2020-2021年北京市密云区高二数学下学期期末试题及答案

这是一份2020-2021年北京市密云区高二数学下学期期末试题及答案，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.如图所示，全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A.B.C.D.
2.下列选项不正确的是（ ）
A.B.
C.D.
3.命题“对任意的，”的否定是（ ）
A.，B.，
C.，D.，
4.导函数的图象如图所示，在，，，中，使得函数取到极大值的是（ ）
A.B.C.D.
5.的展开式中项的系数为（ ）
A.5B.-5C.10D.-10
6.手机上有一款绘图软件，软件中提供了红、黄、绿三种基本颜色，每种颜色都有0~255种色号，在手机上绘图时可以分别从三种颜色的所有色号中各选一个配成一种颜色，那么在手机上绘图时可配成的颜色种数为（ ）
A.B.C.D.
7.若随机变量，，则（ ）
A.B.C.D.
8.设a，，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
9.以下四幅散点图所对应的样本相关系数的大小关系是（ ）
A.B.C.D.
10.已知可导函数的导函数为，，若对任意的，都有，则不等式的解集为（ ）
A.B.
C.D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.已知的展开式的二项式系数之和为16，则_____________；展开式的常数项是_____________.
12.甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点各不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率等于_____________.
13.能说明“若，，则”是假命题的一组a，b的值依次为______________.
14.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是_____________.
15.已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则a与b满足的关系式为______________.的最小值为____________.
三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.（本小题共14分）
某医院有内科医生5名，外科医生4名，现选派5名参加赈灾医疗队.其中：
（Ⅰ）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？
（Ⅱ）甲、乙均不能参加，有多少种选法？
（Ⅲ）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
（Ⅳ）队中至少有2名内科医生和1名外科医生，有几种选法？
17.（本小题共14分）
已知关于x的不等式的解集为.
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数的最小值.
18.（本小题共14分）
已知函数.
（Ⅰ）求在处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在上的最大值和最小值；
（Ⅲ）写出函数的零点个数.
19.（本小题共13分）
有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，小于85分为非优秀统计成绩后，得到列联表如下表所示：
已知在甲、乙两班全部105人中，随机抽取1人为优秀的概率为.
（Ⅰ）请完成上面的列联表；
（Ⅱ）根据列联表的数据，能否在犯错误的概率不超5%的前提下认为“成绩与班级有关系”？
参考公式：
20.（本小题满分15分）
智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测.调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差.对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温失误”.现在某社区随机抽取了24人用两种体温计进行体温检测，分别记智能体温计和水银体温计测温结果为x℃和y℃，得到数据如下：
（Ⅰ）试估计用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率；
（Ⅱ）从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量X为使用智能体温计“测温准确”的人数，求X的分布列与数学期望；
（Ⅲ）医学上通常认为，人的体温在不低于37.3℃且不高于38℃时处于“低热”状态.该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是37.3℃，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由.
21.（本小题满分15分）
已知函数，，.
（Ⅰ）证明：函数在处的切线恒过定点；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）证明：对任意实数b，当时，都有.
2020-2021年北京市密云区高二数学下学期期末试题参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．解：阴影部分表示的集合为∁M∪NM，
又∵M＝{x|x＞0}，N＝{x|﹣1⩽x⩽1}，
∵M∪N＝{x|x⩾﹣1}，
∴∁M∪NM＝[﹣1，0]．
故选：D．
2．解：，．
故选：B．
3．解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，
可知命题“对任意的x＞0，x3﹣x2+1≤0”的否定是”∃x0＞0，x3﹣x2+1＞0“．
故选：A．
4．解：由函数的极大值的条件可知，在x1，x2，x3，x4中，x∈（x1，x2）时，f'（x）＞0，函数是增函数，
x∈（x2，x4），f'（x）＜0，函数是减函数，
所以函数在x＝x2时，函数取得极大值，
故选：B．
5．解：∵的展开式的通项公式为 Tr+1＝•（﹣1）r•x5﹣2r，
令5﹣2r＝3，求得r＝1，可得展开中x3项的系数为﹣＝﹣5，
故选：B．
6．解：根据题意，红、黄、绿三种基本颜色有0～255种色号，即每种颜色有256种色号，
从三种颜色的所有色号中各选一个配成一种颜色，则可以配成256×256×256＝2563种颜色，
故选：A．
7．解：因为随机变量X～N（1，4），
所以正态曲线的对称轴为X＝1，
所以P（X≤0）＝P（X≥2）＝m，
则P（0＜X＜2）＝1﹣2m．
故选：C．
8．解：由（a﹣b）a2＜0，得a﹣b＜0，即a＜b，由a＜b，得a﹣b＜0，则（a﹣b）a2≤0，
∴“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件，
故选：A．
9．解：由散点图的特征可知，（1）（3）为正相关，（2）（4）为负相关，
所以r1＞0，r3＞0，r2＜0，r4＜0，
又（1）（2）中的散点更为集中，更接近于一条直线，故r1＞r3，r2＜r4，
所以r2＜r4＜0＜r3＜r1．
故选：C．
10．解：令g（x）＝，
∵对任意的x∈R，都有f（x）＜f'（x），
∴g′（x）＝＞0，
∴g（x）在R上单调递增，又f（0）＝2021，∴g（0）＝2021，
∴f（x）＜2021ex⇔g（x）＜g（0），∴x＜0，
∴不等式f（x）＜2021ex的解集{x|x＜0}．
故选：D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．解：（2+x）n的展开式的二项式系数之和为 2n＝16，则n＝4．
根据它的通项公式Tr+1＝•24﹣r•xr，令r＝0，可得展开式的常数项是16，
故答案为：4；16．
12．解：甲独自去一个景点，可有3个景点选择，乙和丙只能在剩下的两个景点中选择，
所以甲独自去一个景点有3×2×2＝12种，
因为三个人去的景点不同，则有3×2×1＝6种，
所以概率P（A|B）＝＝．
故答案为：．
13．解：当a＝﹣2，b＝﹣2时，ab＝4，
与“若a＜1，b＜1，则ab＜1”是假命题矛盾，
故a＝﹣2，b＝﹣2，
故答案为：a＝﹣2，b＝﹣2．
14．解：由题意知，本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从4名男生和2名女生中任选3人，共有C63＝20种结果，
满足条件的事件是3人中至少有1名女生，包括有1个女生，有2个女生，
共有C41C22+C42C21＝16种结果，
根据等可能事件的概率公式得到P＝＝0.8．
故答案为：0.8
15．解：由y＝ln（2x+b），得y′＝，
因此曲线y＝ln（2x+b）在切点处的切线的斜率等于2，
∴，即x＝，此时y＝0．
则切点为（，0），
相应的切线方程为y＝2（x﹣）＝2x﹣1+b，
则﹣a＝﹣1+b，∴a+b＝1．
又a＞0，b＞0，∴＝（）（a+b）＝5+≥5+2＝5+2．
当且仅当时上式等号成立．
故答案为：a+b＝1；5+2．
三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．解：（Ⅰ）根据题意，某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，
在剩下的7人中再选3人即可，有C73＝35种选法；
（Ⅱ）甲、乙均不能参加，在剩下的7人中选5人即可，有C75＝21种选法；
（Ⅲ）在9人中选出5人，有C95＝126种选法，甲、乙均不能参加的选法有21种，
则甲、乙两人至少有一人参加的选法有126﹣21＝105种；
（Ⅳ）分3种情况讨论：
①队中有2名内科医生和3名外科医生，有C52C43＝40种选法，
②队中有3名内科医生和2名外科医生，有C53C42＝60种选法，
③队中有4名内科医生和1名外科医生，有C54C41＝20种选法，
则有40+60+20＝120种不同的选法．
17．解：（Ⅰ）∵关于x的不等式ax2﹣5x+6＜0的解集为A＝{x|2＜x＜b}，
∴2+b＝，2b＝，
解得a＝1，b＝3，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝4x+≥2＝20，
（当且仅当4x＝，即x＝时，等号成立），
故f（x）的最小值为20．
18．解：（Ⅰ）函数f（x）＝xlnx﹣1（x＞0），
则f'（x）＝lnx+1，所以f（1）＝﹣1，f'（1）＝1，
故切点为（1，﹣1），切线的斜率为1，
所以f（x）在x＝1处的切线方程为y＝x﹣2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f'（x）＝lnx+1，
令f'（x）＝0，解得x＝，
当时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减，
当时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，
又，＝，f（1）＝﹣1，
故f（x）在上的最大值为﹣1和最小值为；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，
因为＝＜0，
又当0＜x＜时，x＞0，lnx＜﹣1，即xlnx﹣1＜0，
所以，
故函数f（x）的零点个数为1个．
19．解：（Ⅰ）由题意，两班优秀人数为105×＝30人，
所以列联表如下：
（Ⅱ）由列联表中的数据可得，K2＝，
所以在犯错误的概率不超5%的前提下认为“成绩与班级有关系”．
20．解：（Ⅰ）表中24人的体温数据中，用智能体温计与水银体温计测量结果相同的序号是：
01，04，06，07，09，12，13，14，16，18，19，20，21，22，23，24，共有16中情况，
所以所求概率为＝；
（Ⅱ）随机变量X的可能取值为x＝0，1，2，3，
由（1）可知，用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率为，
则X～B（3，），
所以P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X﹣2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
所以X的分布列为：
则E（X）＝3×＝2；
（Ⅲ）设这3人中至少有1人处于“低热”状态为事件N，
表中24人的体温数据中，用智能体温计的测温结果，高于其真实体温的序号为02，05，11，17，共4种情况，
所以从社区任意抽取1人，用智能体温计的测温结果高于其真实体温的概率为＝，
故这三人中至少有1人处于“低热”状态的概率为：
P（N）＝1﹣（××）＝，
结论1：因为P（N）＝，接近于1，由此可以认定这3人中至少有1人处于“低热”状态．
结论2：因为P（N）＝＜1，所以有可能这3人都不处于“低热”状态．
21．解：（Ⅰ）证明：因为函数f（x）＝aex﹣x+1，
则f（0）＝ae0﹣0+1＝a+1，故切点为（0，a+1），
又f'（x）＝aex﹣1，则f'（0）＝ae0﹣1＝a﹣1，
故切线方程为y﹣（a+1）＝（a﹣1）（x﹣0），即y＝（a﹣1）x+a+1，
所以（x+1）a﹣x﹣y+1＝0，所以切线恒过定点（﹣1，2）；
（Ⅱ）解：因为f'（x）＝aex﹣1，
①当a≤0时，f'（x）＜0，故函数f（x）单调递减，所以f（x）的单调递减区间为R；
②当a＞0时，令f'（x）＝0，解得x＝﹣lna，
当x＜﹣lna时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减，
当x＞﹣lna时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，
所以f（x）的单调递增区间为（﹣lna，+∞），单调递减区间为（﹣∞，﹣lna）．
综上所述，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为R；
当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（﹣lna，+∞），单调递减区间为（﹣∞，﹣lna）．
（Ⅲ）证明：当a＝1时，f（x）＝ex﹣x+1，g（x）＝﹣x2+3x，
令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝ex+x2﹣4x+1，
则h'（x）＝ex+2x﹣4，则h''（x）＝ex+2＞0对于x∈R恒成立，
所以h'（x）在R上单调递增，
又h'（0）＝﹣3＜0，h'（1）＝e﹣2＞0，
故在（0，1）上存在x0，使得h'（x0）＝0，
即+2x0﹣4＝0①，
故当x＜x0时，h'（x）＜0，则h（x）单调递减，
当x＞x0时，h'（x）＞0，则h（x）单调递增，
所以当x＝x0时，函数h（x）取得最小值h（x0），
则h（x0）＝②，
由①可知，＝﹣2x0+4，代入②中可得，
h（x0）＝（x0﹣1）（x0﹣5），x0∈（0，1），
所以h（x0）在（0，1）上单调递减，
则h（1）＜h（x0）＜h（0），
即0＜e﹣2＜h（x0）＜2，
所以h（x）的最小值h（x0）＞0，
则h（x）＞0，即f（x）﹣g（x）＞0恒成立，
又b∈R，则csbx∈[﹣1，1]，
所以1+csbx∈[0，2]，
故对任意实数b，当a＝1时，都有（1+csbx）（f（x）﹣g（x））≥0．
优秀
非优秀
总计
甲班
10
乙班
30
总计
105
0.10
0.05
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
序号
01
02
03
04
05
06
07
08
x
36.6
36.6
36.5
36.5
36.5
36.4
36.2
36.3
y
36.6
36.5
36.7
36.5
36.4
36.4
36.2
36.4
序号
09
10
11
12
13
14
15
16
x
36.6
36.3
36.3
36.5
36.4
36.4
36.3
36.3
y
36.6
36.4
36.2
36.5
36.4
36.4
36.4
36.3
序号
17
18
19
20
21
22
23
24
x
37.2
36.8
36.6
36.5
36.4
36.4
36.7
36.3
y
37.0
36.8
36.6
36.5
36.4
36.4
36.7
36.3
分类
优秀
非优秀
总计
甲班
10
45
55
乙班
20
30
50
总计
30
75
105
X
0
1
2
3
P