2023-2024学年四川省南充市嘉陵第一中学高一上学期11月期中考试数学含答案

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【分析】利用集合的交运算求结果.
【详解】由已知得M=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，且N=1,2,3，故M∩N=1,2,3．
故选：A
2．B
【分析】根据分段函数的解析式先求出f−2的值，在求出ff−2的值即可.
【详解】因为fx=x2−1,x≤11x−1,x>1，
所以f−2=−22−1=3，
所以ff−2=f3=13−1=12，
故选：B.
3．D
【分析】利用特殊值以及差比较法求得正确答案.
【详解】不妨设a=−2,b=−1，则：
1a>1b，A选项错误.
ab>b2，B选项错误.
a2>b2，C选项错误.
由于a+b−2b=a−b<0，所以a+b<2b，D选项正确.
故选：D
4．C
【分析】利用基本不等式求出最小值即得.
【详解】由x>0，得x+4x≥2x⋅4x=4，当且仅当x=4x，即x=2时取等号，
所以当x=2时，x+4x取得最小值4.
故选：C
5．D
【分析】根据函数的奇偶性与单调性逐一判断即可.
【详解】对于A，函数y=x的定义域为0,+∞，
故函数y=x为非奇非偶函数，故A不符题意；
对于B，函数y=fx=x2的定义域为R，
因为f−x=x2=fx，
所以函数y=x2为偶函数，故B不符题意；
对于C，函数y=fx=x的定义域为R，
因为f−x=x=fx，
所以函数y=x为偶函数，故C不符题意；
对于D，函数y=fx=x−1x的定义域为xx≠0，
因为f−x=−x+1x=−fx，
所以函数fx为奇函数，
又因为函数y=x,y=−1x在区间0,+∞上都单调递增，
所以函数y=x−1x在区间0,+∞上单调递增，故D符合题意.
故选：D.
6．A
【分析】根据题意，由g(x)的图像求出g(2)=1，再由fg(2)+1=f(2)求解即可.
【详解】根据题意，由函数y=g(x)的图像，可得g(2)=1，
则fg(2)+1=f(2)=3
故选：A．
7．C
【分析】考虑a=0和a≠0两种情况，根据一次函数和二次函数的单调性计算得到答案.
【详解】函数f(x)=ax2+2(a−2)x在区间-2，+∞上单调递减，
当a=0时，f(x)=−4x，满足条件；
当a≠0时，满足a<0−2a−22a≤−2，解得−2≤a<0.
综上所述：a∈−2,0.
故选：C.
8．B
【分析】根据基本不等式"1"的替换进行求解即可.
【详解】因为正实数x，y满足1x+4y=1，
所以x+y4=1x+4yx+y4=2+y4x+4xy≥2+2y4x⋅4xy=4，
当且仅当y4x=4xy时取等号，即当x=2,y=8时，取等号，
因此要想x+y4只需m>4，
故选：B
9．BCD
【分析】由充分不必要条件求出a的范围即可找到选项.
【详解】因为“x<1”是“x≤a”的充分不必要条件，所以a≥1.
故选：BCD
10．ABD
【分析】根据集合子集个数公式，集合补集的定义，结合整数集的字母表示符号、平方数的性质逐一判断即可.
【详解】A：因为−2是负整数，所以本选项正确；
B：因为A=1,2,3中有三个元素，所以该集合有23=8个子集，故本选项正确；
C：因为xy=x2−1=R,yy=x2−1=yy≥1，所以本选项不正确；
D：因为全集U=x−3所以∁UB=x−3故选：ABD
11．AD
【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A；求出两个函数的定义域可判断B；利用换元法令t=x−1，求出y=t2+t+1的值域可判断C；根据抽象函数定义域的求法可判断D..
【详解】对于A，命题“∀x,y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x,y∈R，x2+y2<0”，故A正确；
对于B，函数fx=x−1的定义域为x∈R，函数gx=x2−1x+1的定义域为x|x≠−1，
两个函数的定义域不一样，所以两个函数不是同一个函数，故B错误；
对于C，函数y=x+x−1的定义域为1,+∞，
函数y=x+x−1=x−12+x−1+1，令t=x−1，则t≥0，
所以y=t2+t+1=t+122+34≥1，所以函数y=x+x−1的值域为1,+∞，故C错误；
对于D，若函数fx+1的定义域为1,4，可得2≤x+1≤5，则函数fx的定义域为2,5，故D正确.
故选：AD.
12．BD
【分析】利用已知结论求出m2(3−m)的最大值进行判断，为此需凑出三个正数的和为定值．
【详解】根据题意可得m23−m=4×12m×12m3−m≤412m+12m+3−m33=4，
当且仅当12m=3−m，即m=2时，等号成立．故m23−m的最大值为4．
从而AC不可能，BD可以取．
故选：BD．
13．1
【分析】设出幂函数解析式，代入2,1，求出解析式，得到f4的值.
【详解】设幂函数fx=xα，则2α=1，故α=0，
所以fx=x0，f4=1.
故答案为：1
14．1
【分析】根据偶函数的性质即可求得答案.
【详解】由题意f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)=2x−3，
则f(−2)=f(2)=2×2−3=1，
故答案为：1
15．2
【分析】根据条件，将问题转成x2≥m−2在区间−1,1上恒成立，构造函数y=x2，求出y在区间−1,1上的最小值即可求出结果.
【详解】因为对∀x∈−1,1，x2+2−m≥0恒成立，
即x2≥m−2在区间−1,1上恒成立，
令y=x2，易知，当x∈−1,1时，y≥0，所以m−2≤0，得到m≤2，
故答案为：2.
16.【答案】
【解析】
【分析】由平均值函数的定义可得时，有，即在上有解，化简可得，由此方程的根在内，可求出实数t的取值范围
【详解】由平均值函数的定义可得时，有，即在上有解，，得，从而可得，
令，，
因为函数的对称轴为，抛物线开口向上，
所以只要，即，解得，
所以实数t的取值范围为，
故答案为：
17．(1)xx≤3或x>4
(2)x−1≤x≤3
【分析】（1）根据并集概念进行计算；
（2）先求出∁UB=x−1≤x≤4，进而利用交集概念进行计算.
【详解】（1）A∪B=x|−2≤x≤3∪xx<−1或x>4 =xx≤3或x>4；
（2）∁UB=x−1≤x≤4，
A∩∁UB=x|−2≤x≤3∩x−1≤x≤4=x−1≤x≤3
18．(1)a=1，b=−2
(2)证明见解析
【分析】（1）依题意−1、2为方程ax2−x+b=0的两根，利用韦达定理得到方程，解得即可；
（2）依题意可得a+b=2，则(a+1)+(b+1)4=1，再利用基本不等式证明即可.
【详解】（1）因为关于x的不等式ax2−x+b<0的解集为(−1,2)，
所以−1、2为方程ax2−x+b=0的两根，
所以−1+2=1a−1×2=ba，解得a=1b=−2.
（2）因为f(1)=1，则a−1+b=1，即a+b=2，
∴(a+1)+(b+1)=4，则(a+1)+(b+1)4=1，
所以1a+1+1b+1 =1a+1+1b+1(a+1)+(b+1)4，
设a+1=m，b+1=n，
因为a>0，b>0，所以m>1，n>1，
所以(1m+1n)(m4+n4)=14(1+nm+mn+1)=14(2+nm+mn)≥14(2+nm⋅mn)=1，
当且仅当nm=mn，即m=n=2时取等号，
∴1a+1+1b+1≥1当且仅当a=b=1时取等号.
19．(1)证明见解析；
(2)−12,0
【分析】（1）根据题意，利用定义法证明函数fx的单调性即可；
（2）根据题意，由（1）中的结论，根据函数的单调性列出不等式，求解即可得到结果.
【详解】（1）任取x1，x2∈−2,2，且x1因为−20，x1x2−4<0，所以fx1−fx2<0，即fx1所以函数fx在−2,2上为增函数．
（2）由（1）知fx在−2,2上为增函数．
又fa+2>f2a−1，所以−22a−1,解得−4所以实数a的取值范围是−12,0．
20．(1)fx=x+30(1≤x≤20,x∈N)−2x+90(21≤x≤30,x∈N)
(2)该产品投放市场第10天，日销售额最高为1600元.
【分析】（1）分前20天和后10天分别去求，即可得到分段函数fx关于时间x的函数表达式；
（2）分前20天和后10天分别去求日销售额最高，二者中的较大者即为所求日销售额最高者，从而得到该产品投放市场第10天，日销售额最高.
【详解】（1）前20天设fx=k1x+b1，
由4k1+b1=3412k1+b1=42，解得k1=1b1=30，则fx=x+30(1≤x≤20,x∈N)
后10天设fx=k2x+b2，
由20k2+b2=5028k2+b2=34，解得k2=−2b2=90，则fx=−2x+90(21≤x≤30,x∈N)
综上，fx=x+30(1≤x≤20,x∈N)−2x+90(21≤x≤30,x∈N)
（2）设日销售额为ℎx=f(x)g(x)
当1≤x≤20时，
ℎx=(x+30)(−x+50)=−(x−10)2+1600≤1600（当且仅当x=10时等号成立）
当21≤x≤30时，
ℎx=(−2x+90)(−x+50)=2(x−952)2−252≤1392（当且仅当x=21时等号成立）
1600>1392，故该产品投放市场第10天，日销售额最高为1600元.
21．(1)f2+f12=1，f3+f13=1
(2)结论fx+f1x=1；证明见解析
(3)40412
【分析】（1）根据函数的解析式，代入计算，即可求解；
（2）根据函数的解析式，代入运算，即可得到fx+f1x=1；
（3）根据fx+f1x=1，结合分组求和，即可求解.
(1)
解：由题意，函数fx=x21+x2x≠0，
f2+f12=221+22+1221+122=1，f3+f13=321+32+1321+132=1．
(2)
解：由（1），得结论fx+f1x=1．
证明如下：
由fx+f1x=x21+x2+1x21+1x2=x21+x2+11+x2=1+x21+x2=1．
(3)
解：由f1+f2+f3+⋅⋅⋅+f2021+f12+f13+⋅⋅⋅+f12021
=f1+f2+f12+f3+f13+⋅⋅⋅+f2021+f12021
=12+2020=40412．
22．（1）t≤−1或t=0或t≥1；（2）a≤−2或a>52.
【详解】（1）
（2）因为∀x∈R，(x−1)2=1+x2−2x≥0，所以1+x2≥2x，
所以∀x∈R，2x1+x2≤1，故f(x)max=4，
要使对任意x∈R，a∈[−1,1]，不等式f(x)≤g(t)+3恒成立，只需f(x)max≤t2−at+4，
所以t2−at+4≥4，即−ta+t2≥0.
记ℎ(a)=−ta+t2，因为a∈[−1,1]，所以只需{ℎ(−1)≥0ℎ(1)≥0,，即{t2+t≥0t2−t≥0，
解得t≤−1或t=0或t≥1.
故t的取值范围为t≤−1或t=0或t≥1.