高考物理一轮复习第10章第3节带电粒子在复合场中的运动课时学案

这是一份高考物理一轮复习第10章第3节带电粒子在复合场中的运动课时学案，共27页。学案主要包含了带电粒子在复合场中的运动，质谱仪和回旋加速器等内容，欢迎下载使用。


一、带电粒子在复合场中的运动
1．复合场与组合场
(1)复合场：电场、磁场、重力场共存或其中某两场共存。
(2)组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场分时间段或分区域交替出现。
2．带电粒子在复合场中运动情况分类
(1)静止或匀速直线运动：当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或匀速直线运动状态。
(2)匀速圆周运动：当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动。
(3)较复杂的曲线运动：当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线。
(4)分阶段运动：带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成。
二、质谱仪和回旋加速器
1．质谱仪
(1)构造：如图所示，由粒子源、加速电场、偏转磁场和照相底片等构成。
(2)原理：粒子由静止被加速电场加速，qU＝eq \f(1,2)mv2。
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝meq \f(v2,r)。
由以上两式可得r＝eq \f(1,B)eq \r(\f(2mU,q))，m＝eq \f(qr2B2,2U)，eq \f(q,m)＝eq \f(2U,B2r2)。
2．回旋加速器
(1)构造：如图所示，D1、D2是半圆形金属盒，D形盒的缝隙处接交流电源，D形盒处于匀强磁场中。
(2)原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子经电场加速，经磁场回旋，由qvB＝eq \f(mv2,R)，得Ekm＝eq \f(q2B2R2,2m)，可见粒子获得的最大动能由磁感应强度B和D形盒半径R决定，与加速电压无关。
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用质谱仪可测量带电粒子的荷质比。(√)
(2)加在回旋加速器的交流电源的电压越大，带电粒子最终获得的速度越大。(×)
(3)带电粒子在复合场中运动时，要关注是否受重力作用。(√)
(4)带电粒子在复合场中做匀变速直线运动时，可能受洛伦兹力作用。(×)
(5)带电粒子在复合场中做圆周运动时，一定是重力和电场力平衡，洛伦兹力提供向心力。(√)
二、教材习题衍生
1．(人教版选择性必修第二册改编)A、B是两种同位素的原子核，它们具有相同的电荷、不同的质量。为测定它们的质量比，使它们从质谱仪(如图)的同一加速电场由静止开始加速，然后沿着与磁场垂直的方向进入同一匀强磁场，打到照相底片上。如果从底片上获知A、B在磁场中运动轨迹的直径分别为x1、x2，则A、B的质量之比为( )
A．eq \r(\f(x1,x2)) B．eq \f(x1,x2) C．eq \f(x\\al( 2,1),x\\al( 2,2)) D．eq \f(2x1,x2)
C [由题意得qU＝eq \f(1,2)mv2①
qvB＝eq \f(mv2,r)②
解①②联立得r＝eq \f(1,B)eq \r(\f(2mU,q))
即r∝eq \r(m)，则mA∶mB＝xeq \\al( 2,1)∶xeq \\al( 2,2)，C项正确。]
2．(人教版选择性必修第二册改编)某一具有速度选择器的质谱仪原理如图所示，A为粒子加速器，加速电压为U1；B为速度选择器，磁场与电场正交，磁感应强度为B1，两板间距离为d；C为偏转分离器，磁感应强度为B2。今有一质量为m、电荷量为e的正粒子(不计重力)，经加速后，该粒子恰能通过速度选择器，粒子进入分离器后做匀速圆周运动。若加速电压减小为原来的eq \f(9,10)，通过调节速度选择器两板间的电压，粒子仍从原位置进入分离器，则( )
A．速度选择器两板间的电压减小为原来的eq \f(9,10)
B．粒子在分离器中运动时间减小为原来的eq \f(9,10)
C．粒子在分离器中做圆周运动的半径减小为原来的eq \f(9,10)
D．粒子在分离器中运动的动能减小为原来的eq \f(9,10)
D [粒子在加速电场中有：qU1＝eq \f(1,2)mv2①
在速度选择器中有eq \f(U2,d)q＝qvB1②
则有2d2Beq \\al( 2,1)U1q＝mUeq \\al( 2,2)，若加速电压U1减小为原来的eq \f(9,10)，要使粒子仍从原位置射出，则速度选择器板间电压U2减小为原来的eq \r(\f(9,10))，选项A错误；粒子在分离器中做圆周运动，周期T＝eq \f(2πm,qB2)，与粒子的速度无关，若加速电压减小为原来的eq \f(9,10)，粒子在分离器中运动的时间不变，选项B错误；由r＝eq \f(mv,qB2)＝eq \f(1,B2)eq \r(\f(2mU1,q))知，若加速电压U1减小为原来的eq \f(9,10)，粒子在分离器中做圆周运动的半径减小为原来的eq \r(\f(9,10))，C项错误；由Ek＝eq \f(1,2)mv2＝qU1知若加速电压U1减小为原来的eq \f(9,10)，则粒子运动的动能减小为原来的eq \f(9,10)，D项正确。]
带电粒子在组合场中的运动
1．组合场
电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现。
2．“电偏转”和“磁偏转”的比较
3．带电粒子在组合场中的运动
(1)常见模型
①先电场后磁场
a．先在电场中做匀加速直线运动，然后进入磁场做匀速圆周运动。(如图甲、乙所示)
qU＝eq \f(1,2)mveq \\al( 2,0) qEd＝eq \f(1,2)mveq \\al( 2,0)
甲 乙
在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。
b．先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做匀速圆周运动。(如图丙、丁所示)
在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。
eq \a\al(L＝v0t，d＝\f(1,2)at2＝,\f(1,2)·\f(qE,m)t2，vy＝at＝,\f(qE,m)t，v＝\r(v\\al( 2,0)＋v\\al( 2,y))) eq \a\al(h＝\f(1,2)at2＝\f(1,2)·\f(qE,m)t2，,vy＝at＝\f(qE,m)t，,v＝\r(v\\al( 2,0)＋v\\al( 2,y))，tan α＝\f(vy,v0))
丙 丁
②先磁场后电场
对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况：
a．进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反；
b．进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直。(如图甲、乙所示)
eq \a\al(粒子在电场中做直线,运动，用动能定理或,运动学公式分析) eq \a\al(粒子在电场中做类平,抛运动，用平抛运动,知识分析)
甲 乙
(2)分析方法
先电场后磁场
[典例1] (2022·山东卷)中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系Oxyz中，0＜z≤d空间内充满匀强磁场Ⅰ，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；－3d≤z＜0，y≥0的空间内充满匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小为eq \f(\r(2),2)B，方向平行于xOy平面，与x轴正方向夹角为45°；z＜0，y≤0的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场。质量为m、带电量为＋q的离子甲，从yOz平面第三象限内距y轴为L的点A以一定速度出射，速度方向与z轴正方向夹角为β，在yOz平面内运动一段时间后，经坐标原点O沿z轴正方向进入磁场Ⅰ。不计离子重力。
(1)当离子甲从A点出射速度为v0时，求电场强度的大小E；
(2)若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度vm；
(3)离子甲以eq \f(qBd,2m)的速度从O点沿z轴正方向第一次穿过xOy面进入磁场Ⅰ，求第四次穿过xOy平面的位置坐标(用d表示)；
(4)当离子甲以eq \f(qBd,2m)的速度从O点进入磁场Ⅰ时，质量为4m、电荷量为＋q的离子乙，也从O点沿z轴正方向以相同的动能同时进入磁场Ⅰ，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差Δt(忽略离子间相互作用)。
[解析] (1)离子甲从A点射入电场，由O点沿＋z方向射出，只受沿－y方向电场力的作用，所以在＋z方向上，离子甲做匀速直线运动，在从A到O的运动过程中，在＋z方向上有
L＝v0tcs β
在＋y方向上有0＝v0sin β－at
由牛顿第二定律有Eq＝ma
解得E＝eq \f(mv\\al( 2,0)sin βcs β,qL)。
(2)离子甲进入磁场Ⅰ中，当离子甲运动轨迹与磁场Ⅰ上边界相切时，由洛伦兹力充当向心力有
qv1B＝meq \f(v\\al( 2,1),R1)，其轨迹半径R1＝d
经半个圆周由(0，2d，0)进入磁场Ⅱ，然后在垂直匀强磁场Ⅱ的平面内运动，由洛伦兹力充当向心力有qv1·eq \f(\r(2),2)B＝meq \f(v\\al( 2,1),R2)，解得R2＝eq \r(2)d
轨迹恰与xOz平面相切，则此时离子甲速度最大，即vm＝v1＝eq \f(Bqd,m)。
(3)离子甲以v2＝eq \f(Bqd,2m)射入磁场Ⅰ，则离子甲在磁场Ⅰ中的轨迹半径R1′＝eq \f(d,2)，离子甲在磁场Ⅰ中转半个圆周，由y轴上(0，d，0)处第二次穿过xOy面进入磁场Ⅱ，在磁场Ⅱ中的轨迹半径为R2′＝eq \f(\r(2),2)d，离子甲在磁场Ⅱ中偏转半个圆周，由x轴上(d，0，0)处第三次穿过xOy面进入磁场Ⅰ，速度方向平行于z轴正方向，再在磁场Ⅰ中偏转半个圆周第四次穿过xOy面，轨迹如图1所示，所以离子第四次穿越xOy平面的位置坐标为(d，d，0)。
图1
(4)设离子乙的速度为v2′，根据离子甲、乙动能相同可得eq \f(1,2)mv2＝eq \f(1,2)×4mv′eq \\al( 2,2)
解得v2′＝eq \f(1,2)v2
由(3)问可知离子甲在磁场Ⅰ、Ⅱ中运动的轨迹半径分别为R1′＝eq \f(d,2)，R2′＝eq \f(\r(2),2)d
则离子乙在磁场Ⅰ、Ⅱ中的轨迹半径分别为R1″＝d，R2″＝eq \r(2)d
根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点如图2所示
图2
从O点进入磁场到第一个交点过程，有
t甲＝T甲1＋T甲2＝eq \f(2πm,qB)＋eq \f(2πm,q·\f(\r(2),2)B)＝eq \f(2\r(2)＋1πm,qB)
t乙＝eq \f(T乙1,2)＋eq \f(T乙2,2)＝eq \f(2π·4m,2qB)＋eq \f(2π·4m,2q·\f(\r(2),2)B)
＝eq \f(4\r(2)＋1πm,qB)
可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点时间差为Δt＝t乙－t甲＝eq \f(2\r(2)＋1πm,qB)。
[答案] (1)eq \f(mv\\al( 2,0)sin βcs β,qL) (2)eq \f(Bqd,m) (3)(d，d，0) (4)eq \f(2\r(2)＋1πm,qB)
先磁场后电场
[典例2] (2022·辽宁省沈阳市重点高中联合体一模)如图所示为某离子收集器装置的示意图，在xOy坐标平面内，半径为R的圆形匀强磁场区域边界与y轴相切于坐标原点O，磁场方向垂直于坐标平面，一截面为矩形的电场处理器AMNC与磁场相切于P点，AC边与y轴重合，其中AM＝AC＝2R，F为MN中点，AC与MN间存在沿x轴正方向的匀强电场(未画出)，在MN处放置有与MN等长的荧光屏。现有大量质量为m、电荷量为q的正离子，以相同速率v0各向均匀地从O点射入x>0区域，其中沿x轴正方向射入的离子刚好经过P点，已知所有离子均能打到荧光屏上，形成的亮线恰与MN重合。不计离子重力及离子间的相互作用，求：
(1)匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向；
(2)电场处理器AMNC间的电场强度E的大小；
(3)荧光屏上M、F间与F、N间收集到的离子数目之比。
[解析] (1)离子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即
qv0B＝meq \f(v\\al( 2,0),r)
由几何关系得r＝R
解得B＝eq \f(mv0,qR)
由左手定则知磁场方向垂直纸面向外。
(2)对沿y轴负方向射入的离子，其刚好到达N点，可知该离子在电场中沿y轴方向有
2R＝v0t
沿x轴方向有2R＝eq \f(1,2)·eq \f(qE,m)t2
联立可得E＝eq \f(mv\\al( 2,0),qR)。
(3)对恰好打中荧光屏中间位置的离子，在电场中沿y轴方向有R＝v0t′
沿x轴方向有x0＝eq \f(1,2)·eq \f(qE,m)t′2
联立可得x0＝eq \f(R,2)
该离子在磁场中的运动轨迹如图所示
可知sin θ＝eq \f(2R－R－\f(1,2)R,R)＝eq \f(1,2)
可得θ＝30°
可知荧光屏M、F间与F、N间收集到的离子对应发射角度分别为60°与120°，故荧光屏上半部分与下半部分收集到的离子数目之比为eq \f(60°,120°)＝eq \f(1,2)。
[答案] (1)eq \f(mv0,qR) 垂直纸面向外 (2)eq \f(mv\\al( 2,0),qR) (3)1∶2
“5步”突破带电粒子在组合场中的运动问题
[跟进训练]
1．(先电场后磁场)(2022·深圳市高三第一次调研考试)利用电磁场改变带电粒子运动的路径，与光的传播、平移等效果相似，称为电子光学。如图所示，在xOy坐标平面上，第三象限存在着方向沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E。在其余象限存在垂直纸面的匀强磁场，其中第一、二象限向外，第四象限向里，磁感应强度大小均为B(未知)。在坐标点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(L,2)))处有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以初速度v0＝eq \r(\f(3qEL,m))沿着x轴负方向射入匀强电场，粒子在运动过程中恰好不再返回电场，忽略粒子重力。
(1)求粒子第一次进入磁场时的速度v；
(2)求磁感应强度的大小B；
(3)现将一块长为eq \r(3)L的上表面涂荧光粉的薄板放置在x轴上，板中心点横坐标x1＝4eq \r(3)L，仅将第四象限的磁感应强度变为原来的k倍(k>1)，求当k满足什么条件时，板的上表面会出现荧光点。
[解析] (1)粒子在电场中做类平抛运动，则
qE＝ma①
eq \f(L,2)＝eq \f(1,2)at2②
vy＝at③
则v＝eq \r(v\\al( 2,0)＋v\\al( 2,y))＝2eq \r(\f(qEL,m))④
设进入磁场时速度方向与x轴负方向夹角为θ，
有tan θ＝eq \f(vy,v0)⑤
解得θ＝30°。⑥
(2)粒子进入磁场后的运动轨迹如图1所示
图1
在电场中的水平位移x0＝v0t⑦
由几何关系可得R＝2x0⑧
由洛伦兹力提供向心力有qvB＝meq \f(v2,R)⑨
解得B＝eq \r(\f(mE,3qL))。⑩
(3)①粒子在第四象限磁场中偏转一次击中上表面右端时，轨迹如图2所示
图2
由几何关系得2×2Rsin θ＋2r1sin θ＝x0＋x1＋eq \f(\r(3)L,2)⑪
由洛伦兹力提供向心力有qv·k1B＝meq \f(v2,r1)⑫
解得k1＝eq \f(4,3)。⑬
②粒子在第四象限磁场中偏转一次击中上表面左端时，轨迹如图3所示
图3
由几何关系得2×2Rsin θ＋2r2sin θ＝x0＋x1－eq \f(\r(3)L,2)⑭
由洛伦兹力提供向心力有qv·k2B＝meq \f(v2,r2)⑮
解得k2＝4。⑯
③粒子在第四象限磁场中偏转两次击中上表面右端时，轨迹如图4所示
图4
由几何关系得3×2Rsin θ＋2×2r3sin θ＝x0＋x1＋eq \f(\r(3)L,2)⑰
解得r3<0，即无解
综上所述，板上会出现荧光点的条件为eq \f(4,3)≤k≤4。⑱
[答案] (1)v＝2eq \r(\f(qEL,m))，方向与x轴负方向成30°角 (2)B＝eq \r(\f(mE,3qL)) (3)eq \f(4,3)≤k≤4
2．(先磁场后电场)如图所示，空间中有一直角坐标系，在y轴的右侧有一宽度为L的匀强电场，电场强度的方向沿y轴正方向。在电场的右侧以O1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3L,2)，0))点为圆心、eq \f(L,4)为半径的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场。现将一质量为m、电荷量为－q的带电粒子从O1点的正下方沿着半径的方向射入匀强磁场，经过磁场偏转和电场偏转之后，带电粒子最终从y轴上的Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),3)L))点以速度v0垂直y轴射出，不计粒子的重力，求：
(1)电场强度的大小；
(2)电场强度与磁感应强度的大小之比；
(3)带电粒子从进入磁场到离开电场所用的时间。
[解析] (1)如图所示，将带电粒子在磁场外的运动过程逆向处理，带电粒子在电场中做类平抛运动时，设其竖直分位移为y，设合位移与水平方向之间的夹角为α，粒子射出电场时的速度与水平方向之间的夹角为β，由类平抛运动的规律得
L＝v0t1①
y＝eq \f(1,2)ateq \\al( 2,1)②
tan α＝eq \f(y,L)③
vx＝v0④
vy＝at1⑤
tan β＝eq \f(vy,vx)⑥
解得tan β＝2tan α⑦
由几何关系得tan α＝eq \f(y,L)，tan β＝eq \f(\f(\r(3)L,3)－y,\f(3L,2)－L)⑧
解得y＝eq \f(\r(3)L,6)，β＝30°⑨
由牛顿第二定律得qE＝ma⑩
解得E＝eq \f(\r(3)mv\\al( 2,0),3qL)。⑪
(2)带电粒子在磁场中运动的速率
v＝eq \f(v0,cs 30°)＝eq \f(2v0,\r(3))⑫
由洛伦兹力提供向心力得qvB＝eq \f(mv2,r)⑬
由几何关系知，带电粒子在磁场中运动时的轨道半径
r＝eq \f(L,4tan 30°)＝eq \f(\r(3)L,4)⑭
联立以上各式解得B＝eq \f(8mv0,3qL)，所以eq \f(E,B)＝eq \f(\r(3),8)v0。⑮
(3)带电粒子做匀速直线运动的时间
t2＝eq \f(\f(3L,2)－L－\f(L,4)cs 30°,vx)＝eq \f(4－\r(3)L,8v0)⑯
带电粒子在磁场中运动的时间
t3＝eq \f(60°,360°)×eq \f(2πr,v)＝eq \f(πL,8v0)⑰
带电粒子从进入磁场到离开电场所用的时间
t＝t1＋t2＋t3＝eq \f(12＋π－\r(3)L,8v0)。⑱
[答案] (1)eq \f(\r(3)mv\\al( 2,0),3qL) (2)eq \f(\r(3),8)v0 (3)eq \f(12＋π－\r(3)L,8v0)
带电粒子在叠加场中的运动
1．叠加场
电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。
2．带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式
[典例3] (2023·山东青岛质检)如图所示，在空间直角坐标系Oxyz中，xOz平面水平，xOy平面左侧空间存在竖直向上、电场强度大小为E的匀强电场；xOy平面右侧空间存在竖直向上、电场强度大小为2E的匀强电场和水平向右、磁感应强度大小为B的匀强磁场。在xOy平面右侧空间区域有一垂直于z轴的荧光屏，电荷量为q的带电微粒Q静止在yOz平面内的A点，A点离z轴的距离为d。质量与Q相同的不带电微粒P在yOz平面内运动，某时刻与微粒Q碰撞并合为一体(记为微粒C)，经过O点时，速度大小为v，方向与z轴正方向成θ角，重力加速度为g。
(1)求微粒P与微粒Q碰前瞬间速度的大小v0；
(2)若微粒C在磁场中运动打到荧光屏上时的速度与经过O点时的速度相同，求荧光屏到O点的距离L；
(3)若荧光屏到O点的距离l＝eq \f(21πvEcs θ,gB)，求微粒C打到荧光屏上的位置坐标，并求出O点到该位置的距离。
[解析] (1)设微粒Q的质量为m，P、Q碰撞后瞬间微粒C的速度为v1，
当微粒Q静止时有mg＝qE
微粒P、Q碰撞的过程满足动量守恒，有mv0＝2mv1
碰撞后微粒C到O点的过程，由动能定理有(2mg－qE)d＝eq \f(1,2)×2mv2－eq \f(1,2)×2mveq \\al( 2,1)
解得v0＝2eq \r(v2－gd)。
(2)微粒C在磁场中做等螺距螺旋线运动，由运动的分解可知，微粒C在磁场中沿z轴正方向以大小为vcs θ的速度做匀速直线运动，在平行于xOy平面内做速度大小为vsin θ的匀速圆周运动，微粒C做圆周运动的周期为T＝eq \f(4πm,qB)，故L＝nTvcs θ(n＝1，2，3，…)
解得L＝eq \f(4nπvEcs θ,gB)(n＝1，2，3，…)。
(3)微粒C沿z轴做匀速直线运动，则微粒C从O点运动到荧光屏所用的时间t＝eq \f(l,vcs θ)＝eq \f(21πm,qB)＝5.25T
微粒C在平行于xOy平面内做匀速圆周运动，则有qvBsin θ＝eq \f(2mvsin θ2,r)
故微粒C做匀速圆周运动的轨迹半径r＝eq \f(2mvsin θ,qB)＝eq \f(2vEsin θ,gB)
根据微粒C的运动轨迹可知，微粒C打到荧光屏上的位置坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2vEsin θ,gB)，－\f(2vEsin θ,gB)，\f(21πvEcs θ,gB)))
原点O到该位置的距离l′＝eq \r(l2＋\r(2)r2)＝eq \f(vE,gB)eq \r(21πcs θ2＋8sin2θ)。
[答案] (1)2eq \r(v2－gd) (2)eq \f(4nπvEcs θ,gB)(n＝1，2，3，…) (3)见解析
[跟进训练]
1．(带电粒子在叠加场中有约束情况下的运动)(多选)如图所示，一带负电的圆环套在倾斜固定的粗糙绝缘长直杆上，圆环的直径略大于杆的直径，杆处于方向垂直纸面向里的匀强磁场中。现给圆环一沿杆向上的初速度v0，在以后的运动过程中，下列关于圆环的速度v随时间t的变化关系图线，可能正确的是( )
A B
C D
BC [当qBv0>mgcs θ时，圆环受到FN先变小后变大，摩擦力Ff＝μFN也先变小后变大，圆环减速的加速度a＝eq \f(mgsin θ＋Ff,m)，也先变小后变大；当速度变小为零时，若μ>tan θ时，圆环静止，若μtan θ时，物体将静止；若μ2．(带电粒子在叠加场中无约束情况下的运动)(2023·山东潍坊市月考)如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，其第一象限存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度的方向水平向右，磁感应强度的方向垂直纸面向里。一带电荷量为＋q、质量为m的微粒从原点出发，沿与x轴正方向间夹角为45°的方向进入复合场中，正好做直线运动，当微粒运动到A(l，l)时，电场方向突然变为竖直向上(不计电场变化的时间)，粒子继续运动一段时间后，正好垂直于y轴穿出复合场。不计一切阻力，重力加速度为g，求：
(1)电场强度E的大小；
(2)磁感应强度B的大小；
(3)微粒在复合场中的运动时间。
[解析] (1)微粒到达A(l，l)之前做匀速直线运动，对微粒受力分析如图甲：
甲
所以Eq＝mg，得：E＝eq \f(mg,q)。
(2)由平衡条件知：qvB＝eq \r(2)mg
电场方向变化后，微粒所受重力与电场力平衡，微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹如图乙：qvB＝meq \f(v2,r)
乙
由几何知识可得：r＝eq \r(2)l
联立解得：v＝eq \r(2gl)，B＝eq \f(m,q)eq \r(\f(g,l))。
(3)微粒做匀速直线运动的时间：
t1＝eq \f(\r(2)l,v)＝eq \r(\f(l,g))
微粒做匀速圆周运动的时间：
t2＝eq \f(\f(3,4)π·\r(2)l,v)＝eq \f(3π,4)eq \r(\f(l,g))
微粒在复合场中的运动时间：
t＝t1＋t2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋1))eq \r(\f(l,g))。
[答案] (1)eq \f(mg,q) (2)eq \f(m,q)eq \r(\f(g,l)) (3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋1))eq \r(\f(l,g))
带电粒子在电磁场中的科技应用
除了前面讲到的质谱仪和回旋加速器外，常见的涉及复合场的科学仪器还有以下几种：
带电粒子在复合场中运动的常见实例
[题组突破]
1．(质谱仪)(2023·山东泰安市一中月考)如图所示是一种由加速电场、静电分析器和磁分析器组成的质谱仪示意图。已知静电分析器的四分之一圆弧通道的半径为R，通道内有一方向均指向圆心O的均匀辐射电场，电场强度大小为E。磁分析器中有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。现使位于A处的离子从静止开始经加速电场U加速后沿图中圆弧虚线通过静电分析器，离开P点进入磁分析器后，最终打在乳胶片上的Q点。下列判断正确的是( )
A．该种离子可以为正离子，也可以为负离子
B．加速电场的电压U是与离子比荷无关的定值
C．加速电场的电压U的大小与离子比荷有关
D．同位素在该装置中一定打在乳胶片上的同一位置
B [均匀辐射电场方向均指向圆心O，离子进入静电分析器后受指向圆心的电场力，该力提供离子做圆周运动所需的向心力，故离子只能为正离子，A错误；因R为定值，且Eq＝eq \f(mv2,R)，又qU＝eq \f(1,2)mv2，得到U＝eq \f(1,2)ER，故加速电场的电压U是一个与离子比荷无关的定值，B正确，C错误；离子进入磁分析器的磁场后，Bqv＝eq \f(mv2,r)，得r＝eq \f(mv,Bq)＝eq \f(1,B)eq \r(\f(EmR,q))，同位素的质子数相同，中子数不同，则q一定相同，m一定不同，故一定不能打在乳胶片上的同一位置，D错误。]
2．(霍尔元件)平板电脑配置的皮套在合上时能够使平板自动息屏，其实是“霍尔传感器”在发挥作用。如图所示，某霍尔元件导电物质为电子，霍尔元件的上、下两个表面均垂直于磁场方向放置，其中1、2、3、4为霍尔元件的四个接线端。当开关S1和S2都闭合时，下列判断中正确的是( )
A．P点的电势低于Q点的电势
B．只将电源E1反向接入电路，P、Q两点之间的电势差不变
C．只将R2变小并稳定后，P、Q两点之间的电势差的绝对值变大
D．只将R1变大并稳定后，P、Q两点之间的电势差的绝对值变大
C [根据右手螺旋定则可知，霍尔元件处的磁场方向向下，再由左手定则可知，导电物质电子聚集在2接线端，所以P点的电势高于Q点的电势，A错误；只将电源E1反向接入电路，磁场方向改变，P、Q之间的电势差正负将改变，B错误；只将R2变小并稳定后，通过A2的电流增大，单位时间内通过霍尔元件的电荷量增大，即导电物质电子的移动速度增大，由eq \f(eU,d)＝evB可知，P、Q之间的电势差的绝对值增大，C正确；同理可知只将R1变大并稳定后，B减小，U应减小，D错误。]
3．(电磁流速仪原理分析)(多选)电磁流速/流量仪是一种测量流速/流量的测量仪表，其简化模型如图所示，在磁感应强度为B的匀强磁场中，垂直于磁场方向放一个内径为D的不导磁的管道，当导电液体在管道中以流速v流动时，导电液体切割磁感线产生电动势，在管道截面上垂直于磁场方向的直径两端安装一对电极，该电动势被信号电极采集，通过测量电压的仪表放大转换实现流速的测量，也可以实现流量(单位时间内流经某一段管道的流体体积)的测量，则关于电磁流速/流量仪的说法正确的是( )
A．a端的电势低于b端的电势
B．稳定时信号电极采集到的电势差与流速v大小成反比
C．仪表盘如果是刻度盘，流速/流量刻度都是均匀的
D．流量的测量值与电磁流速/流量仪管道的长度成正比
AC [根据左手定则可知正离子向上偏转，负离子向下偏转，测量电压的仪表a端的电势低于b端的电势，A正确；当导电液体在管道中以流速v流动时，正、负离子在磁场的作用下偏转，电极两端形成了电势差，当qeq \f(U,D)＝qvB即U＝BvD时，电势差恒定，保持稳定输出，所以信号电极采集到的电势差与流速大小成正比，B错误；流量Q＝eq \f(V,t)＝eq \f(πD2v,4)，流量的测量值与流速v成正比，与电磁流速/流量仪管道的长度无关，在仪表内部参数确定后，测量流速和流量的仪表盘刻度都是均匀的，C正确，D错误。]
垂直进入电场(电偏转)
垂直进入磁场(磁偏转)
情景图
受力
FE＝qE，FE大小、方向不变，为恒力
FB＝qv0B，FB大小不变，方向总指向轨迹圆心，方向变化，为变力
运动规律
类平抛运动
vx＝v0，vy＝eq \f(Eq,m)t
x＝v0t，y＝eq \f(Eq,2m)t2
匀速圆周运动
r＝eq \f(mv0,qB) T＝eq \f(2πm,qB)
运动时间
t＝eq \f(L,v0)，具有等时性
t＝eq \f(φ,2π)T＝eq \f(φm,qB)(φ为偏转角)
动能
变化
不变
运动性质
受力特点
方法规律
匀速直线运动
粒子所受的合力为0
平衡条件
匀速圆
周运动
除洛伦兹力外，另外两力的合力为零：qE＝mg
牛顿第二定律、圆周运动的规律
较复杂的
曲线运动
除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向
动能定理、能量守恒定律
装置
原理图
规律
速度
选择器
若qv0B＝Eq，即v0＝eq \f(E,B)，粒子做匀速直线运动
磁流体
发电机
等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板分别带正、负电荷，两极间电压为U时稳定，qeq \f(U,d)＝qv0B，U＝v0Bd
电磁
流量计
eq \f(U,D)q＝qvB，所以v＝eq \f(U,DB)
所以流量Q＝vS＝eq \f(πDU,4B)
霍尔
效应
当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差，称为霍尔电压。由qvB＝qeq \f(U,h)，I＝nqvS，S＝hd，联立解得U＝eq \f(BI,nqd)＝keq \f(BI,d)，k＝eq \f(1,nq)，称为霍尔系数