2022-2023学年浙江省宁波市第四中学高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年浙江省宁波市第四中学高一上学期期中数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，B＝{1，2，3}，则A∪B＝（ ）
A．{3}B．{0，1，2，3}C．{1，2，﹣3}D．{1，2，3}
【答案】B
【分析】解方程求得集合，由并集定义可求得结果.
【详解】，B＝{1，2，3}，
.
故选：B.
2．下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】D
【分析】根据同一函数的定义，对选项逐一判断即可得到结果.
【详解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不同，所以不是同一函数；
对于B中，函数和的对应法则不同，所以不是同一函数；
对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不同，所以不是同一函数；
对于D中，函数与的定义域都是，且对应法则相同，所以是同一函数.
故选：D.
3．命题“对任意，都有”的否定为（ ）
A．对任意，都有B．对任意，都有
C．存在，使得D．存在，使得
【答案】C
【分析】直接利用全称命题是否定是特称命题写出结果即可．
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意，都有”的否定为：存在，使得．
故选：C．
4．杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神.”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断.
【详解】杜甫的诗句表明书读得越多，文章未必就写得越好，但不可否认的是，一般写作较好的人，他的阅读量一定不会少，而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛.
因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要不充分条件.
故选：C
5．已知函数，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用配凑法（换元法）计算可得.
【详解】解：方法一（配凑法）∵，
∴.
方法二（换元法）令，则，∴，
∴.
故选：A
6．已知且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用不等式的性质可判断ABC，利用特殊值可判断D
【详解】因为，且，所以，
对于A，因为，，所以，故错误；
对于B，因为，，所以，故正确；
对于C，因为，所以，所以，故错误；
对于D，因为满足且，所以，故错误；
故选：B
7．若正数a,b满足a+b=2,则 的最小值是
A．1B．C．9D．16
【答案】B
【分析】由可得，所以可得，由基本不等式可得结果.
【详解】∵，∴，
又∵，，
∴
，
当且仅当，
即，时取等号,
的最小值是,故选B.
【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
8．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式可求得函数的值域，由此可求得函数的值域.
【详解】当时，，当且仅当时，等号成立；
当时，，当且仅当时，等号成立，
此时；
又因为，所以，函数的值域为，
当时，；当时，；
当时，.
综上所述，函数的值域为.
故选：D.
二、多选题
9．已知集合，，，若，则满足条件的实数可能为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】AC
【解析】根据集合元素的互异性必有或，解出后根据元素的互异性进行验证即可．
【详解】解：由题意得，或，
若，即，
或，
检验：当时，，与元素互异性矛盾，舍去；
当时，，与元素互异性矛盾，舍去．
若，即，
或，
经验证或为满足条件的实数．
故选：AC．
【点睛】本题主要考查集合中元素的互异性，属于基础题．
10．下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B． 图象关于点成中心对称
C． 的最大值为
D．幂函数在上为减函数，则的值为
【答案】BD
【分析】对于A，由复合函数的定义域的求法判断；对于B，通过平移函数的图象判断函数的图象的对称中心；对于C，根据指数函数的单调性进行判断；对于D，通过幂函数的定义和单调性得到关于m的关系式，进而求解m的值.
【详解】对于A，函数的定义域为，由得，
则函数的定义域为，A错误；
对于B，函数的图象的对称中心为，
将函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到函数的图象，
则函数的图象的对称中心为，B正确；
对于C，函数在R上单调递减，且，
则，即当时，函数取得最小值，无最大值，C错误；
对于D，因为函数为幂函数，
所以，
解得，D正确.
故选：BD.
11．已知函数定义域为，且，，，则（ ）
A．的图象关于直线对称B．
C．的图象关于点中心对称D．为偶函数
【答案】BCD
【分析】利用假设的图象关于直线对称，推出矛盾的方法判断A;根据已知可推得函数为奇函数，进而得到函数的周期，可判断B,C;利用偶函数的定义可判断D.
【详解】对于A,假设的图象关于直线对称，则，
因为，故，即2为函数的一个周期，
则，由，可得，矛盾，故的图象不关于直线对称，A错误；
对于B, 函数定义域为，且，则，
由得，则，
故，故B正确；
对于C,由B的分析可知，，
即，故的图象关于点中心对称，C正确；
对于D，由可得，
由得 ，
故，即为偶函数，D正确，
故选;BCD.
【点评】本题综合考查函数的奇偶性和周期性以及对称性，综合性较强，解答时要注意能根据抽象函数的性质进行相应的代换，推出函数的周期，解答的关键是明确如何说明函数具有对称性和周期性等.
12．（多选）已知，且，则（ ）
A．的取值范围是B．的取值范围是
C．的最小值是D．的最小值是
【答案】BD
【分析】A选项，利用基本不等式得到，从而得到，解出，A正确；
B选项，利用基本不等式得到，从而得到，解一元二次不等式，求出答案，B正确；
C选项，先得到，代入得到，从而得到基本不等式求出最值；
D选项，得到，代入得到，利用基本不等式求出最值.
【详解】因为， 所以，所以，
解得:，即，则A错误；
因为.所以 ，所以，
即，又，解得：，则B正确；
因为，所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立.
因为，所以，则C错误；
，
当且仅当，即时，等号成立，则D正确.
故选：BD
三、填空题
13．不等式的解集为___________．
【答案】
【分析】根据分式的运算性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.
【详解】由得，即，且
解得，
故答案为：．
14．若，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由不等式的基本性质计算可得.
【详解】解：因为，
所以，则，，，
所以，所以，即.
故答案为：
15．已知函数的值域为，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】由题意可得，计算不等式组即可求得结果.
【详解】∵函数的值域为，又当时，，
∴，解得.
故答案为：.
16．已知若对任意的恒成立，则实数t的取值范围是_____________．
【答案】
【分析】由当时，，时，，从而在上是单调递增函数，且满足，再根据不等式在，恒成立，可得在，恒成立，计算即可得出答案．
【详解】当时，递增，当时，递增，所以在R上是单调递增函数，且满足，．又∵函数在定义域R上是增函数，故问题等价于当时，恒成立恒成立，令，解得．
∴t的取值范围为．
故答案为：
四、解答题
17．计算：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分母有理化即可得到答案.
（2）根据指数幂运算法则与性质计算即可.
【详解】（1）.
（2）原式.
18．集合
(1)若，求；
(2)若命题“，”为假命题，求实数p的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接根据补集运算，即可得到结果.
（2）根据题意可得命题“，”为真命题，分，讨论，列出不等式，即可求得的范围.
【详解】（1）因为，则
（2）由命题“，”为假命题可知：
命题“，”为真命题
所以，
①当时，，解得：
②当时，则或，
解得：或
综上所述：p的取值范围是：
19．已知函数是指数函数.
(1)该指数函数的图象经过点，求函数的表达式；
(2)解关于的不等式：.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把代入见解析，结合指数函数的定义可得答案；
（2）利用指数函数的单调性解不等式可得答案.
【详解】（1）因为指数函数的图象经过点，所以，
解得，所以；
（2）因为是单调递减函数，由得，
解得，
所以不等式的解集为.
20．随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.宁波医疗公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为80台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润时多少？
【答案】(1)；
(2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润为1680万元.
【分析】（1）根据的解析式，结合已知条件，根据利润的计算公式，直接求解即可；
（2）根据（1）中所求的函数解析式，结合函数单调性和基本不等式，即可直接求得结果.
【详解】（1）由该产品的年固定成本为300万元，投入成本万元，
且，
当时，，
当时，
所以利润万元关于年产量台的函数解析式.
（2）当时，最大，最大值为1500；
当时，，
当且仅当时，即时等号成立，
综上可得，年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润为1680万元.
21．已知函数为偶函数.
（1）求实数a的值；
（2）判断的单调性，并证明你的判断；
（3）是否存在实数，使得当时，函数的值域为.若存在，求出的取值范围；若不存在说明理由.
【答案】（1）；（2）在上为增函数，在上为减函数，证明见解析；（3）存在，.
【解析】（1）由偶函数的定义即可求得a的值；
（2）用函数单调性的定义即可判断并证明；
（3）假设存在，根据题意列出方程，解出即可.
【详解】（1）函数为偶函数，
，
即，
；
（2）当时，，
则函数在上为增函数，在上为减函数，
证明：设，
则，
，
，，
，
即，
故在上为增函数；
同理可证在上为减函数；
（3）函数在上为增函数，
若存在实数，使得当时，
函数的值域为，
则满足，即，
即m，n是方程的两个不等的正根，
则满足，
解得，
故存在，使得结论成立.
【点睛】易错点点睛： ，所以m，n是方程的两个不等的正根，注意.
22．已知二次函数．
(1)若的解集为，解关于x的不等式；
(2)若对任意，，且不等式恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值．
(3)若对任意，若且不等式恒成立，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)8
【分析】（1）由韦达定理可得a、b、c的关系，以及a的符号，代入目标不等式化简直接求解可得；
（2）依题意可得判别式等于0，整理得a、c关系，将目标式平方化简后换元，然后利用基本不等式可得；
（3）利用判别式消元，放缩目标式，然后分子分母同时除以a，再换元，由基本不等式可解.
【详解】（1）因为的解集为，
所以和4是方程的两根，且
由韦达定理可得，即，代入
得，
因为，所以不等式，
解得，即所求不等式解集为
（2）因为对任意，，且不等式恒成立，
所以，
又存在，使得成立，所以，即
因为，所以，令
所以
当且仅当，即时等号成立，
即时，有最小值.
（3）因为对任意，不等式恒成立，
所以，所以
所以（当判别式等于0时等号成立）
令，则，因为，所以
所以
当且仅当，即时等号成立，
所以，当且时，有最小值8.