒假讲义基础班26《函数的图象及其应用》原卷版pdf、适用辅导班2023-2024年高二数学寒假讲义基础班26《函数的图象及其应用》教师版doc、适用辅导班2023-2024年高二数学寒假讲义基础班26《函数的图象及其应用》教师版pdf等4份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。
(适用辅导班)2023-2024年高二数学寒假讲义+分层练习（基础班）2.5《对数与对数函数》 (2份打包，原卷版+教师版)： 这是一份(适用辅导班)2023-2024年高二数学寒假讲义+分层练习（基础班）2.5《对数与对数函数》 (2份打包，原卷版+教师版)，文件包含适用辅导班2023-2024年高二数学寒假讲义基础班25《对数与对数函数》原卷版doc、适用辅导班2023-2024年高二数学寒假讲义基础班25《对数与对数函数》原卷版pdf、适用辅导班2023-2024年高二数学寒假讲义基础班25《对数与对数函数》教师版pdf、适用辅导班2023-2024年高二数学寒假讲义基础班25《对数与对数函数》教师版doc等4份试卷配套教学资源，其中试卷共55页， 欢迎下载使用。
