2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市第一中学校高二上学期期中数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市第一中学校高二上学期期中数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线 3x-y+1=0的倾斜角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
2.已知a=(3,0,2),b=(2,x,1),c=(-2,4,y),(a-b)//c,则x+y=( )
A. 2B. 32C. 1D. 0
3.下列关于空间向量的说法中正确的是( )
A. 方向相反的两个向量是相反向量
B. 空间中任意两个单位向量必相等
C. 若向量AB,CD满足AB>CD，则AB>CD
D. 相等向量其方向必相同
4.直线l1:x+ay+2a=0和直线l2:(a-2)x+3y=0互相垂直，则实数a的值为( )
A. a=-3B. a=12C. a=1或a=3D. a=-1或a=3
5. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=AB=2，∠BAD=π2，∠BAA1=∠A1AD=π3，则AB1⋅AD1=( )
A. 12B. 8C. 6D. 4
6.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λλ≠1的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，A-2,0，B4,0，点P满足PAPB=12.则点P的轨迹所包围的图形的面积等于
( )
A. 4πB. 8πC. 12πD. 16π
7.已知M，N分别是曲线C1:x2+y2-4x-4y+7=0,C2:x2+y2-2x=0上的两个动点，P为直线x+y+1=0上的一个动点，则|PM|+|PN|的最小值为
( )
A. 2B. 3C. 2D. 3
8.在平面直角坐标系中，直线y=kx+mk≠0与x轴和y轴分别交于A，B两点，AB=2 2，若CA⊥CB，则当k，m变化时，点C到点1,1的距离的最大值为
( )
A. 4 2B. 3 2C. 2 2D. 2
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.在棱长均为1的四面体ABCD中，下列结论正确的是
( )
A. AB⋅CD=0B. AD+DC+BA+CB=0
C. AD·AB=CB⋅CDD. |2AB+BC|=2
10.下列说法正确的是( )
A. 过点A(-2,-3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为x+y=-5或y=32x
B. 经过定点A(0,2)的直线都可以用方程y=kx+2表示
C. 已知直线3x+4y+9=0与直线6x+my+24=0平行，则平行线间的距离是1
D. 已知直kx-y-k-1=0和以M-3,1，N3,2为端点的线段相交，则实数k的取值范围为k≥32或k≤-12
11.如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论正确的是
( )
A. BD//平面AB1D1
B. AC与平面AB1D1所成的角的正弦值为 33
C. AC1⊥平面CB1D1
D. 异面直线BD与CB1所成的角为60∘
12.已知圆M:x+22+y2=2，直线l:x+y-2=0，点P在直线l上运动，直线PA,PB分别于圆M切于点A,B.则下列说法正确的是
( )
A. 四边形PAMB的面积最小值为2 3
B. PA最短时，弦AB长为 6
C. PA最短时，弦AB直线方程为x+y-1=0
D. 直线AB过定点-32,12
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.直线l过点-1,0，且平行于直线x-2y+4=0，则直线l的方程为______．
14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若E是棱AA1的中点，O是面对角线BC1与B1C的交点，则向量EO与DC、DD1___________.(填“共面”或“不共面”)
15.已知点P(x,y)在圆C:x2 +y2 - 6x - 6y +14 = 0上，则x+y的最大值为____________．
16.正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，E是棱AB的中点，F是四边形AA1D1D内一点(包含边界)，且FE⋅FD=1，当直线EF与平面ABCD所成的角最大时，三棱锥F-AEB1的体积为__________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，短轴长为2．
(1)求椭圆C 的 标准方程；
(2)经过点A(2,3)且倾斜角为π4的直线l与椭圆交于M，N两点，求|MN|.
18.(本小题12分)
如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，DB的中点．
(1)求证：EF//平面ABC1D1；
(2)求平面BC1E和平面BC1D的夹角的余弦值．
19.(本小题12分)
已知圆M经过两点B(0,-2)，C(4,0)，且圆心在直线x-y=0上．
(1)求圆M的方程；
(2)已知圆N:x-32+y2=r2(r>0)，若圆M与圆N相交的 公共弦的弦长为2 5，求r的值．
20.(本小题12分)
已知直线l:kx-y+2-k=0(k∈R)．
(1)求直线过定点P的坐标;
(2)当直线l⊥OP时，求直线l的方程;
(3)若l交x轴正半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S最小值时直线l的方程．
21.(本小题12分)
在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，O为AD的中点．
(1)求证：PO⊥BC；
(2)若AB//CD，AB=8，AD=DC=CB=4，PO=2 7，点E在棱PB上，直线AE与平面ABCD所成角为π6，求点E到平面PCD的距离．
22.(本小题12分)
已知线段RQ的端点Q的坐标是4,3，端点R在圆(x+2)2+(y+3)2=16上运动，线段RQ中点的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)直线l经过坐标原点，且不与y轴重合，直线l与曲线C相交于M(x1,y1),N(x2,y2)两点，求证：1x1+1x2 为 定值；
(3)已知过点P(m,-3)(m>0)有且只有一条直线与圆x2+y2=10相切，过点P作两条倾斜角互补的直线与圆x2+y2=10交于E,F两点，求E,F两点间距离的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小．求出直线的斜率是解题的关键．
把直线的方程化为斜截式，求出斜率，根据斜率和倾斜角的关系，倾斜角的范围，求出倾斜角的大小．
【解答】
解：直线 3x-y+1=0即y= 3x+1，故直线的斜率等于 3，设直线的倾斜角等于α，
则0≤α<π，且tanα= 3，故α=60°，
故选：B．
2.【答案】D
【解析】【分析】由题意可得 a-b ，利用向量平行得到等式即可求解
解：由 a=(3,0,2),b=(2,x,1) 可得 a-b=(1,-x,1),
∵ (a-b)//c, ，故 1-2=-x4=1y ，
∴ x=2 ， y=-2 ，
∴ x+y=0 ，
故选：D
3.【答案】D
【解析】【分析】根据向量的 相关概念逐一判断即可．
解：相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误；
单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B错误；
向量不能比较大小，故C错误；
相等向量其方向必相同，故D正确；
故选：D．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查两直线垂直，属于基础题．
利用平面内两直线垂直的充要条件即可求解．
【解答】
解：由题意，得1×a-2+3a=0，
解得a=12，
经检验，符合题意，故a=12．
故选B．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查空间向量的线性运算与数量积运算，属于基础题．
根据空间向量的线性运算，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可．
【解答】
解：已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=AB=2，∠BAD=π2，∠BAA1=∠A1AD=π3，
则AB1⋅AD1=(AB+AA1)⋅(AD+AA1)
=AB⋅AD+AB⋅AA1+AD⋅AA1+AA12
=0+2×2×12+2×2×12+22=8．
故选B．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查与圆有关的轨迹方程的应用，考查两点间的距离公式，属于中档题．
设点P(x,y)，利用已知的等式|PA||PB|=12，得到点P的轨迹方程，从而确定点P的轨迹是圆，求出半径，即可得到圆的面积．
【解答】
解：设P(x,y)，因为|PA||PB|=12，所以 (x+2)2+y2 (x-4)2+y2=12，
∴2 (x+2)2+y2= (x-4)2+y2，
两边平方，4(x+2)2+y2=(x-4)2+y2，
化简整理可得x2+8x+y2=0，即(x+4)2+y2=16，
所以点P的轨迹是以(-4,0)为圆心，4为半径的圆，
所以圆的面积为S=16π．
故选D．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查与圆有关的最值问题，涉及圆的标准方程，直线与圆的位置关系，考查了数形结合思想，属于拔高题．
求出圆C2的圆心关于直线x+y+1=0的对称的圆的方程，得到当P点在C1C'2连线与直线x+y+1=0的交点处时|PM|+|PN|取得最小值，据此即可解答．
【解答】
解：曲线C1:x2+y2-4x-4y+7=0，
即x-22+y-22=1，为圆心为C1(2,2)，半径r1=1的圆，
曲线C2:x2+y2-2x=0，
即x-12+y2=1，为圆心为C2(1,0)，半径r2=1的圆，
设圆C2关于直线x+y+1=0对称的圆的方程C'2：x-a2+y-b2=1，
则有a+12+b2+1=0b-0a-1·-1=-1，解得a=-1b=-2,
即C'2 ：x+12+y+22=1，
则C'2 的圆心为(-1,-2)，半径r3=1，
则圆心C2(-1,0)关于x+y+1=0的对称点为C'2 (-1,-2)，
那么|PC1|+|PC2|=|PC1|+|PC'2|
≥|C1C'2|= 2--12+2--22=5，
而|PM|=|PC1|-r1，|PN|=|PC'2|-r3，
∴|PM|+|PN|=|PC1|+|PC'2|-2≥5-2=3．
故选D．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了与圆有关的最值，涉及动点的轨迹方程、向量的数量积，属于中档题．
先求得A，B两点坐标，根据AB=2 2得到(-mk)2+m2=8，再结合CA⊥CB可得到C轨迹为动圆，求得该动圆圆心的方程，即可求得答案．
【解答】
解：由y=kx+mk≠0得A(-mk,0),B(0,m) ，
故由AB=2 2得(-mk)2+m2=8，
由CA⊥CB得AC⋅BC=0，设C(x,y) ，则(x+mk,y)⋅(x,y-m)=0 ，
即(x+m2k)2+(y-m2)2=m24k2+m24=2，即点C轨迹为一动圆，
设该动圆圆心为(x',y') ，则x'=-m2k,y'=m2，
整理得k=-y'x',m=2y' ，代入到(-mk)2+m2=8中，
得：x'2+y'2=2 ，即C轨迹的圆心在圆x'2+y'2=2上，
故点(1,1)与该圆上的点(-1,-1)的连线的距离加上圆的半径即为点C到点1,1的距离的最大值，
最大值为 [1-(-1)]2+[1-(-1)]2+ 2=3 2 ，
故选B．
9.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查空间向量的数量积运算与空间向量的线性运算，属于中档题．
根据空间向量的数量积运算与空间向量的线性运算，依次分析各选项即可．
【解答】
解：在棱长均为1的四面体ABCD中，取CD 的中点M，连接AM，BM，
则AM⊥CD，BM⊥CD，又AM∩BM=M，AM,BM⊂平面ABM，
所以CD⊥平面ABM，又AB⊂平面ABM，所以CD⊥AB，
所以AB·CD=0，故A正确;
AD+DC+BA+CB=(AD+DC)+(CB+BA)=AC+CA=0，故B正确;
易得AD=AB=CB=CD=1，∠DAB=∠BCD=60∘，
所以AD·AB=AD·ABcs∠DAB=1×1×12=12，
CB·CD=CB·CDcs∠BCD=1×1×12=12，
所以AD·AB=CB⋅CD，故C正确;
|2AB+BC|2=4AB2+4AB⋅BC+BC2=4+4×1×1×cs120∘+1=3，
|2AB+BC|= 3，故D不正确．
故选ABC．
10.【答案】AD
【解析】【分析】考虑直线过原点和不过原点两种情况，计算得到A正确，方程 y=kx+2 不能表示 x=0 这条直线，B错误，计算距离得到C错误，确定直线过定点，再计算斜率得到答案．
解：对选项A：当直线不过原点时：设 xa+ya=1 ，则 -2a+-3a=1 ，解得 a=-5 ，
即 x+y=-5 ；
当直线过原点时，设 y=kx ，则 -3=-2k ，解得 k=32 ，即 y=32x ，正确；
对选项B：方程 y=kx+2 不能表示 x=0 这条直线，错误；
对选项C：直线 3x+4y+9=0 与直线 6x+my+24=0 平行，则 3m=4×6 ，
解得 m=8 ， 3x+4y+12=0 ，距离为 12-9 32+42=35 ，错误；
对选项D： kx-y-k-1=0 过定点 A1,-1 ， kAM=1+1-3-1=-12 ， kAN=2+13-1=32 ，
画出图像，如图所示：
根据图像知： k≥32 或 k≤-12 ，正确；
故选：AD．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法即可解答．
【解答】
解：以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，ABCD-A1B1C1D1为正方体，设边长为1，
则D0,0,0，A1,0,0，B1,1,0，C0,1,0，D10,0,1，A11,0,1，B11,1,1，C10,1,1，
对A，BD=B1D1=-1,-1,0， BD//B1D1，又∵BD⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，∴BD//平面AB1D1，A对；
对B，A1C=-1,1,-1，AD1=-1,0,1，AB1=0,1,1，由A1C⋅AD1=A1C⋅AB1=0得A1C为平面AB1D1的一个法向量，
AC=-1,1,0，故AC与平面AB1D1所成的角的正弦值为A1C⋅AC|A1C|⋅|AC|=2 3× 2= 63，B错；
对C，由B得，同理可证AC1为平面CB1D1的一个法向量，故AC1⊥平面CB1D1，C对；
对D，BD=-1,-1,0，CB1=1,0,1，∴异面直线BD与CB1所成的角的余弦值为BD⋅CB1BD⋅CB1=-1 2× 2=12，故所成角为60∘，D对．
故选：ACD
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系中的最值问题、圆的切点弦及其方程、圆中四边形的面积、直线过定点问题，属于较难题．
由圆的方程可确定圆心和半径，根据切线长与圆心到直线的距离d和半径r之间关系，即切线长= d2-r2，可知当PM⊥l时，PA最小，可确定四边形面积最小值，同时利用S▵PAM=12PA⋅r=12PM⋅12AB可求得AB，由此可知AB正确；设P(x0,y0)，可知AB方程为：x0+2x+2+y0y=2，由PM⊥l可求得P点坐标，由此可得AB方程，知C正确；将y0=2-x0代入AB方程，根据直线过定点的求法可知D正确．
【解答】
解：由圆的方程知：圆心M-2,0，半径r= 2，
对于选项A、B，四边形PAMB的面积S=2S▵PAM=2×12PA⋅r= 2PA，
则当PA最短时，四边形PAMB的面积最小，
点M到直线l的距离d=-2+0-2 2=2 2，∴PAmin= d2-r2= 6，
此时Smin=2 3，A正确；
又S▵PAM=12PA⋅r=12PM⋅12AB，∴此时AB= 6× 212×2 2= 6，B正确；
对于C，设Ax1,y1，Bx2,y2，P(x0,y0)，
则过A作圆的切线，切线方程为：x1+2x+2+y1y=2；
过B作圆的切线，切线方程为：x2+2x+2+y2y=2，
又P为两切线交点，∴x1+2x0+2+y1y0=2x2+2x0+2+y2y0=2,
则A,B两点坐标满足方程：x0+2x+2+y0y=2，
即AB方程为：x0+2x+2+y0y=2，
当PA最小时，PM⊥l，∴直线PM方程为：y=x+2，
由y=x+2x+y-2=0，解得x=0y=2，即P0,2，
∴AB方程为：2x+2+2y=2，即x+y+1=0，C错误；
对于D，由C知：直线AB方程为：x0+2x+2+y0y=2；
又x0+y0-2=0，即y0=2-x0，
∴直线AB方程可整理为：x-y+2x0+2x+2y+2=0，
由x-y+2=02x+2y+2=0，解得x=-32y=12,
∴AB过定点-32,12，D正确．
故选：ABD．
13.【答案】x-2y+1=0
【解析】【分析】由平行得直线斜率，再由点斜式得直线方程并整理为一般式．
解：经过 -1,0 ，直线l斜率与 x-2y+4=0 相同，为 12 ，则直线 l 方程为 y-0=12x+1 ，即 x-2y+1=0 ．
故答案为： x-2y+1=0 ．
14.【答案】不共面
【解析】【分析】设 DA=a ， DC=b ， DD1=c ，利用空间向量的基本定理可得出 EO 关于 a,b,c 的表达式，即可得出结论．
解：如下图所示：
设 DA=a ， DC=b ， DD1=c ，
则 EO=EA+AB+BO=EA+AB+12BC1=EA+AB+12BC+BB1
=-12c+b+12-a+c=-12a+b=-12DA+DC ，
因此，向量 EO 与 DC 、 DD1 不共面．
故答案为：不共面．
15.【答案】6+2 2
【解析】【分析】由题可得直线 m=x+y 与圆C有公共点，建立不等关系即可求出m范围，得出最大值．
解：圆 x2+y2-6x-6y+14=0 化为 x-32+y-32=4 ，
由题可得直线 m=x+y 与圆C有公共点，
则 3+3-m 2≤2 ，解得 6-2 2≤m≤6+2 2 ，
故x + y的最大值为 6+2 2 ．
故答案为： 6+2 2 ．
16.【答案】 2-13
【解析】【分析】本题考查了三棱锥体积的求解，涉及到空间向量的应用，以及线面角的求法，和均值不等式的应用，综合性较强，解答时要能熟练应用相关知识．
建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，设 F(0,m,n) ，利用数量积的坐标运算表示出 m,n 的关系，进而表示出直线 EF 与平面 ABCD 所成的角的正切值，求得其取最大值时m的值，即可求得三棱锥 F-AEB1 的体积．
解：如图，以A为坐标原点， AB,AD,AA1 所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则 A(0,0,0),E(1,0,0),D(0,2,0) ，设 F(0,m,n),m∈[0,2],n∈[0,2] ，
则 FE⋅FD=(1,-m,-n)⋅(0,2-m,-n)=m2-2m+n2=1 ，
设 EF 与平面 ABCD 所成的角为 θ ，在平面 AA1D1D 内作 FP⊥AD ，垂足为P，
由于正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，平面 AA1D1D⊥ 平面 ABCD ，
平面 AA1D1D∩ 平面 ABCD=AD ， FP⊂ 平面 AA1D1D ，
则 FP⊥ 平面 ABCD ，连接 EP ，则 ∠FEP=θ,θ∈[0,π2) ， FP=n,EP= m2+1 ，
所以 tanθ=n m2+1= n2m2+1= 1-m2+2mm2+1= -1+2m+2m2+1 ，
令 t=m+1,∴tanθ= -1+2×tt2-2t+2= -1+2×1t-2+2t ，
由于 t-2+2t≥2 2-2 ，当且仅当 t= 2 时取等号，
即 m= 2-1 时， tanθ= -1+2×1t-2+2t 最大，此时 EF 与平面 ABCD 所成的角最大，
此时三棱锥 F-AEB1 的体积为 13m⋅S△AEB1=13( 2-1)×12×1×2= 2-13 ，
故答案为： 2-13
17.【答案】解：(1)由已知得 ca= 322b=2a2=b2+c2 ，解得 a=2b=1
所以椭圆C的标准方程为 x24+y2=1 ；
(2)由已知直线l的方程为 y-3=x-2 ，即 y=x+1 ，
联立 y=x+1x24+y2=1 ，消去 y 得 5x2+8x=0 ，
解得 x=0 或 x=-85 ，
∴M0,1,N-85,-35
∴MN= 852+1+352=8 25 ．

【解析】【分析】(1)直接根据条件列关于 a,b,c 的方程求解即可；
(2)联立直线方程和椭圆方程，求出M，N两点的坐标，利用两点距离公式即可得答案．
18.【答案】(1)证明：连接 BD1 ，
∵E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的中点，
∴EF 是三角形 BD1D 的中位线，即 EF//BD1 ；
又 平面 ABC1D1 ， BD1⊂ 平面 ABC1D1 ，
所以 EF// 平面 ABC1D1
(2)解：以D为坐标原点， DA,DC,DD1 为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则 D(0,0,0),B(2,2,0),C1(0,2,2),E(0,0,1) ，
故 EB=(2,2,-1),BC1=(-2,0,2),DB=(2,2,0) ，
设平面 BC1E 的法向量为 n=(x,y,z) ，则 {n⇀⋅BC1⇀=0n⇀⋅EB⇀=0 ，
即 -2x+2z=02x+2y-z=0 ，令 x=2 ，则 z=2,y=-1 ，即 n=(2,-1,2) ，
设平面 BC1D 的法向量为 m=(a,b,c) ，则 {n⇀⋅BC1⇀=0n⇀⋅DB⇀=0 ，
即 -2a+2c=02a+2b=0 ，令 a=1 ，则 b=-1,c=1 ，即 m=(1,-1,1) ，
故 cs⟨n,m⟩=n⋅m|n|⋅|m|=5 9× 3=5 39 ，
由图可知平面 BC1E 和平面 BC1D 的夹角为锐角，故其余弦值为 5 39 ．

【解析】【分析】(1)欲证 EF// 平面 ABC1D1 ，只需在平面 ABC1D1 中找一直线与 EF 平行，根据 E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的中点，可得 EF//BD1 ，最后根据线面平行的判定定理可得结论；
(2)建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出平面 BC1E 和平面 BC1D 的法向量，利用向量的夹角公式即可求得答案．
19.【答案】解：(1)设圆 M:x2+y2+Dx+Ey+F=0 ，
代入已知点的坐标，可得
-D2+E2=04-2E+F=016+4D+F=0 ，解得 D=-2E=-2F=-8 ，
∴ 圆M的方程 x2+y2-2x-2y-8=0 ；
(2)由(1)圆M的方程 x-12+y-12=10 ，圆心 M1,1 ，半径为 10 ，
圆 N:x-32+y2=r2(r>0) ，圆心 N3,0 ，半径为 r ，
由圆M与圆N相交得 10-r两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为： 4x-2y-17+r2=0 ，
根据弦长为 2 5 有 2 522+12-17+r2 42+222=r2 ，
解得 r=5 或 r= 5 ，满足 10-r< 5< 10+r ，
∴r=5 或 r= 5 ．

【解析】【分析】(1)设圆 M:x2+y2+Dx+Ey+F=0 ，代入点的坐标求得D、E、F的值，则圆的方程可求；
(2)先根据两圆相交求出 r 满足的不等式，再将两圆方程做差求出公共弦所在直线方程，最后利用垂径定理列方程求出 r ．
20.【答案】解：(1)原直线方程可化为y-2=k(x-1)(k∈R)，
∴直线过定点P(1,2)．
(2)∵直线l⊥OP，
∴k·kOP=2-01-0·k=-1，
∴k=-12，
∴直线l的方程为- 12x-y+2-(-12)=0，
即直线l的方程为x+2y-5=0．
(3)解法1：设A(a,0),B(0,b))，直线xa+yb=1过P(1,2)得：
1a+2b=1(a>0,b>0)，
∴1=1a+2b⩾2 2ab，当且仅当1a=2b，即a=2,b=4取等号，
∴ab⩾8，
∴S△OAB=12ab⩾4，当a=2,b=4时，S△OAB最小值为4，
此时，直线的方程为x2+y4=1，即为2x+y-4=0．
解法2：由直线l的方程得：A(k-2k,0)，B(0,2-k)，由题设得：k<0．
∴S=12|OA|·|OB|=12.|k-2k||2-k|
=12．(2-k)2|k|=12(|k|+4|k|+4)≥12(2×2+4)=4，
当且仅当k=-2时取等号．
∴S取最小值4时，直线l的方程为2x+y-4=0．
【解析】本题考查直线过定点问题，直线在坐标系中的位置，以及基本不等式的应用，属于中档题．
(1)将直线化为点斜式，即可判断定点;
(2)由题设得k·kOP=-1，求出直线l的方程;
(3)解法1：利用截距式方程可得1a+2b=1(a>0,b>0)，再利用基本不等式求得答案即可；
解法2：由直线l:kx-y+2-k=0，求A、B的坐标，应用三角形面积公式得到△AOB的面积关于k的表达式，再利用基本不等式求最值．
21.【答案】解：(1)证明：∵PA=PD，O为AD的中点，∴PO⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，
∴PO⊥BC；
(2)由AB=8，AD=DC=CB=4，可知四边形ABCD为等腰梯形，连接BD，易知BD=4 3，
∵AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD，
以O为原点，分别以OA，OP所在直线为x轴，z轴，过O平行于BD的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
P(0,0,2 7)，A(2,0,0)，B(-2,4 3,0)，C(-4,2 3,0)，D(-2,0,0)，
平面ABCD的法向量为n=(0,0,1)，
设E=(x,y,z)，则AE=(x-2,y,z)，PE=(x,y,z-2 7)，PB=(-2,4 3,-2 7)，
∵直线AE与平面ABCD所成角为π6，
∴sinπ6=|cs|=|z| (x-2)2+y2+z2=12，
∴x2-4x+4+y2-3z2=0 ①．
∵点E在棱PB上，
∴PE=λPB0⩽λ⩽1即(x,y,z-2 7)=λ(-2,4 3,-2 7)，
∴x=-2λ，y=4 3λ，z=2 7-2 7λ代入 ①解得λ=12或λ=5(舍去)，
PE=(-1,2 3,- 7)，
PD=(-2,0,-2 7)，PC=(-4,2 3,-2 7)，
设平面PCD的法向量为m=(x1,y1,z1)，
m⋅PD=-2x1-2 7z1=0m⋅PC=-4x1+2 3y1-2 7z1=0，
令z1=1，得x1=- 7，y1=- 213，m=(- 7,- 213,1)，
所以点E到平面PCD的距离d=|PE⋅m||m|=2 7 313=2 2131=2 65131．
【解析】本题考查线线垂直的证明，直线与平面所成角，点到平面的距离，属于中档题．
(1)由线面垂直的判定定理可得PO⊥平面ABCD，再由线面垂直的性质可得结果；
(2)以O为原点，分别以OA，OP所在直线为x轴，z轴，过O平行于BD的直线为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法和直线与平面所成角可得PE=(-1,2 3,- 7)，再由点到平面距离的向量表示可得结果．
22.【答案】解：(1)设 Cx,y ，因为C为RQ的中点，设 Rx0,y0 ，所以 x=x0+42y=y0+32 ，所以 x0=2x-4,y0=2y-3 ，
又点 Rx0,y0 在圆 (x+2)2+(y+3)2=16 上运动，所以 (2x-4+2)2+(2y-3+3)2=16 ，化简得 (x-1)2+y2=4 ，
所以曲线C的方程为 (x-1)2+y2=4 ；
(2)设直线 l 的方程为 y=kx ，与曲线C的方程 (x-1)2+y2=4 联立，整理得 (k2+1)x2-2x-3=0 ，
所以 x1+x2=2k2+1,x1x2=-3k2+1 ，
所以 1x1+1x2=x1+x2x1x2=2k2+1-3k2+1=-23 ，所以 1x1+1x2 为定值 -23 ；
(3)因为过点 P(m,-3) (m>0) 有且只有一条直线与圆 x2+y2=10 相切，所以点P在圆上，
所以 m2+-32=10 ，又 m>0 ，解得 m=1 ，所以 P(1,-3)
因为点E，F在圆上，所以当 PE⊥PE 时，点 E,F 两点间距离的最大，最大值为圆 x2+y2=10 的直径 2 10 ．
此时，设直线 EF 的方程为 y=k'x ， E(x3,y3),F(x4,y4) ，与圆 x2+y2=10 联立，整理得 (k'2+1)x2-10=0 ，
所以 x3+x4=0,x3x4=-10k'2+1 ，又由已知得 kPE+kPF=0 ，所以 y3+3x3-1+y4+3x4-1=0 ，代入解得 k=-13 ( k=-3 舍去，此时点P在直线EF上)，
此时 E(3,-1),F(-3,1) ， kPE=-1--33-1=1,kPF=1--3-3-1=-1 ，满足题意，
所以 E,F 两点间距离的最大值为 2 10 ．

【解析】【分析】求轨迹的方法之相关点法的步骤：
1.设出所求动点M的坐标 x,y 与已知曲线上对应点P的坐标 (x0,y0) ；
2.用点M的坐标 x,y 表示点P的坐标 (x0,y0) ；
3.将点P的坐标 (x0,y0) 代入已知方程(点P所在的曲线方程)便可得所求曲线的方程．
(1)设 Cx,y ， Rx0,y0 ，由两点的中点公式得出 x0=2x-4,y0=2y-3 ，再由点 Rx0,y0 在圆 (x+2)2+(y+3)2=16 上运动，代入可得曲线C的方程；
(2)设直线 l 的方程为 y=kx ，与圆的方程联立整理得 (k2+1)x2-2x-3=0 ，由根与系数的关系得出 x1+x2,x1x2 ，代入可求得 1x1+1x2 为定值；
(3)由已知得点P在圆上，因此有当 PE⊥PE 时，点 E,F 两点间距离的最大，最大值为圆的直径．