福建省部分地市（厦门、福州、莆田、三明、龙岩、宁德、南平）2023届高三第一次质量检测数学试题(含答案)

这是一份福建省部分地市（厦门、福州、莆田、三明、龙岩、宁德、南平）2023届高三第一次质量检测数学试题(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、若集合A,B,U满足：,则( )
A.B.C.D.
2、设在复平面内对应的点为M,则“点M在第四象限”是“”的( )
A.充分不必要条B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件D.充要条件
3、设,,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
4、函数的最小正周期不可能是( )
A.B.C.D.
5、过抛物线的焦点作直线l,l交C于M,N两点,若线段MN中点的纵坐标为2,则( )
A.10B.9C.8D.7
6、函数恒有,且在上单调递增,则的值为( )
A.B.C.D.或
7、在正四棱台中,,且各顶点都在同一球面上,则该球体的表面积为( )
A.B.C.D.
8、双曲线的下焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,若过A,B和点的圆的圆心在x轴上,则直线l的斜率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、记正项等比数列的前n项和为,则下列数列为等比数列的有( )
A.B.C.D.
10、已知正实数x,y满足,则( )
A.的最小值为B.的最小值为8
C.的最大值为D.没有最大值
11、平面向量满足,对任意的实数t,恒成立,则( )
A.与的夹角为B.为定值
C.的最小值为D.在上的投影向量为
12、如图,在棱长为1的正方体中,点M为线段上的动点（含端点）,则( )
A.存在点M,使得平面
B.存在点M,使得∥平面
C.不存在点M,使得直线与平面所成的角为
D.存在点M,使得平面与平面所成的锐角为
三、填空题
13、已知空间中三点,,则点A到直线BC的距离为______________.
14、以下为甲、乙两组按从小到大顺序排列的数据：
甲组：14,30,37,a,41,52,53,55,58,80;
乙组：17,22,32,43,45,49,b,56.
若甲组数据的第40百分位数和乙组数据的平均数相等,则__________.
15、写出一个同时满足下列三个性质的函数________________.
①若,则;②;③在上单调递减.
16、近年来,“剧本杀”门店遍地开花.放假伊始,7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏,目前店中仅有可供4人组局的剧本,其中A,B角色各1人,C角色2人.已知这7名同学中有4名男生,3名女生,现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏,其余3人观看,要求选出的4人中至少有1名女生,并且A,B角色不可同时为女生.则店主共有___________种选择方式.
四、解答题
17、已知正项数列的前n项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)将数列和数列中所有的项,按照从小到大的顺序排列得到一个新数列,求的前50项和.
18、记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求;
(2)已知,求的面积.
19、如图,在直三棱柱中,,,E,F分别为,的中点,且平面.
(1)求AB的长;
(2)若,求二面角的余弦值.
20、校园师生安全重于泰山,越来越多的学校纷纷引进各类急救设备.某学校引进M,N两种类型的自动体外除颤器（简称AED）若干,并组织全校师生学习AED的使用规则及方法.经过短期的强化培训,在单位时间内,选择M,N两种类型AED操作成功的概率分别为和,假设每次操作能否成功相互独立.
(1)现有某受训学生进行急救演练,假定他每次随机等可能选择M或N型AED进行操作,求他恰好在第二次操作成功的概率;
(2)为激发师生学习并正确操作AED的热情,学校选择一名教师代表进行连续两次设备操作展示,下面是两种方案：
方案甲：在第一次操作时,随机等可能的选择M或N型AED中的一种,若第一次对某类型AED操作成功,则第二次继续使用该类型设备;若第一次对某类型AED操作不成功,则第二次使用另一类型AED进行操作.
方案乙：在第一次操作时,随机等可能的选择M或N型AED中的一种,无论第一次操作是否成功,第二次均使用第一次所选择的设备.
假定方案选择及操作不相互影响,以成功操作累积次数的期望值为决策依据,分析哪种方案更好？
21、已知椭圆的离心率为,其左焦点为.
(1)求的方程;
(2)如图,过的上顶点P作动圆的切线分别交于M,N两点,是否存在圆使得是以PN为斜边的直角三角形？若存在,求出圆的半径;若不存在,请说明理由.
22、已知函数,.
(1)讨论的极值点个数;
(2)若有两个极值点,且,当时,证明：.
参考答案
1、答案：B
解析：由集合A,B,U满足：,,如图所示：
,,
故选：B.
2、答案：A
解析：由题知,在复平面内对应的点为,
因为点M在第四象限,即,
,即,或,
所以“点M在第四象限”是“”的充分不必要条件,
故选：A.
3、答案：D
解析：因为,所以,
因为,所以,又因为,所以,
所以,
故选：D.
4、答案：C
解析：当,时,函数,最小正周期为,故选项A可能;
当,时,函数,最小正周期为,故选项B可能;
当,时,函数,最小正周期为,故选项D可能;
而对于选项C：
,,
则若时,,即,
,,
则若时,,即,
故若时,,则,且,
此时当时,,不满足周期为,
当时,,也不满足周期为,
与假设矛盾,故函数的最小正周期不可能是,
故选：C.
5、答案：C
解析：由抛物线方程知焦点坐标为,
设直线MN的方程为,联立得,
设,,则,,
则,解得,
则,
故选：C.
6、答案：B
解析：易知,因为恒有,所以当时取得最大值,
所以,得,.
因为在上单调递增,所以,即,得.
当时,
因为,所以.
因为在上单调递增,
所以,得,.
所以,且,,解得,.
故,.
当,,
因为,所以,
故在上单调递减,不满足题意.
故选:B.
7、答案：A
解析：如图所示的正四棱台,,取上下两个底面的中心M,N,连接MN,,AN,过点作底面的垂线与AN相交于点E,
因为四棱台为正四棱台,所以外接球的球心一定在MN上,在MN上取一点O为球心,连接OA,,则,设,
因为,所以,
,
在中,,即,
在中,,即,
解得,所以,
故选：A.
8、答案：B
解析：由题意可知：,设,,AB的中点为P,过点A,B,M的圆的圆心坐标为,则,
由题意知：直线AB的斜率存在且不为0,设直线AB的方程为：,
联立方程组,消元可得：,
则,,
由韦达定理可得：,,
解法一：
所以AB的中点P的坐标,
则,由圆的性质可知：圆心与弦中点连线的斜率垂直于弦所在的直线,
所以,
整理可得：,则圆心到直线AB的距离,
由弦长公式可得：,
由垂径定理可得：,
也即,将（*）代入可得：
,即,
整理可得：,则,因为,
所以,则.
解法二：
由,化简得,
又,所以,
同理,所以,是方程的两个根,
所以,又,所以,
所以所以,则.
故选：.
9、答案：AB
解析：由题意可得：等比数列的首项,公比,即,
对A：,且,即为等比数列,A正确;
对B：,且,即为等比数列,B正确;
,
则有：
对C：,均不为定值,即不是等比数列,C错误;
对D：,均不为定值,即不是等比数列,D错误;
故选：AB.
10、答案：AC
解析：因为x,y为正实数,且,所以,.
所以,
当时,的最小值为,故A正确;
,
当且仅当,时等号成立,故B错误;
,
当且仅当时等号成立,
故,即的最大值为,故C正确;
,
,
当且仅当,即时等号成立,
所以.
所以有最大值,故D错误.
故选:AC.
11、答案：AD
解析：设平面向量与的夹角为,
因为对任意的实数t,恒成立,
即恒成立,又,
也即对任意的实数t恒成立,
所以,则,所以,
故选项A正确;
对于B,因为随t的变化而变化,故选项B错误;
对于C,因为,由二次函数的性质可知：当时,取最小值,故选项C错误;
对于D,向量上的一个单位向量,由向量夹角公式可得：,
由投影向量的计算公式可得：在上的投影向量为,故选项正确,
故选：AD.
12、答案：BCD
解析：建立如图所示的空间直角坐标系,
,,,,,,
设,
设平面的法向量为,
,,
则有,
假设存在点M,使得平面,所以有,
所以有,因此假设不成立,因此选项A不正确;
假设存在点M,使得平面,
所以有,所以假设成立,因此选项B正确;
假设存在点M,使得直线与平面所成的角为,,
所以有,
解得,,所以假设不成立,故选项C正确;
假设存在点M,使得平面ACM与平面所成的锐角为,
设平面ACM、平面的法向量分别为、,
,显然,
则有,
当时,有
,
所以有（舍去）,或,假设成立,选项D正确,
故选：BCD.
13、答案：
解析：,,
,,,
,
,
设点A到直线BC的距离为d,
则.
故答案为：.
14、答案：100
解析：因为,甲组数据的第40百分位数为第四个数和第五个数的平均数,
乙组数据的平均数为,
根据题意得,解得：,
所以,
故答案为：100.
15、答案：（答案不唯一）
解析：比如,,
故,又,也即成立,
又在上单调递减.
故答案为：.
16、答案：348
解析：由题意,根据选出的女生人数进行分类,
第一类：选出1名女生,先从3名女生中选1人,再从四名男生中选3人,然后安排角色,两名男生扮演A,B角色有种,剩余的1名男生和女生扮演C角色,或A,B角色1名男生1名女生,女生先选有,剩下的一个角色从3名男生中选1人,则种,所以共有种,
第二类：选出2名女生,先从3名女生中选2人,再从四名男生中选2人,然后安排角色,两名男生扮演A,B角色有种,剩余的2名女生扮演C角色,或A,B角色1名男生1名女生,选出1名女生先选角色有,剩下的一个角色从2名男生中选1人,则种,所以共有种,
第三类：选出3名女生,从先从3名女生中选3人,再从四名男生中选1人,然后安排角色,A,B角色1名男生1名女生,选出1名女生先选角色有,剩下的一个角色让男生扮演,余下的2名女生扮演角色C,所以共有种,
由分类计数原理可得：店主共有种选择方式,
故答案为：348.
17、答案：(1)
(2)2150
解析：（1）依题意,
当时,,解得,
由,
当时,有,
作差得：,
所以,
因为,
所以,
所以数列是首项为3,公差为2的等差数列,
所以.
（2）由（1）得,,
又,同时,
所以
所以
.
所以的前50项和为2150.
18、答案：(1)
(2)
解析：（1）已知,
代入余弦定理,,
化简得：,所以.
（2）由正弦定理知即,
又,故
,
即,得,
故（舍）,
此时,,,
则的面积.
19、答案：(1)
(2)
解析：（1）面,又面, ,
又F为的中点, ,
又在、中,,
易证得,
故.
,,
又,,
故.
（2）以点为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
由题意可知,,
则,
不妨设是平面的一个法向量,
那么,即,
令,则.
又面,
故是平面的一个法向量.
设为二面角所成平面角,
则,
即二面角的余弦值为.
20、答案：(1)
(2)见解析
解析：（1）设“操作成功”为事件S,“选择设备M”为事件A,“选择设备N”为事件B
由题意,,,
恰在第二次操作才成功的概率,
,
所以恰在第二次操作才成功的概率为.
（2）设方案甲和方案乙成功操作累计次数分别为X,Y,则X,Y可能取值均为0,1,2,
;
;
;
所以
方法一：
;
;
所以
方法二：方案乙选择其中一种操作设备后,进行2次独立重复试验,
所以,
决策一：因为,故方案甲更好.
决策二：因为与差距非常小,所以两种方案均可
21、答案：(1)
(2)不存在,理由见解析
解析：（1）由题意设焦距为,则,
由离心率为,所以,
则,
的方程为.
（2）不存在,
证明如下：假设存在圆满足题意,当圆过原点O时,直线PN与y轴重合,
直线PM的斜率为0,不合题意.
依题意不妨设为,
,,,圆的半径为r,
则圆心到直线PN的距离为,
即,是关于k的方程的两异根,
此时,
再联立直线PM与椭圆方程得,
所以,即,得
所以,同理
由,得,
由题意,,即,此时
,
所以,
因为,
所以方程无解,命题得证.
22、答案：(1)当时,函数没有极值点;当时,函数有两个极值点.
(2)证明见解析
解析：（1）已知,则,
令,则,
当时,,
所以在上单调增减,在上单调递增,
则,
①当时,恒成立,故在R上无极值点;
②当时,,显然,
则在上有一个极值点,
又,
令,
故在上单调递增,又,则,则在上有一个极值点,
综上,当时,函数没有极值点;当时,函数有两个极值点.
（2）由（1）中知,则,是方程的两根,
不妨令,则,
令解得,
所以在单调递减,在单调递增,大致图像如图所示,
由图像可知当时,,,
下先证（*）
由,两边取对数得,作差得,
（*）等价于证明,
令,
,
故在上单调递增,从而,即证得,
所以,
再证明,
令,,
故在上单调递减,则,
所以,
再令,
则在上单调递增,
故,
即证得.