2023-2024学年江苏省徐州市第一中学高二上学期期中数学试题含答案

2023-2024学年江苏省徐州市第一中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线的倾斜角是A． B． C． D．【答案】D【解析】由方程得到斜率，然后可得其倾斜角.【详解】因为直线的斜率为所以其倾斜角为故选：D2．通过椭圆的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于（    ）A． B．3 C． D．6【答案】B【分析】根据椭圆方程写出一条过焦点且垂直于x轴的直线，代入椭圆方程求交点纵坐标，即可得弦长.【详解】由题设，不妨设过焦点且垂直于x轴的直线，代入椭圆方程得，可得，故被椭圆截得的弦长等于.故选：B3．双曲线的焦点到渐近线的距离为　　A．1 B． C．2 D．3【答案】A【分析】分别求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式，能求出结果．【详解】双曲线中，焦点坐标为，渐近线方程为：，双曲线的焦点到渐近线的距离：．故选A．【点睛】本题考查双曲线的焦点到渐近线的距离的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质．4．设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，则A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：由题意，得．又因为，故直线AB的方程为，与抛物线联立，得，设，由抛物线定义得，，选C．【解析】1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义．5．许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知下面左图是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，右图是其中截面最细附近处的部分图象.上、下底面与地面平行.现测得下底直径米，上底直径米，与间的距离为80米，与上下底面等距离的处的直径等于，则最细部分处的直径为（     ）A．10米 B．20米 C．米 D．米【答案】B【分析】利用题中的条件，建立直角坐标系，可以求出双曲线的标准方程，即可解出．【详解】解：建立如图的坐标系，依题意，与间的距离为80米，与上下底面等距离的处的直径等于，根据双曲线的对称性，点与点的纵坐标互为相反数，所以，则由题意可知，，，，设双曲线方程为：，，解得，，，故选：．6．若圆上恰有三点到直线的距离为2，则的值为A．或2 B．或 C．2 D．【答案】D【详解】把圆的方程化为标准方程得：（x-1）2+（y-3）2=9，得到圆心坐标为（1，3），半径r=3，若圆上恰有三点到直线的距离为2，则圆心到直线的距离为1，即，解得k=故选D7．已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．【详解】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，当直线时，， ，此时最小．∴即 ，由解得， ．所以以为直径的圆的方程为，即 ，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．8．已知是椭圆的左焦点，直线与该椭圆相交于两点，是坐标原点，是线段的中点，线段的中垂线与轴的交点在线段上．该椭圆离心率的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设的中点为，中垂线与轴交于点，将代入椭圆方程可的韦达定理的形式，利用韦达定理可表示出点坐标，由此可得直线方程，求得点坐标，由在线段上可构造的齐次不等式求得结果.【详解】设的中点为，中垂线与轴交于点，设，，由得：，，，，，，直线方程为：，令，解得：，即，在线段上，，整理可得：，即，又椭圆离心率，，即椭圆离心率的取值范围为.故选：A.【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种：（1）根据已知条件，求解得到的值或取值范围，由求得结果；（2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率，从而得到结果.二、多选题9．已知a为实数，若三条直线和不能围成三角形，则a的值为（    ）A． B．1 C． D．【答案】ACD【分析】当三条直线交于一点时，不能围成三角形，当三条直线中有平行直线时，不能围成三角形，从而可求出a的值【详解】当三条直线交于一点时，由，解得，所以交点为，所以，得，当直线与平行时，，得，当直线与平行时，，得，所以当，或，或时，三条直线不能围成三角形，故选：ACD10．若方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（    ）A．若曲线为双曲线，则或B．若曲线为椭圆，则C．曲线可能是圆D．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则【答案】ACD【分析】利用方程表示双曲线求解的取值范围可判断A；方程表示椭圆求解可判断B；方程是否表示圆可判断C；方程表示焦点在轴上的椭圆求解可判断D.【详解】对于A，方程表示双曲线，则，解得或，故A正确；对于B，方程表示椭圆，则，解得且，故B错误；对于C，当时，方程表示圆，故C正确；对于D，方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，故D正确；故选：ACD11．如图，已知椭圆的左､右顶点分别是，上顶点为，在椭圆上任取一点，连结交直线于点，连结交于点(是坐标原点)，则下列结论正确的是（ ）A．为定值 B．C． D．的最大值为【答案】ABC【分析】设点的坐标为，，而，从而可求出直线的斜率，进而可得直线的方程，令，求出的值，可得点的坐标，然后可求出的斜率，进而可对选项A，B，C进行判断，求出直线，的方程，两方程联立可求出点的坐标，从而可表示出的长，进而可判断其最值【详解】解：椭圆的左右顶点分别，因为点在椭圆上，所以设点的坐标为，，对于A，，所以A正确；对于B，因为，所以直线为，令，得，所以点的坐标为，所以，所以，所以B正确；对于C，因为，所以，所以，所以C正确；对于D，直线为，直线为，由两直线的方程联立方程组，解得，所以点的坐标为，因为，所以当时，所以的最大值为错误，故选：ABC【点睛】关键点点睛：此题考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是设出点的坐标为，，然后求出直线的斜率，直线的方程，从而可求出点的坐标，再分析判断即可，属于中档题12．已知抛物线：，过点的直线交于，两点，为坐标原点，则下列说法正确的有（    ）A．若直线的斜率为2，则的面积为12B．的最小值为C．D．若，则【答案】BD【分析】联立直线与抛物线方程，根据韦达定理,结合弦长公式，即可判断ABC,利用斜率关系得，进而得，即可判断D.【详解】若直线的斜率为2，则直线的方程为，即，设，，由 得，所以，，所以的面积，故A错误；由题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，由得，所以，，所以，当且仅当时等号成立，故B正确；，同理，可得，则，故C错误；，即，所以，故D正确．故选:BD．三、填空题13．已知为等差数列的前n项和，且满足，，则 .【答案】92【分析】根据已知条件求得等差数列的首项和公差，从而求得.【详解】设等差数列的公差为，则，，所以.故答案为：14．已知直线截圆所得两段圆弧的弧长之比为1：2，则 ．【答案】0或/或0【分析】利用圆的性质可得圆心到直线的距离为半径的一半，然后利用点到直线的距离公式即求.【详解】由可知圆心为，半径为2，设直线与圆交于A、B两点，又直线截圆所得两段圆弧的弧长之比为1：2，∴，∴圆心到直线的距离为半径的一半，∴，解得或.故答案为：0或.15．设双曲线的右焦点是，左、右顶点分别是，，过点作轴的垂线与双曲线交于，两点，若，则该双曲线的渐近线的斜率为 ．【答案】【分析】不妨设点在第一象限，得，，，的坐标，再由，得，根据向量的数量积运算，得a，b，c的关系，从而可得答案.【详解】解：不妨设点在第一象限，则，，，，所以，．因为，所以，所以，又，所以整理得，所以该双曲线渐近线的斜率．故答案为：.16．若正方形ABCD的一条边在直线上，另外两个顶点在抛物线上.则该正方形面积的最小值为 .【答案】80【分析】位于抛物线上的两个顶点坐标为、，则CD所在直线的方程联立直线和抛物线得到横坐标，，由点点距公式得到根据点线距离公式得到，联立两式得到a的最值，进而得到面积最值.【详解】设正方形的边AB在直线上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为、，则CD所在直线的方程将直线的方程与抛物线方程联立，得令正方形边长为则①在上任取一点（6，,5），它到直线的距离为②.联立两式解得或故答案为80.【点睛】在处理直线和圆锥曲线的位置关系时，往往先根据题意合理设出直线方程，再联立直线和圆锥曲线方程，但要注意“直线不存在斜率”的特殊情况，如本题中利用直线不存在斜率时探究其定点，给一般情形找到了目标.四、解答题17．等差数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）求满足不等式的的值.【答案】（1）；（2）2，3，4.【分析】(1) 设数列的公差为,再根据基本量方法求解即可.(2)先根据等差数列的求和公式求解,再利用二次不等式的方法求解即可.【详解】（1）设数列的公差为,由,得①.由,得②,解得,,所以；（2）因为,,所以,由不等式,得,所以,解得,因为,所以的值为2,3,4.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量法运用以及求和等,属于基础题.18．已知圆C：与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M．(1)求圆C的圆心坐标及半径；(2)求满足的点P的轨迹方程．【答案】(1)，半径为1(2)【分析】（1）将圆的方程化为标准方程，根据与轴相切求出可得；（2）设，根据已知结合距离公式可求出.【详解】（1）圆的方程可化为，因为圆与轴相切，所以，解得，所以圆心为，半径为1；（2）设，则，，因为，所以，即，化简可得点P的轨迹方程为.19．若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点．(1)求椭圆的方程；(2)不过原点的直线与椭圆交于，两点，当的面积为时，求直线的方程．【答案】(1)(2)， .【分析】（1）根据所给的条件，即可求出椭圆方程；（2）联立直线与椭圆方程，用面积公式和弦长公式即可求出m.【详解】（1）抛物线的焦点为，双曲线的焦点为或，依题意可得，又，所以，所以椭圆方程为；（2）根据题意，设点，，联立直线方程与椭圆方程可得，，消去得，，即得，，由弦长公式可得，由点到直线距离公式可得，点到直线的距离即为，，所以， 当且仅当，即时，面积取得最大值为，此时直线的方程为.20．已知抛物线C： y2=2px (p>0)，过抛物线的焦点F且垂直于x轴的直线交抛物线于不同的两点A，B, 且(1)求抛物线C的方程；(2)若不经过坐标原点O的直线与抛物线C相交于不同的两点M，N, 且满足.证明直线过x轴上一定点Q，并求出点Q的坐标.【答案】(1)(2)证明见解析，【分析】（1）由题意可得直线AB方程，进而可得，可求得p值，即可得答案.（2）设直线l的方程为，，，联立直线与抛物线，根据韦达定理，可得，表达式，根据，可得，代入计算，即可求得n值，分析即可得答案.【详解】（1）由已知A，B两点所在的直线方程为则，故．抛物线C的方程为．（2）由题意，直线l不与y轴垂直，设直线l的方程为，，，联立，消去x，得．，，，，，又，，，解得或而，此时直线l的方程为，故直线l过定点．21．已知双曲线的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线.(1)求双曲线的标准方程；(2)记双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于点(点在第一象限)，记直线斜率为，直线斜率为，求的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由虚轴长为，和渐近线方程为，求得和的值，即可；（2）设直线的方程为，将其与双曲线的方程联立，得到关于的一元二次方程，再结合韦达定理和直线的斜率公式，计算的值，即可．【详解】（1）∵虚轴长为4，∴，即，∵直线为双曲线C的一条渐近线，∴，∴，故双曲线C的标准方程为.（2）由题意知，，，由题可知，直线斜率不能为零，故可设直线的方程为，设，，联立，得，，，，直线的斜率，直线的斜率，．22．已知如图椭圆的左右顶点为、，上下顶点为、，记四边形的内切圆为．（1）求圆的标准方程；（2）已知P为椭圆上任意一点，过点P作圆的切线分别交椭圆于M、N两点，试求三角形面积的最小值．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）因为、分别为椭圆的右顶点和上顶点，则，坐标分别为，可得直线方程为：，则原点O到直线的距离为，即圆的半径，故圆的标准方程为．（2）设直线方程为，由直线与圆相切，可知原点O到直线距离，整理可得，将直线方程代入椭圆可得，整理即有，则，即，故．同理，故M、O、N三点共线，则．设代入椭圆方程可得，则，故，同理，则，则，得，则，当且仅当时等号成立，故三角形面积的最小值为．