2022-2023学年天津市津南区九年级上学期数学期中试卷及答案

这是一份2022-2023学年天津市津南区九年级上学期数学期中试卷及答案，共19页。试卷主要包含了 一元二次方程的根的情况是， 抛物线的顶点坐标是等内容，欢迎下载使用。
1. 方程5x2－1＝4x化成一般形式后，二次项系数为正，其中一次项系数，常数项分别是（ ）
A. 4，－1B. 4，1C. －4，－1D. －4，1
【答案】C
【解析】
【分析】一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件，在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项；
【详解】解：5x2－1＝4x化成一元二次方程一般形式是5x2－4x－1=0，
它的二次项系数是5，一次项系数是−4，常数项是−1.
故选C.
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键.
2. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行解答即可．
【详解】解：由题意可知：，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根的情况，本题属于基础题型．根据根的判别式即可求出答案．
3. 用配方法解方程时，方程可变形为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据配方法可直接进行排除选项．
【详解】由配方法解方程时，方程可变形为；
故选A．
【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．
4. 已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则x1•x2等于（ ）
A. ﹣2B. ﹣C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【详解】解：∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个实数根，
∴x1•x2＝．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两个根为x1,x2,则x1+x2=-，x1•x2=．
5. 已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k＜B. k＞﹣C. k＞﹣且k≠0D. k＜且k≠0
【答案】D
【解析】
【分析】要使一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式必须大于0，得到k的取值范围，因为方程是一元二次方程，所以k不为0．
【详解】∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝4﹣12k＞0，且k≠0
∴k＜且k≠0，
故选D．
【点睛】本题考查的是根的判别式，当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0．
6. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】抛物线的顶点坐标为 利用以上结论直接写出顶点坐标即可．
【详解】解：∵ ，
抛物线的顶点坐标是
故选：A．
【点睛】本题考查的是抛物线的性质，掌握抛物线的顶点坐标是解题的关键．
7. 如图，二次函数的图象与轴交于，B两点，下列说法错误的是（ ）
A. B. 图象的对称轴为直线
C. 点B的坐标为D. 当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的图象和性质依次对各选项进行判断即可．
【详解】解：由图可知二次函数的图象的开向下，所以a0，
故②错误；
③由图可知：当x=−2时，y>0，
∴4a−2b+c>0，
故③正确；
④∵当x=−1时，y=0，
∴0=a−b+c0，
故④正确．
综上所述，有3个结论正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了根据二次函数的图象与系数之间的关系，确定式子的符号，解题的关键是掌握数形结合思想的应用．
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 一元二次方程x2+3x=0的解是_____．
【答案】0，-3
【解析】
【分析】利用提公因式法把方程变形为ab=0的形式，构成两个一元一次方程解答即可.
【详解】x2＋3x＝0
x（x+3）=0
x=0或x+3=0
解得x1＝0，x2＝－3.
故答案为x1＝0，x2＝－3.
【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，关键是利用提公因式法把方程化为ab=0的形式.
14. 若x=是一元二次方程的一个根，则n的值为 ____．
【答案】．
【解析】
【分析】把代入到一元二次方程中求出的值即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，牢记方程的解满足方程，代入即可是解决此类问题的关键．
15. 抛物线的对称轴是直线 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数一般式的对称轴为即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴抛物线对称轴为直线，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟知二次函数一般式的对称轴为是解本题的关键．
16. 赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其解析式为y＝﹣x2．当水面离桥拱顶的高度DO为4m时，水面宽度AB为____m．
【答案】20
【解析】
【分析】根据题意分别求出点A、B的坐标，计算即可．
【详解】解：由题意得，﹣4 =﹣x2，
解得x =±10，
即点A的坐标为（﹣10，﹣4），点B的坐标为（10，﹣4），
这时水面宽度AB为20m，
故答案为：20．
【点睛】本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
17. 一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是_____．
【答案】98
【解析】
【分析】设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为，根据“个位数字与十位数字的乘积等于72，”列出方程，即可求解．
【详解】解∶设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去），，
∴．
故答案为：98
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出这个两位数的十位数字是解题的关键．
18. 设抛物线，其中a为实数．
（1）若抛物线经过点，则______；
（2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是______．
【答案】 ①. 0 ②. 2
【解析】
【分析】（1）直接将点代入计算即可
（2）先根据平移得出新抛物线的解析式，再根据抛物线顶点坐标得出顶点坐标的纵坐标，再通过配方得出最值
【详解】解：（1）将代入得：
故答案为：0
（2）根据题意可得新的函数解析式为：
由抛物线顶点坐标
得新抛物线顶点的纵坐标为：
∵
∴当a=1时，有最大值为8，
∴所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是
故答案为：2
【点睛】本题考查将抛物线的顶点坐标、将点代入代入函数解析式、利用配方法求最值是常用的方法
三．解答题（共8小题，共66分）
19. 解下列方程
（1）（配方法）；
（2）（公式法）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）原方程先将常数项移到等号右边，方程两边同加上一次项系数一半的平方，配方后运用直接开平方法求解即可；
（2）方程运用求根公式求解即可．
【小问1详解】
解：
，
，即，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：，
∵，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20. 解下列方程
（1）
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程；
（2）利用因式分解法解一元二次方程．
【小问1详解】
解：
或
∴解得；
【小问2详解】
解：
或
∴解得．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
21. 已知二次函数．
（1）求出该二次函数图象顶点坐标．
（2）填写下列表格：
（3）在图中所示的坐标系中画出该二次函数的图象．
【答案】（1）
（2），0，3
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）化成顶点式即可求出顶点坐标；
（2）将代入解析式求值即可；
（3）先描点再连线即可．
【小问1详解】
解：，
∴二次函数顶点坐标为；
【小问2详解】
解：当时，；
当时，；
当时，；
故答案为：，0，3．
【小问3详解】
解：如图：
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质以及函数图象的作法是解题的关键．
22. 已知二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
求：
（1）这个二次函数的解析式；
（2）这个二次函数图象的顶点坐标及上表中m的值．
【答案】（1）
（2）顶点坐标，.
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式；
（2）把，代入解析式即可求得m的值，用配方法或公式法求二次函数的顶点坐标．
【小问1详解】
解：依题意，得
，
解得，
∴二次函数的解析式为：；
【小问2详解】
当时，，
由，故其顶点坐标为．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的顶点坐标等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
23. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为．
（1）用含x的式子表示：
，
，
，
（2）当的面积为时，求运动时间；
（3）四边形的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．
【答案】（1）；；
（2）2或4 （3）不可能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可得，，从而可以解决问题；
（2）表示出，，解方程即可；
（3）表示出，，解方程即可．
【小问1详解】
解：根据题意得：，，
∵
，
故答案为：2x；；4x；
【小问2详解】
解：，
，
∴，
解得：或4，
当的面积为时，或4；
【小问3详解】
解：四边形的面积不能等于172，理由如下：
，
∴，
解得或，
，
四边形的面积不可能等于．
【点睛】本题是动点问题，主要考查了图形的面积，一元二次方程的解法，解决问题的关键是能够化动为静，并且注意的取值范围，属于常考题．
24. 某水果商店销售一种进价为元/千克的优质水果，若售价为元/千克，则一个月可售出千克；若售价在元/千克的基础上每涨价元，则月销售量就减少千克．
（1）当售价为元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
【答案】（1）每月销售水果千克
（2）每千克水果售价为元时，利润最大为元
【解析】
【分析】（1）根据题意列出算式即可求解；
（2）设每千克水果售价为元，总利润为元，根据题意列出二次函数关系，根据二次函数的性质求得最值即可求解．
【小问1详解】
(千克)．
答：每月销售水果千克；
【小问2详解】
设每千克水果售价为元，总利润为元，
由题意可得，
∵-，
∴当时，有最大值为，
答：每千克水果售价为元时，利润最大为元
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
25. 已知抛物线具有如下性质：给抛物线上任意一点到定点的距离与到x轴的距离相等，如图，点M的坐标为，P是抛物线上一动点，则
（1）当面积为4时，求P点的坐标；
（2）求周长的最小值．
【答案】（1）或
（2）5
【解析】
【分析】（1）设P点的坐标为，根据面积为4求出点P的横坐标，代入解析式得到对应y值，即可求解；
（2）过点M作轴于点E，与抛物线交于点，由点在抛物线上可得出，结合点到直线之间垂线段最短及为定值，即可得出当点P运动到点时，周长取最小值，由此可解．
【小问1详解】
解：设P点的坐标为，
点F坐标为，
，
当的面积为4时，，
解得：，
，
点P的坐标为或．
【小问2详解】
解：过点M作轴于点E，与抛物线交于点．
抛物线上任意一点到定点的距离与到x轴的距离相等，
，
又为定值，
当点P运动到点时，周长取最小值，
,，
，，
，
周长的最小值为5．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及点到直线的距离，根据点到直线之间垂线段最短找出周长取最小值时点P的位置是解题的关键．
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式及对称轴；
（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求△PAD面积的最大值．
【答案】（1），直线
（2）8
【解析】
【分析】（1）直接代入点A、B坐标即可；
（2）先求出直线AD的解析式，设出P的坐标，过点P作轴交直线AD于H，通过铅锤高表示出即可求出最大面积．
【小问1详解】
将，代入得
解得
∴，
对称轴为直线
【小问2详解】
过点P作轴交直线AD于H
当时，，
∴点，
∵点D与点C关于直线l对称，且对称轴直线，
∴，
∵，
∴直线AD的函数关系式为：，
设，则，
∴
，
∴，
当时，最大为8．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、待定系数法求函数解析式、三角形面积的性质，解题的关键是准确求出解析式．x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0



…
x
…
－1
0
2
4
…
y
…
－5
1
1
m
…