2023-2024学年河北省衡水市第二中学高二上学期四调数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河北省衡水市第二中学高二上学期四调数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．双曲线与椭圆的焦点相同，则a等于（ ）
A．1B．—2C．1或—2D．2
【答案】A
【分析】依题意，可知双曲线是焦点在轴上的曲线，且，又双曲线与椭圆的焦点相同，可得，且，求解即可.
【详解】解：依题意，双曲线的焦点在轴上，
，即，
又双曲线与椭圆的焦点相同，
，且，
解得：.
故选：A.
2．已知双曲线的一条渐近线倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由双曲线方程可得渐近线方程，根据倾斜角可得渐近线斜率，由此构造方程求得结果.
【详解】由双曲线方程可知：，渐近线方程为：，
一条渐近线的倾斜角为，，解得：.
故选：D
【点睛】本题考查根据双曲线渐近线倾斜角求解参数值的问题，关键是明确直线倾斜角与斜率的关系；易错点是忽略方程表示双曲线对于的范围的要求.
3．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥处各有一窗户，两窗户的水平距离为，如图2，则此抛物线顶端到连桥的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立适当坐标系，设点与的坐标，设抛物线方程为：，列出方程组，求解，即可得出结果.
【详解】建系如图，设抛物线方程为：，
由题意设，，
则，
解得：，.
所以此拋物线顶端到连桥的距离为：.
故选：B.
4．已知，分别是双曲线的左、右两个焦点，点在双曲线的右支上，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用双曲线的定义求出 ， ， ，利用余弦定理得出结果即可.
【详解】由题意可得 ，
由双曲线的定义得 ，而 ，
解得 ，
由余弦定理得
所以 .
故选：A.
5．过椭圆左焦点F作x轴的垂线，交椭圆于P，Q两点，A是椭圆与x轴正半轴的交点，且，则该椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的几何特征得到，再由求解.
【详解】由题意得：，
因为，
所以，即，
即，
即，
解得，
故选：A
6．如图，抛物线的焦点为F，准线与y轴交于点D，O为坐标原点，P是抛物线上一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别过作轴与准线的垂线，再根据结合抛物线的性质计算即可
【详解】
如图，过P作PH垂直轴于H，过P作PB垂直准线于B，设，则因为，结合抛物线的基本性质有，，.所以
故选：C
7．已知抛物线：（）的焦点为，点在上，且，若点的坐标为，且，则的方程为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】A
【分析】设为，得到，，得到，由，联立方程组求得，结合，求得的值，即可求解.
【详解】设为，则，
又由，所以，
因为，所以，可得，
由，联立方程组，消去，可得，所以，故，
又由，所以，即，解得或，
所以的方程为或．
故选：A．
8．已知双曲线：的右焦点为，点，若双曲线的左支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据双曲线定义可得，，即，进而推得，得到不等式，求解即可得到的取值范围，进而求得离心率的范围.
【详解】
设双曲线左焦点为，因为点在双曲线左支上，所以有，
即.
由已知得，存在点，使得，即，显然，所以.
又，即当点位于图中位置时，等号成立，
所以，又，
所以，整理可得，，解得或（舍去），
所以，则，则，所以，
所以.
故选：C.
二、多选题
9．已知双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确的是（ ）
A．的离心率为B．的标准方程为
C．的渐近线方程为D．直线经过的一个焦点
【答案】AD
【分析】依题意可得，再根据两条渐近线的夹角为及，即可求出双曲线的方程、离心率、渐近线及焦点坐标；
【详解】依题意得，则，因为两条渐近线的夹角为，
所以两条渐近线的倾斜角分别为，所以，所以，
所以双曲线方程为，
所以离心率，渐近线方程为，焦点坐标为、，
显然直线过点；
故选：AD
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点，若的最大值为5，则（ ）
A．椭圆的短轴长为B．当最大时，
C．离心率为D．的最小值为3
【答案】BD
【分析】根据条件和椭圆性质确定椭圆方程，再根据方程分别计算每个选项.
【详解】
依题意：，设椭圆的半焦距为c，由椭圆的定义可知：，
，当最大为5时，最小为3，即椭圆的通径为3；
令代入椭圆方程得：椭圆的通径为，
又，代入上式解得，所以椭圆短轴长为，A选项错误；
当最大时，最小，即直线AB过点，A，B点关于x轴对称， ，B选项正确；
，C选项错误；D选项正确；
故选：BD.
11．已知曲线上任意一点到直线的距离比它到点的距离大，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．若曲线上的一点到点的距离为，则点的纵坐标是4
C．已知曲线上的两点，到点的距离之和为10，则线段的中点横坐标是
D．已知，是曲线上的动点，则的最小值为5
【答案】AD
【分析】选项A根据抛物线的定义可判断；
选项B根据到点的距离为，得到点的横坐标，进而可得点的纵坐标是；
选项C根据曲线上的两点，到点的距离之和为10，可得，进而可得线段的中点横坐标；
选项D根据抛物线的定义的最小值为点到直线的距离为.
【详解】选项A：因为曲线上任意一点到直线的距离比它到点的距离大，
所有曲线上任意一点到直线的距离与它到点的距离相等，
根据抛物线的定义可知曲线的方程为：，故A正确；
选项B：由题意，故到直线的距离为，故，
代入可得，故B错误；
选项C：由曲线上的两点，到点的距离之和为10，
所以，得，故线段的中点横坐标是3，故C错误；
选项D：
如图，由抛物线的定义即为点到直线的距离，
故的最小值即为点到直线的距离为，故D正确，
故选：AD
12．抛物线的焦点为F，直线l过点F，斜率，且交抛物线C于A，B(点A在x轴的下方)两点，抛物线的准线为m，于，于，下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．
C．若，则D．
【答案】ABD
【解析】对A，延长，交准线于，根据相似得出即可求解；对B，联立直线与抛物线，利用韦达定理即可求解；对C，将B中k换为1，利用弦长公式即可求出；对D，利用，可得.
【详解】延长，交准线于.
设，，，
则，
故，故，A正确；
设，联立直线与抛物线，
得，，
，故B正确；
若，则，，故C错误；
，，
，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】本题考查抛物线焦点弦问题，解题的关键是正确理解抛物线的定义，利用定义得出线段关系求解.
三、填空题
13．已知抛物线的准线方程为，则实数 ．
【答案】
【分析】将抛物线化为标准形式，则其准线为.
【详解】由可得，则其准线为：，得.
故答案为：
14．已知椭圆的离心率为，为椭圆上的一个动点，定点，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据题意，求得椭圆的方程为，设，则，由，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由椭圆的离心率为，
可得，解得，所以椭圆的方程为，
设，则，
因为，当时，可得取得最大值，最大值为，
所以的最大值为.
故答案为：.
15．设抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设，与相交于点D．若，则的面积为 ．
【答案】
【分析】根据抛物线的定义可得四边形ABCD为平行四边形，进而可求出点坐标，即可求解.
【详解】如图所示，由已知，．得．
因为轴，， ，
所以四边形ABCD为平行四边形，且，
所以，解得，
代入得，
所以．
故答案为：.
四、双空题
16．已知点为双曲线（，）在第一象限上一点，点为双曲线的右焦点，为坐标原点，，则双曲线的离心率为 ；若，分别交双曲线于，两点，记直线与的斜率分别为，，则 .
【答案】 4 30
【分析】利用等腰三角形的性质和勾股定理，可以求出点的坐标，然后代入双曲线方程，利用，得出关于和的齐次方程，求出离心率的值；设和的坐标，利用点差法和斜率公式，求得，根据，求出的值，从而求出的值.
【详解】设，，
，，，为等腰三角形，
由等腰三角形性质可得 ，
把点坐标代入双曲线方程得，，，
又，，，等式两边同除以得，，即，
解得或；
又，（舍去），，.
设，，，和在双曲线上，
把和代入双曲线方程得，，
两式相减得，，即；
，，，
∵，，，，即.
故答案为：4；30
五、解答题
17．（1）求符合下列条件的双曲线的标准方程：
①顶点在轴上，两顶点间的距离是8，；
②渐近线方程是，虚轴长为4.
（2）斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于、两点．求线段的长．
【答案】（1）①；②或；（2）
【分析】（1）根据双曲线的性质求解即可；
（2）由抛物线方程可得，进而得到直线的方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及抛物线的弦长公式求解即可.
【详解】（1）①由题意，，解得，，则，
所以双曲线的标准方程为.
②由题意，当双曲线焦点在轴上时，，解得，，
所以双曲线的标准方程为；
当双曲线焦点在轴上时，，解得，，
所以双曲线的标准方程为.
综上所述，双曲线的标准方程为或.
（2）由题意，抛物线的焦点，，
则直线的方程为，设，，
联立，得，
所以，
所以.
18．已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的标准方程及其准线方程；
(2)过点的直线交抛物线于A、两点，为坐标原点，记直线，的斜率分别为，，求的值．
【答案】(1)抛物线标准方程为，准线方程为．
(2)
【分析】（1）已知点坐标代入求出值后可得结论；
（2）设直线方程为，设，直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理得，然后计算即得．
【详解】（1）由题意，，
所以抛物线标准方程为，准线方程为．
（2）由已知所作直线的斜率不为0，因此设直线方程为，设，
由得，显然，
，，
则，
所以．
19．已知椭圆的离心率为，一个顶点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线与椭圆的另一个交点为，且，求点的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆中的关系求解即可；（2）先利用求出点的轨迹方程，然后求点的轨迹方程与椭圆的交点即可，求值的时候一定要注意变量范围.
【详解】（1）由题可知；，又因为，解得
所以椭圆的方程为
（2）设，因为，所以有，
则点为椭圆与圆的交点，
联立，解得或（舍去，因为）
所以有或，故点的坐标为
20．设双曲线C： 与直线l：相交于两个不同的点A、B．
（1）求实数a的取值范围；
（2）设直线l与y轴的交点为P，若，求a的值．
【答案】（1）且；（2）．
【分析】（1）联立直线与双曲线方程，根据题设得，即可求a的范围；
（2）设，由向量线性关系的坐标表示可得，结合（1）利用根与系数关系列方程求a的值.
【详解】（1）将代入双曲线方程 中得.
依题意，，
∴且．
（2）设，由，
∴，得．
由于是方程的两根，且，
∴，，消去得．
由，解得．
21．已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的右焦点作不与两坐标轴重合的直线，与交于不同的两点，，线段的中垂线与轴相交于点，求（为原点）的最小值，并求此时直线的方程.
【答案】(1)
(2)24，或.
【分析】（1）利用长轴长及给定的点求出a，b即可作答.
（2）设出直线l的方程，与椭圆E的方程联立，求出弦中点坐标及弦长，再求出点T的纵坐标并列式，借助均值不等式求解作答.
【详解】（1）因为椭圆E：的长轴长为4，所以，
又点在椭圆上，所以，解得，
所以椭圆E的方程为.
（2）由（1）知，，设直线l的方程为，，
由消去x并整理得：，则，，
，
线段MN的中点，则线段的中垂线方程为：，
令，得，即点，，
当且仅当，即时取“=”，所以当时，取得最小值24，
此时直线l的方程为或.
22．若为抛物线上一点，M到点的距离比到y轴的距离大1，
（1）求抛物线的方程；
（2）作直线l与抛物线相交于A、B两点，以AB为直径的圆过点M，求点到直线l的距离的最大值.
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由题意得，求出即可得到答案；
（2）由题意可设直线的方程为，联立可得得，又直径的圆过点，得，进而有，然后利用根与系数的关系结合点到直线的距离公式以及基本不等式即可求解
【详解】（1）由题意得，整理得，解得或（舍），故抛物线得方程为；
（2）由题意知直线不与轴垂直，设直线的方程为，，，
由，得，，
则，，由（1）知以直径的圆过点，所以，
则，
即，
整理得，所以，
，即或，
当时，直线过点，不符合题意，舍去，
所以，此时，点到直线的距离
，
当时，；当时，，
又或，所以，
综上所述，点到直线距离的最大值为．