2023-2024学年黑龙江省佳木斯市四校联考高二上学期11月期中数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省佳木斯市四校联考高二上学期11月期中数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在空间中，下列结论正确的是
( )
A. AB=BC+CDB. AD=AB+CD+BC
C. AD=AB+BC-CDD. BC=BD+CD
2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若AC=a，AB=b，AA1=c，则BC1=( )
A. a+b-cB. a-b-cC. a-b+cD. -a+b-c
3.过直线3x-2y+3=0与x+y-4=0的交点，与直线2x+y-1=0平行的直线方程为
( )
A. 2x+y-5=0B. 2x+y+1=0C. x+2y-7=0D. x-2y+5=0
4.圆x2+y2-4y+3=0上的点到直线3x-4y-2=0距离的取值范围是
( )
A. 1,3B. 2 3,4 3
C. 0,3D. 2- 3,2+ 3
5.已知A(2,4)，B(1,1)两点，直线l过点C0,2且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为
( )
A. (-∞,-1]∪[1,+∞)B. (-∞,-2]∪[2,+∞)
C. [-1,1]D. [-2,2]
6.圆C1:x2+y2-4x+2y+1=0与圆C2:x2+y2-2y-3=0相交于A,B两点，则AB等于
( )
A. 2 3B. 2 2C. 3D. 2
7.已知F1，F2分别是椭圆C：x29+y24=1的左、右焦点，P是椭圆C在第一象限内的一点，若PF1⊥PF2，则tan∠PF1F2=( )
A. 12B. 2C. 55D. 2 55
8.已知单位向量a，b，c满足：a→⊥b→，⟨a→,c→⟩=⟨b→,c→⟩=π3，则a-b+2c=( )
A. 5B. 5C. 6D. 6
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0，则下列说法正确的是
( )
A. 圆M 的圆心为-4,3
B. 圆M的直径为10
C. 圆M被x轴截得的弦长为8
D. 圆M关于直线y=x-2对称的圆的方程是x2+y2+2x-4y=0
10.若a=(-1,λ,-2)，b=(2,-1,1)，a与b的夹角为120°，则λ的值为
( )
A. 17B. -17C. -1D. 1
11.已知直线l1：x+ay-a=0和直线l2：ax-(2a-3)y-1=0，下列说法正确的是( )
A. l2始终过定点(23,13)B. 若l1//l2，则a=1或-3
C. 若l1⊥l2，则a=0或2D. 当a>0时，l1始终不过第三象限
12.设椭圆C:x225+y29=1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是
．( )
A. PF1+PF2=10B. P到F1最小的距离是2
C. △PF1F2面积的最大值为6D. P到F1最大的距离是9
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知空间向量a=-2,1,3,b=1,x,-1，且a与b垂直，则x等于 ．
14.已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A.若△AF1F2为正三角形，则该椭圆的离心率为 ．
15.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点，则异面直线EB1与AD1所成角的正弦值为 ．
16.过椭圆x236+y227=1上一动点P分别向圆C1：x+32+y2=4和圆C2：x-32+y2=1作切线，切点分别为M，N，则PM2+2PN2的取值范围为_____________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知P为圆M:x2+y2-2x-2y=0上一动点，Q为直线l:x+y+2=0上一个动点．
(1)求圆心M的坐标和圆M的半径；
(2)求PQ的最小值．
18.(本小题12分)
如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点．
(1)求直线FC到平面AEC1的距离；
(2)求平面AEC1与平面EFCC1所成锐二面角的余弦值．
19.(本小题12分)
已知直线l经过点P1,0，圆C:x2+y2+2x-6y+6=0．
(1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
(2)若直线l被圆C截得的弦长为4 55，求直线l的方程．
20.(本小题12分)
已知椭圆C的两个焦点分别为F10,- 3,F20, 3，且椭圆C过点P 32,1．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点Q12,1作直线l交椭圆于M,N两点，Q是弦MN的中点，求直线l的方程．
21.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 33，椭圆上的点到焦点的最小距离是 3-1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)倾斜角为π4的直线l交椭圆于A,B两点，已知|AB|=8 35，求直线l的一般式方程．
22.(本小题12分)
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90∘.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的 中点，M是线段AD的中点，PA=AC=2，AB=1．

(1)求证：MN//平面BDE；
(2)在线段PA上是否存在一点H，使得直线NH与平面MNE所成角的正弦值为2 621，若存在，求出线段AH的值，若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．
利用向量的加减法法则逐个分析判断即可．
【解答】
解：对于A，因为BC+CD=BD≠AB，所以A错误;
对于B，因为AB+CD+BC=AB+BC+CD=AD，所以B正确;
对于C，因为AB+BC-CD=AC-CD≠AD，所以C错误;
对于D，因为BD+CD≠BC，所以D错误．
故选B．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．
根据空间向量的线性运算进行求解即可．
【解答】
解：因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1=AA1，
所以可得BC1=CC1-CB
=CC1-(AB-AC)=a-b+c，
故选C．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查两直线平行的应用，两条直线的交点坐标，属于基础题．
利用直线系方程结合直线平行的条件可得参数，进而即得．
【解答】
解：由已知，可设所求直线的方程为：3x-2y+3+λx+y-4=0，
即 λ+3x+λ-2y+3-4λ=0，
又因为此直线与直线2x+y-1=0平行，
所以λ+32=λ-21≠3-4λ-1，
解得：λ=7，
所以所求直线的方程为：10x+5y-25=0，即2x+y-5=0．
故选A．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查圆上的点到直线距离的最值问题，点到直线的距离公式，圆的方程，属于基础题．
将圆的一般方程化为标准方程，进而得出圆心和半径，利用点到直线的距离公式及圆上的点到直线距离的最值即可求解．
【解答】
解：圆x2+y2-4y+3=0的标准方程为x2+y-22=1，
所以圆心坐标为0,2，半径r=1，
圆心到直线3x-4y-2=0的距离为
d=2×-4-2 32+-42=2，
所以圆上的点到该直线的距离的取值范围是d-r,d+r，即1,3．
故选A．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查直线的斜率，属于基础题．
易求得CA和CB的斜率，数形结合可得直线l的斜率k的范围．
【解答】
解：如图所示，
直线l的斜率k满足k⩾kCB且k⩽kCA，
即k⩾2-10-1=-1且k⩽4-22-0=1，
∴直线l的斜率k的取值范围为[-1,1]．
6.【答案】B
【解析】【分析】先求出相交弦 AB 所在直线的方程，然后根据圆的弦长的求法求解即可．
解：由圆 C1:x2+y2-4x+2y+1=0 与圆 C2:x2+y2-2y-3=0 ，
将两圆方程相减整理得直线 AB 的方程： x-y-1=0 ，
又 C1:x2+y2-4x+2y+1=0 ，即 x-22+y+12=4 ，
圆心为 C12,-1 ，半径为 r=2 ，
所以 C12,-1 到直线 x-y-1=0 的距离为 d=2 2= 2 ，
所以 AB=2 r2-d2=2 4-2=2 2 ．
故选：B．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查椭圆的定义，椭圆的焦点三角形问题，是中档题．
由椭圆的方程可得 a ， b 的值，进而求出 c 的值，由椭圆的定义及勾股定理可得 PF1 ， PF2 的值，再求出 ∠PF1F2 的正切值．
【解答】
解：由椭圆的方程 x29+y24=1 可得 a=3 ， b=2 ，所以 c= a2-b2= 9-4= 5 ，
设 PF1=r ，则 PF2=2a-r=6-r ，由 P 在第一象限可得 r>6-r ，即 r>3 ，
因为 PF1⊥PF2 ，所以 r2+(6-r)2=(2c)2=20 ，
整理可得 r2-6r+8=0 ，
解得 r=4 或2(舍 ) ，
即 PF1=4 ， PF2=2 ，
所以在 Rt△PF1F2 中， tan∠PF1F2=PF2PF1=24=12 ，
故选：A．

8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查利用空间向量数量积求向量的模，属于基础题．
根据题意，由空间向量的模长公式，代入计算，即可得到结果．
【解答】
解：因为a⊥b，⟨a→,c→⟩=⟨b→,c→⟩=π3，
且a，b，c为单位向量，
则 |a-b+2c|= (a-b+2c)2
= |a|2+|b|2+4|c|2-2a⋅b+4a⋅c-4b⋅c= 1+1+4-0+4×1×1×12-4×1×1×12= 6．
故选D．
9.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查圆的一般方程与标准方程的互化，考查曲线关于直线的对称方程的求法，属于一般题．
将圆的一般方程化为标准方程，可得圆心和半径，以及直径，判断A、B；根据圆的弦长的计算判断C；求出圆M关于直线 y=x-2 对称的圆的圆心坐标，确定半径，可得其方程，判断D．
【解答】
解：由题意知圆M的一般方程为 x2+y2-8x+6y=0 ，
故圆的标准方程为 (x-4)2+(y+3)2=25 ，
则圆心为 (4,-3) ，半径为5，则直径为10，A错误，B正确；
圆心 (4,-3) 到x轴的距离为3，故圆M被x轴截得的弦长为 2 52-32=8 ，C正确；
设圆心 (4,-3) 关于直线 y=x-2 对称的点的坐标为 (a,b) ，
则 b+3a-4=-1b-32=a+42-2 ，解得 a=-1b=2 ，
而圆M关于直线 y=x-2 对称的圆的半径为5，
故圆M关于直线 y=x-2 对称的圆的方程为 (x+1)2+(y-2)2=25 ，
即 x2+y2+2x-4y-20=0 ，D错误，
故选：BC
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查空间向量数量积的坐标运算、空间向量夹角公式，属于基础题．
利用空间向量的数量积的坐标运算公式可求得cs120∘=a⋅b|a||b|=-4-λ 5+λ2⋅ 6=-12，从而可求得λ的值．
【解答】
解：a=(-1,λ,-2),b=(2,-1,1)，
∴|a|= 5+λ2,|b|= 6,a⋅b=-4-λ，
又a→与b→的夹角为120°，
∴cs120∘=a⋅b|a||b|=-4-λ 5+λ2⋅ 6=-12，
解得λ=17或λ=-1．
故选AC．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查直线位置关系的判定及应用，考查运算求解能力，属于基础题．
由直线系方程求出直线所过定点判定AD；举例说明B错误；由两直线垂直与系数的关系列式求得a值判断C．
【解答】
解：直线l2：a(x-2y)+3y-1=0过点(23,13)，故A正确；
当a=1时，直线l1：x+y-1=0，直线l2：x+y-1=0，则l1，l2重合，故B错误；
若l1⊥l2，由1×a+a×(3-2a)=0，得a=0或2，故C正确；
直线l1：y=-1ax+1始终过(0,1)，斜率为负，不会过第三象限，故D正确．
故本题选ACD．
12.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查椭圆的几何性质，属于较易题．
根据椭圆的定义和性质逐项运算分析即可．
【解答】
解：由椭圆方程可得： a=5,b=3 ，则 c= a2-b2=4 ，
对A：根据椭圆的定义可得 PF1+PF2=2a=10 ，A正确；
对B：根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时，P到 F1 的距离最小，
最小值为 a-c=1 ，B错误；
对C：根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点时， △PF1F2 的高最大，故面积最大，
最大值为 12×2c×b=12 ，C错误；
对D：根据椭圆性质可知当P是椭圆的右顶点时，P到 F1 的距离最大，
最大值为 a+c=9 ，D正确．
故选：AD．
13.【答案】5
【解析】【分析】
本题考查空间向量的数量积及其坐标运算，是较易题．
根据空间向量垂直的坐标运算求解．
【解答】
解：因为 a=-2,1,3,b=1,x,-1 ，且 a 与 b 垂直，
所以 a⋅b=-2+x-3=0 ，解得 x=5 ．
故答案为：5．
14.【答案】12
【解析】【分析】
本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，是基础题．
利用椭圆的定义及其几何性质求得 a=2c ，进而求得椭圆的离心率
【解答】
解：由于△AF1F2 为正三角形，则 a=2c ，则椭圆的离心率 e=ca=c2c=12．
故答案为： 12
15.【答案】 155
【解析】【分析】
本题考查直线与直线所成角的向量求法，是基础题．
建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可．
【解答】
解：设正方体棱长为2，以 D 点为坐标原点， DA 所在直线为 x 轴， DC 所在直线为 y 轴，DD1 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则 E2,1,0,B12,2,2,A(2,0,0),D10,0,2 ，
则 EB1=0,1,2,AD1=-2,0,2 ，
设异面直线 EB1 与 AD1 所成角为 θ ，
所以 cs θ=cs ⟨EB1,AD1⟩=EB1·AD1EB1AD1
=4 5⋅2 2= 105 ，
所以异面直线 EB1 与 AD1 所成角的正弦值为：sinθ= 1-cs2θ= 155 ．
故答案为： 155 ．
16.【答案】90,165
【解析】【分析】易知两圆的圆心为椭圆的两焦点，由勾股定理可得 PM2=PC12-4 ， PN2=PC22-1 ，由椭圆的定义可得 PF1+PF2=12 ，设 PF2=t∈3,9 ，利用二次函数的基本性质可求得 PM2+2PN2 的取值范围．
解： ∵a=6 ， b=3 3 ， c= a2-b2=3 ，易知 C1-3,0 、 C23,0 为椭圆的两个焦点，
PM2+2PN2=PC12-4+2PC22-1=PC12+2PC22-6 ，

根据椭圆定义 PC1+PC2=2a=12 ，
设 PC2=t ，则 a-c≤t≤a+c ，即 3≤t≤9 ，
则 PM2+2PN2=12-t2+2t2-6=3t2-24t+138=3t2-8t+46 ，
当 t=4 时， PM2+2PN2 取到最小值 90 ．
当 t=9 时， PM2+2PN2 取到最大值 165 ．
故 PM2+2PN2 的取值范围为： 90,165 ．
故答案为： 90,165 ．
17.【答案】解：(1)圆M:x2+y2-2x-2y=0的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=2，
所以圆心M的坐标为1,1，圆M的半径为 2．
(2)由题意，圆心M1,1到直线l:x+y+2=0的距离为d=1+1+2 12+12=2 2，
所以|PQ|min=d-r=2 2- 2= 2，即PQ的最小值为 2．

【解析】本题考查直线上一点到圆上一点距离的最小值问题，由圆的方程确定圆心和半径，属于基础题．
(1)化简圆的方程为标准方程，进而求得圆的圆心坐标和半径；
(2)求得圆心M到直线l的距离，结合圆的性质，即可求解．
18.【答案】解：(1)以D1为原点，D1A1、D1C1、D1D分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系(如图所示)，
则A1,0,1，C0,1,1，C10,1,0，E(1,12,0)，F(1,12,1)．
∴AE=(0,12,-1)，EC1=(-1,12,0)，
FC=(-1,12,0)，AF=(0,12,0)，EF=(0,0,1)．
∵FC=EC1=(-1,12,0)，
∴FC//EC1，
∵FC⊄平面AEC1，EC1⊂平面AEC1，
∴FC//平面AEC1，
∴点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离，
设平面AEC1的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AE=0n⋅EC1=0,
∴12y-z=0-x+12y=0,∴2x=yy=2z,
取z=1，则x=1，y=2，
∴n=(1,2,1)，
又AF=(0,12,0)，
∴点F到平面AEC1的距离为|AF⋅n||n|=|(0,12,0)⋅(1,2,1)| 6= 66．
(2)设平面EFCC1的法向量为m=x1,y1,z1，
则m⋅EF=0m⋅EC1=0,
∴z1=0-x1+12y1=0，得z1=0y1=2x1,
取x1=1，则y1=2，
∴m=(1,2,0)，
∴cs ⟨m,n⟩=m⋅n|m||n|=5 5× 6= 306，
∴平面AEC1与平面EFCC1所成锐二面角的余弦值 306．

【解析】本题主要考查的是利用向量求空间中的距离、线面平行的判定以及二面角，属于中档题．
首先以D1为原点，D1A1、D1C1、D1D分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系写出各个点坐标．
(1)先证得FC/​/平面AEC1，得到点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离，再计算得到平面AEC1的法向量n=(1,2,1)，利用向量法可求得点F到平面AEC1的距离．
(2)首先求出平面EFCC1的法向量m=(1,2,0)，由(1)得到平面AEC1的法向量n=(1,2,1)，利用向量法即可计算出平面AEC1与平面EFCC1所成锐二面角的余弦值．
19.【答案】解：(1)圆C:x2+y2+2x-6y+6=0化为标准方程为(x+1)2+(y-3)2=4 ，所以圆心坐标为 -1,3 ，半径为2．
当直线 l 的斜率不存在时，即直线 l 的方程为：x=1 ，此时是与圆 C 相切，满足题意；
当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 为：y=kx-1 ，即 kx-y-k=0 ，
则圆C 的圆心到直线l 的距离 d=-k-3-k k2+1=2 ，解得 k=-512 ，
故直线l 的方程为 5x+12y-5=0 ．
综上，直线l 的方程为 x=1 或 5x+12y-5=0 ．
(2)因为直线l 被圆C 所截得的弦长为 4 55 ，
所以圆心到直线l 的距离为 22-(2 55)2=4 55 ．
由(1)可知，直线 l 的斜率一定存在，设直线 l 为：y=mx-1，即mx-y-m=0 ，则圆心到直线l 的距离 -m-3-m m2+1=4 55 ，解得 m=-12 或 m=-292 ．
故直线l的方程为 x+2y-1=0 或 29x+2y-29=0 ．

【解析】本题考查圆的切线方程，直线与圆的交点坐标、弦长，是中档题，
(1)根据直线与圆相切， d=r 进行求解；
(2)先由勾股定理求出圆心到直线的距离，再由距离公式求解即可．
20.【答案】解：(1)椭圆 C 的两个焦点分别为 F10,- 3,F20, 3 ，
设椭圆 C 的标准方程为 y2a2+x2b2=1a>b>0 ，且 c= 3 ，
则 a2=b2+c2=b2+3 ①，
又椭圆 C 过点 P 32,1 ，所以 1a2+34b2=1 ②，联立①②解得 a2=4,b2=1 ，
所以椭圆 C 的标准方程为 y24+x2=1 ．
(2)由题意可知直线 l 的斜率存在，且直线 l 过点 Q12,1 ，
设直线 l 的方程为 y-1=kx-12 ，即 y=kx+1-12k ，
设 Mx1,y1,Nx2,y2 ，
则 y=kx+1-12ky24+x2=1 ，消去 y 得 k2+4x2+2k-k2x+14k2-k-3=0 ，
Δ=(2k-k2)2-4(k2+4)(14k2-k-3)=12k2+16k+48=12(k+23)2+1283>0 ，
所以 x1+x2=k2-2kk2+4 ，
又 Q12,1 是弦 MN 的中点，所以 x1+x2=k2-2kk2+4=1 ，解得 k=-2 ，
故直线 l 的方程为 2x+y-2=0．

【解析】本题考查椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系，属于一般题．
(1)根据焦点坐标设椭圆方程为 y2a2+x2b2=1a>b>0 ，将 P 32,1 代入椭圆方程，结合 a2=b2+c2 即可求解．
(2)设直线 l 的方程为 y-1=kx-12 ，联立直线与椭圆方程，得出 x1+x2=k2-2kk2+4 ，再由中点坐标知 x1+x22=12 ，求出 k 值，即可得到直线方程．
21.【答案】解：(1)由椭圆 C:x2a2+y2b2=1的离心率为 33，即e=ca= 33，可得a= 3c，
由椭圆上的点到焦点的最小距离是 3-1，可得a-c= 3-1，
解得a= 3，c=1，b= 2，
所以椭圆的方程x23+y22=1．
(2)因为直线l的倾斜角为π4，可设l的方程y=x+m，
由方程组x23+y22=1y=x+m，整理得5x2+6mx+3m2-6=0，
可得Δ=36m2-4×53m2-6=245-m2>0，
解得- 5设Ax1,y1，Bx2,y2，
则x1+x2=-6m5，x1x2=3m2-65，
又由|AB|= 1+k2|x1-x2|
= 1+k2 (x1+x2)2-4x1x2
= 2 -65m2-4×3m2-65=8 35，
解得m=±1，满足Δ>0，
所以直线l的一般式方程为x-y-1=0或x-y+1=0．

【解析】本题考查椭圆标准方程的求法，椭圆的弦长，属于中档题．
(1)根据题意，得到ca= 33且a-c= 3-1，求得a,b,c的值，即可求解；
(2)设l的方程y=x+m，联立方程组，结合根与系数的关系和弦长公式，根据题意列出方程，求得m=±1，即可求解．
22.【答案】解：(1)因为 PA⊥ 底面 ABC ， ∠BAC=90∘ ，
所以以A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，

则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),D(0,0,1),
E(0,1,1),M(0,0,12),N(12,1,0),P(0,0,2) ，
所以 DE=(0,1,0),DB=(1,0,-1) ，
设 n=(x,y,z) 为平面 BDE 的法向量，
则 n⋅DE=0n⋅DB=0 ，即 y=0x-z=0 ，
不妨设 z=1 ，可得 n=(1,0,1) ，
又 MN=12,1,-12 ，
可得 MN⋅n=0 ，因为 MN⊄平面BDE，
所以MN//平面BDE ．
(2)设 H0,0,t ， t∈0,2 ，则 NH=-12,-1,t ，
设平面 MNE 的法向量为 m=a,b,c ，
又 ME=0,1,12 ，
则 m⋅MN=12a+b-12c=0m⋅ME=b+12c=0 ，令 b=1 ，则 m=-4,1,-2 ，
所以 csm,NH=m⋅NHm⋅NH=1-2t 54+t2× 21=2 621 ，
即 20t2-28t-3=0 ，解得 t=32 或 t=-110 (舍去)，
所以 AH=32 ．
故存在点H，此时AH=32 ．

【解析】本题考查线面平行的向量表示、直线与平面所成角的向量求法，属于中档题．
(1)、(2)均可建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算．