2023-2024学年四川省眉山市仁寿第一中学南校区高二上学期期中数学试题含答案

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单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 直线的倾斜角为（ A ）
A. B. C. D. 不存在
2．如图，在平行六面体中，M是与的交点，若，，，且，则（ A ）
A．2B．C．0D．
3．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的．若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至多有1人投中的概率为（ C ）
A．B．C．D．
4．已知直线，，则“”是“”的（ A ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5. 若椭圆的离心率为e，则e的值为（ C ）
A. B.2 C. D.
6．在平面直角坐标系中，设点,点M在单位圆上，则使得为直角三角形的点M的个数是（ D ）
A．1B．2C．3D．4
7．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ B ）
A． B． C． D．
8．如图，正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面.记与平面所成角为，与所成角为，则（ D ）
A．B． C．D．
多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
9．掷一枚均匀的硬币两次，记事件A＝“第一次出现正面”，B＝“第二次出现反面”，则有( AD )
A．A与B相互独立 B．P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
C．A与B互斥 D．P(AB)＝eq \f(1,4)
10．下列说法正确的是（ AB ）
A．直线必过定点
B．过点作圆的切线，切线方程为
C．经过点，倾斜角为的直线方程为
D．直线的方向向量
11．如图，已知正方体的棱长为2，M、N分别是的中点，平面与棱的交点为E，点F为线段上的动点，则下列说法正确的是（BCD）
A．CE＝EC1
B．三棱锥B1﹣A1MN体积为
C．若D1F＝，则BF∥平面A1MN
D．若D1F＝1，则直线BF与A1N所成角的正弦值为
12．已知平面内到两个定点 的距离之比为定值的点的轨迹是圆. 在平面直角坐标系中， 已知， 若， 则下列结论正确的是（ ACD ）
A.点 的轨迹所包围的图形的面积等于
B.当 不共线时，面积的最大值是 6
C.当 三点不共线时， 射线是的平分线
D.若点 ， 则的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.点关于的对称点为 (1,2)
14．在三棱锥中，，，，则异面直线OB与AC所成的角是 60°
15.数据1，2，7，3，4，5，3，6的分位数是5.则的取值范围是 (58,34)
16．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，
收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．考
虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指
每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即
为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，
则译码为1),采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为 .
采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或步骤.
17．已知直线经过点．
(1) 若直线与直线平行，求的直线方程；
(2) 若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.
解：（1）x−2y+5=0
（2）2x+y=0或x+y−1=0
18. 已知椭圆：，其中一个焦点坐标是，长轴长是短轴长的2倍.
（1）求的方程；
（2）设直线：与交于,两点，若，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意得，，，
解得，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）解：设，的坐标为，，依题意得，
联立方程组消去，得．
，，，，
，
∵，∴，，
所以，.
19.如图，在正四棱柱中，，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
如图，在正四棱柱中，，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）法一：如图1，连接与交于点，连接，
因为为棱的中点，为棱的中点，所以，且，
由为正四棱柱，可知，且，
所以且，故四边形为平行四边形，
所以，又因为平面平面，
所以平面.

法二：如图2，取中点为，连接，由于分别为的中点，则，则四点共面；
因为分别为中点，则有且，
而且，故且，
故为平行四边形，所以，
又因为平面平面，
所以平面.

法三：如图：

取AB中点M，连接MF、AC、ME、，则，
又平面，平面，所以平面.
，，故为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面.
又，平面，平面，
所以平面平面.
又平面，所以平面.
（2）设正四棱柱底面边长为2，则侧棱长为4，
分别以为轴正方向建立空间直角坐标系，

则，
则，
设平面的一个法向量为，
则有，，取，
设直线与平面所成角为，
则.
20．在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1到5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．
(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X≥2”的事件概率．
【解析】 (1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，观众甲选出3名歌手的样本空间Ω＝{(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)}，事件A包含2个样本点，则P(A)＝eq \f(2,3)，
设B表示事件“观众乙选中3号歌手”， 观众乙选出3名歌手的样本空间
Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，事件B包含6个样本点，则P(B)＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5).
∵事件A与B相互独立，A与eq \x\t(B)相互独立，则Aeq \x\t(B)表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”．∴P(Aeq \x\t(B))＝P(A)·P(eq \x\t(B))＝P(A)·[1－P(B)]＝eq \f(2,3)×eq \f(2,5)＝eq \f(4,15).
即观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率是eq \f(4,15).
(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)＝P(B)＝eq \f(3,5)，
依题意，A，B，C相互独立，eq \x\t(A)，eq \x\t(B)，eq \x\t(C)相互独立，
且ABeq \x\t(C)，Aeq \x\t(B)C，eq \x\t(A)BC，ABC彼此互斥．
又P(X＝2)＝P(ABeq \x\t(C))＋P(Aeq \x\t(B)C)＋P(eq \x\t(A)BC)＝eq \f(2,3)×eq \f(3,5)×eq \f(2,5)＋eq \f(2,3)×eq \f(2,5)×eq \f(3,5)＋eq \f(1,3)×eq \f(3,5)×eq \f(3,5)＝eq \f(33,75)，
P(X＝3)＝P(ABC)＝eq \f(2,3)×eq \f(3,5)×eq \f(3,5)＝eq \f(18,75)，
∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq \f(33,75)＋eq \f(18,75)＝eq \f(17,25).
21．如图，在直三棱柱中，平面侧面，且.
(1)求证：；
(2)若BC=2，请问在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在请求出的位置，不存在请说明理由.
【解析】（1）证明：连接交于点，
因，则
由平面侧面，且平面侧面，
得平面，又平面，所以.
三棱柱是直三棱柱，则底面ABC，所以.
又，从而侧面，
又侧面，故.
（2）假设在线段上存在一点E，使得二面角的大小为,
由是直三棱柱，所以以点A为原点，以AC､所在直线分别为y，z轴,以过A点和AC垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
且设， ，
得
所以，
设平面的一个法向量，由，得：
，取,
由（1）知平面，所以平面的一个法向量,
所以，解得,
∴点E为线段中点时，二面角的大小为.
22．如图，已知圆，为直线上一动点，为坐标原点，过点作圆的两条切线，切点分别为，.
(1)证明直线过定点，并求出定点的坐标；
(2)求线段中点的轨迹方程；
(3)若两条切线，与轴分别交于点，，求的最小值.
【答案】(1)证明见解析，定点；
(2)
(3)
【解析】（1）由题，圆的圆心坐标，半径为1，
所以，，，
故以为圆心，为半径的圆的方程为，
显然线段为圆和圆的公共弦，
则直线的方程为，
即，所以，
所以直线过定点；
（2）由（1）知，直线过定点，的中点为直线与直线的交点，
设的中点为，直线过的定点为，
易知始终垂直于，所以点的轨迹是以为直径的圆，
，，
∴点的轨迹方程为；

（3）设过点P的圆M的切线方程为，即，
故到直线的距离，即，
设，的斜率分别为，，则，，
把代入，得，
则，
故当时，取得最小值为.