2023-2024学年山东省青岛第二中学高二上学期期中考试数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省青岛第二中学高二上学期期中考试数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线y=2x+1关于x轴对称的直线方程为( )
A. y=12x-1B. y=12x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-1
2.两条平行直线l1:3x+4y-5=0与l2:6x+8y-5=0之间的距离是( )
A. 2B. 12C. 1D. 0
3.若椭圆x23+y24=1的长轴端点与双曲线y22-x2m=1的焦点重合，则m的值为( )
A. 4B. -4C. -2D. 2
4.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 5，C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A，B两点，则|AB|=( )
A. 4 55B. 3 55C. 2 55D. 55
5.如果直线y=- 33x+m与曲线y= 1-x2有两个不同的公共点，那么实数m的取值范围是
( )
A. [ 33,2 33)B. [1,2 33)C. (-2 33,2 33)D. (- 33,2 33]
6.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为(1,-1)，则椭圆C的方程为
( )
A. x245+y236=1B. x236+y227=1C. x227+y218=1D. x218+y29=1
7.已知直线l:y=kx+18与抛物线y=2x2(F为焦点)相交于A，B两点，若|AF|=1，则|AB|=( )
A. 2B. 87C. 98D. 32
8.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆上的动点，I和G分别是△PF1F2的内心和重心，若IG与x轴平行，则椭圆的离心率为( )
A. 33B. 63C. 12D. 32
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知方程C:x216+k-y29-k=1(k∈R)，则下列说法中正确的有( )
A. 方程C可表示圆
B. 当k>9时，方程C表示焦点在x轴上的椭圆
C. 当-16D. 当方程C表示椭圆或双曲线时，焦距均为10
10.已知圆C1:x2+y2=9与圆C2:(x-3)2+(y-4)2=16，下列说法正确的是( )
A. C1与C2的公切线恰有4条
B. C1与C2相交弦的方程为3x+4y-9=0
C. C1与C2相交弦的弦长为245
D. 若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max=12
11.已知双曲线x2-y22=1的左右顶点为A1，A2，左右焦点为F1，F2，直线l与双曲线的左右两支分别交于P，Q两点，则( )
A. 若∠F1PF2=π3，则△PF1F2的面积为2 3
B. 直线l与双曲线的两条渐近线分别交于M，N两点，则|PM|=|NQ|
C. 若PA1的斜率的范围为[-8,-4]，则PA2的斜率的范围为[-12,-14]
D. 存在直线l的方程为2x-y-1=0，使得弦PQ的中点坐标为(1,1)
12.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过焦点F作直线l与抛物线C交于P，Q两点，与y轴交于点E.过点P作抛物线的切线与准线交于点M，连接QM.若PQ=3QE，则( )
A. kMP⋅kMQ=-1B. PF=2FQ
C. ∠MFQ为钝角D. S△POQ:S△PMQ=4:9
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.抛物线y=6x2的准线方程为
14.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P，Q两点，且∠POQ=π2(其中O为原点)，则k的值为
15.一动圆C与圆C1:x2+y2+4y+3=0外切，同时与圆C2:x2+y2-4y-77=0内切，则动圆C圆心的轨迹方程为
16.如图，过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F(-c,0)(c>0)引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，若|MO|-|MT|=2a-c，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知△ABC的三个顶点的坐标为A(2,1)，B(4,7)，C(-4,3)，求
(1)求△ABC的面积;
(2)求△ABC的外接圆的标准方程．
18.(本小题12分)
已知直线x-my-4=0和圆O:x2+y2=5，且直线和圆交于A，B两点
(1)当m为何值时，截得的弦长为4;
(2)若OA⋅OB≤0，求m的取值范围．
19.(本小题12分)
已知O为坐标原点，A(1,0)，B(-1,0)，直线AM，BM的斜率之积为4，记动点M的轨迹为E．
(1)求E的方程;
(2)直线l经过点(0,-2)，与E交于P，Q两点，线段PQ中点D在第一象限，且纵坐标为4，求|PQ|．
20.(本小题12分)
已知动圆C过定点D(2,0)，且截y轴所得弦长为4．
(1)求动圆圆心的轨迹M的方程;
(2)过点T(0,1)的直线L与轨迹M交于A，B两点，若F为轨迹M的焦点，且满足kFA+kFB=1，求|TA|⋅|TB|的值．
21.(本小题12分)
椭圆C与双曲线2x2-2y2=1有相同的焦点，且过(1,32).
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线x=4上运动时，直线AM，BM分别交椭圆于两点P，Q．
(ⅰ)证明：点B在以PQ为直径的圆内;
(ⅱ)求四边形APBQ面积的最大值．
22.(本小题12分)
已知点(2,3)在双曲线C:x2a2-y2a2+2=1上．
(1)双曲线上动点Q处的切线交C的两条渐近线于A,B两点，其中O为坐标原点，求证：▵AOB的面积S是定值；
(2)已知点P(12,1)，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M､N，在线段MN上取异于点M､N的点H，满足PMPN=MHHN，证明：点H恒在一条定直线上．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．
欲求直线y=2x+1关于x轴对称的直线方程，只须将原直线方程中的y用-y替换得到的新方程即为所求．
【解答】
解：∵直线y=f(x)关于x对称的直线方程为y=-f(x)，
∴直线y=2x+1关于x对称的直线方程为：y=-2x-1．
故选D．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查两条平行线间距离的求法，是基础题．
首先判断两条平行直线的直线方程中x与y的系数是否相等，再根据平行线间距离公式求出距离即可．
【解答】
解：由题意可得：两条平行直线为6x+8y-10=0与6x+8y-5=0，
由平行线间的距离公式可知d=|-10+5| 62+82=510=12．
故选B．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查椭圆和双曲线的综合应用，属于基础题．
求出椭圆的长轴端点坐标，由双曲线的性质即可求解．
【解答】
解：椭圆x23+y24=1的焦点在y轴上，且长轴端点为(0,2)和(0,-2)，
因为双曲线y22-x2m=1，
则m>0，且 2+m=2，
解得m=2．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查双曲线的性质、直线与圆相交的弦长问题，属于中档题．
由离心率的值，求出渐近线的方程，又渐近线y=2x与圆相交，求出圆心到直线的距离，进而即可求解．
【解答】
解：由题知e=ca= 5，即c= 5a，故b=2a，
∴双曲线C的渐近线为y=±2x，
圆心2,3到直线y=-2x的距离d=4+3 5=7 55>1，
故直线y=-2x与圆相离，
圆心2,3到直线y=2x的距离d=|4-3| 5= 55<1，满足题意，
∴AB=2 1-d2=4 55．
故选A．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查直线与圆的位置关系的判断及求参，属于基础题．
利用数形结合求出直线与半圆相切时m的值，以及直线与半圆有两个交点的临界位置时的m的值，进而可以求解．
【解答】
解：由y=​1-x2可得：x2+y2=1，(y⩾0)，
则该曲线为以原点为圆心，以1为半径的x轴上方的半圆，
直线和曲线的图象如图所示：
当直线与圆相切于点C时满足：m 1+- 332=1，解得m=2 33，
当直线与半圆相交于AB两点时，把A(1,0)代入直线方程可得：m= 33，
则由数形结合可得直线与曲线有两个不同的交点时，m的取值范围为：[ 33,2 33),
故选A．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查椭圆的概念及标准方程和中点弦问题，属于中档题．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入椭圆方程得x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1，利用“点差法”，结合斜率计算公式可得kAB=y1-y2x1-x2=-1-01-3=12， 得到a2=2b2，再利用c=3= a2-b2，即可解得a2，b2.进而得到椭圆的方程．
【解答】
解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入椭圆方程得x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1,
两式相减得x12-x22a2+y12-y22b2=0，
整理可得y1-y2x1-x2=-b2a2x1+x2y1+y2，
又因为AB的中点坐标为(1,-1)，可得x1+x2=2，y1+y2=-2;
因此过A，B两点的直线斜率为kAB=y1-y2x1-x2=b2a2，
又F(3,0)和AB的中点(1,-1)在直线上，所以kAB=-1-01-3=12，即b2a2=12，可得a2=2b2，
又易知c=3，且a2=b2+c2=b2+9，计算可得a2=18，b2=9，
所以椭圆E的方程为x218+y29=1，代入AB的中点坐标为(1,-1)，
得1218+(-1)29=318<1，则其在椭圆内部，则此时直线AB与椭圆相交两点．
故选D．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查直线与抛物线的弦长，考查抛物线的定义，属于中档题．
由题意可得直线l过抛物线的焦点F，不妨设A(x1,y1)x1>0，Bx2,y2，由抛物线的定义及|AF|=1可得y1=78，代入抛物线方程求出x1= 74，从而可求k，联立直线l与抛物线的方程可求出y2，根据抛物线的定义求出BF，由AB=AF+BF即可求解．
【解答】
解：由抛物线y=2x2可知p=14，故焦点坐标为0,18，
又故直线l过定点0,18，所以直线l过抛物线的焦点．
不妨设A(x1,y1)x1>0，Bx2,y2，
则AF=y1+p2=y1+18=1，解得y1=78．
所以y1=2x12=78，解得x1= 74．
又点A在直线l上，所以78= 74k+18，解得k=3 7．
由y=3 7x+18y=2x2，得2x2-3 7x-18=0，
则x1x2= 74x2=-116，解得x2=-14 7，
所以y2=3 7×-14 7+18=156．
所以BF=y1+p2=156+18=17，
所以AB=AF+BF=1+17=87．
故选B．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查椭圆的标准方程和性质及几何意义，属于中档题．
在△F1PF2中，设P(x0,y0)，由三角形重心坐标公式，可得重心G的纵坐标，因为IG与x轴平行，故内心I的纵坐标与G相同，最后利用三角形F1PF2的面积等于被内心分割的三个小三角形的面积之和建立a、b、c的等式，即可解得离心率．
【解答】
解：椭圆的左、右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，设P(x0,y0)，
∵G为ΔF1PF2的重心，
∴G点坐标为x03,y03，
∵IG与x轴平行，
∴I的纵坐标为y03，
又∵|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c，
∴SΔF1PF2=12|F1F2|⋅|y0|，
又∵I为ΔF1PF2的内心，
∴|y03|即为内切圆的半径，内心I把ΔF1PF2分为三个底分别为ΔF1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形
∴SΔF1PF2=12(|PF1|+|F1F2|+|PF2|)|y03|，
即12×2c⋅|y0|=12(2a+2c)|y03|，
∴2c=a，
∴椭圆的离心率e=12．
故选C．
9.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查曲线与方程，属于一般题．
利用已知方程对选项逐个判断即可．
【解答】
解：对于A，当方程x216+k-y29-k=1表示圆时，16+k=k-9>0，无解，故A中说法错误．
对于B，当k>9时，x216+k-y29-k=x216+k+y2k-9=1，且16+k>k-9>0，
则方程x216+k-y29-k=1表示焦点在x轴上的椭圆，故B中说法正确．
对于C，当-160，9-k>0，方程x216+k-y29-k=1表示焦点在x轴上的双曲线，故C中说法正确．
对于D，当方程x216+k-y29-k=1表示双曲线时，c2=16+k+9-k=25;
当方程x216+k-y29-k=1表示椭圆时，c2=16+k-(k-9)=25，所以焦距均为10，故D中说法正确．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查圆与圆的位置关系的应用，属于中档题．
根据圆与圆的位置关系得出公共弦所在的直线方程求出弦长，计算两圆上两动点间的最大距离及判断公切线条数即可．
【解答】
解：由已知得圆C1的圆心C1(0,0)，半径r1=3，圆C2的圆心C2(3,4)，半径r2=4，
|C1C2|= (3-0)2+(4-0)2=5，r2-r1所以C1与C2的公切线恰有2条，故A错误；
C1与C2相交弦的方程为3x+4y-9=0，故B正确；
C1到相交弦的距离为95，故相交弦的弦长为2 9-(95)2=245.故C正确；
若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max=|C1C2|+r1+r2=12.故D正确．
11.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查双曲线的相关知识点，了双曲线的焦点三角形面积，点差法的知识，考查学生的逻辑想象能力和数据处理能力，属于难题．
对各个选项逐一验证可以得出答案．
【解答】
解：在双曲线x2-y22=1中，a=1，b= 2，c= 3且A1(-1,0)，A2(1,0)，F1(- 3,0)，F2( 3,0)，
对于A，设PF1=m，PF2=n，由双曲线定义得：m-n=2，
两边平方可得：m2+n2-2mn=4 ①，
在△PF1F2中，由余弦定理可得：m2+n2-2mncsπ3=(2 3)2⇒m2+n2-mn=12 ②，
联立 ① ②可得：mn=8，故△PF1F2的面积为12mnsinπ3=12×8× 32=2 3，故A正确;
对于B，设直线l:y=kx+m代入x2-y22=λ(*)(说明：λ=1时(*)式表示双曲线;λ=0时(*)式表示双曲线的两条渐近线)，
得(k2-2)x2+2kmx+m2+2λ=0，应满足：(k2-2)≠0，且△>0且明显有：x1+x2=2km2-k2(与λ无关)，
这说明线段PQ的中点与线段MN的中点重合，故有PM=NQ成立，故 B正确;
对于C，设P(m,n)，则m2-n22=1⇒n2=2(m2-1)，又直线PA1与PA2的斜率的乘积k1k2=nm+1⋅nm-1=n2m2-1=2(m2-1)m2-1=2，
由于k1∈[-8,-4]从而可得：k2∈[-12,-14]，故C正确;
对于D，由x2-y22=12x-y-1=0⇒2x2-4x+3=0，因为Δ<0，故直线与双曲线无交点，所以不存在中点，
故D错误．
故选ABC．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查抛物线抛物线的标准方程，向量与抛物线的综合问题，抛物线中的面积问题，属于较难题．
根据抛物线抛物线的标准方程，向量与抛物线的综合问题，抛物线中的面积问题，逐一判断即可．
【解答】
解：由题可知p=2，F(1,0)，
如图，因为PQ=3QE，所以有|EP|=4|EQ|，过P，Q作y轴
的垂线分别交于P'，Q'.根据三角形相似可得|PP'|=4|QQ'|.即xP=4xQ．
由题意可知直线l的斜率不为0，故设直线l为x=my+p2，
联立方程y2=2pxx=my+p2，解得x2-p+2m2px+p24=0，
则xPxQ=p24=1，得xP=2，xQ=12，
所以P(2,2 2)，Q(12,- 2)，直线l:y=2 2x-2 2．
对于A，由题意可知，过点P的切线方程斜率一定存在，
设过点P的切线方程为y=kx-2k+2 2，联立抛物线方程得：ky2-4y-8k+8 2=0，
则△=16-4k(-8k+8 2)=0，解得k= 22，则过点P(2,2 2)的切线方程为，
x- 2y+2=0，与准线相交于M(-1, 22)，易得kMP⋅kMQ=-1，A正确;
对于B，由xP=2，xQ=12可得|PF|=3，|QF|=32，PF=2FQ，B正确;
对于C，因为FM=(-2, 22)，FQ=(-12,- 2)，FM⋅FQ=0，所以∠MFQ为直角，C错误;
对于D，可得两三角形同底，则面积之比即为高之比，点O到PQ的距离d1=2 2 8+1=2 23，
点M到PQ的距离，所以S△POQS△PMQ=d1d2=2 233 22=49，D正确．
故选ABD．
13.【答案】y=-124
【解析】【分析】
本题考查了抛物线的标准方程及其基本概念等知识，属于基础题．
将抛物线化成标准方程得x2=16y，算出2p=16且焦点在y轴上，进而得到p2=124，可得该抛物线的准线方程．
【解答】
解：抛物线y=6x2化成标准方程，可得x2=16y，
∴抛物线焦点在y轴上且2p=16，得p2=124，
∴准线方程为y=-124．
故答案为y=-124．
14.【答案】±1
【解析】【分析】
本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于基础题．
由所给角度可知圆心到直线距离，结合点到直线的距离公式求解k值即可．
【解答】
解：因为直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=90°(其中O为原点)，
则三角形POQ为等腰直角三角形，所以圆心O到直线的距离为 22，
即 22=|0-0+1| k2+12，
k=±1．
故答案为±1．
15.【答案】x221+y225=1
【解析】【分析】
本题以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义，轨迹方程，确定轨迹为椭圆是关键，属于中档题．
求出两个圆的圆心与半径，设出动圆的圆心坐标，判断动圆的圆心的轨迹满足椭圆的定义，然后求解方程．
【解答】解：设动圆圆心为C(x,y)，半径为R，
圆C1:x2+y2+4y+3=0可化为(y+2)2+x2=1，
圆C2:x2+y2-4y-77=0可化为x2+(y-2)2=81，
当动圆C与圆C1相外切时，有|C1C|=R+1①，
当动圆C与圆C2相内切时，有|C2C|=9-R②，
将①②两式相加，得|C1C|+|C2C|=10>|C1C2|，
∴动圆圆心C(x,y)到点C1(0,-2)和C2(0,2)的距离和是常数10，
所以点C的轨迹是焦点为点C1(0,-2)、C2(0,2)，长轴长等于10的椭圆，
∴2c=4，2a=10，
∴c=2，a=5，b2=25-4=21，
则动圆的圆心C轨迹方程为x221+y225=1．
故答案为：x221+y225=1．
16.【答案】53
【解析】【分析】
本题考查了双曲线的离心率，属于中档题．
设双曲线 x2a2-y2b2=1(a>0,b>0) 的右焦点 F2(c,0)(c>0) ，连接 PF2 ， OM ，由直线 FT 与圆 x2+y2=a2 相切，可得 c2-a2=b .又双曲线 x2a2-y2b2=1 中， PF-PF2=2a ，则 |MO|-|MT|=b-a ，又 MO-MT=2a-c ，则 2a-c=b-a ，整理得 3a-c=b ，两边平方整理得 5a2-3ac=0 ，从而可得．
【解答】
解：设双曲线 x2a2-y2b2=1(a>0,b>0) 的右焦点 F2(c,0)(c>0) ，连接 PF2 ， OM ．
则 △PF2F 中， FM=MP ， FO=OF2 ，则 MO=12PF2 ，
由直线 FT 与圆 x2+y2=a2 相切，
可得 FT= OF2-OT2= c2-a2=b ，
又双曲线 x2a2-y2b2=1 中， PF-PF2=2a ，
则 MO-MT=12PF2-12PF-FT=12PF2-PF+FT=b-a ，
又 MO-MT=2a-c ，则 2a-c=b-a ，
整理得 3a-c=b ，两边平方整理得 5a2-3ac=0 ，
则双曲线的离心率 e=ca=53．
17.【答案】解：(1)|AB|= (2-4)2+(1-7)2=2 10，
|AC|= [2-(-4)]2+(1-3)2=2 10，
|BC|= [4-(-4)]2+(7-3)2=4 5，
故△ABC为等腰三角形，可得BC中点D(0,5)，
所以h=|AD|=2 5，S△ABC=12h×|BC|=20，
故△ABC的面积为20．
(2)通过三点坐标可得，kAB=62=3，kAC=2-6=-13，
因为kAB⋅kAC=-1，所以AB⊥AC．
所以外接圆圆心O恰好为BC中点D(0,5)，r= 22+42=2 5，
所以三角形外接圆标准方程为x2+(y-5)2=20．
【解析】本题考查两点间的距离公式，考查圆的标准方程，考查直线垂直与斜率的关系，属于中档题．
(1)利用两点间的距离公式分别求出|AB|=|AC|=2 10，|BC|=4 5，可得△ABC为等腰三角形，从而可求面积；
(2)由斜率间的关系可得AB⊥AC，故外接圆圆心O恰好为BC中点D(0,5)，求出半径即可求解．
18.【答案】解：(1)设直线与圆心距离为d，
则d= r2-(|AB|2)2= 5-4=1，
所以有d=4 1+m2=1，m=± 15;
(2)当r= 2d时，∠AOB=π2，此时m=±3 155.因为OA⋅OB≤0，
所以∠AOB为直角或钝角，有r≥ 2d，即 5≥4 2 1+m2，
解得m∈(-∞,-3 155]∪[3 155,+∞)．
【解析】本题考查直线与圆的位置关系，属中档题题．
(1)根据垂径定理，结合点到直线距离公式可以得出m的值；
(2)根据题意得r≥ 2d，求解即可．
19.【答案】解：(1)设点M的坐标为(x,y)，
因为kAM=yx-1，kBM=yx+1，
所以kAM⋅kBM=y2x2-1=4，化简得：x2-y24=1．
所以E的方程为x2-y24=1(x≠±1)．
(2)当直线PQ的斜率不存在时，显然不符合题意;
设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，直线PQ方程为y=kx-2，
y=kx-2与x2-y24=1联立得：
(4-k2)x2+4kx-8=0，
由Δ=16k2+32(4-k2)>0且4-k2≠0，解得k2<8且k2≠4，
由韦达定理得x1+x2=4kk2-4x1x2=8k2-4．
因为线段PQ中点D在第一象限，且纵坐标为4，
所以x1+x2=4kk2-4>0y1+y2=k(x1+x2)-4=16k2-4=8，解得k= 6或k=- 6(舍去)，
所以直线PQ为y= 6x-2，所以x1+x2=2 6x1x2=4．
所以|PQ|= 1+k2⋅|x1-x2|= 7⋅ (x1+x2)2-4x1x2=2 14．
【解析】本题考查双曲线的轨迹与方程，考查直线与双曲线中的弦长与面积问题，属于较难题．
(1)设M(x,y)，由斜率公式化简即可求解；
(2)设Px1,y1,Qx2,y2，直线l的方程为y=kx-2，与抛物线方程联立，求出y1+y2，根据点D的纵坐标为4可求k，再根据弦长公式求|PQ|即可．
20.【答案】解：(1)如图，
设动圆圆心O1(x,y)，
令圆O1截y轴所得弦为PQ，
有|O1D|=|O1P|，
当O1不在y轴上时，
过O1作O1H⊥PQ交PQ于H，
则H是PQ的中点，于是 x2+22= (x-2)2+y2，
化简得y2=4x(x≠0)，
当O1在y轴上时，
动圆O1过定点D(2,0)，且在y轴上截得弦PQ的长为4，
则O1与原点O重合，
即点(0,0)也满足方程y2=4x，
所以动圆圆心O1的轨迹M方程为y2=4x．
(2)显然直线斜率存在，
不妨设直线l: y=kx+1，
与y2=4x联立可得k2x2+(2k-4)x+1=0，
则Δ=(2k-4)2-4k2=16-16k>0，
得k<1;
可得x1+x2=4-2kk2x1x2=1k2,
F为轨迹M的焦点，则F(1,0)，
则kFA+kFB=y1x1-1+y2x2-1
=y1(x2-1)+y2(x1-1)(x1-1)(x2-1)=(kx1+1)(x2-1)+(kx2+1)(x1-1)(x1-1)(x2-1)=2kx1x2+(1-k)(x1+x2)-2x1x2-(x1+x2)+1=2k·1k2+(k-1)(2k-4)k2-21k2-4-2kk2+1=-4k+4k2+2k-3=1
解得k=-7或1，
因为k<1，所以k=-7，
所以|TA|⋅|TB|
= 1+k2|x1-0|× 1+k2|x2-0|
=(1+k2)|x1x2|=1+k2k2=5049．
【解析】本题考查抛物线的标准方程，考查两点间距离公式，考查直线与抛物线的位置关系及应用，考查过两点的斜率公式，考查数形结合思想，属于较难题．
(1)设动圆圆心O1(x,y)，令圆O1截y轴所得弦为PQ，分类讨论：①O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥PQ交PQ于H，利用H是PQ的中点建立方程可得轨迹M的方程；②当O1在y轴上时，O1与原点O重合，继而可得轨迹M的方程．
(2)易知直线斜率存在，可设直线l: y=kx+1，与轨迹M的方程联立，再利用韦达定理、过两点的斜率公式并结合kFA+kFB=1即可求出k的值，继而可求出|TA|⋅|TB|的值．
21.【答案】解：(1)双曲线2x2-2y2=1的焦点坐标为-1,0,1,0，
设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，
则1a2+94b2=1a2-b2=1，解得a2=4b2=3,
即椭圆C的方程为x24+y23=1；
(2)(i)易知 A-2,0,B2,0 ，由椭圆对称性可知，不妨设 M4,t,t>0 ， PxP,yP,QxQ,yQ ；
根据题意可知直线 AM,BM 斜率均存在，且 kAM=t6,kBM=t2 ；
所以直线 AM 的方程为 y=t6x+2 ， BM 的方程为 y=t2x-2 ；
联立直线 AM 和椭圆方程 y=t6x+2x24+y23=1 ，消去 y 可得 27+t2x2+4t2x+4t2-108=0 ；
由韦达定理可得 -2xP=4t2-10827+t2 ，解得 xP=54-2t227+t2 ，则 yP=t6xP+2=18t27+t2 ；
联立直线 BM 和椭圆方程 y=t2x-2x24+y23=1 ，消去 y 可得 3+t2x2-4t2x+4t2-12=0 ；
由韦达定理可得 2xQ=4t2-123+t2 ，解得 xQ=2t2-63+t2 ，则 yQ=t2xQ-2=-6t3+t2 ；
则 BP=54-2t227+t2-2,18t27+t2=-4t227+t2,18t27+t2 ， BQ=2t2-63+t2-2,-6t3+t2=-123+t2,-6t3+t2 ；
所以 BP⋅BQ=-4t227+t2×-123+t2+18t27+t2×-6t3+t2=-60t227+t23+t2<0 ；
即可知 ∠PBQ 为钝角，
所以点B在以 PQ 为直径的圆内；
(ii)易知四边形 APBQ 的面积为 S=12×AB×yP-yQ=218t27+t2+6t3+t2=48t9+t29+t22+12t2=489+t2t+12t9+t2 ，
设 λ=9+t2t,t>0 ，则 λ=9+t2t=9t+t≥2 9t⋅t=6 ，当且仅当 t=3 时等号成立；
由对勾函数性质可知 y=λ+12λ 在 6,+∞ 上单调递增，
所以 y=λ+12λ≥6+2=8 ，可得 S=48λ+12λ≤488=6 ，
由对称性可知，即当点 M 的坐标为 4,3 或 4,-3 时，
四边形 APBQ 的面积最大，最大值为6．

【解析】本题考查椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系以及圆锥曲线中面积的最值问题，属于难题．
(1)求出双曲线的焦点坐标即可得椭圆的焦点坐标，再代入点(1,32)，解方程组即可求得椭圆C的方程；
(2)(i)分别将直线 AM,BM 与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出 P,Q 两点坐标，由数量积 BP⋅BQ<0 可得 ∠PBQ 为钝角，得出证明；
(ii)由(i)可写出四边形 APBQ 的面积为 S=489+t2t+12t9+t2 ，再利用基本不等式以及函数单调性即可得出面积的最大值为6．
22.【答案】解：(1)将(2,3)代入双曲线中，4a2-9a2+2=1，
解得a2=1，故双曲线方程为x2-y23=1，
下面证明x2a2-y2b2=1a>0,b>0上一点x0,y0的切线方程为x0xa2-y0yb2=1，
理由如下：当切线方程的斜率存在时，
设过点x0,y0的切线方程为y-y0=kx-x0，与x2a2-y2b2=1a>0,b>0联立得，
1a2-k2b2x2+2k2x0b2-2k2y0b2x+2kx0y0-k2x02-y02-b2b2=0，
由Δ=2k2x0b2-2k2y0b22-41a2-k2b2⋅2kx0y0-k2x02-y02-b2b2=0
化简得y0-kx02=a2k2-b2，
因为k=y-y0x-x0，代入上式得y0-y-y0x-x0⋅x02=a2y-y0x-x02-b2，
整理得xy0-x0y2=a2y-y02-b2x-x02，
同除以a2b2得，xy0-x0y2a2b2=y-y02b2-x-x02a2，
即x2y02-2xy0x0y+x02y2a2b2=y2-2y0y+y02b2-x2-2x0x+x02a2，
因为x02a2-y02b2=1，x2a2-y2b2=1，
所以x2y02-2xy0x0y+x02y2a2b2=-2-2y0yb2+2x0xa2，
联立x02a2-y02b2=1x2a2-y2b2=1，两式相乘得，x02x2a4-x02y2a2b2-x2y02a2b2+y02y2b4=1，
从而x02y2a2b2+x2y02a2b2=-1+x02x2a4+y02y2b4，
故-1+x02x2a4+y02y2b4+-2xy0x0ya2b2=-2-2y0yb2+2x0xa2，
即-1+x0xa2-y0yb22=-2+2x0xa2-y0yb2，
令t=x0xa2-y0yb2，则-1+t2=-2+2t，即t-12=0，
解得t=1，即x0xa2-y0yb2=1，
当切线斜率不存在时，此时切点为±a,0，切线方程为x=±a，满足x0xa2-y0yb2=1，
综上：x2a2-y2b2=1a>0,b>0上一点x0,y0的切线方程为x0xa2-y0yb2=1，
设Qm,n，则x2-y23=1过点Qm,n的切线方程为mx-ny3=1，
故mx-ny3=1为x2-y23=1过点Qm,n的切线方程，
双曲线的两条渐近线方程为y=± 3x，
联立mx-ny3=1与y= 3x，解得x1=33m- 3ny1=3 33m- 3n,
联立mx-ny3=1与y=- 3x，解得x2=33m+ 3ny2=-3 33m+ 3n,
直线AB方程为y-y1x-x1=y2-y1x2-x1，即y-y1x2-x1-y2-y1x-x1=0，
故点O到直线AB的距离为-y1x2-x1-y2-y1-x1 x2-x12+y2-y1=x1y2-x2y1 x2-x12+y2-y1，
且AB= x2-x12+y2-y1，
故▵AOB的面积为12x1y2-x2y1 x2-x12+y2-y1⋅ x2-x12+y2-y1=12x1y2-x2y1
=1233m- 3n⋅-3 33m+ 3n-33m+ 3n⋅3 33m- 3n
=12-18 39m2-3n2=12-18 39= 3，为定值；
(2)
若直线l斜率不存在，此时直线l与双曲线右支无交点，不合题意，不满足条件，
故直线l斜率存在，设直线l方程y-1=kx-12，
与x2-y23=1联立得3-k2x2+k2-2kx-14k2-k+4=0，
由Δ>03-k2≠0k2-2kk2-3>014k2-k+4k2-3>0,
因为14k2-k+4=14k-22+3>0恒成立，所以k2-3>0，
故k2-2k>0，
解得-2-2 133设Mx1,y1,Nx2,y2，则x1+x2=k2-2kk2-3,x1x2=14k2-k+4k2-3，
设点H的坐标为xH,yH，
则由PMPN=MHHN得，x1-12x2-12=xH-x1x2-xH，
变形得到2x1x2-xH+12x1+x2+xH=0，
将x1+x2=k2-2kk2-3,x1x2=14k2-k+4k2-3代入，解得xH=8-k3-2k，
将xH=8-k3-2k代入y-1=kx-12中，解得yH=19-4k23-2k，
则xH-yH=8-k3-2k-19-4k23-2k=-12，
故点H恒在一条定直线x-y=-12上.

【解析】本题考查双曲线中的面积问题，双曲线中的定值和定直线问题，属于难题．
(1)先求出双曲线方程，设Qm,n，则x2-y23=1过点Qm,n的切线方程为mx-ny3=1，联立mx-ny3=1与两条渐近线方程，得到A,B点坐标，利用12x1y2-x2y1求出面积为定值；
(2)考虑直线l斜率不存在，不合题意，故直线l斜率存在，设直线l方程y-1=kx-12，与双曲线方程联立，设出Mx1,y1,Nx2,y2，得到两根之和，两根之积，再设点H的坐标为xH,yH，由PMPN=MHHN得到xH=8-k3-2k，yH=19-4k23-2k，消去参数得到点H恒在一条定直线x-y=-12上.