广东省2024届普通高中毕业班高三第二次调研考试数学试题

这是一份广东省2024届普通高中毕业班高三第二次调研考试数学试题，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．复数z满足2−i2z=−i，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．若集合A=x3x2-8x-3≤0，B=xx>1，定义集合A−B=x|x∈A且x∉B}，则A−B=（ ）
A．−13,3B．−13,1C．−13,1D．1,3
3．已知函数fx，gx的定义域为R，则“fx，gx为周期函数”是“fx+gx为周期函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知F1，F2是椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0的两个焦点，双曲线C2:x2m2−y23m2=1的一条渐近线l与C1交于A，B两点. 若F1F2=AB，则C1的离心率为（ ）
A．22B．32
C．2−1D．3−1
5．在1+3x+3x+1xx83的展开式中，所有有理项的系数之和为（ ）
A．84B．85C．127D．128
6．已知an是等差数列，数列nan是递增数列，则（ ）
A．a1>0B．a2<0
C．a3>0D．a4<0
7．如图，直线y=1与函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的图象的三个相邻的交点为A，B，C，且AB=π，BC=2π，则fx=（ ）

A．2sin23x+π3B．2sinx+π2
C．233sin23x+π3D．233sinx+π2
8．半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体ABCD−EFGH就是一个半正多面体，其中四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面ABCD与平面EFGH之间的距离为（ ）

A．2B．48C．112D．102
二、多选题
9．2023年10月3日第19届杭州亚运会跳水女子10米跳台迎来决赛，中国“梦之队”包揽了该项目的冠亚军.已知某次跳水比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为xii=1,2,3,4,5，平均数为x，若随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为yii=1,2,3,4，平均数为y，下面说法正确的是（ ）
A．新数据的极差可能等于原数据的极差
B．新数据的中位数可能等于原数据的中位数
C．若x=y，则新数据的方差一定大于原数据方差
D．若x=y，则新数据的第40百分位数一定大于原数据的第40百分位数
10．若平面向量a=n,2，b=1,m−1，其中n，m∈R，则下列说法正确的是（ ）
A．若2a+b=2,6，则a//b
B．若a=−2b，则与b同向的单位向量为22,−22
C．若n=1，且a与b的夹角为锐角，则实数m的取值范围为12,+∞
D．若a⊥b，则z=2n+4m的最小值为4
11．已知a∈R，函数fx=ax3−x+1有两个极值点x1，x2，则（ ）
A．a可能是负数
B．若a=4，则函数fx在12,f12处的切线方程为y=2x
C．fx1+fx2为定值
D．若存在x0∈R，使得fx0+2−fx0≤12，则012．已知函数fx=sinx+csx−sinx−csx，则下列关于函数fx的说法，正确的是（ ）
A．fx为奇函数
B．fx的最小正周期为2π
C．fx的最大值为2
D．fx在x=0处的切线方程为y=2x
三、填空题
13．写出满足“直线：mx−y−2m+1=0m∈R与圆：x2+y2=1相切”的一个m的值 .
14．已知O是坐标原点，点N2,1，且点M是圆C：x2+y2−2x−2y+1=0上的一点，则向量ON在向量OM上的投影向量的模的取值范围是 .
15．已知圆锥的外接球半径为2，则该圆锥的最大体积为 .
16．已知函数fx=xex−1−2a−lnx的最小值为0，则a的值为 .
四、解答题
17．多巴胺是一种神经传导物质，能够传递兴奋及开心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通过服装搭配来营造愉悦感的着装风格，通过色彩艳丽的时装调动正面的情绪，是一种“积极化的联想”.小李同学紧跟潮流，她选择搭配的颜色规则如下：从红色和蓝色两种颜色中选择，用“抽小球”的方式决定衣物颜色，现有一个箱子，里面装有质地、大小一样的4个红球和2个白球，从中任取4个小球，若取出的红球比白球多，则当天穿红色，否则穿蓝色.每种颜色的衣物包括连衣裙和套装，若小李同学选择了红色，再选连衣裙的可能性为0.6，而选择了蓝色后，再选连衣裙的可能性为0.5.
(1)写出小李同学抽到红球个数的分布列及期望；
(2)求小李同学当天穿连衣裙的概率.
18．已知抛物线C：y2=2pxp>0，焦点为F，准线为l，点Q在准线l上.倾斜角为θ0<θ<π2的直线经过点F与抛物线C交于A，B两点，且点A在第一象限.
(1)若Q在x轴上，证明：直线AQ的斜率等于sinθ；
(2)已知θ=π4，线段AB的垂直平分线经过点Q，并与x轴交于点M，四边形AQBM的面积为242，求p.
19．如图，在平面内，四边形ABCD的对角线交点位于四边形内部，AB=3，BC=7，△ACD为正三角形，设∠ABC=α.
(1)求AC的取值范围；
(2)当α变化时，求四边形ABCD面积的最大值.
20．记数列an的前n项和为Sn，已知a1=−6，且满足Sn+1+Sn+a2an+1=3.
(1)求数列an的通项公式；
(2)记数列bn的前n项和为Tn，若b3n=2n−an，b3n−1=an−2，b3n−2=an+n，求T35.
21．如图，在三棱锥D−ABC中，AB=AD=BD=32，AC=7，BC=CD=5.
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)在线段CD上是否存在一点E，使得二面角E−AB−C的正切值为28?若存在，求出CECD的值，若不存在，请说明理由.
22．已知a∈R，函数fx=x−1ln1−x−x−acsx，f′x为fx的导函数.
(1)当a=0时，求函数fx的单调区间；
(2)讨论f′x在区间0,1上的零点个数；
(3)比较110cs110与ln109的大小，并说明理由.
参考答案：
1．A
【分析】先计算复数 ,再求出共轭复数，最后根据复数的几何意义确定所在象限即可.
【详解】2-i2z=-i,z=-i2-i2=-i4+i2-4i=-i3-4i=-i3+4i3-4i3+4i=4-3i25,
z=425-325i,z=425+325i,对应点的坐标为425,325在第一象限.
故选：A.
2．C
【分析】化简集合A,B，结和所给定义域即可求解.
【详解】由3x2−8x−3≤0得−13≤x≤3，则A=[−13,3]，
又A−B=x|x∈A且x∉B}，则A−B= −13,1.
故选：C
3．D
【分析】根据通过反例和周期的性质判断即可.
【详解】两个周期函数之和是否为周期函数，取决于两个函数的周期的比是否为有理数，若为有理数，则有周期，若不为有理数，则无周期.
fx=sin2x的周期为π，gx=sinπx的周期为2，则当fx+gx时，只有周期的整数倍才是函数的周期，则不是充分条件；
若fx=sinx+x，gx=−x，
则fx+gx=sinx+x−x=sinx为周期函数，但fx=sinx+x，gx=x为周期函数不正确，故不是必要条件；
因此为不充分不必要条件.
故选：D
4．D
【分析】根据双曲线渐近线方程可得∠AOF2=60°，可得AO=OF2=AF2=c，再结合椭圆定义及离心率公式可得解.
【详解】
如图所示，
由已知C2:x2m2−y23m2=1，则渐近线l:y=3x，
即∠AOF2=60°，
又F1F2=AB，
即OF2=OA，且四边形AF1BF2为矩形，
所以AO=OF2=AF2=c，
则AF1=3c，
又根据椭圆定义可知AF1+AF2=3c+c=2a，
所以离心率e=ca=23+1=3−1，
故选：D.
5．D
【分析】由题意得(1+3x+3x+1xx)83=(1+1x)8，结合展开式的通项公式即可求解.
【详解】由题意知(1+3x+3x+1xx)83=(1+1x)8，
展开式的通项公式为C8r⋅18−r⋅(1x)r=C8r⋅x−12r (0≤r≤8,r∈N)，
当r=0,2,4,6,8时，C8r⋅x−12r为有理项，
所以所有有理项的系数之和为C80+C82+C84+C86+C88=128.
故选：D.
6．C
【分析】根据等差数列与递增数列的概念列出不等式，即可得解.
【详解】设等差数列an的通项公式为an=a1+n−1d，n∈N∗，
又数列nan是递增数列，
则n+1an+1>nan，n∈N∗，
即n+1a1+nd>na1+n−1d，
化简可得a1+2nd>0，n∈N∗，
即a1+2nd=a2n+1>0，n∈N∗，
当n=1时，a3>0，则C正确，ABD选项符号无法判定，
故选：C.
7．A
【分析】由题意可得相邻对称轴间距离求出周期得出ω排除BD，再由x=0区分AC即可得解.
【详解】因为AB=π，BC=2π，
所以相邻两对称轴间的距离π2+π=3π2，即周期T=3π，所以ω=2π3π=23，
排除BD，
当x=0时，代入f(x)=2sin23x+π3，可得f(0)=3>1，满足题意，
代入f(x)=233sin23x+π3，可得f(0)=233×32=1，不符合题意，
故A正确C错误.
故选：A
8．B
【分析】分别取BC,AD的中点M,N，作出截面EGMN，结合几何体的性质，确定梯形EGMN的高即为平面ABCD与平面EFGH之间的距离，由此即可求得答案.
【详解】分别取BC,AD的中点M,N，连接MN,MG,NE,EG，

根据半正多面体的性质可知，四边形EGMN为等腰梯形；
根据题意可知BC⊥MN,BC⊥MG，
而MN∩MG=M,MN,MG⊂平面EGMN，
故BC⊥平面EGMN，又BC⊂平面ABCD，
故平面ABCD⊥平面EGMN，则平面EFGH⊥平面EGMN，
作MS⊥EG，垂足为S，平面EFGH∩平面EGMN=EG，
MS⊂平面EGMN，故MS⊥平面EFGH，
则梯形EGMN的高即为平面ABCD与平面EFGH之间的距离；
MG=2×32=3,SG=22−22=2−1，
故MS=MG2−SG2=3−(2−1)2=22=48，
即平面ABCD与平面EFGH之间的距离为48，
故选：B
【点睛】关键点睛：本题考查了空间想象能力，解答的关键是根据几何体的结构特征，作出其截面图，确定梯形EGMN的高即为平面ABCD与平面EFGH之间的距离，即可求得答案.
9．ABC
【分析】根据极差、中位数、平均数和方差的概念，以及百分位数的概念及计算方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，若随机删去任一轮的成绩，恰好不是最高成绩和最低成绩，此时新数据的极差可能等于原数据的极差，所以A正确；
对于B中，不妨假设x1当12x2+x4=x3时，若随机删去的成绩是x3，此时新数据的中位数等于原数据的中位数，所以B正确；
对于C中，若x=y，即删去的数据恰为平均数，根据方差的计算公式，分子不变，分母变小，所以方差会变大，所以C正确；
对于D中，若x=y，即删去的数据恰为平均数，在按从小到大的顺序排列的5个数据中，
因为5×40%=2，此时原数据的40%分位数为第二数和第三个数的平均数；
删去一个数据后的4个数据，从小到大的顺序排列，可得4×40%=1.6，
此时新数据的40%分位数为第二个数，
显然新数据的40%分位数小于原数据的40%分位数，所以D错误.
故选：ABC.
10．BD
【分析】根据向量的线性运算可判断AB选项，再根据向量夹角公式可判断C选项，结合向量垂直的坐标表示及基本不等式可判断D选项.
【详解】由a=n,2，b=1,m−1，
A选项：2a+b=2n+1,3+m=2,6，
则2n+1=23+m=6，解得m=3n=12，则a=12,2，b=1,2，
所以不存在λ，使b=λa，即a，b不共线，A选项错误；
B选项：a=−2b，则n=−22=−2m−1，解得m=0n=−2，
即a=−2,2，b=1,−1，b=12+−12=2，
所以与b同向的单位向量为bb=22,−22，B选项正确；
C选项：n=1时，a=1,2，
又a与b的夹角为锐角，
则a→⋅b→=1×1+2×m−1>0m-1≠2，解得m>12，且m≠3，
即m∈12,3∪3,+∞，C选项错误；
D选项：由a⊥b，得a⋅b=n+2m−1=2m+n−2=0，即2m+n=2，
所以z=2n+4m=2n+22m≥22n⋅22m=222m+n=222=4，
当且仅当2n=22m，即n=2m=1时，等号成立，D选项正确；
故选：BD.
11．BCD
【分析】根据导数与切线、极值点、绝对值不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】若a=4，fx=4x3−x+1,f′x=12x2−1,f12=12−12+1=1,f′12=3−1=2，
所以函数fx在12,f12处的切线方程为y−1=2x−12,y=2x，B选项正确.
f′x=3ax2−1，
当a≤0时，f′x<0,fx单调递减，没有极值，所以A选项错误，
当a>0时，由3ax2−1=0解得x1=−13a,x2=13a，
所以fx在区间−∞,x1,x2,+∞上f′x>0,fx单调递增，
在区间x1,x2上f′x<0,fx单调递减，
所以x1是fx的极大值点，x2是fx的极小值点，
而3ax12−1=0,3ax22−1=0,ax12=13,ax22=13，
所以fx1+fx2 =ax13−x1+1+ax23−x2+1=x1ax12−1+x2ax22−1+2
=−23x1+x2+2=2为定值，C选项正确.
D选项，若存在x0∈R，使得fx0+2−fx0≤12，
即ax0+23−x0+2+1−ax03−x0+1≤12，
即3ax02+6ax0+4a−1≤14，−14≤3ax02+6ax0+4a−1≤14，
即3ax02+6ax0+4a−1≥−143ax02+6ax0+4a−1≤14，即3ax02+6ax0+4a−34≥03ax02+6ax0+4a−54≤0，
由于a>0，所以3ax02+6ax0+4a−34≥0必存在，
对于3ax02+6ax0+4a−54≤0，则有Δ=36a2−12a4a−54=−12a2+15a≥0，
a4a−5≤0，解得0故选：BCD
12．AD
【分析】利用fx=-f-x可对A项判断；利用周期函数定义可得fx+π=fx可对B项判断；由fx的周期为π，分情况讨论出fx的最大值即可对C项判断；求出fx的导数，从而可对D项判断.
【详解】对于A项：f-x=sin-x+cs-x-sin-x-cs-x=csx-sinx-sinx+csx=-fx
所以fx为奇函数，故A项正确；
对于B项：fx+π=sinx+π+csx+π-sinx+π-csx+π
=sinx+csx-sinx-csx=fx，所以fx的最小正周期不是2π，故B项错误；
对于C项：由B项知，取x∈[0,π]，x∈[0,π4)时，fx=2sinx，且在区间[0,π4)上单调递增，fx∈[0,2)，
同理可得：当x∈[π4,3π4)时，fx=2csx，fx∈(-2,2]，
当x∈[3π4,π]时，fx=-2sinx，fx∈[-2,0]，
所以fx的最大值为2，故C项错误.
对于D项：f0=0，由C项知：x∈[0,π4)时，fx=2sinx，所以f'x=2csx，
所以f'0=2cs0=2，
所以可得fx在x=0处的切线方程为：y=2x.故D项正确.
故选：AD.
13．0（或43，答案不唯一）
【分析】根据直线与圆的位置关系列方程可得解.
【详解】由已知圆：x2+y2=1的圆心为0,0，半径r=1，
又直线：mx−y−2m+1=0m∈R与圆：x2+y2=1相切，
所以圆心到直线的距离d=−2m+1m2+−12=1，
解得m=0或m=43，
故答案为：0（或43，答案不唯一）.
14．1,3
【分析】设直线OM的斜率为k，倾斜角为α，ON的倾斜角为β，可表示csOM,ON，再根据投影向量的模的概念可得解.
【详解】设直线OM倾斜角为α，ON的倾斜角为β，
当直线OM的斜率存在时，设直线OM方程为y=kx，即kx−y=0
由圆C：x2+y2−2x−2y+1=0，即x−12+y−12=1，
所以圆心C1,1，半径r=1，
又点M在圆上，
所以点C到直线OM的距离d=k−1k2+1≤r，解得k≥0，即α∈0,π2，
当直线OM的斜率不存在时，OM方程为x=0与圆C相切，成立，此时α=π2，
综上α∈0,π2，tanα∈0,+∞，
则tanα−β=tanα−tanβ1+tanα⋅tanβ=tanα−221+22tanα=2−322+2tanα，
所以tanα−β∈−22,2，即tanα−β∈0,2
所以csα−β∈33,1，
即csOM,ON=csα−β∈33,1，
又ON=22+12=3
所以向量ON在向量OM上的投影向量的模为ONcsOM,ON∈1,3，
故答案为：1,3.
15．25681π/256π81
【分析】设圆锥的高为h，底面圆的半径为r，由勾股定理得r2=4h−h2，根据圆锥的体积公式得V=4π3h2−π3h3，利用导数研究函数V(h)的性质求出V(h)max即可求解.
【详解】设圆锥的高为h，底面圆的半径为r，
则(h−2)2+r2=22，即r2=4h−h2，
所以该圆锥的体积为V=13πr2h=13π(4h−h2)h=4π3h2−π3h3，
设函数V(h)=4π3h2−π3h3(h>0)，则V′(h)=8π3h−πh2，
令V′(h)>0⇒0令V′(h)<0⇒h>83，函数V(h)单调递减，
所以V(h)max=V(83)=4π3×(83)2−π3×(83)3=25681π.
即圆锥的最大体积为25681π.
故答案为：25681π.
16．12/0.5
【分析】对fx求导，进而研究g(x)=f′x的单调性，根据fx有最小值为0，则∃x0∈(0,+∞)使f′x0=0，且fx0=0求出x0，即可求参数值.
【详解】由f′x=(x+1)ex−1−1x−2a，且x∈(0,+∞)，
令g(x)=f′x，则g′(x)=(x+2)ex−1+1x2>0，即g(x)在(0,+∞)上递增，
所以f′x在(0,+∞)上递增，又fx有最小值为0，故fx先减后增，
所以，∃x0∈(0,+∞)使f′x0=(x0+1)ex0−1−1x0−2a=0，且fx0=x0ex0−1−2a−lnx0=0
则(x0+1)ex0−1−1x0=2ax0ex0−1−2a=lnx0，故x02ex0−1+lnx0=1，即x0=1，
所以2a=1⇒a=12.
故答案为：12
17．(1)分布列见解析，83
(2)1425.
【分析】（1）根据超几何分布求出P(X=4),P(X=3),P(X=2)的概率，列出分布列，求出数学期望即可；
（2）设A表示穿红色衣物，则A表示穿蓝色衣物，B表示穿连衣裙，则B表示穿套装.求出P(A),P(A),P(BA),P(BA)，结合条件概率和PB=PBAPA+PBAPA计算即可求解.
【详解】（1）设抽到红球的个数为X，则X的取值可能为4，3，2，
PX=4=C44C64=115，PX=3=C43C21C64=815，PX=2=C42C22C64=25，
所以X的分布列为：
故EX=4×115+3×812+2×25=83.
（2）设A表示穿红色衣物，则A表示穿蓝色衣物，B表示穿连衣裙，则B表示穿套装.
因为穿红色衣物的概率为PA=PX=4+PX=3=115+815=35，
则穿蓝色衣物的概率为PA=PX=2=25，
穿红色连衣裙的概率为PBA=0.6=35，穿蓝色连衣裙的概率为PBA=0.5=12，
则当天穿连衣裙的概率为PB=PBAPA+PBAPA=35×35+12×25=1425.
所以小李同学当天穿连衣裙的概率为1425.
18．(1)证明见解析
(2)p=2.
【分析】（1）应用抛物线的定义及三角函数的定义，构建直角三角形即可；
（2）设直线AB的方程为y=x−p2，与抛物线联立得x1+x2=3p，即可求得线段AB的中点为32p,p，进而求出直线QM的方程，进而得点M,Q坐标，结合两点距离公式，可得|QM|，由AB⊥QM，即可求面积，即可求解.
【详解】（1）证明：过点A作AH⊥x轴，垂足为H，过点A作AE⊥l，垂足为E，则四边形EQHA为矩形.
而sinθ=AHAF，而kAQ=tan∠AQH=AHQH，
由抛物线的定义，AF=AE，而AE=QH，故AF=QH，从而kAQ=AHAF=sinθ.
（2）由题得，直线AB的方程为y=x−p2，设Ax1,y1，Bx2,y2，
联立y2=2pxy=x−p2，消去y，可得x2−3px+p24=0，
易知Δ>0，故x1+x2=3p，从而AB=x1+x2+p=4p，y1+y2=x1+x2−p=2p.
于是线段AB的中点为32p,p.
又θ=π4，所以直线QM的斜率为−1，故可得直线QM的方程为y−p=−x−3p2，即y=−x+5p2.
令y=0，得x=5p2，故M5p2,0，
令x=−p2，得y=3p，故Q−p2,3p.
于是QM=3p2+−3p2=32p.
因为AB⊥QM，故四边形AQBM的面积为12AB⋅QM=12×4p×32p=242，
解得p=2.
19．(1)5,10
(2)21+2923
【分析】（1）由四边形可知∠BAC的取值范围，再在△ABC余弦定理可得AC2+3AC−40>0且AC2−6AC−40<0，解不等式可得AC的取值范围；
（2）在△ABC由余弦定理可知csα∈−1,1114，分别求△ABC和△ACD面积，可得四边形面积的最值.
【详解】（1）因为四边形ABCD的对角线交点位于四边形内部，
所以∠BAC+∠CAD<π，又因为△ACD为正三角形，∠CAD=π3，所以0<∠BAC<2π3.
在△ABC中，由余弦定理得AB2+AC2−BC22AB⋅AC=cs∠BAC，
又因−12将AB=3，BC=7代入并整理得AC2+3AC−40>0且AC2−6AC−40<0，解得5所以AC的取值范围是5,10；
（2）在△ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅csα=9+49−2×3×7csα=58−42csα，
由（1）知5又因为△ACD为正三角形，所以S△ACD=34AC2=2923−2123csα，
又S△ABC=12AB⋅BC⋅sinα=212sinα，
所以S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=212sinα+2923−2123csα
=21×12sinα−32csα+2923=21sinα−π3+2923，
所以当α−π3=π2，即α=5π6时，且cs5π6=−12∈−1,1114成立，
四边形ABCD的面积取得最大值，最大值为21+2923.
20．(1)an=−3×2n
(2)-36672
【分析】（1）利用an=Sn−Sn−1得到数列an为等比数列，利用等比数列的通项公式求解；
（2）求出b3n+b3n−1+b3n−2，然后利用分组求和法求和即可.
【详解】（1）因为Sn+1+Sn+a2=3an+1，则当n≥2时，Sn+Sn−1+a2=3an，
两式相减可得an+1+an=3an+1−3ann≥2，则an+1=2ann≥2，
且当n=1时，S2+S1+a2a2=3，解得a2=2a1，
所以an是首项为−6，公比为2的等比数列，
所以an=−6×2n−1=−3×2n，
即an=−3×2n；
（2）因为b3n+b3n−1+b3n−2=an+3n−2=−3×2n+3n−2，
则T35=b1+b2+b3+b4+b5+b6+⋯+b34+b35+b36−b36
=−3×21+22+⋯+212+1×12+12×112×3−2×12−a12
=−3×21−2121−2+210−24+3×212=−36672.
21．(1)证明见解析
(2)存在，28.
【分析】（1）用余弦定理求角，再用几何关系证明线面垂直即可证明面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，用向量方法进行坐标运算即可求解.
【详解】（1）证明：在△ACD中，cs∠CAD=AC2+AD2−CD22AC⋅AD=49+18−252×7×32=22，所以∠CAD=45°，
过点D作DO⊥AC于点O，连接BO，则DO=AD⋅sin45°=3，
因为AD=AD，BC=CD，AC为公共边，所以△ABC≅△ADC.
所以BO=OD=3，且BO⊥AC，又BD=32，所以OB2+OD2=BD2，所以OD⊥OB，
又因为OB，AC⊂平面ABC，OB∩AC=O，所以OD⊥平面ABC，
又因为OD⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面ABC.
（2）设存在满足题意的点E，由（1）可知OA，OB，OD两两垂直，以点O为坐标原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则OA=3，OC=4，则A3,0,0，B0,3,0，D0,0,3，C−4,0,0，
AB=−3,3,0，AC=−7,0,0，CD=4,0,3，
设CE=λCD，0<λ<1，则AE=AC+CE=AC+λCD=−7,0,0+λ4,0,3=(4λ−7,0,3λ)，
显然平面ABC的法向量m=0,0,1.
设平面ABE的法向量n=x,y,z，则n⋅AB=−3x+3y=0n⋅AE=4λ−7x+3λz=0⇒x=y7−4λx=3λz，
取x=3λ，则y=3λ，z=7−4λ，所以n=(3λ,3λ,7−4λ)，
若二面角E−AB−C的正切值为28，则其余弦值为822+82=866，
则cs〈m,n〉=|m⋅n|m⋅n=7−4λ9λ2+9λ2+7−4λ2=7−4λ34λ2−56λ+49=866，
整理得80λ2+8λ−7=0，所以4λ−120λ+7=0，又因为0<λ<1，所以λ=14，
所以CE=14CD，即当CECD=14时，二面角E−AB−C的正切值为28.
22．(1)fx的单调递增区间为−∞,0，单调递减区间为0,1
(2)答案见解析
(3)110cs110【分析】（1）求导可得f′x=ln1−x (x<1)，根据f′x>0和f′x<0即可求解；
（2）令gx=f′x，则g′x=a1−xcsx−11−x，x∈0,1.易知当a≤1时g′x<0，从而gx单调递减；当a>1时令hx=a1−xcsx−1，利用导数讨论函数h(x)的单调性，根据零点的存在性定理分析函数gx的单调性可得gx<0，即可得出零点的个数；
（3）由（2）可得当a≤1时ln1−x+asinx<0在0,1上恒成立.利用导数讨论函数mx=x−tanx的性质可得xcsx【详解】（1）当a=0时，fx=x−1ln1−x−x，其定义域为−∞,1，
f′x=ln1−x，令f′x=ln1−x=0，得x=0.
当x∈−∞,0时，f′x>0，故fx在−∞,0上单调递增；
当x∈0,1时，f′x<0，故fx在0,1上单调递减.
因此，函数fx的单调递增区间为−∞,0，单调递减区间为0,1.
（2）令gx=f′x=ln1−x+asinx，
则g′x=−11−x+acsx=a1−xcsx−11−x，x∈0,1.
因为x∈0,1，则1−x∈0,1，csx∈0,1，则1−xcsx∈0,1.
当a≤1时，则a1−xcsx−1<0，
故g′x<0，从而gx在0,1上单调递减；
而g0=0，故当x∈0,1时，gx故gx在区间0,1上无零点；即f′x在区间0,1上无零点；
当a>1时，令hx=a1−xcsx−1，则h′x=−acsx+1−xsinx，
因为x∈0,1，则csx+1−xsinx>0，
从而h′x<0，即hx在0,1上单调递减；
而h0=a−1>0，h1=−1<0，
因此存在唯一的x0∈0,1，使得hx0=0，
并且当x∈0,x0时，hx>0；当x∈x0,1时，hx<0.
即当x∈0,x0时，g′x>0，当x∈x0,1时，g′x<0.
故当x∈0,x0时，gx单调递增，当x∈x0,1时，gx单调递减.
而g0=0，故gx0>0；
取N=1−e−2a∈0,1，当x>N时，gx=ln1−x+asinx所以存在唯一的m∈x0,1，使得gm=0，即f′x在区间0,1上有唯一零点.
综上所述，当a>1时，f′x在0,1上有唯一的零点；
当a≤1时，f′x在0,1上没有零点.
（3）110cs110理由如下：
[解法一]由（2）可得，当a≤1时，ln1−x+asinx<0在0,1上恒成立.
即当a=1时，sinx以下证明不等式：当x∈0,π2时，有x令mx=x−tanx，则m′x=1−1cs2x<0，故mx在0,π2上单调递减，
则mx而sinx取x=110，则有110cs110[解法二]显然cs110∈0,1，故110cs110<110，
以下证明不等式：当x∈−1,+∞时，有ln1+x≤x.
令px=ln1+x−x，则令p′x=11+x−1=−x1+x=0，得x=0.
故当x∈−1,0时，p′x>0，从而px在−1,0上单调递增；
当x∈0,+∞时，p′x<0，从而px在0,+∞上单调递减.
故x=0是px=ln1+x−x的极大值点，并且是最大值点，
故px≤p0=0，即ln1+x≤x，x∈−1,+∞.
取x=−110，则ln910<−110，故ln109>110，
故110cs110<110【点睛】方点点睛：利用导数研究函数零点问题，不论哪种方法，其核心步骤都是构造函数.利用已知的函数或已知条件将问题转化，重新构造函数模型，通过导数研究函数模型的单调性、极值或最值等达到解决问题的目的.
X
4
3
2
P
115
815
25