海南华侨中学2023届高三模拟（二）数学试题(含答案)

这是一份海南华侨中学2023届高三模拟（二）数学试题(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2、设复数z满足，则( )
A.B.（，）
C.D.
3、命题“，”的否定是( )
A.，B.，
C.，D.，
4、若直线与直线的交点在直线上，则实数( )
A.4B.2C.D.
5、已知，，若数列的前n项和为，则( )
A.B.C.D.
6、如图，在中，E是的中点，，与交于点M，则( )
A.B.C.D.
7、已知函数是上的单调函数，且，则在上的值域为( )
A.B.C.D.
8、已知，若对任意实数x都有，其中，，则的所有可能的取值有( )
A.2个B.4个C.6个D.8个
二、多项选择题
9、甲、乙两个盒子中各装有4个相同的小球，甲盒子中小球的编号依次为1，2，3，4，乙盒子中小球的编号依次为5，6，7，8，同时从两个盒子中各取出1个小球，记下小球上的数字.记事件A为“取出的数字之和为偶数”，事件B为“取出的数字之和等于9”，事件C为“取出的数字之和大于9”，则下列结论正确的是( )
A.A与B是互斥事件B.B与C是对立事件
C.A与C不是相互独立事件D.A与B是相互独立事件
10、为了向社会输送优秀毕业生，中等职业学校越来越重视学生的实际操作（简称实操）能力的培养.中职生小王在对口工厂完成实操产品100件，质检人员测量其质量（单位：克），将所得数据分成5组：，，，，.根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，其中质量在内的为优等品.对于这100件产品，下列说法正确的是( )
A.质量的平均数为99.7克（同一区间的平均数用区间中点值代替）
B.优等品有45件
C.质量的众数在区间内
D.质量的中位数在区间内
11、勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示.若某勒洛四面体内的四面体的高为，则( )
A.B.外接圆的半径为2
C.四面体的体积为D.该勒洛四面体的表面积为
12、已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为.过且垂直于的直线与C交于D，E两点，若的周长是26，则( )
A.B.
C.直线的斜率为D.
三、填空题
13、已知偶函数在区间上单调递减，则函数的单调增区间是_________.
14、已知双曲线（，a为正整数）的离心率，焦距不大于，试写出双曲线的一个方程：_________.
15、临近春节，某校书法爱好小组书写了若干副春联，准备赠送给四户孤寡老人.春联分为长联和短联两种，无论是长联或短联，内容均不相同.经过调查，四户老人各户需要1副长联，其中乙户老人需要1副短联，其余三户各要2副短联.书法爱好小组按要求选出11副春联，则不同的赠送方法种数为_________.
16、素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力.“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图1是某同学绘制的“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为4，高为的正四棱柱构成（图2），则一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的点C出发，沿表面到达点D的最短路线长为_________.
四、解答题
17、在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知.
（1）求角A；
（2）若，且的面积为，求a.
18、为指导高一新生积极参加体育锻炼，某高中在新生中随机抽取了400名学生，利用一周时间对他们的各项运动指标（高中年龄段指标）进行考查，得到综合指标评分.综合指标评分结果分为两类：60分及以上为运动达标，60分以下为运动不达标.统计结果如下：
（1）完成列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“运动达不达标与性别有关”；
（2）现从运动不达标的学生中按性别用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中任选4人进行运动示范指导，设抽取的4人中女生的人数为，当时，取得最大值，求的值.
参考公式：，.
参考数据：
19、如图，在多面体中，平面平面，底面是等腰直角三角形，，侧面是正方形，平面，且，.
（1）证明：.
（2）若O是的中点，平面，求直线与平面所成角的正弦值.
20、已知数列的各项均为正数且均不相等，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列是等比数列；②；③是等比数列.
21、已知抛物线，点F为其焦点，直线与抛物线交于M，N两点，O为坐标原点，.
（1）求抛物线T的方程；
（2）过x轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线T分别相交于点A，B和C，D，点H，K分别为，的中点，求的最小值.
22、已知函数.
（1）若函数在区间上为增函数，求a的取值范围；
（2）设，证明：.
参考答案
1、答案：D
解析：集合，，
.
故选：D.
2、答案：B
解析：由得，
故选：B.
3、答案：C
解析：命题“，”是存在量词命题，它的否定是“，”.
故选：C.
4、答案：A
解析：解方程组，得直线与直线的交点，
依题意，，解得，
所以实数.
故选：A.
5、答案：D
解析：易知
.
故选：D.
6、答案：A
解析：在中，设，，由，可得，故.
又E是的中点，，所以，，所以.
由点E，M，F三点共线，可得，解得，
故.
故选：A.
7、答案：D
解析：因为是上的单调函数，所以存在唯一的，使得，
则，，.
因为为上的增函数，且，所以，
所以.因为在上单调递增，所以，得.
故选：D.
8、答案：C
解析：由已知得，
对于任意实数x都有成立，
即对于任意实数x都有成立，
与的最值和最小正周期相同，
，，即，.
①当，时，，，，
又，或；
②当，时，，，，
又，或；
③当，时，，，，
又，；
④当，时，，，，
又，.
综上所述，满足条件的的值有6个.
故选：C.
9、答案：AC
解析：从两个盒子中取出的两个数字之和只有2种结果：偶数和奇数.而“数字之和为9”是结果为奇数的其中一种情况，所以事件A与B是互斥事件而不是对立事件，选项A正确.
从两个盒子各取1个小球，共有种结果，其中数字之和为偶数的有8种；数字之和等于9的有，，，这4种；数字之和大于9的有，，，，，这6种.
所以，，.因为，所以B与C不是对立事件，选项B错误.
事件为“取出的数字之和为偶数且大于9”，其结果有4种：.所以，显然，所以A与C不是相互独立事件，选项C正确.
因为当取出的数字之和为偶数时，不可能出现取出的数字之和等于9这种情况，所以，而，所以A与B不是相互独立事件，选项D错误.
故选：AC.
10、答案：ABD
解析：对于选项A，质量的平均数为（克），选项A正确；
对于选项B，优等品有件，选项B正确；
对于选项C，频率分布直方图上不能判断质量众数所在区间，质量众数不一定落在区间内，所以选项C错误；
对于选项D，质量在内的有45件，质量在内的有15件，质量在内的有5件，所以质量的中位数一定落在区间内，所以选项D正确.
故选：ABD.
11、答案：BC
解析：由已知可知勒洛四面体内的四面体是正四面体，根据题意画出正四面体，如图所示，
设正四面体的棱长为x，所以正四面体底面外接圆的半径，
则正四面体的高，解得，则，故A错误；
由，则正四面体底面外接圆的半径，故B正确；
所以正四面体的体积，故C正确；
又因为两个该勒洛四面体的表面积小于半径为的一个球的表面积，
而半径为的一个球的表面积为.
所以该勒洛四面体的表面积小于.故D项错误.
故选：BC.
12、答案：ACD
解析：如图所示：
椭圆的离心率为，
不妨设椭圆，，.
C的上顶点为A，两个焦点为，，
为等边三角形，
过且垂直于的直线与C交于D，E两点，
.故C项正确.
由等腰三角形的性质可得，.
由椭圆的定义可得的周长为，
，.故A项正确，B项错误.
对于D项，设，联立，
消去y得：，
则，
由韦达定理得，，
所以，故D项正确.
故选：ACD.
13、答案：
解析：因为偶函数在区间上单调递减，
所以在区间上单调递增，
又因为，则函数的图象是由函数的图象向右平移2个单位长度得到，
所以函数的单调增区间是.
故答案为：.
14、答案：，，（写出其中一个即可）
解析：由得，又，所以，即.
又，所以，得.因为a为正整数，所以或或，即或或，
则双曲线方程为或或.
故答案为：，，（写出其中一个即可）.
15、答案：15120
解析：4副长联内容不同，赠送方法有种；从剩余的7副短联中选出1副赠送给乙户老人，
有种方法，再将剩余的6副短联平均分为3组，最后将这3组赠送给三户老人，
方法种数为.所以所求方法种数为.
故答案为：.
16、答案：或
解析：由已知得，
只需考虑蚂蚁行进的三条路径，并沿所经过的棱将路径图展开成平面图，
第一条路径穿过棱，如下图，此时最短路线长为；
第二条路径是穿过棱和棱，如下图，此时最短路线长为；
第三条路径是穿过棱和棱，如下图，此时最短路线长为.
，
通过比较可知，最小.
故答案为：.
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）由已知可得，即，
由正弦定理可得，
即，
即，因为，所以
即.
因为，所以.
（2）由已知得，
又，所以，
故，解得.
18、答案：（1）填表见解析；能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“运动达不达标与性别有关”
（2）
解析：（1）列联表为
因为，
所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“运动达不达标与性别有关”；
（2）由（1）知，运动不达标的男生、女生人数分别足60，80，按照分层抽样共抽取7人，
则男生、女生分别抽取3人、4人，从这7人中任选4人，则女生人数，
则，，
，，
所以的最大值为，即.
19、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为平面，平面平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以.
（2）如图，因为O是的中点，平面，平面，且平面平面，
所以，
因为平面平面，
平面平面，平面平面，
平面平面，平面平面，
所以，，
因为是等腰直角三角形，
所以，
又因为，侧面是正方形，
所以，，
所以点E到的距离为，
所以，则，
又，，所以，，
所以，
设点E到平面的距离为h，
由可得，解得，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20、答案：证明见解析
解析：选择①②为条件，③为结论.
证明过程如下：
设等比数列的公比为且，则，
由得，所以，
则，即，
所以，即，
所以，
所以是以为首项，2为公比的等比数列.
选择①③为条件，②为结论.
证明过程如下：
设等比数列的公比为且，则，
所以，（*）
因为是等比数列，
所以，
即.
所以.
因为，所以化简整理得，
即，因为，所以，
代入（*）式，得，即.
选择②③为条件，①为结论.
证明过程如下：
设等比数列的公比为且，
则，
当时，，
所以，
又因为，所以，因为，所以，
所以，
得，
因为当时，上式恒成立，
所以是首项为，公比为2的等比数列.
21、答案：（1）
（2）6
解析：（1）直线方程为，将其代入抛物线可得，
由已知得，解得，
故抛物线T的方程为.
（2）因为，若直线，分别与两坐标轴垂直，
则直线，中有一条与抛物线只有一个交点，不合题意，
所以直线，的斜率均存在且不为0.设直线的斜率为，
则直线的方程为.
联立，得，则，
设，，
则，设，则，则，
所以，同理可得，
故，
当且仅当且，即时等号成立，
故的最小值为6.
22、答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由已知得，，，
则.
因为在上单调递增，所以恒成立，
即，
由于，当且仅当时取等号，
所以，当时，，
仅在时取等号，适合题意，
故.
（2）由（1）可知当，时，，即，
即，可得.
令，则，即，
所以，
即.
运动达标占比
运动不达标占比
男生
40%
15%
女生
25%
20%
运动达标
运动不达标
总计
男生
女生
总计
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
运动达标
运动不达标
总计
男生
160
60
220
女生
100
80
180
总计
260
140
400