2023-2024学年江苏省苏州市相城区春申中学九年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市相城区春申中学九年级（上）10月月考数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. 3x+2y−1=0B. 5x2−6y−3=0
C. −x+2=0D. x2−1=0
2.已知3a=2bab≠0，下列变形错误的是
( )
A. ab=23B. ba=23C. ba=32D. a2=b3
3.已知x1、x2是一元二次方程x2+4x+3=0的两根，则x1+x2+2x1x2的值为
( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
4.如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍不能判定▵ABC∽▵ADE的是( )
A. ∠B=∠DB. ∠C=∠AEDC. ABAD=BCDED. ABAD=ACAE
5.如图，⊙O中，P为优弧AB⌢上一个动点(不与A，B两点重合)，PQ⊥AB，垂足为Q，D是PB的中点，连接DQ.若⊙O的半径为4，则线段DQ的最大值是( )
A. 4B. 4 2C. 6D. 8
6.如图，在等腰▵ABC中，∠ABC=∠ACB=α，BC=12，点D是边AB上一点，且BD=4，点P是边BC上一动点，作∠DPE=α，射线PE交边AC于点E，当CE=9时，则BP的长为
( )
A. 4B. 6C. 9D. 无法确定
7.如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD,AD于点M，N，则CN的长为
( )
A. 10B. 11C. 2 3D. 4
8.如图，点A，B在⊙O上，P为⊙O外一点，且PA⊥OA，PB⊥OB，连接OP，OP与⊙O相交于点C，与AB交于点D，连接AC，BC，有下列结论：①PA=PB；②OP⊥AB；③C为AB⌢中点；④四边形AOBC为菱形；⑤O，A，B，P四点共圆，其中一定成立的有
个( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9.若x=1是方程x2−a=0的根，则a=______．
10.在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm，则该道路的实际长度是_____km．
11.已知点C是线段AB的黄金分割点AC>BC，若线段AB的长10cm，则线段AC的长为________.(结果保留根号)
12.如图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC=OE，若∠C=20°，则∠EOB的度数是__________．
13.某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，则平均每次降价的百分率为_________
14.已知实数a，b分别满足a2+2a=2，b2+2b=2，a≠b，则ba+ab=______．
15.一块含有30∘角的直角三角板ABC按如图所示的方式放置，若顶点A的坐标为(0,1)，直角顶点C的坐标为y− 3,0，则点B的坐标为______．
16.如图，矩形ABCD的边AB过⊙O的圆心，E、F分别为AB、CD与⊙O的交点，若AE=3cm，AD=4cm，DF=5cm，则⊙O的直径等于________．
17.《代数学》中记载，形如x2+8x=33的方程求正数解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+4×22=49，则该方程的正数解为 49−2×2=3.”小聪按此方法解决了关于x的方程x2+12x+m=0，构造图②，已知阴影部分的面积为60，则该方程的正数解为______．
18.如图，在Rt▵ABC中，∠C=90∘，BC=1，AC=2，把边长分别为x1，x2，x3，…，xn的n个正方形依次放▵ABC中，第1个正方形CM1P1N1的顶点分别放在Rt▵ABC的各边上；第2个正方形M1M2P2N2的顶点分别放在Rt▵AP1M1的各边上；其他正方形依次放入，则第2023个正方形的边长x2023为_____．
三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.(本小题8.0分)
用适当的方法解下列方程：
(1)x2−4x−5=0；
(2)xx−6=6．
20.(本小题8.0分)
x1=3+ 15，x2=3− 15．
21.(本小题8.0分)
如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O为原点建立直角坐标系．

(1)过A，B，C三点的圆的圆心M坐标为(______，______)；
(2)请通过计算判断点D3,−5与⊙M的位置关系．
22.(本小题8.0分)
已知关于x 的 方程x2−(m+2)x+(2m−1)=0．
(1)试说明方程总有两个不相等的实数根；
(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的等腰三角形的周长．
23.(本小题8.0分)
如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的半径OA，OB分别交小圆于点C，D，连接AD，BC，交点为E，连接OE并延长，交AB于点F，交大圆于点G．
(1)求证：
∠A=∠B；
(2)OE与
AB有怎样的位置关系？请说明理由．
24.(本小题8.0分)
如图，在▵ABC中，以点A为圆心画弧分别交AB，BA的延长线和AC于D，E，F，连接EF并延长交BC于G，EG⊥BC．
(1)求证：AB=AC；
(2)连接DF，判断DF与BC的位置关系，并说明理由．
25.(本小题8.0分)
如图，在Rt▵ABC中，∠BAC=90∘，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．
(1)若∠ABC=20∘，求∠DEA的度数；
(2)若AC=3,AB=4，求CD的长．
26.(本小题8.0分)
某科研单位准备将院内一块长30m，宽20m的矩形ABCD空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道(小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)，剩余的地方种植花草．
(1)如图1，要使种植花草的面积为532m2，求小道进出口的宽度为多少米；
(2)现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，▵AEQ、▵BGF、▵CMH、▵DPN均为全等的直角三角形，其中AE=BF=CM=DN，设EF=HG=MN=PQ=a米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为2m，且竖向道路出口位于MN和EF之间，横向弯折道路出口位于PQ和HG之间．
①求剩余的种植花草区域的面积(用含有a的代数式表示)；
②如果种植花草区域的建造成本是100元/米 ​2、建造花草区域的总成本为42000元，求a的值．
27.(本小题8.0分)
已知：如图，▵ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．
(1)求∠AFE的度数；
(2)若BF=4，EF=6，求AE的长．
(3)连接CF，若AB=6，则线段CF的最小值为______(直接写结果)．
28.(本小题8.0分)
如图，平面内的两条直线l1、l2，点A，B在直线l1上，点C，D在直线l2上，过A，B两点分别作直线l2的垂线，垂足分别为A1，B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作TAB,A1D或TAB,l2，特别地线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C．
请依据上述定义解决如下问题：
(1)如图1，在锐角▵ABC中，AB=5，TAC,AB=3，则TBC,AB=______；
(2)如图2，在Rt▵ABC中，∠ACB=90∘，TAC,AB=4，TBC,AB=9，求▵ABC的面积；
(3)如图3，在钝角▵ABC中，点D在AB边上，∠ACD=90∘，TAD,AC=5，TAC,AB=3，TBC,AB=9，求TBC,CD．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】根据一元二次方程的定义，逐项分析即可，一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数最高次数为2次的整式方程．
【详解】A. 3x+2y−1=0，是 二元一次方程，不符合题意；
B. 5x2−6y−3=0，是二元二次方程，不符合题意；
C. −x+2=0，是一元一次方程，不符合题意；
D. x2−1=0，是一元二次方程，符合题意；
故选D
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】【分析】比例的性质，a:b=c:d，则ad=bc，由此性质对比例式变形即可．
【详解】解：A、由ab=23，可得3a=2bab≠0，故本选项正确，不符合题意；
B、ba=23，可得2a=3bab≠0，故本选项错误，符合题意；
C、由ba=32，可得3a=2bab≠0，故本选项正确，不符合题意；
D、由a2=b3，可得3a=2bab≠0，故本选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质：内项积等于外项积，利用性质对比例式进行变形是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2=−4,x1x2=3，然后利用整体代入的方法计算x1+x2+2x1x2的值．
【详解】解：根据题意得：x1+x2=−4,x1x2=3，
所以x1+x2+2x1x2=−4+2×3=2．
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba,x1x2=ca．
4.【答案】C
【解析】【分析】先根据∠1=∠2得出∠BAC=∠DAE，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】解：∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE．
A、∵∠B=∠D,∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
B、∵∠C=∠AED,∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
C、∵ABAD=BCDE,∠B与∠D的大小无法判定，
∴无法判定▵ABC∽▵ADE，故本选项符合题意；
D、∵ABAD=ACAE,∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线，得出DQ=12PB，当PB为直径时，PB最大，解答即可．
【详解】解：∵PQ⊥AB，垂足为Q，D是PB的中点，
∴DQ=12PB，
当PB为直径时，PB最大，
∵⊙O的半径为4，
当PB=8时，DQ=4，
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】【分析】由已知得∠ABC=∠ACB=α，再证明∠EPC=∠PDB，则可判断▵PDB∽▵EPC，利用相似比得到BD:PC=BP:CE，设BP=x，则PC=12−x，当BD=4，CE=9时，所以x2−12x+36=0，解方程即可求解．
【详解】解：∵▵ABC为等腰三角形，
∴∠ABC=∠ACB=α，
∵∠DPC=∠B+∠PDB即∠DPE+∠EPC=∠B+∠PDB，∠DPE=α，
∴∠EPC=∠PDB，
又∵∠ABC=∠ACB，
∴▵PDB∽▵EPC，
∴BD:PC=BP:CE，
设BP=x，则PC=12−x，当BD=4，CE=9时，
412−x=x9，
∴x2−12x+36=0，
解得：x1=x2=6，
∴BP=6，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及能灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】【分析】由作图可知BP平分∠CBD，设BP与CN交于点O，与CD交于点R，作RQ⊥BD于点Q，根据角平分线的性质可知RQ=RC，进而证明Rt▵BCR≌Rt▵BQR，推出BC=BQ=4，设RQ=RC=x，则DR=CD−CR=3−x，解Rt▵DQR求出QR=CR=43.利用三角形面积法求出OC，再证▵OCR∽▵DCN，根据相似三角形对应边成比例即可求出CN．
【详解】解：如图，设BP与CN交于点O，与CD交于点R，作RQ⊥BD于点Q，

∵矩形ABCD中，AB=3,BC=4，
∴CD=AB=3，
∴BD= BC2+CD2=5．
由作图过程可知，BP平分∠CBD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD⊥BC，
又∵RQ⊥BD，
∴RQ=RC，
在Rt▵BCR和Rt▵BQR中，
RQ=RCBR=BR,
∴Rt▵BCR≌Rt▵BQRHL，
∴BC=BQ=4，
∴QD=BD−BQ=5−4=1，
设RQ=RC=x，则DR=CD−CR=3−x，
在Rt▵DQR中，由勾股定理得DR2=DQ2+RQ2，
即3−x2=12+x2，
解得x=43，
∴CR=43．
∴BR= BC2+CR2=43 10．
∵S▵BCR=12CR⋅BC=12BR⋅OC，
∴OC=CR⋅BCBR=43×443 10=25 10．
∵∠COR=∠CDN=90∘，∠OCR=∠DCN，
∴▵OCR∽▵DCN，
∴OCDC=CRCN，即25 103=43CN，
解得CN= 10．
故选A．
【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出BP平分∠CBD，通过勾股定理解直角三角形求出CR．
8.【答案】C
【解析】【分析】由P为⊙O外一点，且PA⊥OA，PB⊥OB，可得∠OAP=∠OBP=90∘，然后依据HL可证明▵AOP≌▵BOP，可判断①；进而可证明▵ADP≌▵BDP，可判断②，根据∠AOP=∠BOP，得到AC⌢=BC⌢，可判断③，要使得四边形AOBC为菱形，即OD=CD必须成立，即∠OAD=∠CAD必须成立，即OA=AC必须成立，显然，只有当∠AOC=60∘时，这些前提才成立，故可判断④，由直角三角形的性质可得到∠AOP+∠APO=90∘，∠BOP+∠BPO=90∘，即∠APB+∠AOB=180∘，可判断⑤．
【详解】证明：∵PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠OAP=∠OBP=90∘，
在Rt▵AOP和Rt▵BOP中，
OP=OPOA=OB,
∴Rt▵AOP≌Rt▵BOPHL，
∴PA=PB，故①一定成立；
∵Rt▵AOP≌Rt▵BOP，
∴∠APO=∠BPO，
在▵ADP和▵BDP中，
AP=BP∠APO=∠BPOPD=PD,
∴▵ADP≌▵BDPSAS，
∴∠ADP=BDP=90∘，即OP⊥AB，故②一定成立；
∵∠AOP=∠BOP，
∴AC⌢=BC⌢，故③一定成立；
要使得四边形AOBC为菱形，
∴OD=CD，即∠OAD=∠CAD，即OA=AC，
显然，只有当∠AOC=60∘时，这些前提才成立，故④不一定成立；
∵∠AOP+∠APO=90∘，∠BOP+∠BPO=90∘，
∴∠APB+∠AOB=180∘，
∴ O，A，B，P四点共圆，故⑤一定成立；
∴一定成立的有：①②③⑤，
故选：C．
【点睛】此题重点考查圆的有关概念和性质、切线的性质定理、切线长定理、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、四点共圆等知识，由切线长定理证明PA=PB，PO平分∠APB是解题的关键．
9.【答案】1
【解析】【分析】将x=1代入原方程，即可得出关于a的方程，求出解即可．
【详解】当x=1时，1−a=0，
解得a=1．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根，理解一元二次方程的根的意义是解题的关键．
10.【答案】2.8
【解析】【详解】设这条道路的实际长度为x，
则：140000=7x，
解得x=280000cm=2.8km，
经检验，x=280000是原方程的解
∴280000cm=2.8km
∴这条道路的实际长度为2.8km．
故答案为2.8．
【点睛】本题考查了根据比例尺列出分式方程，解题的关键是知道比例尺的意义．
11.【答案】5 5−5cm
【解析】【分析】根据黄金分割的定义得AC= 5−12AB，代入AB的长计算即可．
【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点AC>BC，AB=10cm，
∴AC= 5−12AB= 5−12×10=5 5−5cm，
故答案为：5 5−5cm．
【点睛】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是熟练掌握黄金比，如果点C是线段AB的黄金分割点AC>BC，那么AC= 5−12AB．
12.【答案】60°．
【解析】【详解】∵CD=OD=OE，
∴∠C=∠DOC=20°，
∴∠EDO=∠E=40°，
∴∠EOB=∠C+∠E=20°+40°=60°．
故答案是：60°．
13.【答案】10%
【解析】【分析】设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的单价是原来的1−x，那么第二次降价后的单价是原来的1−x2，根据题意列方程解答即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得
100×1−x2=81，
解得x1=0.1=10%，x2=1.9(不符合题意，舍去)，
故答案为：10%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14.【答案】−4
【解析】【分析】a，b可看作方程x2+2x−2=0的两个实数根，根据根与系数的关系得到a+b=−2，ab=−2，最后代入ba+ab=a+b2−2abab进行求值即可．
【详解】解：∵实数a，b分别满足a2+2a=2，b2+2b=2，a≠b，
∴a，b可看作方程x2+2x−2=0的两个实数根，
∴a+b=−2，ab=−2，
∵ba+ab=a2+b2ab=a+b2−2abab，
∴ba+ab=−22−2×−2−2=−4．
故答案为：−4．
【点睛】本题考查了方程解的定义，一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，理解方程的解的定义是解答本题的关键．
15.【答案】−2 3,3
【解析】【分析】过点B作BD⊥OD于点D，根据△ABC为直角三角形可证明△BCD∽△CAO，设点B坐标为(x,y)，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】
过点B作BD⊥OD于点D，
∵△ABC为直角三角形，
∴∠BCD+∠ACO=90∘，
∴△BCD∽△CAO，
∴BDCD=COAO，
设点B坐标为(x,y)，
则yx− 3= 31，
∴y= 3x− 3，
∴BC= x− 32+ 3x− 32= 4x2−8 3x+12
AC=2，
∵有图知，∠B=30∘，
∴ACBC=2 4x2−8 3x+12= 33，
解得：x=−2 3，
则y=3．
即点B的坐标为−2 3,3．
故答案为−2 3,3
【点睛】本题考查了坐标与图形性质、相似三角形的判定及性质、特殊角的三角函数值，解题的关键是要求出BC和AC的值和30度角的三角函数联系起来，作辅助线构造直角三角形为三角函数作铺垫．
16.【答案】10
【解析】【分析】连接OF，作FG⊥AB于点G，则EG=DF−AE=5−3=2cm，设⊙O的半径是R，在Rt▵OFG中利用勾股定理即可得到一个关于R的方程，解方程求得半径，则圆的直径即可求解．
【详解】解：连接OF，作FG⊥AB于点G．

∵矩形ABCD，
∴∠A=∠D=90∘，
∴四边形AGFD是矩形，
∴EG=DF−AE=5−3=2cm，
设⊙O的半径是R，
则OF=R,OG=R−2．
Rt▵OFG中，OF2=FG2+OG2，
即R2=R−22+42，
解得：R=5，
则直径是10cm，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了勾股定理，正确作出辅助线是关键．
17.【答案】4 6−6
【解析】【分析】先把方程化为指定的形式，根据题意，得12x=4ax，确定a=3，继而得到大正方形的面积为60+4×32=96，从而得到方程的正数解为 96−2×3计算即可．
【详解】由x2+12x+m=0得x2+12x=−m，
∵阴影部分的面积为60，
∴x2+12x=60，
根据题意，得12x=4ax，
∴a=3，
∴大正方形的面积为60+4×32=96，
∴方程的正数解为 96−2×3=4 6−6，
故答案为：4 6−6．
【点睛】本题考查了阅读学习的本领，利用图形求一元二次方程的解，正确读取解题信息是解题的关键．
18.【答案】232023
【解析】【分析】根据相似三角形的 性质就可以求出第一个正方形的边长，同理求得其它正方形的边长，观察规律即可求得第n个正方形的边长，即可求解．
【详解】解：设第一个正方形的边长是x1，
∵P1N1//AC，P1M1//BC，
∴▵BP1N1∽▵BAC，▵AP1M1∽▵ABC，
则P1N1AC=BP1AB=x12，
同理得到P1M1BC=AP1AB=x1，
两式相加得到x12+x1=1，
解得x1=23，
同理求得：
第二个的边长是x2=232，
第三个的边长是x3=233，
…
∴xn=23n．
∴x2023=232023．
故答案为：232023．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，考查了学生的观察归纳能力．解题的关键是数形结合思想与方程思想的应用．
19.【答案】x1=5，x2=−1
【解析】略
20.【答案】【小问1详解】
解：x2−4x−5=0，
x−5x+1=0，
∴x−5=0或x+1=0，
∴x1=5，x2=−1；
【小问2详解】
xx−6=6，
x2−6x+32=6+32，
x−32=15，
x−3=± 15，
∴x1=3+ 15，x2=3− 15．

【解析】【分析】(1)用因式分解法求解一元二次方程即可；
(2)用配方法求解一元二次方程即可．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题关键．
21.【答案】(1)1，−2
(2)点D在⊙M的外部

【解析】【分析】(1)连接AB，AC，分别作AB，AC的垂直平分线，两直线交于点M，就是过A，B，C三点的圆的圆心，有图形可得M的坐标；
(2)分别求出MD和MB的长度进行比较即可作出判断．
【小问1详解】
解：如图，连接AB，AC，分别作AB，AC的 垂直平分线，两直线交于点M，
∴M是过A，B，C三点的圆的圆心，

∴M1,−2，
故答案为：1，−2；
【小问2详解】
∵M1,−2，D3,−5，B0,1，
∴MD= 1−32+−2+52= 13，MB= 12+−2−12= 10，
∴MD>MB，
∴点D在⊙M的外部．
【点睛】本题考查了垂径定理推论，勾股定理，平面坐标系中点的坐标，点与圆的位置关系，根据垂径定理得出圆心位置是解答本题的关键．
22.【答案】(1)见解析；(2)方程的另一个根为x=3，此等腰三角形的周长为7
【解析】【分析】(1)根据关于x的方程x2−(m+2)x+(2m−1)=0的根的判别式的符号来证明结论；
(2)根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根，分两种情况进行讨论解答即可．
【详解】解：(1)∵△=(m+2)2−4(2m−1)
=(m−2)2+4
∵(m−2)2≥0 ∴(m−2)2+4>0
∴方程总有两个不相等的实数根
(2)把x=1代入方程得m=2
把m=2代入方程得x1=1，x2=3
∴方程的另一个根为x=3
∵三边为1，1，3不能构成三角形，三边为1，3，3符合
∴此等腰三角形的周长为7．
【点睛】本题综合考查了根的判别式、一元二次方程解的定义．解答(2)时，采用了“分类讨论”的数学思想．
23.【答案】(1)见解析 (2)OE⊥AB，理由见解析
【解析】【分析】(1)根据同圆半径相等得到▵OAB为等腰三角形，即可得出结论；
(2)通过证明▵ACB≌▵BDASAS，推出∠ABC=∠BAD进而证明▵AEC≌▵BEDAAS，得到CE=DE，再通过证明▵CEO≌▵DEOSSS，得到∠COE=∠DOE，根据等腰三角形性质即可得出OE⊥AB．
【小问1详解】
证明：∵OA，OB为以点O为圆心的大圆半径，
∴OA=OB，
∴▵OAB为等腰三角形，
∴∠A=∠B；
【小问2详解】
∵OA，OB为以点O为圆心的大圆半径，OC，OD为以点O为圆心的小圆半径，
∴OA=OB，OC=OD，
∴OA−OC=OB−OD，即AC=BD，
在△ACB与△BDA中，
AC=BD∠OAB=∠OBAAB=BA,
∴▵ACB≌▵BDASAS，
∴∠ABC=∠BAD，
∴∠CAB−∠BAD=∠DBA−∠ABC，即∠CAE=∠DBE，
在▵AEC与▵BED中，
∠AEC=∠BED∠CAE=∠DBEAC=BD,
∴▵AEC≌▵BEDAAS，
∴CE=DE，
在▵CEO与▵DEO中，
OC=ODCE=DEOE=OE,
∴▵CEO≌▵DEOSSS，
∴∠COE=∠DOE，
又∵▵OAB为等腰三角形，
∴OE⊥AB．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理是解答本题的关键．
24.【答案】(1)见解析 (2)DF//BC，理由见解析
【解析】【分析】(1)通过等腰对等角，对顶角相等，垂线性质可以推出∠B=∠C，即可得出结论；
(2)通过直径所对圆周角为直角可得到∠AFD=90∘，根据同位角相等即可得到DF/​/BC．
【小问1详解】
证明：∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵∠AFE=∠CFG，
∴∠AEF=∠CFG，
∵EG⊥BC，
∴∠AEF+∠B=90∘，∠C+∠CFG=90∘，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；
【小问2详解】
如图，连接FD，
∵ED为以点A为圆心的圆的直径，
∴∠AFD=90∘，
∵EG⊥BC，
∴∠EGB=∠EFD=90∘，
∴DF//BC．
【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的判定，等腰三角形的判定，熟练掌握相关定理性质是解答本题的关键．
25.【答案】(1)∠DEA=65∘
(2)CD=185

【解析】【分析】(1)连接AD，求出∠DAE，再利用等腰三角形的性质解决问题即可．
(2)如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F.利用面积法求出AF，再利用勾股定理求出CF，可得结论．
【小问1详解】
解：如图，连接AD．
∵∠BAC=90∘，∠ABC=20∘，
∴∠ACD=70∘．
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=70∘，
∴∠CAD=180∘−70∘−70∘=40∘，
∴∠DAE=90∘−40∘=50∘．
又∵AD=AE，
∴∠DEA=∠ADE=12×(180∘−50∘)=65∘．
【小问2详解】
解：如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．
∵∠BAC=90∘，AC=3，AB=4，
∴BC=5．
又∵12⋅AF⋅BC=12⋅AC⋅AB，
∴AF=12×3×412×5=125，
∴CF= 32−1252=95．
∵AC=AD，AF⊥CD，
∴CD=2CF=185．
【点睛】本题考查垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
26.【答案】(1)1米； (2)①−12a2+25a+168；②a=14．
【解析】【分析】(1)设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可；
(2)①先用a表示出四个直角三角形的面积，从而表示出剩余花草区域的面积；②由①和题目意思列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：设小道进出口的宽度为x米，
依题意得(30−2x)(20−x)=532．
整理，得x2−35x+34=0．
解得，x1=1，x2=34．
∵34>20(不合题意，舍去)，
∴x=1；
答：小道进出口的宽度应为1米；
【小问2详解】
解：①剩余的种植花草区域的面积为：
30−420−2−4×12×1230−a×1220−a
=−12a2+25a+168
②由100−12a2+25a+168=42000，得：
a2−50a+504=0，
解得：a1=14,a2=36(舍去)．
故a=14．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，面积的表示，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程，注意根据实际意义舍根．
27.【答案】(1)60∘
(2)2 6
(3)2 3

【解析】【分析】(1)利用等边三角形性质先证明▵ABD≌▵BCE，得到∠BAF=∠FBD，推出∠AFE=∠ABD即可得出结果；
(2)由(1)可知▵ABD≌▵BCE，得出∠DAC=∠ABE，可证明▵AEF∽▵BEA，根据AEBE=EFAE即可求出AE的长；
(3)当D，E靠近C，A时，CF越来越大，当D，E与C，A时重合时，CF=6，当D，E靠近B，C时，CF越来越大，当D，E与B，C时重合时，CF=6，得出当D，E为BC，AC中点时，CF最小，根据等边三角形性质可得F点为▵ABC的垂心，结合勾股定理可求出AD=AF+12AF=3 3，可以求出AF的长，从而得出结果．
【小问1详解】
解：∵▵ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠C=60∘，
在▵ABD与▵BCE中，
AB=BC∠ABD=∠CBD=CE,
∴▵ABD≌▵BCESAS，
∴∠BAF=∠FBD，
∴∠AFE=∠BAF+∠ABF=∠ABF+∠FBD=∠ABD=60∘；
【小问2详解】
由(1)可知▵ABD≌▵BCE，
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠BAD+∠DAC=∠ABE+∠CBE=60∘，
∴∠DAC=∠ABE，
∵∠AEF=∠BEA，
∴△AEF∽△BEA，
∴AEBE=EFAE，
∴AE2=BE⋅EF=4×6=24，
∴AE= 24=2 6；
【小问3详解】
如图，连接CF，
当D，E靠近C，A时，CF越来越大，当D，E与C，A时重合时，CF=6，
当D，E靠近B，C时，CF越来越大，当D，E与B，C时重合时，CF=6，
∴当D，E为BC，AC中点时，CF最小，
∵▵ABC是等边三角形，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴F点为▵ABC的垂心，
∴CD=12BC=3，
在Rt▵ADC中，AD2+CD2=AC2，
∴AD= 62−32=3 3，
∵▵ABC是等边三角形，F点为▵ABC的垂心，
∴CF垂直平分AB ，∠FCD=12∠ACB=30∘，BE垂直平分AC，
∴AF=CF ，
在Rt▵FDC中，∠FDC=90∘，∠FCD=30∘，
∴FD=12FC，
∴FD=12AF，
∵AD=3 3 ，
∴AD=AF+FD=AF+12AF=3 3，
∴AF=2 3，
∴CF=2 3，
故答案为：2 3．
【点睛】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，根据题意分析出当D，E为BC，AC中点时，CF最小是解答本题的关键．
28.【答案】(1)2
(2)39
(3)485

【解析】【分析】(1)如图1中，作CM⊥AB于点M，由正投影的定义可求解；
(2)如图2中，作CD⊥AB于点D，由正投影的定义可求AD=4，BD=9，通过证明▵ACD∽▵CBD，可得CDBD=ADCD可求CD的长，由面积公式可求解；
(3)如图3中，过点C作CH⊥AD于点H，BK⊥CD于点K，由正投影的定义可求AC=5，AH=3，利用勾股定理求出CH，再利用相似三角形的性质求出CD，DK，即可求解．
【小问1详解】
解：如图1，作CM⊥AB于点M，

∵TAC,AB=3，
∴AM=3，
∵AB=5，
∴BM=5−3=2，
∴TBC,AB=BM=2，
故答案为：2；
【小问2详解】
如图2，作CD⊥AB于点D，

∵TAC,AB=4，TBC,AB=9，
∴AD=4，BD=9，
∵∠ACB=∠CDA=∠CDB=90∘，
∴∠A+∠ACD=90∘，∠ACD+∠BCD=90∘，
∴∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴CDBD=ADCD，
∴CD2=AD⋅BD=36，
∵CD>0，
∴CD=6，
∴S▵ABC=12AB⋅CD=12×4+9×6=39；
【小问3详解】
过点C作CH⊥AD于点H，BK⊥CD于点K，

∵∠ACD=90∘，TAD,AC=5，
∴AC=5，
∵TAC,AB=3，
∴AH=3，
∴CH= AC2−AH2= 52−32=4，
∵TBC,AB=9，CH⊥AB，
∴BH=9，
∴DB=BH−DH=3，
∵CH2=AH⋅DH，
∴DH=163，
∴CD= CH2+DH2= 42+1632=203，
∴BD=BH−DH=9−163=113，
∵∠CDH=∠BDK，∠CHD=∠K=90∘，
∴▵CDH∽▵BDK，
∴DHDK=CDBD，
∴DK=163×113203=4415，
∴CK=CD+DK=485，
∴TBC,CD=CK=485．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积公式，勾股定理，理解并运用正投影的定义是本题的关键．