青海省西宁市大通回族土族自治县2023届高三一模数学（理）试题(含答案)

这是一份青海省西宁市大通回族土族自治县2023届高三一模数学（理）试题(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2、( )
A.B.C.D.
3、抛物线的准线方程为( )
A.B.C.D.
4、函数的部分图象大致为( )
A.B.
C.D.
5、下图是2010年—2021年（记2010年为第1年）中国创新产业指数统计图,由图可知下列结论不正确的是( )
A.从2010年到2021年,创新产业指数一直处于增长的趋势
B.2021年的创新产业指数超过了2010年—2012年这3年的创新产业指数总和
C.2021年的创新产业指数比2010年的创新产业指数的两倍还要大
D.2010年到2014年的创新产业指数的增长速率比2017年到2021年的增长速率要慢
6、下列坐标所表示的点是函数图象的对称中心的是( )
A.B.C.D.
7、2022年男足世界杯于2022年11月21日至2022年12月17日在卡塔尔举行.现要安排甲、乙等5名志愿者去A,B,C三个足球场服务,要求每个足球场都有人去,每人都只能去一个足球场,则甲、乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为( )
A.12B.18C.36D.48
8、已知,分别是双曲线的左、右焦点,直线l经过且与C左支交于P,Q两点,P在以为直径的圆上,,则C的离心率是( )
A.B.C.D.
9、如图,在正三棱柱中,,,D为的中点,则与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
10、已知等比数列的前n项和为,若,则( )
A.-5B.5C.D.
11、已知e是自然对数的底数,,,则( )
A.B.C.D.
12、“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降，而“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”.某地区二氧化碳的排放量达到峰值a(亿吨)后开始下降，其二氧化碳的排放量S(亿吨)与时间t(年)满足函数关系式：，若经过4年，该地区二氧化碳的排放量为(亿吨).已知该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量为(亿吨)，则该地区要实现“碳中和”，至少需要经过( )(参考数据：，)
A.13年B.14年C.15年D.16年
二、填空题
13、已知向量,若,则______________.
14、设等差数列的前n项和为,已知,则________________.
15、若甲、乙两个圆柱形容器的容积相等，且甲、乙两个圆柱形的容器内部底面半径的比值为2，则甲、乙两个圆柱形容器内部的高度的比值为___________.
16、设某车间的A类零件的厚度L(单位：mm)服从正态分布，且.若从A类零件中随机选取100个，则零件厚度小于的个数的方差为___________.
三、解答题
17、a,b,c分别为内角A,B,C的对边.已知.
(1)求C;
(2)若c是a,b的等比中项,且的周长为6,求外接圆的半径.
18、某电视台举行冲关直播活动,该活动共有四关,只有一等奖和二等奖两个奖项,参加活动的选手从第一关开始依次通关,只有通过本关才能冲下一关.已知第一关的通过率为0.7,第二关、第三关的通过率均为0.5,第四关的通过率为0.2,四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元）,通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元）,如果获得二等奖又获得一等奖,奖金可以累加.假设选手是否通过每一关相互独立,现有甲、乙两位选手参加本次活动.
(1)求甲获得奖金的期望;
(2)已知甲和乙最后所得奖金之和为900元,求甲获得一等奖的概率.
19、如图,在四棱锥中,底面ABCD是边长为2的菱形,E,F,G分别是BC,PC,AD的中点,平面DEF,,且.
(1)证明：平面DEF;
(2)求二面角的大小.
20、已知动点P到直线的距离是P到点距离的2倍,点P的轨迹记为C.
(1)证明：存在点,使得为定值.
(2)过点F且斜率的直线l与C交于A,B两点,M,N为x轴上的两个动点,且,,若,求k.
21、已知函数.
(1)若,证明：存在唯一的极值点.
(2)若,求a的取值范围.
22、在直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为（t为参数）,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)写出的普通方程和的直角坐标方程;
(2)若曲线与曲线交于A,B两点,P的直角坐标为,求.
23、已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若的最小值为,求的最小值.
参考答案
1、答案：B
解析：因为,,
所以.
故选：B.
2、答案：C
解析：.
故选：C.
3、答案：C
解析：因为,所以,
所以抛物线的准线方程为.
故选：C.
4、答案：A
解析：的定义域为,关于原点对称,
因为,所以为奇函数,故排除C,D,
又,所以排除B,
故选：A.
5、答案：B
解析：从统计图可看出从2010年到2021年,创新产业指数一直处于增长的趋势,A正确;
从统计图估计得到2021年的创新产业指数大约为350,
而2010年—2012年这3年的创新产业指数总和大约为,
故2021年的创新产业指数没有超过2010年—2012年这3年的创新产业指数总和,B错误;
因为2021年的创新产业指数大约为350,2010年的创业指数小于150,
,故2021年的创新产业指数比2010年的创新产业指数的两倍还要大,C正确;
2010年到2014年的创新产业指数的折线倾斜程度小,而2017年到2021年的创业指数的折线倾斜程度大,
故2010年到2014年的创新产业指数的增长速率比2017年到2021年的增长速率要慢,D正确.
故选：B
6、答案：A
解析：因为正弦函数的对称中心为,所以令,
解得：,当时,对称中心为,
即A是对称中心,其它各项均不是对称中心.
故选：.
7、答案：C
解析：将5人按3,1,1分成三组,且甲、乙在同一组的安排方法有种,
将5人按2,2,1分成三组,且甲、乙在同一组的安排方法有种,
则甲、乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为.
故选：C.
8、答案：A
解析：不妨设,,
因为P在以为直径的圆上,所以,即,则.
因为Q在C的左支上,所以,
即,解得,则.
因为,所以,即,
故,
故.
故选：A.
9、答案：D
解析：如图,取中点为E,连接DE,.又因D为的中点,则,故与所成角就是DE与所成角.
由题为正三角形,则.又因几何体为正三棱柱,
则,
得,
,.
则在中,,,,得为直角三角形,
则与所成角的余弦值为：.
故选：D.
10、答案：C
解析：由题意得：,,,
即,,,
因为数列是等比数列,所以,
即,解得：,
故选：C.
11、答案：A
解析：令函数,则.当时,,单调递减,当时,,单调递增.故,
则,即;
令函数,则,当时,,单调递增,当时,,单调递减.故,则,即.
故选：A.
12、答案：D
解析：由题意，，即，所以，
令，即，故，即，
可得，即.
13、答案：16
解析：由,得,即,则.
故答案为：16.
14、答案：5
解析：因为数列为等差数列,故,解得.
故答案为：5.
15、答案：
解析：由圆柱形容器的容积，得，所以甲、乙两个圆柱形容器内部的高度的比值为.
16、答案：16
解析：依题意可得.
若从A类零件中随机选取100个，则零件厚度小于的个数，则.
17、答案：(1);
(2).
解析：（1）根据正弦定理,
由,
因为,所以,
于是由
,
因为,所以;
（2）因为c是a,b的等比中项,所以,
因为的周长为6,所以,
由余弦定理可知：
,或舍去,
所以外接圆的半径为.
18、答案：(1)52.5
(2)
解析：（1）（1）设甲获得的奖金为X元,则X可能的取值为0,200,700.
,
,
,
所以,甲获得的奖金的概率分布列为：
所以.
（2）由（1）可知,获得二等奖的概率为0.14,获得一等奖的概率为0.035.
设事件A：甲和乙最后所得奖金之和为900元,设事件B：甲选手获得一等奖,
由（1）知获得二等奖的概率为,获得一等奖的概率为,
所以,
所以,所求的概率.
19、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）在菱形ABCD中,因为E,G分别是BC,AD的中点,所以,.
所以四边形DEBG为平行四边形,即有BG//DE,
因为平面DEF,平面DEF,所以平面DEF.
又F是PC的中点,所以.
平面DEF,平面DEF,所以平面DEF.
因为,BG,平面PBG,所以平面平面DEF.
因为平面,所以平面DEF;
（2）因为,,
所以可求得四棱锥的高为.
以G为坐标原点,,的方向分别为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系,
则,,,.
,,.
记平面PAB的法向量为,
则,令,得.
记平面PBC的法向量为,
则,令,得.
因为,
且二面角为钝角,所以二面角为.
20、答案：(1)证明见解析;
(2).
解析：（1）证明：设点,由已知可得,
整理可得.
所以P点的轨迹是一个椭圆,,,,且椭圆的焦点为,,即是椭圆的右焦点,
取,根据椭圆的定义可知,.
所以,存在点,使得为定值4.
（2）因为,,所以,.
如图,在中,,所以,
又,即,所以.
同理可得,,
所以,即.
又,所以.
设,,直线l的方程为
联立直线与椭圆的方程可得,.
恒成立,
且,
则,
又,即,
整理可得,又,所以.
21、答案：(1)证明见解析;
(2).
解析：（1）当时,,,
因为函数,在上单调递减,所以在上单调递减,
,,所以在上存在唯一一个零点,且当时,,时,,
所以在上单调递增,上单调递减,存在唯一的极值点.
（2）,可以转化为,
,在上单调递减,
当,即或时,在上大于零,在上单调递增,所以,解得,
所以或;
当时,,时,,所以在上存在一个零点,,
所以在上单调递增,上单调递减,
,
因为,所以,,,则,
所以成立;
综上可得,a的取值范围为.
22、答案：(1),.
(2)
解析：（1）由消去t得,即,
由得,即
（2）直线经过点,且倾斜角为 ,所以的方程写成标准参数方程为（t为参数）,将其代入得,
设A,B所对应的参数分别为,则,故,
因此,
23、答案：(1)
(2)3
解析：（1）由题知：,
所以,
,
.
综上：,
所以的解集为.
（2）,所以.
所以.
所以,
当且仅当,即等号成立.
所以的最小值为3.
X
0
200
700
P
0.825
0.035
0.14