北师大版九年级数学上册 专题4.8 相似三角形的常见模型【八大题型】（举一反三）（学生版）

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\l "_Tc28027" 【题型1 A字型】 PAGEREF _Tc28027 \h 2
\l "_Tc27968" 【题型2 “8”字形】 PAGEREF _Tc27968 \h 3
\l "_Tc13487" 【题型3 AX字型】 PAGEREF _Tc13487 \h 4
\l "_Tc31320" 【题型4 子母型】 PAGEREF _Tc31320 \h 6
\l "_Tc17647" 【题型5 三角形内接矩形型】 PAGEREF _Tc17647 \h 8
\l "_Tc1063" 【题型6 双垂直型】 PAGEREF _Tc1063 \h 9
\l "_Tc21621" 【题型7 手拉手型】 PAGEREF _Tc21621 \h 11
\l "_Tc14553" 【题型8 一线三角型】 PAGEREF _Tc14553 \h 13
【基本模型】
①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，．
②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：；

③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔．
【题型1 A字型】
【例1】（2023·湖南·永州柳子中学九年级期中）如图，王华晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往前走2米到达处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯的高度等于_________．
【变式1-1】（2023·江苏·常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．
（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的；
（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．
【变式1-2】（2023·全国·九年级专题练习）有一块直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）．
【变式1-3】（2023·云南楚雄·九年级期末）直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（ ）
A．B．C．D．
【基本模型】
①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔；
②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔．

③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔．
【题型2 “8”字形】
【例2】（2023·全国·九年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( )
A．8B．10C．12D．14
【变式2-1】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，BC＝6，，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（ ）
A．9B．12C．18D．24
【变式2-2】（2023·吉林·长春市赫行实验学校二模）如图，在中，，，，点为上一点，连接，为上一点，于点，当时，求的长．
【变式2-3】（2023·陕西渭南·九年级阶段练习）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值．
【基本模型】
A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.
【题型3 AX字型】
【例3】（2023·河南新乡·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】（2023·河北石家庄·九年级期末）已知中，，（如图）．以线段为边向外作等边三角形，点是线段的中点，连接并延长交线段于点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）连接，交于点．
①若，求的长；
②作，垂足为，求证：．
【变式3-3】（2023·湖南株洲·九年级期末）如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1．
（1）请你探究：，是否都成立？
（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断．
（3）如图（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90︒，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于点E，试求的值．
【基本模型】
如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．．
如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．
当时，，则有．
【题型4 子母型】
【例4】（2023·重庆实验外国语学校九年级期末）如图，在中，，，，，，则CD的长为______．
【变式4-1】（2023·辽宁·阜新市第四中学九年级阶段练习）已知：如图1，中，是的角平分线，．
求证：与互为母子三角形．
（3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值．
【变式4-2】（2023·辽宁鞍山·二模）在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）如图（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的长；
（2）如图（2），过点A分别作AC，BD的垂线，分别交BC，BD于点E，F．
①求证：∠ABC＝∠EAF；
②求的值．
【变式4-3】（2023·北京市第一五六中学九年级期中）如图，中，点分别是的中点，与点．
（1）求证：；
（2）求的大小；
（3）若，求的面积．
【基本模型】
由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。

结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，
【题型5 三角形内接矩形型】
【例5】（2023秋•南岗区校级月考）如图1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上．
（1）求正方形DEFG的边长；
（2）如图2，在BC边上放两个小正方形DEFG、FGMN，则DE= ．
【变式5-1】（2023秋•道里区期末）如图，正方形EFGH内接于△ABC，AD⊥BC于点D，交EH于点M，BC＝10cm，AD＝20cm．求正方形EFGH的边长．
【变式5-2】（2023秋•八步区期中）一块直角三角形木板的面积为，一条直角边为，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）．
【变式5-3】（2023秋•渭滨区期末）（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：；
（2） 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．
①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；
②如图3，求证MN2=DM·EN．
【基本模型】
①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
②拓展：
（1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在和内均有射影定理模型．
（2）如图，在圆中也会出现射影定理模型．

【题型6 双垂直型】
【例6】（2023秋•青羊区校级月考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将
两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD＝3，BC＝5，则EF的长是（ ）
A.eq \r(15) B．2eq \r(15) C.eq \r(17) D．2eq \r(17)
【变式6-1】（2023秋•杜尔伯特县期末）如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分别为D、E两点，则图中与△ABC相似的三角形有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式6-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．
（1）求证 △ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
【变式6-3】（2023秋•汝州市校级月考）中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的长．
【基本模型】
①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.
②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为．

总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似．
③如图所示，，则，，且．
【题型7 手拉手型】
【例7】（2023春•江阴市期中）如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为（ ）
A．5：3B．4：3C．：2D．2：
【变式7-1】（2023秋•岳阳县期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC；
（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由．
（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝，请直接写出点D到CP的距离．
【变式7-2】（2023秋•炎陵县期末）如图，以的两边、分别向外作等边和等边，与交于点，已知，，．
（1）求证：；
（2）求的度数及的长；
（3）若点、分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接、、，作出图象，求的长．
【变式7-3】（2023春•栖霞市期末）如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点，，点M、N分别在直线BC、DC上．
（1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：；
（2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为 ；
（3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若，，求EF的长．
【基本模型】
(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.
(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.
特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.

补充：其他常见的一线三等角图形

【题型8 一线三角型】
【例8】（2023秋•灌云县期末）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．
【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．
【变式8-1】（2023•雨城区校级开学）如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．
（1）求证△ABP∽△PCD；
（2）求△ABC的边长．
【变式8-2】（2023秋•渝中区期末）如图，在矩形ABCD中，CD＝4，E是BC的中点，连接AE，tan∠AEB，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点处，当是直角三角形时，PD的值为（ ）
A．或B．或C．或D．或
【变式8-3】（2023秋•椒江区校级月考）【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．
（1）求证：．
【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，，求线段DE的长．
【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）．