2023-2024学年福建省福州市屏东中学高一上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省福州市屏东中学高一上学期10月月考数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则集合（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据并集的知识求得正确答案.
【详解】依题意，.
故选：C
2．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据偶次根式被开方数非负、分母不为零，列出不等式组，解出的取值范围，即可得出函数的定义域.
【详解】由题意可得，解得且，
因此，函数的定义域为.
故选：B.
【点睛】本题考查定义域的求解，要结合一些常见的求定义域的基本原则列不等式组求解，考查运算求解能力，属于基础题.
3．下列函数中，为偶函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性的定义，逐项准确判定，即可求解.
【详解】由题意，函数为非奇非偶函数，所以A符合题意；
函数，满足，所以函数为奇函数，所以B不符合题意；
函数，满足，所以函数是偶函数，满足题意；
函数，满足，所以函数为奇函数，所以D不符合题意.
故选C.
【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判定，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义和判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
4．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判断函数单调性，再根据零点存在定理将端点值代入，即可判断零点所在区间.
【详解】由于均为增函数，
所以为定义域上的增函数，
,
根据零点存在定理,
零点在区间内.
故选：C
5．下列各组函数中表示同一函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】D
【分析】根据相等函数的定义域和对应关系相同依次讨论各选项即可得答案.
【详解】对于A选项，定义域为，的定义域为，故不满足条件；
对于B选项，定义域为，的定义域为，，故不满足条件；
对于C选项，定义域为，的定义域为，故不满足条件；
对于D选项，与定义域相同，对应关系相同，故满足条件．
故选：D．
6．下列表示图中的阴影部分的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据交集、并集和补集的定义判断即可.
【详解】
①②③④⑥⑦，②③④⑤⑥⑦，所以②③④⑥⑦，故A正确；
①②③④⑤⑥，所以①②③④⑥，故B错；
①②③④⑤⑥⑦，故C错；
③④⑥，故D错.
故选：A.
7．下列函数在上是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的单调性的定义，结合初等函数的单调性，逐项判定，即可求解.
【详解】根据指数函数的性质，可得函数在为单调递减函数，不符合题意；
根据一次函数的性质，可得函数在为单调递减函数，不符合题意；
根据对数函数的性质，可得函数在为单调递增函数，符合题意；
根据反比例函数的性质，可得函数在为单调递减函数，不符合题意.
故选C.
【点睛】本题主要考查了函数的单调性的判定，其中解答中熟记初等函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
8．函数的图象（ ）
A．关于轴对称
B．关于原点对称
C．关于轴对称
D．关于直线对称
【答案】B
【分析】计算，得出为奇函数，选项B正确，排除其余选项.
【详解】的定义域为，关于原点对称，
，
为奇函数，图象关于原点对称.故选项B正确.
故选：B.
9．已知函数,那么函数是
A．奇函数,且在上是增函数
B．偶函数,且在上是减函数
C．奇函数,且在上是增函数
D．偶函数,且在上是减函数
【答案】D
【详解】试题分析：函数定义域为R，，所以函数为偶函数，当时，函数为减函数，因此D正确
【解析】函数奇偶性单调性
10．已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的表达式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】当，即时，根据当时，，结合函数的奇偶性即可得解.
【详解】解：函数是定义在上的奇函数，，
当时，，
当，即时，.
故选：D.
11．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意得到在上为增函数，且，把不等式转化为，结合函数的性质，分和，两种情况讨论，即可求解.
【详解】由函数在上为增函数，且为奇函数，可得在上为增函数，
又由，可得，
因为不等式，即，
当时，不等式等价于，解得；
当时，不等式等价于，解得，
所以不等式的解集为.
故选：D.
12．对于实数和，定义运算“”：，设，且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据代数式和之间的大小关系，结合题中所给的定义，用分段函数的形式表示函数的解析式，画出函数的图像，利用数形结合求出的取值范围.
【详解】由可得，由 可得，
所以根据题意得，
即，
做出函数的图像如图，
当时，开口向下，对称轴为，
所以当时，函数的最大值为，
函数的图像和直线有三个不同的交点．
可得的取值范围是.
故选：D
二、填空题
13．设集合，全集U＝R，且，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由已知，所以．
因，所以，
即，所以 的取值范围是.
故答案为：.
14．若，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据指数函数的单调性得到关于的不等式，解得即可.
【详解】为减函数，
解得：
故的取值范围为
故答案：
【点睛】知识点点睛：的图象与性质：
当时，的图象在上为减函数；当时，的图象在上为增函数.
15．已知函数在区间内恒有，则函数的单调递减区间是 .
【答案】
【分析】根据题意判断出，要使成立可得，再根据复合函数单调性即可得出其单调递减区间.
【详解】根据题意，由指数函数可知，当时，，
又在区间内恒有，所以可得；
易知函数对于恒成立，
所以函数的定义域为，且函数在上单调递减；
又，根据复合函数单调性可知函数的单调递减区间是.
故答案为：
三、解答题
16．已知全集，，.
(1)求；
(2)求；
(3)求.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据集合并集的概念，即可求解集合的并集；
（2）根据集合交集和补集的概念，即可求解集合的补集集与交集；
（3）先求得，再根据集合补集的概念即可求解.
【详解】（1）;
（2）;
（3）,
17．设全集，集合，，.
(1)求，；
(2)求
(3)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）根据题意，由集合利用交集、并集运算法则即可求得结果；
（2）先求出集合的补集，再计算；
（3）画出数轴，由集合间的包含关系即可得.
【详解】（1）根据交集、并集运算由，可得
，
（2）易知或，或；
由交集运算可得或.
（3）由，画出数轴表示如下：
由图可知，
即实数的取值范围为.
18．已知函数.
(1)判定函数的奇偶性，并加以证明；
(2)判定的单调性（不用证明），并求不等式的解集.
【答案】(1)是奇函数，证明见解析
(2)在定义域上单调递增，
【分析】（1）先求出的定义域并判断定义域是否关于原点对称，然后判断之间的关系即可.
（2）将解析式变形，结合复合函数单调性可知在定义域上单调递增，而由（1）可知的定义域为，且是奇函数，
故不等式等价于不等式组，解不等式组即可.
【详解】（1）是奇函数，理由如下：
由题意，解得，即的定义域关于原点对称，
且，即，
所以是奇函数.
（2）由于，所以由复合函数单调性可知在定义域上单调递增，
由（1）可知的定义域为，且是奇函数，
所以，
因为在定义域上单调递增，
所以有，解不等式组得，即，
所以不等式的解集为.
19．设函数，且．
（1）求的值；
（2）若令，求实数t的取值范围；
（3）将表示成以为自变量的函数，并由此求函数的最大值与最小值及与之对应的x的值．
【答案】（1）6；（2）；（3），此时；，此时．
【分析】（1）根据题目函数的解析式，代入计算函数值；
（2）因为，根据对数函数的单调性求出实数t的取值范围；
（3）根据换元法将函数转化为二次函数，借助二次函数的单调性求出函数取最大值，最小值，接着再求取最值时对应的x的值.
【详解】（1）；
（2），又，，，
所以t的取值范围为；
（3）由，
令，，
当时，，即，解得，
所以，此时；
当时，，即，
，此时．
【点睛】求函数最值和值域的常用方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；
(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
四、证明题
20．已知函数．
(1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
(2)求证：是R上的增函数；
(3)若，求m的取值范围．
参考公式:
【答案】(1)是R上的奇函数，证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义，即可证明；
（2）根据函数单调性定义，证明函数的单调性；
（3）根据函数是奇函数，将不等式转化为，再根据函数的单调性，解不等式.
【详解】（1）函数定义域为R，
因为
所以函数是上的奇函数；
（2）设上任意实数满足，所以，
所以是上的增函数；
（3），
可化为，
因为函数是奇函数，所以
因为函数是上的增函数，
所以，
所以.