专题06 四点共圆（知识解读）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

这是一份专题06 四点共圆（知识解读）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用），共16页。
四点共圆在圆内接四边形综合问题的求解中占据了重要地位，都是在大题中结合题目的几何背景进行综合考查，重在考查学生对知识的应用能力．考查的基本类型有：利用四点共圆证相似，利用四点共圆求最值，这些问题大都利用转化思想，将几何问题转化为四点共圆问题，使题目能简单求解.
【方法技巧】
1.四点共圆
如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．
2．四点共圆的性质
(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等．
(2)圆内接四边形的对角互补．
(3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角．
3．四点共圆的判定
(1)用“角”判定：
①一组对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上；
②一个外角等于它的内对角的四边形的四个顶点在同一个圆上；
③如果两个三角形有一条公共边，且位于公共边同侧的两个角相等，则这两个三角形的四个顶点在同一个圆上．
(2)“等线段”判定：
四顶点到同一点的距离相等，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C，D四点共圆．
(3)用“比例线段”判定：
若线段AB，CD(或其延长线)交于点P，且PA·PC＝PB·PD，则A，B，C，D四点共圆.
模型解读：
模型1：对角互补型：
若∠A+∠C=180º或∠B+∠D=180º,
则A、B、C、D四点共圆
模型2：同侧等角型
（1）若∠A=∠C,
则A、B、C、D四点共圆
（2）手拉手(双子型)中的四点共圆
条件：△OCD∽△OAB
结论：①△OAC∽△OBD
②AC与BD交于点E,必有∠AEB=∠AOB；
③点E在△OAB的外接圆上,即O、A、B、E四点共圆.同理：ODCE也四点共圆.
模型3：直径是圆中最长的弦
1.定圆中最长的弦是直径；
2.经过圆中定点最短的弦是垂直于过这点直径的弦；
3.定弦中最小的圆是以该弦为直径的圆。

【典例分析】
【模型1：对角互补型】
【典例1】如图,正方形ABCD绕点A逆时针旋转到正方形AEFG,连接BE,延长BE交于CF于点M,求证：M是线段CF的中点.
【变式1】如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P、E分别是线段AC、BC上的点,四边形PEFD为矩形,若AP=2,求CF的长。
【模型2：同侧等角型】
【典例2】在Rt△ABC中,∠ACB=90º,将△ABC绕点A顺时针旋转αº
(0＜α＜180)得△ADE,∠AED=90º,直线BD与直线CE的交点为P.
求证：PB=PD
【模型3：直径是圆中最长的弦】
【典例3】在△ABC中,∠ACB=90º,AC=6,BC=8,O为AB的中点,过O作 OE⊥OF,OE、OF分别交射线AC,BC于E、F,则EF的最小值为?
【变式3】如图,在⊙O中,直径AB=12,点D是圆上任意一点(A,B除外),点P为CD的中点,过点D作DE⊥AB于点E,连接AD,EP.求EP的最大值。
【随堂精练】
1．（2021秋•永泰县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将△ABC绕A点顺时针旋转得到△ADE，使D点落在BC边上．
（1）求∠BAD的度数；
（2）求证：A，D，B，E四点共圆．
2．如图，四边形ABCD是某高新区核心地块用地示意图，经测量得如下数据：AB＝30km，BC＝40km，∠B＝120°，∠A+∠C＝180°，请计算这块规划用地的最大面积．
3．如图，已知AC＝BC＝4，点D是AB下方一点，且∠C＝∠D＝90°，求四边形ACBD面积的最大值．
专题06 四点共圆（知识解读）
【专题说明】
四点共圆在圆内接四边形综合问题的求解中占据了重要地位，都是在大题中结合题目的几何背景进行综合考查，重在考查学生对知识的应用能力．考查的基本类型有：利用四点共圆证相似，利用四点共圆求最值，这些问题大都利用转化思想，将几何问题转化为四点共圆问题，使题目能简单求解.
【方法技巧】
1.四点共圆
如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．
2．四点共圆的性质
(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等．
(2)圆内接四边形的对角互补．
(3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角．
3．四点共圆的判定
(1)用“角”判定：
①一组对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上；
②一个外角等于它的内对角的四边形的四个顶点在同一个圆上；
③如果两个三角形有一条公共边，且位于公共边同侧的两个角相等，则这两个三角形的四个顶点在同一个圆上．
(2)“等线段”判定：
四顶点到同一点的距离相等，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C，D四点共圆．
(3)用“比例线段”判定：
若线段AB，CD(或其延长线)交于点P，且PA·PC＝PB·PD，则A，B，C，D四点共圆.
模型解读：
模型1：对角互补型：
若∠A+∠C=180º或∠B+∠D=180º,
则A、B、C、D四点共圆
模型2：同侧等角型
（1）若∠A=∠C,
则A、B、C、D四点共圆
（2）手拉手(双子型)中的四点共圆
条件：△OCD∽△OAB
结论：①△OAC∽△OBD
②AC与BD交于点E,必有∠AEB=∠AOB；
③点E在△OAB的外接圆上,即O、A、B、E四点共圆.同理：ODCE也四点共圆.
模型3：直径是圆中最长的弦
1.定圆中最长的弦是直径；
2.经过圆中定点最短的弦是垂直于过这点直径的弦；
3.定弦中最小的圆是以该弦为直径的圆。

【典例分析】
【模型1：对角互补型】
【典例1】如图,正方形ABCD绕点A逆时针旋转到正方形AEFG,连接BE,延长BE交于CF于点M,求证：M是线段CF的中点.
【简答】∵AC=AF,AB=AE且∠BAE=∠CAF
∴△AEB∽△AFC,∴∠ABE=∠ACF,
∴A、B、C、M四点共圆,
∵∠ABC=90º,∴AC是直径,∴∠AMC=90º,
∵AE=AC,∴AM垂直且平分CF(三线合一).
【变式1】如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P、E分别是线段AC、BC上的点,四边形PEFD为矩形,若AP=2,求CF的长。
【解析】∠PEF=∠PDF=∠DCE=90º,
知D,F,C,D,P共圆,如下图,由∠1=∠2,∠4=∠5,易得△APD∽△DCF,
CF:AP=CD:AD,得CF=1.5。
【模型2：同侧等角型】
【典例2】在Rt△ABC中,∠ACB=90º,将△ABC绕点A顺时针旋转αº
(0＜α＜180)得△ADE,∠AED=90º,直线BD与直线CE的交点为P.
求证：PB=PD
【解析】由旋转的性质得∠CAE=∠BAD=α,AC=AE,AB=AD,
∴∠CEA=∠ADB∴A,D,E,P四点共圆
∴∠APD=∠AED=90º∴AP⊥BD
∴PB=PD
【模型3：直径是圆中最长的弦】
【典例3】在△ABC中,∠ACB=90º,AC=6,BC=8,O为AB的中点,过O作 OE⊥OF,OE、OF分别交射线AC,BC于E、F,则EF的最小值为?
【解析】∵∠EOF=∠C=90º,∴C,O均在以EF为直径的圆上∵EF是圆的直径,O、C均在圆上,且OC长度固定,要使EF最短,则圆最小,要使圆最小,由于OC为固定长度,则OC为直径时,圆最小,此时EF=CO=OA=OB=5
(斜边上中线等于斜边一半)
【变式3】如图,在⊙O中,直径AB=12,点D是圆上任意一点(A,B除外),点P为CD的中点,过点D作DE⊥AB于点E,连接AD,EP.求EP的最大值。
【解析】延长DE交⊙O于点F,连接FC,利用三角形的中位线得出PE=0.5FC.当FC为⊙O的直径时，PE最大=6。
【随堂精练】
1．（2021秋•永泰县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将△ABC绕A点顺时针旋转得到△ADE，使D点落在BC边上．
（1）求∠BAD的度数；
（2）求证：A，D，B，E四点共圆．
【解答】（1）解：由旋转知，AD＝AC，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，
∴∠ADC＝∠C＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
∴∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°﹣80°＝10°；
（2）证明：连接BE，
由旋转知，AB＝AE，∠EAD＝∠BAC＝90°，
∵∠BAD＝10°，
∴∠EAB＝∠EAD﹣∠BAD＝90°﹣10°＝80°，
∴∠EBA＝∠BEA＝×（180°﹣∠EAB）＝×（180°﹣80°）＝50°，
∴∠EBD＝∠EBA+∠ABC＝50°+40°＝90°，
即△EBD是以ED为斜边的直角三角形，
又∵△EAD也是以ED边为斜边的直角三角形，
∴A，D，B，E四点在以ED为直径的圆上，
即A，D，B，E四点共圆．
2．如图，四边形ABCD是某高新区核心地块用地示意图，经测量得如下数据：AB＝30km，BC＝40km，∠B＝120°，∠A+∠C＝180°，请计算这块规划用地的最大面积．
【解答】解：∵四边形ABCD中，∠DAC+∠DCB＝180°，
∴A、B、C、D四点共圆，
如图，延长CB，过点A作AE⊥CB于点E，连接AC，过点D作DF⊥AC于点F．
∵∠ABC＝120°，
∴∠ADC＝∠ABE＝60°，
∴BE＝AB＝15km，AE＝＝15km，CE＝40+15＝55km，
∴S△ABC＝＝＝300km2．
则当△ADC的面积最大时，四边形ABCD的面积最大．
当AD＝CD时，DF最大，此时四边形ABCD的面积最大．
在Rt△ACE中，AC＝＝10km，AF＝AC＝5km，
∵∠ADF＝＝30°，
∴DF＝AF＝5km，
∴S△ADC＝＝＝925km2．
300+925＝1225km2．
∴四边形ABCD的最大面积为1225km2．
3．如图，已知AC＝BC＝4，点D是AB下方一点，且∠C＝∠D＝90°，求四边形ACBD面积的最大值．
【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，
∵∠C＝∠D＝90°，
∴AB是圆的直径，即A，C，B，D四个点在以AB为直径的圆上，
∵AC＝BC＝4，
∴AB＝＝＝，
∵四边形ACBD的面积＝△ACB的面积+△ADB的面积，
∴四边形ACBD的面积＝AB•DE+AB•DF
＝AB•（DE+DF），
∴当DE与DF的和等于圆的直径时，四边形ACBD的面积最大，
即当DE+DF＝时，
四边形ACBD的面积＝××＝16，
∴四边形ACBD面积的最大值为16．