湖北省十一校2024届高三第一次联考数学试卷

这是一份湖北省十一校2024届高三第一次联考数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024届高三湖北十一校第一次联考
数学试题
命题学校：龙泉中学 命题人：张建军 审题人：郑胜
一、选择题：本大题共8小题，每一小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A.B.C.D.
2.已知复数在复平面内的对应点为，则的虚部为（ ）
A.B.C.D.
3.已知，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.某地投资亿元进行基础建设，年后产生的社会经济效益为亿元，若该地投资基础建设4年后产生的社会经济效益是投资额的2倍，且再过年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的8倍，则（ ）
A.4B.8C.12D.16
5.如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点）则的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
6.已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A.B.C.D.
7.从集合中任取3个不同的数，它们的和能被3整除的概率为（ ）
A.B.C.D.
8.的零点的个数为（ ）
A.0B.1C.2D.3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.国际跳水比赛一共有八个评委现场打分，若八位评委给某个选手的打分分别为，记这组数据的平均分，中位数，方差，极差分别为、、、，去掉这组数据的一个最高分和一个最低分后，其平均数，中位数，方差，极差分别为、、、，则下列判断中一定正确的是（ ）
A.B.C.D.
10.在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.是的一条对称轴
C.将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，所得到的函数解析式为
D.在内恰有3个零点
11.如图，已知二面角的棱上有，两点，，，，，且，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.当二面角的大小为60°时，与平面所成的角为30°
C.若，则四面体的体积为
D.若，则二面角的余弦值为
12.如图，双曲线的左右顶点为，，为右支上一点（不包含顶点），，，，直线与的渐近线交于、，为线段的中点，则（ ）
A.双曲线的离心率为B.到两条渐近线的距离之积为
C.D.若直线与的斜率分别为，，则
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.展开式中项的系数是______.
14.已知，，，则的最小值为______.
15.已知是抛物线的焦点，过抛物线上一点作其准线的垂线，垂足为，若，则点的横坐标为______.
16.对，，当时，则的范围为______.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知，，分别是三角形三个内角，，的对边，已知，，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的周长.
18.（12分）
已知为等差数列，公差，中的部分项恰为等比数列，且公比为，若，，
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求数列的通项公式及其前项之和.
19.（12分）
如图，平面平面，点为半圆弧上异于，的点，在矩形中，，设平面与平面的交线为.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）当与半圆弧相切时，求平面与平面的夹角的余弦值.
20.（12分）
如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，最后落入袋或袋中.一次游戏中小球落入袋记1分，落入袋记2分，游戏可以重复进行.游戏过程中累计得分的概率为.
（Ⅰ）求，，.
（Ⅱ）写出与之间的递推关系，并求出的通项公式.
21.（12分）设动圆与圆外切，与圆内切.
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点且不与轴垂直的直线交轨迹于，两点，点关于轴的对称点为，为的外心，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
22.（12分）
已知函数，是大于0的常数.记曲线在点处的切线为，在轴上的截距为，
（Ⅰ）当，时求切线的方程；
（Ⅱ）证明：.
2024届高三湖北十一校第一次联考 参考答案
一、选择题
1.A【解析】，∴
2.C【解析】∴虚部为
3.A【解析】，或，前面可以推导后面，后面不能推导前面
4.B【解析】时，∴，再过年，
5.C【解析】，由投影的定义知∴
6.C【解析】，∴为奇函数，，
，∴∴为减函数，
或
7.D【解析】将按3同余分类得到：，，，
∴.
8.D【解析】由得，构造函数，求导得
在上单调递减，在上单调递增，上单调递减，且，
及时，的图像如图，得到有3个解.
9.BCD
10.AB【解析】由三角函数的定义的，
取，∴，∴A正确.
B：时，正确，
C：平移后应为所以C错.
D：由得，仅，1符合，恰有两个零点，所以D错.
11.AD【解析】A：，故A正确；
B：如图，过作，且，连接，，则为正方形，为二面角的平面角，当时，易得为正三角形，过作，则平面，故即为与平面所成的角.
在中，，故B错误；
C：时，到面的距离为1，所以四面体的体积为，所以C错
D：由可得如图，取的中点，的中点，连接，，则二面角的平面角为，，，所以.
12.ACD【解析】等轴双曲线的离心率为所以A正确，
B：设，所以B错.
C：，
所以，C正确.
D：方法1：设与双曲线及其渐近线依次交于，，，
由得中点的横坐标为
由得中点的横坐标为，
所以和的中点重合，即为双曲线弦的中点，由点差法得，所以D正确.
方法2：设，，
由
∴，所以D正确.
三.填空题：13. 14.25 15.6 16.
13.【解析】
14.25【解析】，
15.6【解析】由抛物线的定义知，所以，
，，，所以.
16.【解析】
两边取对数
所以在上单调递减，所以在上恒成立，解出
四.解答题：
17.解：（1）由得：……2分
∴
∵，故为锐角，∴……4分
∴……6分
（2）由（1）知：，
由正弦定理得：……10分
∴故的周长为14.……12分
18.解：（1）由，，成等比数列，故，即
即，又故，……2分
故等比数列的公比……4分
（2）在等差数列中，……6分
在等比数列中，
故，即……9分
……12分
19.解：（1）证明：∵四边形为矩形，∴，
∵平面，平面，∴平面……2分
又平面，平面平面，∴，……4分
∵平面，∴平面.……6分
（2）取，的中点分别为，，连接，，则，
∵平面平面，且交线为，∴平面，
又平面，，当与半圆弧相切时，，即，
以，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，……7分
不妨设，易得，，，，
则，，，
设为平面的一个法向量，
则，即，∴，令，则……9分
设为平面的一个法向量，则，
即令，则……11分
∴，所以两平面的夹角的余弦值为. ……12分
20.解：（1）小球三次碰撞全部向左偏或者全部向右偏落入袋，故概率
小球落入袋中的概率……2分
故，，……5分
（2）法1：游戏过程中累计得不到分，只可能在得到分后的一次游戏中小球落入袋（分）故即……8分
法2：游戏过程中累计得分可以分为两种情况：得到分后的一次游戏小球落入袋中（分），或得到分后的一次游戏中小球落入袋中（）分，
故
故为常数数列且，故即……8分
由……10分
故为等比数列且首项为，公比为
故，故……12分
21.解：（1）设动圆半径为，由圆与圆外切得：，由圆与圆内切得：故，……2分
故点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，故
∴点的轨迹的方程为：……4分
（2）设，，
由……6分
故，，的中点
故的中垂线的方程为：……8分
因为的中垂线为轴，故的中垂线与轴的交点即为外心，
令得：，故……9分
又……10分
故（定值）……12分
22.解：∴切线的方程为：即：
令得……2分
（1）当，时切线的方程为：……4分
（2）由得∵∴，
，令，
令，由得
且时，单调递增，时，单调递减
∴∴当，∴……6分
①当时，，
∵，∴∴……8分
②当时，
令，，，当时
∴在上单调递增∴∴
综上，……12分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
A
B
C
C
D
D
BCD
AB
AD
ACD