广西北海市2023届高三上学期第一次模拟考试数学（文）试题(含答案)

这是一份广西北海市2023届高三上学期第一次模拟考试数学（文）试题(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、已知集合,集合,则等于( )
A.B.C.D.
2、已知复数z满足,若z为纯虚数,则( )
A.-3B.C.3D.0
3、在等差数列中,,,则( )
A.19B.18C.17D.20
4、已知向量是单位向量,向量,且,则与的夹角为( )
A.B.C.D.
5、设实数x,y满足则的最小值为( )
A.-4B.-3C.-2D.-1
6、2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一,可以这样描述:存在无穷多个素数p,使得是素数.素数对称为孪生素数从10以内的素数中任取两个,其中能构成孪生素数的概率为( )
A.B.C.D.
7、在连续五次月考中,甲、乙两人的成绩依次为
甲：124,126,132,128,130
乙：121,128,135,133,123
则下列说法正确的是( )
A.甲的成绩在逐渐上升
B.甲的平均成绩比乙的高
C.甲的发挥比乙的发挥更为稳定
D.随机取其中同一次成绩,甲得分低于乙的概率为
8、已知;,若p是q的充分条件,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
9、已知圆与恰好有4条公切线,则实数a的取值范围是( )
A.B.
C.D.
10、已知点P是抛物线上的一点,过点作直线的垂线,垂足为,若,则的最小值为( )
A.B.C.D.
11、已知点P是半径为2的球O内的一点,且,过点P的平面截球O所得截面圆的圆心为M.则当圆M的面积最小时,以圆M为底面,以球心O为顶点的圆锥的体积为( )
A.B.C.D.
12、如图,已知双曲线的左,右焦点分别为,,正六边形的一边的中点恰好在双曲线M上,则双曲线M的离心率是( )
A.B.C.D.
二、填空题
13、函数的增区间为___________.
14、_____________.
15、已知奇函数的定义域为R，且对任意恒成立，若，则____________.
16、已知正项等比数列的公比大于1，且，则使得数列的前n项积的n的最小值为____________.
三、解答题
17、近年来，新能源汽车产业大规模发展，某品牌汽车投人市场以来，受到多位消费者欢迎，汽车厂家为扩大销售，对旗下两种车型电池续航进行满意度调查，制作了如下2×2列联表.
已知从全部100人中随机抽取1人调查满意度为满意的概率为
附：，其中.
(1)完成上面的列联表；
(2)根据（2）中的列联表，判断是否有90%的把握认为满意度与消费者的性别有关?
18、已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求角B的大小;
(2)若,求周长的最大值.
19、如图,在直棱柱中,底面四边形ABCD是边长为的菱形,,E为AB的中点,F为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若点P为线段EF上的动点,求点P到平面的距离.
20、已知函数，其中.
(1)当时，求在处的切线方程：
(2)当且时，存在一个极小值点，若.求实数a的取值范围.
21、已知椭圆的左、右焦点分别为,,点在椭圆C上,且椭圆C的离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)相互垂直且斜率存在的直线,都过点,直线与椭圆相交于P、Q 两点,直线与椭圆相交于M、N两点,点D为线段PQ的中点,点E为线段MN的中点,证明：直线DE过定点.
22、在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为（为参数）.以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.
(1)求曲线C的标准方程与直线l的直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,求A,B两点的极坐标.
23、已知函数.
(1)若,求不等式的解集;
(2)若,求实数a的取值范围.
参考答案
1、答案：D
解析：,.
故选：D.
2、答案：C
解析：因为为纯虚数,所以且,所以.
故选：C.
3、答案：C
解析：设等差数列的公差为d,
则由题意可得,解得,
所以,
故选：C.
4、答案：C
解析：由题意可知,,
,,
故,
因为,即和的夹角为.
故选：C
5、答案：B
解析：如图,由约束条件作出可行域,
联立解得.
由图可知,当直线经过点A时,
直线在y轴上的截距最大,z有最小值.
此时.
故选：B.
6、答案：A
解析：在10以内的素数中,所有的素数有：2,3,5,7;随机选取两个不同的数,其中能组成孪生素数的个数有2个,即和;则在10以内的素数中,随机选取两个不同的素数,能选的个数为,所以,孪生素数从10以内的素数中任取两个,其中能构成孪生素数的概率为.
答案选A.
7、答案：C
解析：A选项,根据甲的数据可知,甲的成绩不是逐渐上升,A选项错误.
B选项,,两个人的平均成绩相同,B选项错误.
C选项,甲的成绩的方差为：
,
乙的成绩的方差为：
,
,所以甲的发挥比乙稳定,C选项正确.
D选项,五次月考中,同一场次,甲比乙低分的有3次,所以概率为,D选项错误.
故选：C.
8、答案：C
解析：由可得：,解得：,
记,,
若p是q的充分条件,
则A是B的子集,所以,
所以实数m的取值范围是,
故选：C.
9、答案：D
解析：因为圆：与：恰好有4条公切线,所以圆与外离,所以,解得或,即实数a的取值范围是.
故选：D.
10、答案：A
解析：抛物线C的焦点为,准线方程为,
所以,当且仅当点P在线段FG上时等号成立,
所以的最小值为.
故选：A.
11、答案：C
解析：由题意可知,,
所以截面半径,且当M,P重合时,r取得最小值,此时截面面积,
则圆锥的体积.
故选：C.
12、答案：B
解析：设的中点为P,连接OP,,得,,
所以,,
在中,
由余弦定理得
,
所以,所以,
所以双曲线M的离心率.
故选：B.
13、答案：
解析：由题得,可得.
故函数的增区间为.
故答案为：.
14、答案：1
解析：.
故答案为：1.
15、答案：2
解析：由题知，，所以周期为4，
因为奇函数，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
又，所以，
因为，
所以.
故答案为：2
16、答案：9
解析：设公比为，且，
由，有，有，有，
有，可得.
又由，
，，
故使得数列的前n项积的n的最小值为9.
故答案为：9
17、答案：(1)见解析
(2)没有90%的把握认满意度是否与消费者的性别有关
解析：（1）根据题意，满意的总人数为，
完成列联表如图：
（2），
没有90%的把握认满意度是否与消费者的性别有关.
18、答案：(1)
(2)
解析：（1）由及正弦定理得,
因为,
所以,因为,,
所以,,
又,解得;
（2）,,即,
所以,当且仅当时等号成立,
所以,当且仅当时等号成立.
所以周长的最大值为.
19、答案：(1)见解析
(2)
解析：（1）证明：如图,取BC的中点G,连接FG,EG,.
因为G为BC的中点,E为AB的中点,所以,
因为平面,平面,所以平面.
因为G为BC的中点,F为的中点,所以.
因为直棱柱,底面ABCD是菱形,所以,所以,
因为平面,平面,所以平面.
因为,EG,平面EFG,
所以平面平面.
又因为平面EFG,所以平面.
（2）如图,连接BD与AC相交于点O,连接CE,
在中,,同理,
由菱形ABCD可知,,
在中,.
设点P到平面的距离为d.
由平面,可知点E到平面的距离也为d,
由,可得的面积为,
的面积为.
,,
由,得,可得,
故点P到平面的距离为.
20、答案：(1)
(2).
解析：(1)当时，，，有，，
因此有，即，
所以在处的切线方程为.
(2)函数，则，，
，
由，解得或，
①若，有，，则当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
因此有一个极小值点，即，于是得，解得，则，
②若，则，则当或时，，当时，，
在，上单调递增，在上单调递减，
因此有一个极小值点，即，于是得，解得，无解，
③若，有，则当或时，，当时，，
在，上单调递增，在上单调递减，
因此有一个极小值点，即，于是得，解得，则，
综上，实数a的取值范围为.
21、答案：(1).
(2)直线DE过定点,证明见解析.
解析：（1）设点,的坐标分别为、,
由题意有解得故椭圆C的标准方程为;
（2）证明：设直线的斜率为,可得直线的斜率为,
设点D的坐标为,点的坐标为,直线的方程为,
联立方程消除y后有,有,
可得,,
同理,,
由对称性可知直线DE所过的定点T必定在x轴上,设点T的坐标为,
有,有,化简得,解得,
故直线DE过定点.
22、答案：(1)曲线C的标准方程为,直线l的极直角坐标方程为;
(2)点A的极坐标为,点B的极坐标为
解析：（1）因为曲线C的参数方程为（为参数）,
所以曲线C的普通方程为,
因为直线l的极坐标方程为,且,
所以直线l的直角坐标方程为;
（2）依题意得,联立方程解得或
故点A,B的直角坐标分别为,,
设点A,B的极坐标分别为,,(其中,,,)
则,;,;
因为点A在第四象限,点B在x轴的正半轴,所以,,
所以点A的极坐标为,点B的极坐标为.
23、答案：(1)
(2)
解析：（1）当时,,不等式可化为,
当时,不等式化为, ,此时;
当时,不等式化为,因为恒成立,所以;
当时,不等式化为, ,此时,
综上所述,不等式的解集为;
（2）,当且仅当时取等,
若,则,
当时,不等式恒成立;
当时,不等式,两边平方可得,解得,,
综上可得,a的取值范围是.
不满意
满意
合计
男
18
女
40
合计
100
0.15
0.10
0.05
0.10
0.001
2.072
2.706
3.841
6.635
10.828
不满意
满意
合计
男
18
30
48
女
12
40
52
合计
30
70
100