2024合肥六校联盟高二上学期期中考试数学含答案

这是一份2024合肥六校联盟高二上学期期中考试数学含答案，文件包含合肥六校联盟2023-2024学年第一学期期中联考高二年级数学试题docx、合肥六校联盟2023-2024学年第一学期期中联考高二年级数学答题卡pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共13页， 欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分：150分）
命题学校：合肥工大附中 命题教师：王峰 审题教师：郑贤玲
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.直线x+ 3y−1=0 的倾斜角为( )
A. π3B. π6C. 2π3D. 5π6
2.如右图，直三棱柱ABC –A1B1C1中，若CA=a，CB=b，CC1=c，则A1B等于( )
A. a+b−cB. a−b+cC. b−a−cD. b−a+c
3.已知圆的方程 x2+y2+2ax+9=0 圆心坐标为(5,0)，则它的半径为( )
A. 3B. 5C. 5D. 4
4.如果向量a=(2,−1,3)，b=(−1,4,2)，c=(1,−1,m)共面，则实数m的值是( )
A. −1B. 1C. −5D. 5
5.已知圆C经过两点A(0,2)，B(4,6)，且圆心C在直线l:2x−y−3=0上，则圆C的方程为( )
A. x2+y2−6y−16=0B. x2+y2−2x+2y−8=0
C. x2+y2−6x−6y+8=0D. x2+y2−2x+2y−56=0
6.如右图，已知点P在正方体ABCD−A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDC=60∘.
设D′P=λD′B，则λ的值为( )
A. 12 B. 22 C. 2−1 D. 3−2 2
7.从直线x−y+3=0上的点向圆x2+y2−4x−4y+7=0引切线，则切线长的最小值为( )
A. 3 22B. 142C. 3 24D. 3 22−1
8.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，若棱长为1，E，F分别为线段B1D1，BC1上的动点，则下列结论错误的是( )
A. DB1⊥平面ACD1 B. 直线AE与平面BB1D1D所成角的正弦值为定值13
C. 平面A1C1B//平面ACD1 D. 点F到平面ACD1的距离为定值 33
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，体对角线AC1与BD1，相交于点O，则( )
A. AB⋅A1C1=1B. AB⋅AC1= 2C. AB⋅AO=12D. BC⋅DA1=1
10.下列说法中，正确的有( )
A. 点斜式y−y1=kx−x1可以表示任何直线
B. 直线y=4x−2在y轴上的截距为−2
C. 点P2,1到直线的ax+a−1y+a+3=0的最大距离为2 10
D. 直线2x−y+3=0关于x−y=0对称的直线方程是x−2y+3=0
11.已知a=(1,0,1)，b=(−1,2,−3)，c=(2,−4,6)，则下列结论正确的是( )
A. a⊥bB. b//c
C. 为钝角D. c在a方向上的投影向量为(4,0,4)
12.以下四个命题表述正确的是( )
A. 直线3+mx+4y−3+3m=0m∈R恒过定点−3,−3
B. 已知圆C:x2+y2=4，点P为直线x4+y2=1上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点1,2
C. 曲线C1:x2+y2+2x=0与曲线C2:x2+y2−4x−8y+m=0恰有三条公切线，则m=4
D. 圆x2+y2=4上存在4个点到直线l:x−y+ 2=0的距离都等于1
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知a∈R，方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆，圆心为 ．
14.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是 ．
15.若圆x2+y2=4，与圆C：x2+y2+2y−6=0相交于A，B，则公共弦AB的长为__________．
16.如图，把边长为2的正方形纸片ABCD沿对角线AC折起，设二面角D−AC−B的大小为θ，异面直线AB与CD所成角为α，当θ∈[π3,2π3]时，csα的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)求经过直线l1：2x−y+4=0与直线l2：x−y+5=0的交点M，且满足下列条件的直线方程．
(1)与直线x−2y−1=0平行；
(2)与直线x+3y+1=0垂直．
18.(本小题12分)如图，已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2，∠A1AB=∠A1AD=120°，设AB=a，AD=b，AA1=c．
(1)求AC1的值；
(2)求AA1⋅BD的值．
19.(本小题12分)已知三角形△ABC的三个顶点的坐标为A(3,3)、B(2,−2)、C(−7,1)试求：
(1)BC边上的高所在的直线方程;
(2)三角形△ABC的面积．
20.(本小题12分)在正方体中ABCD−A1B1C1D1，已知O为A1C1中点，如图所示．
(1)求证：B1C//平面ODC1;
(2)求异面直线B1C与OD夹角大小．
21.(本小题12分)已知点A(4,4)，B(0,3)，直线l：y=x−1，设圆C的半径为1，圆心C在直线l上．
(1)若圆心C也在直线y=3x−7上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使MB=2MO，O为坐标原点，求圆心C的横坐标a的取值范围．
22.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD= 2，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC // AD，AB⊥AD，AB=BC=1，O为AD中点．
(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；
(2)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q−AC−D的余弦值为 63?若存在，求出PQQD的值；若不存在，请说明理.
合肥六校联盟023-2024学年第一学期期中联考
高二年级数学试卷参考答案
一、单选题
1.D ；2.C ；3.D ；4.B；5.C ；6.C； 7.B； 8.B.
二、多选题（每题5分，部分对给2分，有选错误答案的0分）
9.AC ；10.BC ；11.BD ；12.BC；
三、填空题（每题5分）
13.(−2,−4) ；14.4 55 ；15.2 3；16.14,34 .
四、解答题
17.（本题10分）解：联立2x−y+4=0x−y+5=0,解得x=1y=6，可得交点M(1,6)．………2分
(1)若直线平行于直线x−2y−1=0，则斜率为12，
故可得方程为y−6=12(x−1)，即x−2y+11=0. ………………………………… 6分
(2)若直线垂直于直线x+3y+1=0，则斜率为3，
故可得方程为y−6=3(x−1)，即3x−y+3=0． ………………………………… 10分
18.（本题12分）(Ⅰ)AC1=AB+BC+CC1=AB+AD+AA1=a→+b→+c→，………2分
∵AB⋅AD=a→·b→=0，AB⋅AA1=a→·c→=1×2×(−12)=−1，
AD⋅AA1=b→·c→=1×2×(−12)=−1， ………………………………………………5分
∴ |AC1|2=(a→+b→+c→)2=a→2+b→2+c→2 +2(a→⋅b→+a→⋅c→+b→⋅c→)
=1+1+4+2(0−1−1)=2， 即有|AC1|= 2. ………………………………………8分
(Ⅱ)AA1⋅BD=AA1⋅AD−AB=c→·b→−a→=c→·b→−c→·a→=−1−(−1)=0 … … 12分
19.（本题12分）解：(1)因为kBC=−2−12−(−7)=−13，则BC边上的高的斜率为3， ……2分
又经过A点，故方程为y−3=3(x−3)，化简得3x−y−6=0． …………………… 4分
(2)|BC|= (2+7)2+(−2−1)2=3 10， ………………………………………6分
直线BC方程为y+2=−13(x−2)，整理得x+3y+4=0， …………………………… 8分
则A到BC的距离为|3+3×3+4| 12+32=16 10， ……………………………………………………… 10分
则△ABC的面积为12×3 10×16 10=24． …………………………… 12分
20.（本题12分）(1)证明：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，因为AD，DC，DD1两两垂直，
故以D为原点，DA,DC,DD1为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系如图：…………1分
不妨设正方体的棱长为1，则O(12,12,1),C1(0,1,1)，故DO=(12,12,1)，DC1=(0,1,1)，
设平面ODC1的一个法向量为n→=(x,y,z)，
由n·DO=0n·DC1=0得 12x+12y+z=0 y+z=0,令y=1，则z=−1,x=1，
所以n→=(1,1,−1)． ………………………………… 4分
又B1(1,1,1)，C(0,1,0)，所以B1C=(−1,0,−1)， ………………………………… 5分
从而n·B1C=0，所以B1C/​/平面ODC1 . …………………………………6分(2)解：设B1C→、DO→分别为直线B1C与OD的方向向量，则由B1C=(−1,0,−1)，DO=(12,12,1)
得csB1C,DO=− 32． ……………………………………………………… 10分
所以两异面直线B1C与OD的夹角θ的大小为． ………………………………12分
21.（本题12分）解：(1)由y=x−1y=3x−7，得：C(3,2)，
所以圆C：(x−3)2+(y−2)2=1， ………………………………2分
当切线的斜率存在时，设切线方程为y−4=k(x−4)，
由d=|2−k| k2+1=1，解得：k=34， ………………………………………………………4分
当切线的斜率不存在时，切线方程为x=4，满足题意.………………………………5分
所以切线的方程为：x=4或3x−4y+4=0． ………………………………6分
(2)由圆心C在直线l：y=x−1上，设C(a,a−1)，
设点M(x,y)，由|MB|=2|MO|，
得： x2+(y−3)2=2 x2+y2，化简得：x2+(y+1)2=4， ………………………9分
所以点M在以D(0,−1)为圆心，2为半径的圆上．
又点M在圆C上，所以圆C与圆D有交点，
则1≤|CD|≤3，即1⩽ a2+a2⩽3，解得：−3 22⩽a⩽− 22或 22⩽a⩽3 22．………12分
22（本题12分.解：(1)在△PAD中，PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD，
又侧面PAD⊥ 底面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD． ………………………………………………………2分
又在直角梯形ABCD中，易得OC⊥AD，
所以以O为坐标原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系． …………3分
则P(0,0,1)，A(0,−1,0)，B(1,−1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)；
∴ PB=(1,−1,−1)，∵PO⊥AD，OC⊥AD，且PO∩OC=O，PO，OC⊂平面POC，
故OA⊥平面POC，所以OA=(0,−1,0)是平面POC的一个法向量，
设PB与平面POC所成角为θ，
∴sinθ=cs=PB⋅OA|PB|·|OA|= 33， ………………………5分
所以PB与平面POC所成角的余弦值为 1−( 33)2= 63．…………6分
(2)假设存在，且设PQ=λPD(0⩽λ⩽1)．
因为PD=(0,1,−1)，∴OQ−OP=PQ=(0,λ,−λ)，
∴OQ=(0,λ,1−λ)，所以Q(0,λ,1−λ)．
设平面CAQ的法向量中m=(x,y,z)，则m⋅AC=x+y=0m⋅AQ=(λ+1)y+(1−λ)z=0,
取z=1+λ，得m=(1−λ,λ−1,λ+1)． ……………………………………………9分
平面CAD的一个法向量为n=(0,0,1)， …………………………………………10分
要使二面角Q−AC−D的余弦值为​63，需使|cs|=|m⋅n||m||n|= 63．
整理化简得：3λ2−10λ+3=0，得λ=13或λ=3(舍去)，所以存在，且PQQD=12．……12分