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    2023维吾尔自治区乌鲁木齐第101中学高二上学期期中数学试题含解析

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    2023维吾尔自治区乌鲁木齐第101中学高二上学期期中数学试题含解析

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    总分100分 考试时间120分钟
    姓名:___________班级:___________
    一、选择题(12题每题4分共48分)
    1. 点关于直线的对称点的坐标为( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据点关于线对称的特点,利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.
    【详解】设点关于直线的对称点的坐标为,
    则,解得.
    所以点的坐标为
    故选:A.
    2. 已知正四面体ABCD,M为BC中点,N为AD中点,则直线BN与直线DM所成角的余弦值为( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】利用空间向量的线性运算性质,结合空间向量夹角公式进行求解即可.
    【详解】设该正面体的棱长为,因为M为BC中点,N为AD中点,
    所以,
    因为M为BC中点,N为AD中点,
    所以有,

    根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为,
    故选:B
    3. 已知F是椭圆的左焦点,P为椭圆C上任意一点,点Q坐标为,则的最大值为( )
    A. 3B. 5C. D. 13
    【答案】B
    【解析】
    【分析】由,结合图形即得.
    【详解】因为椭圆,
    所以,,
    则椭圆的右焦点为,
    由椭圆的定义得:,
    当点P点处,取等号,
    所以的最大值为5,
    故选:B.
    4. 圆圆心和半径分别是( )
    A. ,B. ,C. ,D. ,
    【答案】D
    【解析】
    【分析】先化为标准方程,再求圆心半径即可.
    【详解】先化为标准方程可得,故圆心为,半径为.
    故选:D.
    5. 在正方体中,P为的中点,则直线与所成的角为( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】平移直线至,将直线与所成的角转化为与所成的角,解三角形即可.
    【详解】
    如图,连接,因为∥,
    所以或其补角为直线与所成的角,
    因为平面,所以,又,,
    所以平面,所以,
    设正方体棱长2,则,
    ,所以.
    故选:D
    6. 已知是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且,则C的离心率为( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据双曲线的定义及条件,表示出,结合余弦定理可得答案.
    【详解】因为,由双曲线的定义可得,
    所以,;
    因为,由余弦定理可得,
    整理可得,所以,即.
    故选:A
    【点睛】关键点睛:双曲线的定义是入手点,利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.
    7. 下列条件中,一定使空间四点P、A、B、C共面的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】要使空间中的、、、四点共面,只需满足,且即可.
    【详解】对于A选项,,,所以点与、、三点不共面;
    对于B选项,,,所以点与、、三点不共面;
    对于C选项,,,所以点与、、三点不共面;
    对于D选项,,,所以点与、、三点共面.
    故选:D
    8. 已知直线的倾斜角为,且经过点,则直线的方程为( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】先求出斜率,再由直线的点斜式方程求解即可.
    【详解】由题意知:直线的斜率为,则直线的方程为.
    故选:C.
    9. 已知点在直线上的运动,则的最小值是( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】表示点与距离的平方,求出到直线的距离,即可得到答案.
    【详解】表示点与距离的平方,
    因为点到直线的距离,
    所以的最小值为.
    故选:A
    10. 已知四棱锥,底面为平行四边形,M,N分别为棱BC,PD上的点,,,设,,,则向量用为基底表示为( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】由图形可得,根据比例关系可得,,再根据向量减法,代入整理并代换为基底向量.
    【详解】

    故选:D.
    11. 设是椭圆的两个焦点,是椭圆上一点,且.则的面积为( )
    A. 6B. C. 8D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】利用椭圆的几何性质,得到,,进而利用得出,进而可求出
    【详解】解:由椭圆的方程可得,
    所以,得
    且,,
    在中,由余弦定理可得

    而,所以,,
    又因为,,所以,
    所以,
    故选:B
    12. 设是椭圆的上顶点,若上的任意一点都满足,则的离心率的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】设,由,根据两点间的距离公式表示出 ,分类讨论求出的最大值,再构建齐次不等式,解出即可.
    【详解】设,由,因为 ,,所以

    因为,当,即 时,,即 ,符合题意,由可得,即 ;
    当,即时, ,即,化简得, ,显然该不等式不成立.
    故选:C.
    【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值,利用二次函数求指定区间上的最值,要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值.
    二、填空题(共五题每题2分共10分)
    13. 在平面内,一只蚂蚁从点出发,爬到轴后又爬到圆上,则它爬到的最短路程是______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】求得点关于轴的对称点为,结合圆的性质,即可求解.
    【详解】由圆,得圆心坐标,半径为,
    求得点关于轴对称点为,
    可得.
    如图所示,可得爬到的最短路程为.
    故答案为:
    14. 若圆与圆有3条公切线,则正数a=___________.
    【答案】3
    【解析】
    【分析】根据两圆外切半径之和等于圆心距即可求解.
    【详解】两圆有三条公切线,则两圆外切,∴∴
    故答案为:3
    15. 已知、分别是双曲线的左、右焦点,也是抛物线的焦点,点是双曲线与抛物线的一个公共点,若,则双曲线的离心率为___________.
    【答案】##
    【解析】
    【分析】过点作抛物线准线的垂线,垂足为点,求出,求出、的余弦值,由题意可知,可得出关于、的齐次等式,结合可解得的值.
    【详解】过点作抛物线准线的垂线,垂足为点,则,
    因为,则,则,
    因为,则,
    由余弦定理可得,
    因为,所以,,所以,,
    整理可得,即,因为,解得.
    故答案为:.
    16. 从圆外一点向圆引切线,则此切线的长为______.
    【答案】2
    【解析】
    【分析】作图,利用圆心到定点的距离、半径、切线长满足勾股定理可得.
    【详解】将圆化为标准方程:,则圆心,半径1,
    如图,设,,切线长.
    故答案为:2
    17. 若斜率为的直线与轴交于点,与圆相切于点,则____________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】设直线的方程为,则点,利用直线与圆相切求出的值,求出,利用勾股定理可求得.
    【详解】设直线的方程为,则点,
    由于直线与圆相切,且圆心为,半径为,
    则,解得或,所以,
    因为,故.
    故答案为:.
    三、解答题(四题共42分)
    18. 已知点,________,从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处,并作答.
    (1)求直线的方程;
    (2)求直线:关于直线的对称直线的方程.
    条件①:点关于直线的对称点的坐标为;
    条件②:点的坐标为,直线过点且与直线垂直;
    条件③点的坐标为,直线过点且与直线平行.
    注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)计算直线的斜率,根据直线的平行或垂直关系得到斜率,代入点得到直线方程.
    (2)计算直线的交点,在直线上取一点,求其关于对称的点,根据交点和对称点得到直线方程.
    【小问1详解】
    选择条件:
    因为点关于直线的对称点的坐标为,所以是线段的垂直平分线.
    因为,所以直线的斜率为,又线段的中点坐标为,
    所以直线的方程为,即.
    选择条件:
    因为,直线与直线垂直,所以直线的斜率为,
    又直线过点,所以直线的方程为,即.
    选择条件,
    因为,直线与直线平行,所以直线的斜率为,
    又直线过点,所以直线的方程为,即.
    【小问2详解】
    ,解得,故,的交点坐标为,
    因为在直线:上,设关于对称的点为,
    则,解得,
    直线关于直线对称的直线经过点,,代入两点式方程得,即,
    所以:关于直线的对称直线的方程为.
    19. 如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,,M,N分别为的中点,.
    (1)证明:;
    (2)求直线与平面所成角的正弦值.
    【答案】(1)证明见解析;(2).
    【解析】
    【分析】(1)要证,可证,由题意可得,,易证,从而平面,即有,从而得证;
    (2)取中点,根据题意可知,两两垂直,所以以点为坐标原点,建立空间直角坐标系,再分别求出向量和平面的一个法向量,即可根据线面角的向量公式求出.
    【详解】(1)在中,,,,由余弦定理可得,
    所以,.由题意且,平面,而平面,所以,又,所以.
    (2)由,,而与相交,所以平面,因为,所以,取中点,连接,则两两垂直,以点为坐标原点,如图所示,建立空间直角坐标系,
    则,
    又为中点,所以.
    由(1)得平面,所以平面的一个法向量
    从而直线与平面所成角的正弦值为.
    【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化,要证明,可以考虑,
    题中与有垂直关系的直线较多,易证平面,从而使问题得以解决;第二问思路直接,由第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系,根据线面角的向量公式即可计算得出.
    20. 已知点、,设过点的直线l与的边AB交于点M(其中点M异于A、B两点),与边OB交于N(其中点N异于O、B两点),若设直线l的斜率为k.
    (1)试用k来表示点M和N的坐标;
    (2)求的面积S关于直线l的斜率k的函数关系式;
    (3)当k为何值时,S取得最大值?并求此最大值.
    【答案】(1);.
    (2)
    (3)当时,,S取得最大值,最大值为.
    【解析】
    【分析】(1)联立直线方程组可解得结果;
    (2)利用两个三角形面积相减可得结果;
    (3)换元,令,,再根据基本不等式可求出结果.
    【小问1详解】
    由已知得直线l斜率存在,设.
    由,得;又,所以.
    由,得.
    【小问2详解】
    .
    【小问3详解】
    设,则.

    当且仅当时,等号成立.
    21. 已知圆C经过坐标原点O,圆心在x轴正半轴上,且与直线相切.
    (1)求圆C的标准方程;
    (2)直线与圆C交于A,B两点.
    ①求k的取值范围;
    ②证明:直线OA与直线OB的斜率之和为定值.
    【答案】(1);(2)(ⅰ);(ⅱ)具体见解析.
    【解析】
    【分析】(1)设出圆心,进而根据题意得到半径,然后根据圆与直线相切求出圆心,最后得到答案;
    (2)(ⅰ)联立直线方程和圆的方程并化简,根据判别式大于零即可得到答案;
    (ⅱ)设出两点坐标,进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简,即可得到答案.
    【详解】(1)由题意,设圆心为,因为圆C过原点,所以半径r=a,
    又圆C与直线相切,所以圆心C到直线的距离(负值舍去),所以圆 C的标准方程为:.
    (2)(ⅰ)将直线l代入圆的方程可得:,因为有两个交点,
    所以,即k的取值范围是.
    (ⅱ)设,由根与系数的关系:,

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