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北师大版九年级数学下册 专题2.19 二次函数的图像与性质知识点分类专项训练（巩固篇）（附答案）
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这是一份北师大版九年级数学下册 专题2.19 二次函数的图像与性质知识点分类专项训练（巩固篇）（附答案），共44页。试卷主要包含了已知二次函数y=，抛物线的对称轴是等内容，欢迎下载使用。
单选题
1．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（ ）
A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或3
2．下列对二次函数y=x2﹣x的图像的描述，正确的是（ ）
A．开口向下B．对称轴是y轴
C．经过原点D．在对称轴右侧部分是下降的
3．抛物线的对称轴是（ ）
A．直线B．直线C．直线D．直线
4．当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为（ ）
A．-1B．2C．0或2D．-1或2
5．已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图像与正方形有公共顶点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．使关于的二次函数在轴左侧随的增大而减小，且使得关于的分式方程程有整数解的整数的和为（ ）
A．5B．1C．D．
9．将二次函数的图像向上平移3个单位，再向左平移2个单位后得到的图像的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
10．将二次函数的图像向左平移1个单位，再向下平移1个单位．若平移后得到的函数图像与直线有两个交点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．若要平移二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1（m为常数）的图像，使它的顶点与坐标原点重合，那么需要平移的最短距离为（ ）
A．B．C．1D．
12．在平面直角坐标系中，二次函数图像交x轴于（﹣5，0）、（1，0）两点，将此二次函数图像向右平移m个单位，再向下平移n个单位后，发现新的二次函数图像与x轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，则m的值为（ ）
A．3B．2C．1D．0
13．如图，以直线为对称轴的二次函数的图像与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（ ）．
A．B．C．D．
14．点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图像上．则m﹣n的最大值等于（ ）
A．B．4C．﹣D．﹣
15．二次函数的图像的顶点坐标是，且图像与轴交于点．将二次函数的图像以原点为旋转中心顺时针旋转180°，则旋转后得到的函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
16．如图，二次函数y＝x2﹣2x的图像与x轴交于点O、A1，把O～A1之间的图像记为图像C1，将图像C1绕点A1旋转180°得图像C2，交x轴于点A2；将图像C2绕点A2旋转180°得图像C3，交x轴于点A3；…，如此进行下去，若P（2017，a）在某一段图像上，则a的值为（ ）
A．0B．1C．2D．﹣1
17．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，若a＞0，则下列结论错误的是（ ）
A．当x＞2时，y随着x的增大而增大
B．（a＋c）2＝b2
C．若A（x1，m）、B（x2，m）是抛物线上的两点，当x＝x1＋x2时，y＝c
D．若方程a（x＋1）（5﹣x）＝﹣1的两根为x1、x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜5＜x2
18．直线经过第二、三、四象限，那么下列结论正确的是（ ）
A．
B．反比例函数，当时的函数值随增大而减小
C．一元二次方程的两根之和大于零
D．抛物线的对称轴过第一、四象限
19．二次函数的图像如所示，则下列关系中正确的是（ ）
A．B．C．D．
20．如图，二次函数的图像与轴正半轴相交于，两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；
②；
③；
④关于的方程 有一个根为．
其中正确的结论个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
21．一次函数y＝ax+b与反比列函数y＝的图像如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
22．在同一直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图像可以是（ ）
A．B．C．D．
23．函数y＝ax2+b与y＝ax+b（ab≠0）在同一直角坐标系中的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
24．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则一次函数y＝bx＋c的图像和反比例函数y＝的图像在同一坐标系中大致为（ ）
A．B．C．D．
填空题
25．若抛物线C1：y＝x2+mx+2与抛物线C2：y＝x2﹣3x+n关于y轴对称，则m+n＝_____．
26．当 __________时，二次函数 有最小值___________.
27．当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____．
28．当时，二次函数有最大值4，则实数的值为________．
29．已知点A（4，y1），B（，y2），C（-2，y3）都在二次函数y=（x-2）2-1的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是_________.
30．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图像如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是_____．
31．a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图像上，则b、c的大小关系是b____c（用“＞”或“＜”号填空）
32．已知函数，当___________时，函数值y随x的增大而增大．
33．二次函数（m，n是常数）的图像与x轴的两个交点及顶点构成直角三角形，若将这条抛物线向上平移k个单位后（），图像与x轴的两个交点及顶点恰好构成等边三角形，则k的值为________．
34．把二次函数y＝x2+bx+c的图像向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，得到的抛物线的顶点坐标为（﹣2，1），则b﹣c的值为_______．
35．二次函数y＝﹣x2+2mx+n（m，n是常数）的图像与x轴两个交点及顶点构成等边三角形，若将这条抛物线向下平移k个单位后（k＞0），图像与x轴两个交点及顶点构成直角三角形，则k的值是___．
36．把二次函数的图像向左平移1个单位后经过点，则平移后所得到的抛物线表达式是________．
37．如图，已知点A（3，3），点B（0，），点A在二次函数y＝x2+x﹣9的图像上，作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转30°，交二次函数图像于点C，则点C的坐标为_________．
38．将二次函数y＝x2+2x-3的图像绕原点旋转180°，若得到的新的函数图像上总有两个点在直线y＝x-m上，则m的取值范围是____．
39．已知点A、B在二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像上（A在B右侧），且关于图像的对称轴直线x＝2对称，若点A的坐标为（m，1），则点B的坐标为_______．（用含有m的代数式表示）
40．已知二次函数的图像与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴的负半轴交于点，顶点为，作直线．点是抛物线对称轴上的一点，若以为圆心的圆经过，两点，并且和直线相切，则点的坐标为______．
41．如图，二次函数的图像过点(-1，0)，对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c<3b；③8a+7b+2c>0；④若点A(-3，)、点B()、点C()在该函数图像上，则：⑤若方程的两根为，且，则其中正确的结论有__________． (只填序号)
42．二次函数（、、为常数且）中的与的部分对应值如表：
给出以下结论：①二次函数有最大值，最大值为5；②；③时，的值随值的增大而减小；④3是方程的一个根；⑤当时，，则其中正确结论是_____．
43．已知二次函数（）的图像如图所示，对称轴是，经过点和点．在下列五个结论中：①；②；③；④当时，；正确的个数有______个．
44．已知，二次函数y＝ax2+bx+c的图像如图所示，有下列说法：①图像关于直线x＝1对称；②函数y＝ax2+bx+c的最小值是﹣4；③﹣1和3是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根；④当x＞0时，y随x的增大而增大；⑤b+c＜0．其中错误的序号是__．
45．函数的图像与轴交于点，顶点坐标为，其中．以下结论正确的是___________．
①；②函数在和处的函数值相等；③函数的图像与的函数图像总有两个不同交点；④函数在内既有最大值又有最小值．
46．如果二次函数y＝x2+b（b为常数）与正比例函数y＝2x的图像在﹣1≤x≤2时有且只有一个公共交点，那么常数b的值应为_____．
47．平面直角坐标系中，点A（m，n）为抛物线y＝ax2﹣（a+1）x﹣2（a＞0）上一动点，当0＜m≤3时，点A关于x轴的对称点始终在直线y＝﹣x+2的上方，则a的取值范围是_____．
48．直线y=ax+m和直线y=bx+n在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为______．
三、解答题
49．已知二次函数与一次函数．
（1）当时，求这两个函数图像的交点坐标；
（2）若二次函数的图像的顶点恰在一次函数的图像上，求应满足的条件；
（3）若这两个函数的图像经过的象限完全相同，请直接写出应满足的条件．
50．如图，抛物线F：的顶点为P，抛物线：与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．
（1）当a = 1，b=－2，c = 3时，求点C的坐标(直接写出答案)；
（2）若a、b、c满足了，
①求b：b′的值；
②探究四边形OABC的形状，并说明理由．
参考答案
1．B
【分析】讨论对称轴的不同位置，可求出结果.
解：∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5，
可得：（1﹣h）2+1=5，
解得：h=﹣1或h=3（舍）；
②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，
可得：（3﹣h）2+1=5，
解得：h=5或h=1（舍）．
综上，h的值为﹣1或5，
故选B．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x＞h时，y随x的增大而增大、当x＜h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．
2．C
解：【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴公式以及二次函数性质逐项进行判断即可得答案.
【详解】A、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不正确；
B、∵﹣，∴抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确；
C、当x=0时，y=x2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项C正确；
D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x=，
∴当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确，
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），对称轴直线x=-，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，c=0时抛物线经过原点，熟练掌握相关知识是解题的关键.
3．C
【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴．
解：∵，
∴抛物线顶点坐标为，对称轴为．
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数的性质．抛物线的顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．
4．D
分析：利用二次函数图像上点的坐标特征找出当y=1时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
详解：当y=1时，有x2-2x+1=1，
解得：x1=0，x2=2．
∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，
∴a=2或a+1=0，
∴a=2或a=-1，
故选D．
点睛：本题考查了二次函数图像上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图像上点的坐标特征找出当y=1时x的值是解题的关键．
5．A
【分析】分别计算自变量为1和2对应的函数值，然后对各选项进行判断．
解：当x=1时,y1=−(x+1) +2=−(1+1) +2=−2；
当x=2时,y=−(x+1) +2=−(2+1) +2=−7；
所以.
故选A
【点拨】此题考查二次函数顶点式以及二次函数的性质，解题关键在于分析函数图像的情况
6．A
【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．
解：当抛物线经过（1，3）时，a=3，
当抛物线经过（3，1）时，a=，
观察图像可知≤a≤3，
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．C
解：分析：根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图像的开口方向、根据顶点式方程确定其图像的顶点坐标，从而知该二次函数的单调区间．
解答：解：∵二次函数的解析式y=（x-m）2-1的二次项系数是1，
∴该二次函数的开口方向是向上；
又∵该二次函数的图像的顶点坐标是（m，-1），
∴该二次函数图像在x＜m上是减函数，即y随x的增大而减小，且对称轴为直线x=m，
而已知中当x≤1时，y随x的增大而减小，
∴x≤1，
∴m≥1．
故选C．
8．C
【分析】根据二次函数在y轴左侧y随x的增大而减小可得，求出，再根据分式方程 有整数解可以求得a的所有可能性，从而可以求得所有符合条件的a的和．
解：∵关于x的二次函数在y轴左侧y随x的增大而减小， ∴， 解得，a≤2，
解分式方程，得：
，
，
当时，
x=，
则使得关于x的分式方程有整数解的整数a的值为5，3，2，0，-1， -3，
由可得：
又∵a≤2，
∴a的整数值为-3，0，2，
∴-3+0+2=-1，
故选C．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质、分式方程的解，解答本题的关键是要熟练掌握二次函数的性质.
9．A
【分析】根据二次函数平移规律“上加下减，左加右减”可知平移后的函数关系式，再求出其顶点坐标即可；
解：∵二次函数 向上平移3个单位长度，向左平移2个单位长度，
∴平移后的函数解析式为： ，
∴ 平移后的二次函数的顶点坐标为：(0，4)，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数的平移变换以及求顶点坐标，正确掌握知识点是解题的关键；
10．A
【分析】先求出平移后二次函数的解析式，再联立，得，然后根据判别式＞0，即可得到答案．
解：二次函数的图像向左平移1个单位，再向下平移1个单位，可得：，
联立，可得：，即：，
∵平移后得到的函数图像与直线有两个交点，
∴，解得：，
故选A．
【点拨】本题主要考查一次函数与二次函数图像的交点问题，联立二次函数与一次函数，得到一元二次方程，是解题的关键．
11．B
【分析】通过配方求出抛物线顶点坐标，再求出顶点坐标到原点的最短距离即可
解：y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1
=
∴抛物线的顶点坐标为
∴顶点到原点的距离为：
设
故此函数的顶点坐标为，
当时，函数取最小值为，
故抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1的顶点坐标到原点的最短距离为：
因此平移的最短距离为：
故选：B．
【点拨】此题主要考查了二次函数的图像与性质，关键是能熟练运用配方法或顶点坐标公式求出抛物线的顶点坐标．
12．A
【分析】根据平移前后抛物线对称轴的变化即可得到答案；
解：∵二次函数图像交x轴于(﹣5，0)、(1，0)两点，
∴原二次函数的对称轴为，
∵新的二次函数图像与x轴交于(﹣1，0)、(3，0)两点，
∴原二次函数的对称轴为x=，
∴原抛物线向右平移了3个单位，即m=3，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数图像与x轴的交点以及抛物线的平移，根据题意得出平移前后抛物线对称轴的变化是解题的关键；
13．C
【分析】先根据图像得出对称轴左侧图像与轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴，可以算出右侧交点横坐标的取值范围．
解：∵二次函数的对称轴为，
而对称轴左侧图像与轴交点横坐标的取值范围是，
∴右侧交点横坐标的取值范围是．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了图像法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要观察得出对称轴左侧图像与x轴交点横坐标的取值范围，再根据对称性算出右侧交点横坐标的取值范围．
14．C
【分析】根据题意，可以得到a的值以及m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可求出m﹣n的最大值．
解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图像上，
∴a＝0，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣）2﹣，
∴当m＝时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣，
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
15．C
【分析】设将二次函数的图像以原点为旋转中心顺时针旋转180°后为：；根据旋转的性质，得的图像的顶点坐标是，且图像与轴交于点，得，再通过列方程并求解，即可得到表达式并转换为顶点式，即可得到答案．
解：设将二次函数的图像以原点为旋转中心顺时针旋转180°后为：
∵二次函数的图像的顶点坐标是，且图像与轴交于点
∴的图像的顶点坐标是，且图像与轴交于点
∴
∴，
∴，
∴
∴
∴
∴
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数、旋转的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像及解析式、旋转的性质，从而完成求解．
16．D
解：由题意A1（2，0），A2（4，0），
2017÷4=504余1，
∴P（2017，a）在的抛物线的图像与坐标轴交于（2016，2018）开口向上，
∴解析式为y=（x﹣2016）（x﹣2018），
当x=2017时，y=﹣1，
∴a=﹣1.
故选D.
17．D
【分析】根据二次函数的性质即可判断A；根据对称轴得到b＝﹣4a，经过点（﹣1，0）得到c＝﹣5a，从而求得a+c＝﹣4a，即可判断B；由抛物线的对称性得到，结合x＝x1+x2，即可判断C；利用二次函数与一元二次方程的关系即可判断D．
解：∵二次函数y＝ax2+bx+c中，a＞0，对称轴为直线x＝2，
∴当x＞2时，y随着x的增大而增大，故A正确；
∵﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图像过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，即a+4a+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∴a+c＝﹣4a，
∴（a+c）2＝b2，故B正确；
∵A（x1，m）、B（x2，m）是抛物线上的两点，
∴抛物线对称轴，
∴2x＝x1+x2，
∵x＝x1+x2，
∴2x＝x，
∴x＝0，
∴此时，y＝ax2+bx+c＝c，故C正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，图像与x轴交于（﹣1，0），
∴抛物线x轴的另一个交点是（5，0），
∴抛物线与直线y＝﹣1的交点横坐标x1＞﹣1，x2＜5，如图，
∴方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣1的两根为x1和x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜x2＜5，故D错误．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
18．B
【分析】根据一次函数、反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系、二次函数图像与系数的关系作答．
解：直线y＝ax＋b经过第二、三、四象限，则a＜0，b＜0．
A、，故A错误；
B、∵ab＞0，∴反比例函数，当时的函数值随增大而减小，故B正确；
C、∵元二次方程的两根之和=，故C错误；
D、抛物线的对称轴为直线，经过二、三象限，故D是错误的．
故选：B．
【点拨】本题主要考查一次函数、反比例函数、一元二次方程，二次函数等知识的综合应用能力，掌握一元二次方程根与系数的关系、二次函数图像与系数的关系是解题的关键．
19．B
【分析】结合题意，根据二次函数图像开口朝向，得；根据二次函数对称轴的性质，得；根据二次函数和y轴的交点，得；结合二次函数的图像及和x的交点个数，根据二次函数判别式的性质分析，即可得到答案．
解：根据题意，二次函数开口向下
∴，即选项A错误；
根据题意，得，
∴
∴，即选项B正确；
根据题意，得：当时，，即选项C错误；
∵二次函数与x轴有两个不同的交点
∴，即选项D错误；
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像、二次函数判别式的性质，从而完成求解．
20．C
【分析】由二次函数图像的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号，从而可判断①；由图像可知当x=3时，y＞0，可判断②；由OA=OC，且OA＜1，可判断③；把- 代入方程整理可得ac2-bc+c=0，结合③可判断④；从而可得出答案．
解： 由图像开口向下，可知a＜0， 与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，
又对称轴方程为x=2，
所以＞0，
所以b＞0，
∴abc＞0，
故①正确；
由图像可知当x=3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，
故②错误；
由图像可知OA＜1，
∵OA=OC，
∴OC＜1，即-c＜1，
∴c＞-1，
故③正确；
假设方程的一个根为x= ，
把x=代入方程可得，
整理可得ac-b+1=0，
两边同时乘c可得ac2-bc+c=0，
即方程有一个根为x=-c，
由②可知-c=OA，而当x=OA是方程的根，
∴x=-c是方程的根，即假设成立，
故④正确； 综上可知正确的结论有三个，
故选C．
【点拨】本题主要考查二次函数的图像和性质．熟练掌握图像与系数的关系以及二次函数与方程、不等式的关系是解题的关键．
21．A
【分析】根据一次函数和反比例函数图像可以确定a、b、c的正负，再根据它们确定抛物线的大致位置即可．
解：由一次函数和反比例函数图像可得，，
可知抛物线开口向下，对称轴直线，在y轴右侧，抛物线与y轴交点在负半轴，
故选：A．
【点拨】本题考查了一次函数的图像、反比例函数的图像以及二次函数的图像，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图像找出a、b、c的正负．本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图像与系数的关系是解题的关键．．
22．A
【分析】二次函数图像与y轴交点的位置可确定k的正负，再利用一次函数图像与系数的关系可找出一次函数y=-kx+1经过的象限，对比后即可得出结论．
解：解:由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；
∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝﹣kx+1的图像经过经过第一、二、三象限，A选项符合题意，C、D不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数的图像、一次函数图像以及一次函数图像与系数的关系，根据二次函数的图像找出每个选项中k的正负是解题的关键．
23．D
【分析】根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断．
解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不可能；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不可能；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不可能；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，抛物线与直线交y轴同一点，故本选项有可能．
故选：D．
【点拨】本题考查了一次函数和二次函数的图像．熟记一次函数、二次函数的图像的性质是解题的关键．
24．D
【分析】先通过二次函数的图像确定a、b、c的正负，再利用x=1代入解析式，得到a+b+c的正负即可判定两个函数的图像所在的象限，即可得出正确选项．
解：由图像可知：图像开口向下，对称轴位于y轴左侧，与y轴正半轴交于一点，
可得：
又由于当x=1时，
因此一次函数的图像经过一、二、四三个象限，反比例函数的图像位于二、四象限；
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质以及反比例函数的图像与性质，解决本题的关键是能读懂题干中的二次函数图像，能根据图像确定解析式中各系数的正负，再通过各项系数的正负判定另外两个函数的图像所在的象限，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
25．5．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标规律，将解析式中的x换成-x，y不变，化简即可得出答案.
解：抛物线C1：y＝x2+mx+2与抛物线C2：y＝x2﹣3x+n关于y轴对称
x2+mx+2=（-x）2-3（-x）+n= x2+3x+n
m=3，n=2
m+n=3+2=5
故答案为5
【点拨】本题考查了二次函数图像与几何变换，掌握关于y轴对称的点的坐标规律是解题的关键.
26．1 5
解：二次函数配方，得：，所以，当x＝1时，y有最小值5，
故答案为1，5.
27．10
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决．
解：∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴该函数开口向上，对称轴为x＝2，
∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，
∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝（﹣1﹣2）2+1＝10，
故答案为：10．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
28．2或
【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m，再分m＜-2，-2≤m≤1，m＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．
解：二次函数的对称轴为直线x=m，且开口向下，
①m＜-2时，x=-2取得最大值，-（-2-m）2+m2+1=4，
解得，
，
∴不符合题意，
②-2≤m≤1时，x=m取得最大值，m2+1=4，
解得，
所以，
③m＞1时，x=1取得最大值，-（1-m）2+m2+1=4，
解得m=2，
综上所述，m=2或时，二次函数有最大值．
故答案为：2或．
【点拨】本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图像能分类讨论是解题的关键．
29．y3>y1>y2.
解：试题分析：将A,B,C三点坐标分别代入解析式，得：y1=3,y2=5-4,y3=15,∴y3>y1>y2.
考点：二次函数的函数值比较大小.
30．﹣3＜x＜1
【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y＜0时，x的取值范围．
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
由图像可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．
故答案为：﹣3＜x＜1．
【点拨】本题考查了二次函数的性质和数形结合能力，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
31．＜
解：试题分析：将二次函数y＝x2－2ax＋3转换成y＝(x-a)2-a2＋3,则它的对称轴是x=a,抛物线开口向上，所以在对称轴右边y随着x的增大而增大，点A点B均在对称轴右边且a+132．x≤﹣1．
【解析】
试题分析：∵=，a=﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=﹣1，∴当x≤﹣1时，y随x的增大而增大，故答案为x≤﹣1．
考点：二次函数的性质．
33．2
【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（m，m2+n），根据抛物线与x轴的两交点的连线段的长度公式得到抛物线y=-x2+2mx+n（m，n是常数）的图像与x轴两个交点的距离为，根据等边三角形的性质得解得m2+n=3，则此时抛物线的顶点的纵坐标为3；根据等腰直角三角形的性质得，解得m2+n=1，则此时抛物线的顶点的纵坐标为1，从而得到k的值．
解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
抛物线与x轴的两交点的连线段的长度．
当抛物线与轴的两个交点及顶点构成直角三角形时，由抛物线的对称性可知该直角三角形为等腰直角三角形，
∴，
则，
若将这条抛物线向上平移k个单位后，图像与轴的两个交点及顶点恰好构成等边三角形，
此时顶点的纵坐标为．
所以，
则，
所以．
故k的值为2．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质、等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质．
34．﹣2
【分析】抛物线y＝x2+bx+c化为顶点坐标式再按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可．
解：根据题意y＝x2+bx+c＝（x+）2+c﹣下平移2个单位，再向左平移1个单位，得y＝（x++1）2+c﹣﹣2．
∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，1），
∴﹣﹣1＝﹣2，c﹣﹣2＝1，
解得：b＝2，c＝4，
∴b﹣c＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点拨】本题考查了二次函数图像的平移，解题的关键是能将二次函数一般式整理为顶点式，然后按照“左加右减，上加下减”的规律平移．
35．2
【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（m，m2+n），根据抛物线与x轴的两交点的连线段的长度公式得到抛物线y＝﹣x2+2mx+n（m，n是常数）的图像与x轴两个交点的距离为2，根据等边三角形的性质得m2+n＝•2，解得m2+n＝3，则此时抛物线的顶点的纵坐标为3；根据等腰直角三角形的性质得m2+n＝•2，解得m2+n＝1，则此时抛物线的顶点的纵坐标为1，从而得到k的值．
解：∵y＝﹣x2+2mx+n＝﹣（x﹣m）2+m2+n，
∴抛物线的顶点坐标为（m，m2+n），
抛物线与x轴的两交点的连线段的长度＝＝＝2，
当抛物线与x轴两个交点及顶点构成等边三角形时，m2+n＝•2，所以m2+n＝3，此时抛物线的顶点的纵坐标为3；
当抛物线与x轴两个交点及顶点构成等腰直角三角形时，m2+n＝•2，
所以m2+n＝1，此时抛物线的顶点的纵坐标为1；
∴k＝3﹣1＝2．
故答案为：2．
【点拨】此题主要考查二次函数综合运用，解题的关键是熟知抛物线的图像特点及等边三角形的性质．
36．（或）
【分析】根据平移规律得到新抛物线解析式为y=a（x+1）2，然后将点（0，2）代入列出方程求得a的值即可．
解：把二次函数y=ax2的图像向左平移1个单位后得到新抛物线解析式为y=a（x+1）2，
将点（0，2）代入，得a（0+1）2=2，
解得：a=2．
所以该抛物线解析式是y=2（x+1）2，
故答案为：y=2（x+1）2（或）．
【点拨】主要考查了函数图像的平移，二次函数图像上点的坐标特征，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
37．
【分析】过点B作轴，过点A作于点E，交于点，过点作于点，根据勾股定理求出的长度，设，则，则，
根据三角函数得出，则，解之可得，求得直线的解析式，与抛物线解析式联立可得点C的坐标．
解：过点B作轴，过点A作于点E，
交于点，过点作于点，
根据题意可得,
∴,
设，则，
∴，
∴,
∴，
∵,
∴，
∴，
两边平方得：，
解得：(舍)，
∴,，
∴,
∴,
∴点的坐标为：，
设直线的解析式为：，
则，解得，
∴表达式为，
将其代入抛物线方程y＝x2+x﹣9，
解得或，
即为点A，
将代入直线AC得，
∴点C坐标为： ，
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，求一次函数解析式，根据题意求得一次函数解析式与二次函数解析式联立是解题的关键．
38．
【分析】求得新函数的解析式，令，整理得，根据题意得到，即，解不等式即可求得m的取值范围．
解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标为，
∴所得到的图像的解析式为，
即，
令，整理得，
∵得到的新的函数图像上总有两个点在直线上，
∴，即，
解得，
故答案为：．
【点拨】本题考查了中心对称的性质，二次函数与一次函数交点问题，利用判别式求联立后的式子的根的情况即交点的情况，求得新函数的解析式是解题的关键．
39．（4－m，1）
【分析】先确定抛物线的对称轴为x=2，然后求出点A（m，1）关于直线x=2的对称点即可．
解：∵二次函数y=x2+bx+c的图像的对称轴为直线x=2，
∴点A和点B关于直线x=2对称，
∴点B的横坐标为4-m，即B（4-m，1），
故答案为：（4-m，1）
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征：二次函数图像上点的坐标满足其解析式．
40．（4，0），
【分析】先求出A、B、C、D、H点坐标；求出CD解析式，求出与x轴的交点G坐标，利用勾股定理求出DG，求出，过P作PF⊥CD于F，连结AP，易证△GDH∽△PDF利用性质有，设PH长为x，PD=x+，AH=5，AP==PF，解方程即可．
解：当x=0时，y=-3，C(0,-3)，
，
顶点D（4，），
当y=0时， ，
，
A（-1，0），B（9，0），
AB中点H（4，0），
设CD的解析式为y=kx+b，
，
解得，
CD：，
，
，
G（），
∴HG=4-，DH=，
在Rt△DHG中，由勾股定理DG=，
，
过P作PF⊥CD于F，连结AP，
由圆P与CD相切，
PF为圆P的半径，
∠GHD=∠PFD=90º，
∠GDH=∠PDF，
△GDH∽△PDF，
，
设PH长为x，PD=x+，AH=5，
AP==PF，
，
解得x=0或x=不合题意舍去，
P（4，0），
故答案为：（4，0），
【点拨】本题考查抛物线与两轴的交点坐标，顶点坐标，切线CD的解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程及其解解法等问题，掌握抛物线与两轴的交点坐标的方法，会用配方法求顶点坐标，会用待定系数法求切线CD的解析式，会证明相似三角形能利用相似性质求出线段比，会用勾股定理构造方程，一元二次方程及其解解法是解题关键．
41．①②③⑤
【分析】根据二次函数的图像与系数的关系即可求出答案．
解：①由对称轴可知：x＝−＝2，
∴4a＋b＝0，故①正确；
②由图可知：x＝−3时，y＜0，
∴9a−3b＋c＜0，
即9a＋c＜3b，故②正确；
③令x＝−1，y＝0，
∴a−b＋c＝0，
∵b＝−4a，
∴c＝−5a，
∴8a＋7b＋2c
＝8a−28a−10a
＝−30a
由开口可知：a＜0，
∴8a＋7b＋2c＝−30a＞0，故③正确；
④由抛物线的对称性可知：点C关于直线x＝2的对称点为（，y3），
∵−3＜−＜，
∴y1＜y2＜y3
故④错误；
⑤由题意可知：（−1，0）关于直线x＝2的对称点为（5，0），
∴二次函数y＝ax2＋bx＋c＝a（x＋1）（x−5），
令y＝−3，
∴直线y＝−3与抛物线y＝a（x＋1）（x−5）的交点的横坐标分别为x1，x2，
∴x1＜−1＜5＜x2
故⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
【点拨】本题考查二次函数的图像，解题的关键是正确理解二次函数的图像与系数之间的关系，本题属于中等题型．
42．②④⑤
【分析】先利用待定系数法求出二次函数y=ax2+bx+c的解析式，再化为顶点式，则可对①②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；根据一元二次方程解的定义对④进行判断；先解方程-x2+2x+3=0得抛物线y=-x2+2x+3与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），然后利用抛物线在x轴上方对应的自变量的范围可对⑤进行判断．
解：把（0，3），（1，5），（-1，-1）代入y=ax2+bx+c得
，解得：，
∴抛物线解析式为y=-x2+3x+3，
∵，
∴当x=时，y有最大值，所以①错误；
∵a=-1，c=3，
∴ac=-3＜0，所以②正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=，
∴当x＞时，y的值随x值的增大而减小，所以③错误；
当x=3时，ax2+（b-1）x+c=-1×9+（3-1）×3+3=0，
即3是方程ax2+（b-1）x+c=0的一个根，所以④正确；
二次函数y=ax2+（b-1）x+c=-x2+2x+3，
解方程-x2+2x+3=0得x1=-1，x2=3，
∴抛物线y=-x2+2x+3与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），
∴当-1＜x＜3时，-x2+2x+3＞0，所以⑤正确．
故答案为②④⑤．
【点拨】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围，或利用两个函数图像在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，也可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了二次函数的性质．
43．3
【分析】根据二次函数的图像性质分析即可；
解：由图像可知，，根据对称轴在y轴左侧可得出，
∴，故①正确；
∵二次函数与x轴有2个交点，
∴，故②正确；
当时，，
∴，故③正确；
∵函数图像经过，
∴时，；时，，故④错误；
故正确的有3个．
故答案是：3．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图像性质，准确分析计算是解题的关键．
44．④
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：①由图像可知，图像关于直线x＝1对称，正确；
②由图像可知，函数y＝ax2+bx+c的最小值是﹣4；正确
③∵图像关于直线x＝1对称，图像与x轴的一个交点的横坐标是-1，∴图像与x轴的另一个交点的横坐标是1+2=3，∴﹣1和3是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，正确；
④当x＞1时，y随x的增大而增大，故错误；
⑤∵，a>0，∴b<0，∵c<0，∴b+c＜0，正确．
故答案为：④．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系，其中a符号由抛物线的开口方向决定；当对称轴在y轴的左侧时，a与b同号；当对称轴在y轴的右侧时，a与b异号；c的符号由抛物线与y轴的交点决定．
45．①④．
【分析】根据题意作出函数图像，根据系数与图像的关系即可求解．
解：∵顶点坐标为，
∴抛物线的对称轴为：，
∵函数的图像与轴交于点，
∴-1-（2+1）=-4，另一交点坐标为（-4,0）
设抛物线解析式为
代入坐标得
解得：
∴
∵
故a=＜0，b=＜0，c=＞0
∴，①正确；
∵对称轴为x=-1
∴函数在处的函数值相等，故②错误；
由图可知函数的图像与的函数图像无交点，故③错误；
当时，x=-1时，函数有最大值，
∵-1+3＜3+1
∴x=3时，函数有最小值，故④正确；
故答案为①④．
【点拨】本题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据题意画出函数大致图像进行求解．
46．﹣3≤b＜0或b＝1
【分析】分b＞0、b＝0、b＜0三种情况，确定临界点即可求解．
解：①当b＞0时，
抛物线与y＝2x只有一个交点，则联立二次函数与y＝2x并整理得：x2﹣2x+b＝0，
△＝4﹣4b＝0，解得：b＝1；
②当b＝0时，
则抛物线与正比例函数交点为（0，0）和（2，0），即两个交点，不符合题意；
③当b＜0时，
当x＝﹣1时，y＝2x＝﹣2，
临界点为（﹣1，﹣2），
将（﹣1，﹣2）代入y＝x2+b得：﹣2＝1+b，解得：b＝3，
此时抛物线不过（2，4）点，
故﹣3≤b＜0；
【点拨】本题考查的是二次函数图像上点的坐标特征，分情况确定临界点是解题的关键．
47．0＜a＜1．
【分析】求得直线y＝﹣x+2，当x＝3时的函数值为﹣1，根据题意当x＝3时，抛物线的函数值小于1，得到关于a的不等式，解不等式即可求得a的取值范围．
解：直线y＝﹣x+2中，当x＝3时，y＝﹣x+2＝﹣1，
∵A（m，n）关于x轴的对称点始终在直线y＝﹣x+2的上方，
∴当x＝3时，n＜1，
∴9a﹣3（a+1）﹣2＜1，
解得a＜1，
又∵a＞0，
∴a的取值范围是0＜a＜1，
故答案为：0＜a＜1．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，一次函数图像上点的坐标特征，根据题意得到关于a的不等式是解题的关键．
48．x=-
【分析】根据一次函数的图像上点的坐标特征，把、、代入两个解析式，且利用和时，的值相等，从而建立方程组求出、的关系式，然后利用二次函数对称轴直线公式求解即可．
解：如图可知，当时，，得
当时，
①当时，②当且
②-①得
∴
∴
由二次函数的性质可知，其对称轴为直线
故答案为：直线
【点拨】本题主要考查二次函数的性质、一次函数图像上点的坐标特征，解题关键是根据一次函数图像建立方程组，求出、的等量关系式．
49．（1）（1，-1）或（2,0）；（2）或；（3）或
【分析】（1）将代入两个函数解析式中并联立，求出方程组的解，即可求出结论；
（2）先求出二次函数的图像的顶点坐标，然后代入一次函数解析式中，即可求出结论；
（3）由解析式可得二次函数的图像必过（0，0），然后根据a、b的取值范围分类讨论，分别画出对应的图形，即可得出结论．
解：（1）当时，
联立
解得：或
∴这两个函数图像的交点坐标为（1，-1）或（2,0）；
（2）二次函数的图像的顶点坐标为（，）
将（，）代入中，得
整理，得
∴解得或
∴若二次函数的图像的顶点恰在一次函数的图像上，应满足的条件为：或；
（3）二次函数的图像必过（0，0），
当时，一次函数过第一、二、三象限，二次函数过第一、二、三象限，如下图所示，此时符合题意；
当时，一次函数过第一、三象限，二次函数过第一、二象限，如下图所示，此时不符合题意；
当时，一次函数过第一、三、四象限，二次函数过第一、二、四象限，如下图所示，此时不符合题意；
当时，一次函数过第一、二、四象限，二次函数过第一、三、四象限，如下图所示，此时不符合题意；
当时，一次函数过第二、四象限，二次函数过第三、四象限，如下图所示，此时不符合题意；
当时，一次函数过第二、三、四象限，二次函数过第二、三、四象限，如下图所示，此时符合题意；
综上：若这两个函数的图像经过的象限完全相同，或．
【点拨】此题考查的是二次函数与一次函数的综合大题，掌握联立方程求交点坐标、二次函数的图像及性质和一次函数的图像及性质是解题关键．
50．（1）C（3，0）；（2）①2：3；②矩形，理由见解析
【分析】（1）由于抛物线F′由抛物线F平移所得，开口方向和开口大小都无变化，因此a＝a′＝1；由于两条抛物线都与y轴交于A点，那么c＝c′＝3．然后可根据抛物线F的坐标求出其顶点坐标，即可得出D点的坐标，然后将D的坐标代入抛物线F′中，即可求出抛物线F′的解析式，进而可求出C点的坐标．
（2）①与（1）的方法类似，在求出D的坐标后，将D的坐标代入抛物线F′中，即可得出关于b，b′的关系式即可得出b，b′的比例关系．
②探究四边形OABC的形状，无非是平行四边形，菱形，矩形这几种．那么首先要证的是四边形OABC是个平行四边形，已知了OABC，只需看A，B的纵坐标是否相等，即OA是否与BC的长相等．根据抛物线F的解析式可求出P点的坐标，然后用待定系数法可求出OP所在直线的解析式．进而可求出抛物线F与直线OP的交点B的坐标，然后判断B的纵坐标是否与A点相同，如果相同，则四边形OABC是矩形（∠AOC＝90°），如果B，A点的纵坐标不相等，那么四边形AOCB是个直角梯形．
解：（1） ∵a = 1，b=－2，c = 3
∴=
∴P（1，2）
∵过点P作PD⊥x轴于点D，
∴D（1，0）
由于抛物线F′由抛物线F平移所得，开口方向和开口大小都无变化，因此a＝a′＝1；由于两条抛物线都与y轴交于A点，那么c＝c′＝3．
∴抛物线F′：，
代入D（1，0）得0=1+b’+3
解得b’=-4
∴=
∴点C的坐标为（3，0）；
（2）①抛物线，令x=0，则y=c，
∴A点坐标（0，c）．
∵，
∴，
∴点P的坐标为（，）．
∵PD⊥x轴于D，∴点D的坐标为（，0）．
根据题意，得a=a′，c= c′，
∴抛物线F′的解析式为．
又∵抛物线F′经过点D（，0），
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴b:b′=．
②由①得，抛物线F′为．
令y=0，则．
∴．
∵点D的横坐标为
∴点C的坐标为（，0）．
设直线OP的解析式为．
∵点P的坐标为（），
∴，
∴，
∴．
∵点B是抛物线F与直线OP的交点，
∴．
∴．
∵点P的横坐标为，
∴点B的横坐标为．
把代入，得．
∴点B的坐标为．
∴BCOA，ABOC．（或BCOA，BC =OA），
∴四边形OABC是平行四边形．
又∵∠AOC=90°，
∴四边形OABC是矩形．
【点拨】本题着重考查了待定系数法求二次函数的性质、函数的平移变换、探究矩形的构成情况等重要知识点． -1
0
1
3
-1
3
5
3
单选题
1．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（ ）
A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或3
2．下列对二次函数y=x2﹣x的图像的描述，正确的是（ ）
A．开口向下B．对称轴是y轴
C．经过原点D．在对称轴右侧部分是下降的
3．抛物线的对称轴是（ ）
A．直线B．直线C．直线D．直线
4．当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为（ ）
A．-1B．2C．0或2D．-1或2
5．已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图像与正方形有公共顶点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．使关于的二次函数在轴左侧随的增大而减小，且使得关于的分式方程程有整数解的整数的和为（ ）
A．5B．1C．D．
9．将二次函数的图像向上平移3个单位，再向左平移2个单位后得到的图像的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
10．将二次函数的图像向左平移1个单位，再向下平移1个单位．若平移后得到的函数图像与直线有两个交点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．若要平移二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1（m为常数）的图像，使它的顶点与坐标原点重合，那么需要平移的最短距离为（ ）
A．B．C．1D．
12．在平面直角坐标系中，二次函数图像交x轴于（﹣5，0）、（1，0）两点，将此二次函数图像向右平移m个单位，再向下平移n个单位后，发现新的二次函数图像与x轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，则m的值为（ ）
A．3B．2C．1D．0
13．如图，以直线为对称轴的二次函数的图像与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（ ）．
A．B．C．D．
14．点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图像上．则m﹣n的最大值等于（ ）
A．B．4C．﹣D．﹣
15．二次函数的图像的顶点坐标是，且图像与轴交于点．将二次函数的图像以原点为旋转中心顺时针旋转180°，则旋转后得到的函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
16．如图，二次函数y＝x2﹣2x的图像与x轴交于点O、A1，把O～A1之间的图像记为图像C1，将图像C1绕点A1旋转180°得图像C2，交x轴于点A2；将图像C2绕点A2旋转180°得图像C3，交x轴于点A3；…，如此进行下去，若P（2017，a）在某一段图像上，则a的值为（ ）
A．0B．1C．2D．﹣1
17．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，若a＞0，则下列结论错误的是（ ）
A．当x＞2时，y随着x的增大而增大
B．（a＋c）2＝b2
C．若A（x1，m）、B（x2，m）是抛物线上的两点，当x＝x1＋x2时，y＝c
D．若方程a（x＋1）（5﹣x）＝﹣1的两根为x1、x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜5＜x2
18．直线经过第二、三、四象限，那么下列结论正确的是（ ）
A．
B．反比例函数，当时的函数值随增大而减小
C．一元二次方程的两根之和大于零
D．抛物线的对称轴过第一、四象限
19．二次函数的图像如所示，则下列关系中正确的是（ ）
A．B．C．D．
20．如图，二次函数的图像与轴正半轴相交于，两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；
②；
③；
④关于的方程 有一个根为．
其中正确的结论个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
21．一次函数y＝ax+b与反比列函数y＝的图像如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
22．在同一直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图像可以是（ ）
A．B．C．D．
23．函数y＝ax2+b与y＝ax+b（ab≠0）在同一直角坐标系中的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
24．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则一次函数y＝bx＋c的图像和反比例函数y＝的图像在同一坐标系中大致为（ ）
A．B．C．D．
填空题
25．若抛物线C1：y＝x2+mx+2与抛物线C2：y＝x2﹣3x+n关于y轴对称，则m+n＝_____．
26．当 __________时，二次函数 有最小值___________.
27．当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____．
28．当时，二次函数有最大值4，则实数的值为________．
29．已知点A（4，y1），B（，y2），C（-2，y3）都在二次函数y=（x-2）2-1的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是_________.
30．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图像如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是_____．
31．a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图像上，则b、c的大小关系是b____c（用“＞”或“＜”号填空）
32．已知函数，当___________时，函数值y随x的增大而增大．
33．二次函数（m，n是常数）的图像与x轴的两个交点及顶点构成直角三角形，若将这条抛物线向上平移k个单位后（），图像与x轴的两个交点及顶点恰好构成等边三角形，则k的值为________．
34．把二次函数y＝x2+bx+c的图像向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，得到的抛物线的顶点坐标为（﹣2，1），则b﹣c的值为_______．
35．二次函数y＝﹣x2+2mx+n（m，n是常数）的图像与x轴两个交点及顶点构成等边三角形，若将这条抛物线向下平移k个单位后（k＞0），图像与x轴两个交点及顶点构成直角三角形，则k的值是___．
36．把二次函数的图像向左平移1个单位后经过点，则平移后所得到的抛物线表达式是________．
37．如图，已知点A（3，3），点B（0，），点A在二次函数y＝x2+x﹣9的图像上，作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转30°，交二次函数图像于点C，则点C的坐标为_________．
38．将二次函数y＝x2+2x-3的图像绕原点旋转180°，若得到的新的函数图像上总有两个点在直线y＝x-m上，则m的取值范围是____．
39．已知点A、B在二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像上（A在B右侧），且关于图像的对称轴直线x＝2对称，若点A的坐标为（m，1），则点B的坐标为_______．（用含有m的代数式表示）
40．已知二次函数的图像与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴的负半轴交于点，顶点为，作直线．点是抛物线对称轴上的一点，若以为圆心的圆经过，两点，并且和直线相切，则点的坐标为______．
41．如图，二次函数的图像过点(-1，0)，对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c<3b；③8a+7b+2c>0；④若点A(-3，)、点B()、点C()在该函数图像上，则：⑤若方程的两根为，且，则其中正确的结论有__________． (只填序号)
42．二次函数（、、为常数且）中的与的部分对应值如表：
给出以下结论：①二次函数有最大值，最大值为5；②；③时，的值随值的增大而减小；④3是方程的一个根；⑤当时，，则其中正确结论是_____．
43．已知二次函数（）的图像如图所示，对称轴是，经过点和点．在下列五个结论中：①；②；③；④当时，；正确的个数有______个．
44．已知，二次函数y＝ax2+bx+c的图像如图所示，有下列说法：①图像关于直线x＝1对称；②函数y＝ax2+bx+c的最小值是﹣4；③﹣1和3是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根；④当x＞0时，y随x的增大而增大；⑤b+c＜0．其中错误的序号是__．
45．函数的图像与轴交于点，顶点坐标为，其中．以下结论正确的是___________．
①；②函数在和处的函数值相等；③函数的图像与的函数图像总有两个不同交点；④函数在内既有最大值又有最小值．
46．如果二次函数y＝x2+b（b为常数）与正比例函数y＝2x的图像在﹣1≤x≤2时有且只有一个公共交点，那么常数b的值应为_____．
47．平面直角坐标系中，点A（m，n）为抛物线y＝ax2﹣（a+1）x﹣2（a＞0）上一动点，当0＜m≤3时，点A关于x轴的对称点始终在直线y＝﹣x+2的上方，则a的取值范围是_____．
48．直线y=ax+m和直线y=bx+n在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为______．
三、解答题
49．已知二次函数与一次函数．
（1）当时，求这两个函数图像的交点坐标；
（2）若二次函数的图像的顶点恰在一次函数的图像上，求应满足的条件；
（3）若这两个函数的图像经过的象限完全相同，请直接写出应满足的条件．
50．如图，抛物线F：的顶点为P，抛物线：与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．
（1）当a = 1，b=－2，c = 3时，求点C的坐标(直接写出答案)；
（2）若a、b、c满足了，
①求b：b′的值；
②探究四边形OABC的形状，并说明理由．
参考答案
1．B
【分析】讨论对称轴的不同位置，可求出结果.
解：∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5，
可得：（1﹣h）2+1=5，
解得：h=﹣1或h=3（舍）；
②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，
可得：（3﹣h）2+1=5，
解得：h=5或h=1（舍）．
综上，h的值为﹣1或5，
故选B．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x＞h时，y随x的增大而增大、当x＜h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．
2．C
解：【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴公式以及二次函数性质逐项进行判断即可得答案.
【详解】A、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不正确；
B、∵﹣，∴抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确；
C、当x=0时，y=x2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项C正确；
D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x=，
∴当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确，
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），对称轴直线x=-，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，c=0时抛物线经过原点，熟练掌握相关知识是解题的关键.
3．C
【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴．
解：∵，
∴抛物线顶点坐标为，对称轴为．
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数的性质．抛物线的顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．
4．D
分析：利用二次函数图像上点的坐标特征找出当y=1时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
详解：当y=1时，有x2-2x+1=1，
解得：x1=0，x2=2．
∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，
∴a=2或a+1=0，
∴a=2或a=-1，
故选D．
点睛：本题考查了二次函数图像上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图像上点的坐标特征找出当y=1时x的值是解题的关键．
5．A
【分析】分别计算自变量为1和2对应的函数值，然后对各选项进行判断．
解：当x=1时,y1=−(x+1) +2=−(1+1) +2=−2；
当x=2时,y=−(x+1) +2=−(2+1) +2=−7；
所以.
故选A
【点拨】此题考查二次函数顶点式以及二次函数的性质，解题关键在于分析函数图像的情况
6．A
【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．
解：当抛物线经过（1，3）时，a=3，
当抛物线经过（3，1）时，a=，
观察图像可知≤a≤3，
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．C
解：分析：根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图像的开口方向、根据顶点式方程确定其图像的顶点坐标，从而知该二次函数的单调区间．
解答：解：∵二次函数的解析式y=（x-m）2-1的二次项系数是1，
∴该二次函数的开口方向是向上；
又∵该二次函数的图像的顶点坐标是（m，-1），
∴该二次函数图像在x＜m上是减函数，即y随x的增大而减小，且对称轴为直线x=m，
而已知中当x≤1时，y随x的增大而减小，
∴x≤1，
∴m≥1．
故选C．
8．C
【分析】根据二次函数在y轴左侧y随x的增大而减小可得，求出，再根据分式方程 有整数解可以求得a的所有可能性，从而可以求得所有符合条件的a的和．
解：∵关于x的二次函数在y轴左侧y随x的增大而减小， ∴， 解得，a≤2，
解分式方程，得：
，
，
当时，
x=，
则使得关于x的分式方程有整数解的整数a的值为5，3，2，0，-1， -3，
由可得：
又∵a≤2，
∴a的整数值为-3，0，2，
∴-3+0+2=-1，
故选C．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质、分式方程的解，解答本题的关键是要熟练掌握二次函数的性质.
9．A
【分析】根据二次函数平移规律“上加下减，左加右减”可知平移后的函数关系式，再求出其顶点坐标即可；
解：∵二次函数 向上平移3个单位长度，向左平移2个单位长度，
∴平移后的函数解析式为： ，
∴ 平移后的二次函数的顶点坐标为：(0，4)，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数的平移变换以及求顶点坐标，正确掌握知识点是解题的关键；
10．A
【分析】先求出平移后二次函数的解析式，再联立，得，然后根据判别式＞0，即可得到答案．
解：二次函数的图像向左平移1个单位，再向下平移1个单位，可得：，
联立，可得：，即：，
∵平移后得到的函数图像与直线有两个交点，
∴，解得：，
故选A．
【点拨】本题主要考查一次函数与二次函数图像的交点问题，联立二次函数与一次函数，得到一元二次方程，是解题的关键．
11．B
【分析】通过配方求出抛物线顶点坐标，再求出顶点坐标到原点的最短距离即可
解：y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1
=
∴抛物线的顶点坐标为
∴顶点到原点的距离为：
设
故此函数的顶点坐标为，
当时，函数取最小值为，
故抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1的顶点坐标到原点的最短距离为：
因此平移的最短距离为：
故选：B．
【点拨】此题主要考查了二次函数的图像与性质，关键是能熟练运用配方法或顶点坐标公式求出抛物线的顶点坐标．
12．A
【分析】根据平移前后抛物线对称轴的变化即可得到答案；
解：∵二次函数图像交x轴于(﹣5，0)、(1，0)两点，
∴原二次函数的对称轴为，
∵新的二次函数图像与x轴交于(﹣1，0)、(3，0)两点，
∴原二次函数的对称轴为x=，
∴原抛物线向右平移了3个单位，即m=3，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数图像与x轴的交点以及抛物线的平移，根据题意得出平移前后抛物线对称轴的变化是解题的关键；
13．C
【分析】先根据图像得出对称轴左侧图像与轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴，可以算出右侧交点横坐标的取值范围．
解：∵二次函数的对称轴为，
而对称轴左侧图像与轴交点横坐标的取值范围是，
∴右侧交点横坐标的取值范围是．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了图像法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要观察得出对称轴左侧图像与x轴交点横坐标的取值范围，再根据对称性算出右侧交点横坐标的取值范围．
14．C
【分析】根据题意，可以得到a的值以及m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可求出m﹣n的最大值．
解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图像上，
∴a＝0，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣）2﹣，
∴当m＝时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣，
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
15．C
【分析】设将二次函数的图像以原点为旋转中心顺时针旋转180°后为：；根据旋转的性质，得的图像的顶点坐标是，且图像与轴交于点，得，再通过列方程并求解，即可得到表达式并转换为顶点式，即可得到答案．
解：设将二次函数的图像以原点为旋转中心顺时针旋转180°后为：
∵二次函数的图像的顶点坐标是，且图像与轴交于点
∴的图像的顶点坐标是，且图像与轴交于点
∴
∴，
∴，
∴
∴
∴
∴
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数、旋转的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像及解析式、旋转的性质，从而完成求解．
16．D
解：由题意A1（2，0），A2（4，0），
2017÷4=504余1，
∴P（2017，a）在的抛物线的图像与坐标轴交于（2016，2018）开口向上，
∴解析式为y=（x﹣2016）（x﹣2018），
当x=2017时，y=﹣1，
∴a=﹣1.
故选D.
17．D
【分析】根据二次函数的性质即可判断A；根据对称轴得到b＝﹣4a，经过点（﹣1，0）得到c＝﹣5a，从而求得a+c＝﹣4a，即可判断B；由抛物线的对称性得到，结合x＝x1+x2，即可判断C；利用二次函数与一元二次方程的关系即可判断D．
解：∵二次函数y＝ax2+bx+c中，a＞0，对称轴为直线x＝2，
∴当x＞2时，y随着x的增大而增大，故A正确；
∵﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图像过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，即a+4a+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∴a+c＝﹣4a，
∴（a+c）2＝b2，故B正确；
∵A（x1，m）、B（x2，m）是抛物线上的两点，
∴抛物线对称轴，
∴2x＝x1+x2，
∵x＝x1+x2，
∴2x＝x，
∴x＝0，
∴此时，y＝ax2+bx+c＝c，故C正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，图像与x轴交于（﹣1，0），
∴抛物线x轴的另一个交点是（5，0），
∴抛物线与直线y＝﹣1的交点横坐标x1＞﹣1，x2＜5，如图，
∴方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣1的两根为x1和x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜x2＜5，故D错误．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
18．B
【分析】根据一次函数、反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系、二次函数图像与系数的关系作答．
解：直线y＝ax＋b经过第二、三、四象限，则a＜0，b＜0．
A、，故A错误；
B、∵ab＞0，∴反比例函数，当时的函数值随增大而减小，故B正确；
C、∵元二次方程的两根之和=，故C错误；
D、抛物线的对称轴为直线，经过二、三象限，故D是错误的．
故选：B．
【点拨】本题主要考查一次函数、反比例函数、一元二次方程，二次函数等知识的综合应用能力，掌握一元二次方程根与系数的关系、二次函数图像与系数的关系是解题的关键．
19．B
【分析】结合题意，根据二次函数图像开口朝向，得；根据二次函数对称轴的性质，得；根据二次函数和y轴的交点，得；结合二次函数的图像及和x的交点个数，根据二次函数判别式的性质分析，即可得到答案．
解：根据题意，二次函数开口向下
∴，即选项A错误；
根据题意，得，
∴
∴，即选项B正确；
根据题意，得：当时，，即选项C错误；
∵二次函数与x轴有两个不同的交点
∴，即选项D错误；
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像、二次函数判别式的性质，从而完成求解．
20．C
【分析】由二次函数图像的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号，从而可判断①；由图像可知当x=3时，y＞0，可判断②；由OA=OC，且OA＜1，可判断③；把- 代入方程整理可得ac2-bc+c=0，结合③可判断④；从而可得出答案．
解： 由图像开口向下，可知a＜0， 与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，
又对称轴方程为x=2，
所以＞0，
所以b＞0，
∴abc＞0，
故①正确；
由图像可知当x=3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，
故②错误；
由图像可知OA＜1，
∵OA=OC，
∴OC＜1，即-c＜1，
∴c＞-1，
故③正确；
假设方程的一个根为x= ，
把x=代入方程可得，
整理可得ac-b+1=0，
两边同时乘c可得ac2-bc+c=0，
即方程有一个根为x=-c，
由②可知-c=OA，而当x=OA是方程的根，
∴x=-c是方程的根，即假设成立，
故④正确； 综上可知正确的结论有三个，
故选C．
【点拨】本题主要考查二次函数的图像和性质．熟练掌握图像与系数的关系以及二次函数与方程、不等式的关系是解题的关键．
21．A
【分析】根据一次函数和反比例函数图像可以确定a、b、c的正负，再根据它们确定抛物线的大致位置即可．
解：由一次函数和反比例函数图像可得，，
可知抛物线开口向下，对称轴直线，在y轴右侧，抛物线与y轴交点在负半轴，
故选：A．
【点拨】本题考查了一次函数的图像、反比例函数的图像以及二次函数的图像，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图像找出a、b、c的正负．本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图像与系数的关系是解题的关键．．
22．A
【分析】二次函数图像与y轴交点的位置可确定k的正负，再利用一次函数图像与系数的关系可找出一次函数y=-kx+1经过的象限，对比后即可得出结论．
解：解:由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；
∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝﹣kx+1的图像经过经过第一、二、三象限，A选项符合题意，C、D不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数的图像、一次函数图像以及一次函数图像与系数的关系，根据二次函数的图像找出每个选项中k的正负是解题的关键．
23．D
【分析】根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断．
解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不可能；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不可能；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不可能；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，抛物线与直线交y轴同一点，故本选项有可能．
故选：D．
【点拨】本题考查了一次函数和二次函数的图像．熟记一次函数、二次函数的图像的性质是解题的关键．
24．D
【分析】先通过二次函数的图像确定a、b、c的正负，再利用x=1代入解析式，得到a+b+c的正负即可判定两个函数的图像所在的象限，即可得出正确选项．
解：由图像可知：图像开口向下，对称轴位于y轴左侧，与y轴正半轴交于一点，
可得：
又由于当x=1时，
因此一次函数的图像经过一、二、四三个象限，反比例函数的图像位于二、四象限；
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质以及反比例函数的图像与性质，解决本题的关键是能读懂题干中的二次函数图像，能根据图像确定解析式中各系数的正负，再通过各项系数的正负判定另外两个函数的图像所在的象限，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
25．5．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标规律，将解析式中的x换成-x，y不变，化简即可得出答案.
解：抛物线C1：y＝x2+mx+2与抛物线C2：y＝x2﹣3x+n关于y轴对称
x2+mx+2=（-x）2-3（-x）+n= x2+3x+n
m=3，n=2
m+n=3+2=5
故答案为5
【点拨】本题考查了二次函数图像与几何变换，掌握关于y轴对称的点的坐标规律是解题的关键.
26．1 5
解：二次函数配方，得：，所以，当x＝1时，y有最小值5，
故答案为1，5.
27．10
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决．
解：∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴该函数开口向上，对称轴为x＝2，
∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，
∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝（﹣1﹣2）2+1＝10，
故答案为：10．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
28．2或
【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m，再分m＜-2，-2≤m≤1，m＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．
解：二次函数的对称轴为直线x=m，且开口向下，
①m＜-2时，x=-2取得最大值，-（-2-m）2+m2+1=4，
解得，
，
∴不符合题意，
②-2≤m≤1时，x=m取得最大值，m2+1=4，
解得，
所以，
③m＞1时，x=1取得最大值，-（1-m）2+m2+1=4，
解得m=2，
综上所述，m=2或时，二次函数有最大值．
故答案为：2或．
【点拨】本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图像能分类讨论是解题的关键．
29．y3>y1>y2.
解：试题分析：将A,B,C三点坐标分别代入解析式，得：y1=3,y2=5-4,y3=15,∴y3>y1>y2.
考点：二次函数的函数值比较大小.
30．﹣3＜x＜1
【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y＜0时，x的取值范围．
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
由图像可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．
故答案为：﹣3＜x＜1．
【点拨】本题考查了二次函数的性质和数形结合能力，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
31．＜
解：试题分析：将二次函数y＝x2－2ax＋3转换成y＝(x-a)2-a2＋3,则它的对称轴是x=a,抛物线开口向上，所以在对称轴右边y随着x的增大而增大，点A点B均在对称轴右边且a+1
【解析】
试题分析：∵=，a=﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=﹣1，∴当x≤﹣1时，y随x的增大而增大，故答案为x≤﹣1．
考点：二次函数的性质．
33．2
【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（m，m2+n），根据抛物线与x轴的两交点的连线段的长度公式得到抛物线y=-x2+2mx+n（m，n是常数）的图像与x轴两个交点的距离为，根据等边三角形的性质得解得m2+n=3，则此时抛物线的顶点的纵坐标为3；根据等腰直角三角形的性质得，解得m2+n=1，则此时抛物线的顶点的纵坐标为1，从而得到k的值．
解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
抛物线与x轴的两交点的连线段的长度．
当抛物线与轴的两个交点及顶点构成直角三角形时，由抛物线的对称性可知该直角三角形为等腰直角三角形，
∴，
则，
若将这条抛物线向上平移k个单位后，图像与轴的两个交点及顶点恰好构成等边三角形，
此时顶点的纵坐标为．
所以，
则，
所以．
故k的值为2．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质、等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质．
34．﹣2
【分析】抛物线y＝x2+bx+c化为顶点坐标式再按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可．
解：根据题意y＝x2+bx+c＝（x+）2+c﹣下平移2个单位，再向左平移1个单位，得y＝（x++1）2+c﹣﹣2．
∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，1），
∴﹣﹣1＝﹣2，c﹣﹣2＝1，
解得：b＝2，c＝4，
∴b﹣c＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点拨】本题考查了二次函数图像的平移，解题的关键是能将二次函数一般式整理为顶点式，然后按照“左加右减，上加下减”的规律平移．
35．2
【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（m，m2+n），根据抛物线与x轴的两交点的连线段的长度公式得到抛物线y＝﹣x2+2mx+n（m，n是常数）的图像与x轴两个交点的距离为2，根据等边三角形的性质得m2+n＝•2，解得m2+n＝3，则此时抛物线的顶点的纵坐标为3；根据等腰直角三角形的性质得m2+n＝•2，解得m2+n＝1，则此时抛物线的顶点的纵坐标为1，从而得到k的值．
解：∵y＝﹣x2+2mx+n＝﹣（x﹣m）2+m2+n，
∴抛物线的顶点坐标为（m，m2+n），
抛物线与x轴的两交点的连线段的长度＝＝＝2，
当抛物线与x轴两个交点及顶点构成等边三角形时，m2+n＝•2，所以m2+n＝3，此时抛物线的顶点的纵坐标为3；
当抛物线与x轴两个交点及顶点构成等腰直角三角形时，m2+n＝•2，
所以m2+n＝1，此时抛物线的顶点的纵坐标为1；
∴k＝3﹣1＝2．
故答案为：2．
【点拨】此题主要考查二次函数综合运用，解题的关键是熟知抛物线的图像特点及等边三角形的性质．
36．（或）
【分析】根据平移规律得到新抛物线解析式为y=a（x+1）2，然后将点（0，2）代入列出方程求得a的值即可．
解：把二次函数y=ax2的图像向左平移1个单位后得到新抛物线解析式为y=a（x+1）2，
将点（0，2）代入，得a（0+1）2=2，
解得：a=2．
所以该抛物线解析式是y=2（x+1）2，
故答案为：y=2（x+1）2（或）．
【点拨】主要考查了函数图像的平移，二次函数图像上点的坐标特征，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
37．
【分析】过点B作轴，过点A作于点E，交于点，过点作于点，根据勾股定理求出的长度，设，则，则，
根据三角函数得出，则，解之可得，求得直线的解析式，与抛物线解析式联立可得点C的坐标．
解：过点B作轴，过点A作于点E，
交于点，过点作于点，
根据题意可得,
∴,
设，则，
∴，
∴,
∴，
∵,
∴，
∴，
两边平方得：，
解得：(舍)，
∴,，
∴,
∴,
∴点的坐标为：，
设直线的解析式为：，
则，解得，
∴表达式为，
将其代入抛物线方程y＝x2+x﹣9，
解得或，
即为点A，
将代入直线AC得，
∴点C坐标为： ，
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，求一次函数解析式，根据题意求得一次函数解析式与二次函数解析式联立是解题的关键．
38．
【分析】求得新函数的解析式，令，整理得，根据题意得到，即，解不等式即可求得m的取值范围．
解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标为，
∴所得到的图像的解析式为，
即，
令，整理得，
∵得到的新的函数图像上总有两个点在直线上，
∴，即，
解得，
故答案为：．
【点拨】本题考查了中心对称的性质，二次函数与一次函数交点问题，利用判别式求联立后的式子的根的情况即交点的情况，求得新函数的解析式是解题的关键．
39．（4－m，1）
【分析】先确定抛物线的对称轴为x=2，然后求出点A（m，1）关于直线x=2的对称点即可．
解：∵二次函数y=x2+bx+c的图像的对称轴为直线x=2，
∴点A和点B关于直线x=2对称，
∴点B的横坐标为4-m，即B（4-m，1），
故答案为：（4-m，1）
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征：二次函数图像上点的坐标满足其解析式．
40．（4，0），
【分析】先求出A、B、C、D、H点坐标；求出CD解析式，求出与x轴的交点G坐标，利用勾股定理求出DG，求出，过P作PF⊥CD于F，连结AP，易证△GDH∽△PDF利用性质有，设PH长为x，PD=x+，AH=5，AP==PF，解方程即可．
解：当x=0时，y=-3，C(0,-3)，
，
顶点D（4，），
当y=0时， ，
，
A（-1，0），B（9，0），
AB中点H（4，0），
设CD的解析式为y=kx+b，
，
解得，
CD：，
，
，
G（），
∴HG=4-，DH=，
在Rt△DHG中，由勾股定理DG=，
，
过P作PF⊥CD于F，连结AP，
由圆P与CD相切，
PF为圆P的半径，
∠GHD=∠PFD=90º，
∠GDH=∠PDF，
△GDH∽△PDF，
，
设PH长为x，PD=x+，AH=5，
AP==PF，
，
解得x=0或x=不合题意舍去，
P（4，0），
故答案为：（4，0），
【点拨】本题考查抛物线与两轴的交点坐标，顶点坐标，切线CD的解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程及其解解法等问题，掌握抛物线与两轴的交点坐标的方法，会用配方法求顶点坐标，会用待定系数法求切线CD的解析式，会证明相似三角形能利用相似性质求出线段比，会用勾股定理构造方程，一元二次方程及其解解法是解题关键．
41．①②③⑤
【分析】根据二次函数的图像与系数的关系即可求出答案．
解：①由对称轴可知：x＝−＝2，
∴4a＋b＝0，故①正确；
②由图可知：x＝−3时，y＜0，
∴9a−3b＋c＜0，
即9a＋c＜3b，故②正确；
③令x＝−1，y＝0，
∴a−b＋c＝0，
∵b＝−4a，
∴c＝−5a，
∴8a＋7b＋2c
＝8a−28a−10a
＝−30a
由开口可知：a＜0，
∴8a＋7b＋2c＝−30a＞0，故③正确；
④由抛物线的对称性可知：点C关于直线x＝2的对称点为（，y3），
∵−3＜−＜，
∴y1＜y2＜y3
故④错误；
⑤由题意可知：（−1，0）关于直线x＝2的对称点为（5，0），
∴二次函数y＝ax2＋bx＋c＝a（x＋1）（x−5），
令y＝−3，
∴直线y＝−3与抛物线y＝a（x＋1）（x−5）的交点的横坐标分别为x1，x2，
∴x1＜−1＜5＜x2
故⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
【点拨】本题考查二次函数的图像，解题的关键是正确理解二次函数的图像与系数之间的关系，本题属于中等题型．
42．②④⑤
【分析】先利用待定系数法求出二次函数y=ax2+bx+c的解析式，再化为顶点式，则可对①②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；根据一元二次方程解的定义对④进行判断；先解方程-x2+2x+3=0得抛物线y=-x2+2x+3与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），然后利用抛物线在x轴上方对应的自变量的范围可对⑤进行判断．
解：把（0，3），（1，5），（-1，-1）代入y=ax2+bx+c得
，解得：，
∴抛物线解析式为y=-x2+3x+3，
∵，
∴当x=时，y有最大值，所以①错误；
∵a=-1，c=3，
∴ac=-3＜0，所以②正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=，
∴当x＞时，y的值随x值的增大而减小，所以③错误；
当x=3时，ax2+（b-1）x+c=-1×9+（3-1）×3+3=0，
即3是方程ax2+（b-1）x+c=0的一个根，所以④正确；
二次函数y=ax2+（b-1）x+c=-x2+2x+3，
解方程-x2+2x+3=0得x1=-1，x2=3，
∴抛物线y=-x2+2x+3与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），
∴当-1＜x＜3时，-x2+2x+3＞0，所以⑤正确．
故答案为②④⑤．
【点拨】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围，或利用两个函数图像在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，也可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了二次函数的性质．
43．3
【分析】根据二次函数的图像性质分析即可；
解：由图像可知，，根据对称轴在y轴左侧可得出，
∴，故①正确；
∵二次函数与x轴有2个交点，
∴，故②正确；
当时，，
∴，故③正确；
∵函数图像经过，
∴时，；时，，故④错误；
故正确的有3个．
故答案是：3．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图像性质，准确分析计算是解题的关键．
44．④
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：①由图像可知，图像关于直线x＝1对称，正确；
②由图像可知，函数y＝ax2+bx+c的最小值是﹣4；正确
③∵图像关于直线x＝1对称，图像与x轴的一个交点的横坐标是-1，∴图像与x轴的另一个交点的横坐标是1+2=3，∴﹣1和3是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，正确；
④当x＞1时，y随x的增大而增大，故错误；
⑤∵，a>0，∴b<0，∵c<0，∴b+c＜0，正确．
故答案为：④．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系，其中a符号由抛物线的开口方向决定；当对称轴在y轴的左侧时，a与b同号；当对称轴在y轴的右侧时，a与b异号；c的符号由抛物线与y轴的交点决定．
45．①④．
【分析】根据题意作出函数图像，根据系数与图像的关系即可求解．
解：∵顶点坐标为，
∴抛物线的对称轴为：，
∵函数的图像与轴交于点，
∴-1-（2+1）=-4，另一交点坐标为（-4,0）
设抛物线解析式为
代入坐标得
解得：
∴
∵
故a=＜0，b=＜0，c=＞0
∴，①正确；
∵对称轴为x=-1
∴函数在处的函数值相等，故②错误；
由图可知函数的图像与的函数图像无交点，故③错误；
当时，x=-1时，函数有最大值，
∵-1+3＜3+1
∴x=3时，函数有最小值，故④正确；
故答案为①④．
【点拨】本题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据题意画出函数大致图像进行求解．
46．﹣3≤b＜0或b＝1
【分析】分b＞0、b＝0、b＜0三种情况，确定临界点即可求解．
解：①当b＞0时，
抛物线与y＝2x只有一个交点，则联立二次函数与y＝2x并整理得：x2﹣2x+b＝0，
△＝4﹣4b＝0，解得：b＝1；
②当b＝0时，
则抛物线与正比例函数交点为（0，0）和（2，0），即两个交点，不符合题意；
③当b＜0时，
当x＝﹣1时，y＝2x＝﹣2，
临界点为（﹣1，﹣2），
将（﹣1，﹣2）代入y＝x2+b得：﹣2＝1+b，解得：b＝3，
此时抛物线不过（2，4）点，
故﹣3≤b＜0；
【点拨】本题考查的是二次函数图像上点的坐标特征，分情况确定临界点是解题的关键．
47．0＜a＜1．
【分析】求得直线y＝﹣x+2，当x＝3时的函数值为﹣1，根据题意当x＝3时，抛物线的函数值小于1，得到关于a的不等式，解不等式即可求得a的取值范围．
解：直线y＝﹣x+2中，当x＝3时，y＝﹣x+2＝﹣1，
∵A（m，n）关于x轴的对称点始终在直线y＝﹣x+2的上方，
∴当x＝3时，n＜1，
∴9a﹣3（a+1）﹣2＜1，
解得a＜1，
又∵a＞0，
∴a的取值范围是0＜a＜1，
故答案为：0＜a＜1．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，一次函数图像上点的坐标特征，根据题意得到关于a的不等式是解题的关键．
48．x=-
【分析】根据一次函数的图像上点的坐标特征，把、、代入两个解析式，且利用和时，的值相等，从而建立方程组求出、的关系式，然后利用二次函数对称轴直线公式求解即可．
解：如图可知，当时，，得
当时，
①当时，②当且
②-①得
∴
∴
由二次函数的性质可知，其对称轴为直线
故答案为：直线
【点拨】本题主要考查二次函数的性质、一次函数图像上点的坐标特征，解题关键是根据一次函数图像建立方程组，求出、的等量关系式．
49．（1）（1，-1）或（2,0）；（2）或；（3）或
【分析】（1）将代入两个函数解析式中并联立，求出方程组的解，即可求出结论；
（2）先求出二次函数的图像的顶点坐标，然后代入一次函数解析式中，即可求出结论；
（3）由解析式可得二次函数的图像必过（0，0），然后根据a、b的取值范围分类讨论，分别画出对应的图形，即可得出结论．
解：（1）当时，
联立
解得：或
∴这两个函数图像的交点坐标为（1，-1）或（2,0）；
（2）二次函数的图像的顶点坐标为（，）
将（，）代入中，得
整理，得
∴解得或
∴若二次函数的图像的顶点恰在一次函数的图像上，应满足的条件为：或；
（3）二次函数的图像必过（0，0），
当时，一次函数过第一、二、三象限，二次函数过第一、二、三象限，如下图所示，此时符合题意；
当时，一次函数过第一、三象限，二次函数过第一、二象限，如下图所示，此时不符合题意；
当时，一次函数过第一、三、四象限，二次函数过第一、二、四象限，如下图所示，此时不符合题意；
当时，一次函数过第一、二、四象限，二次函数过第一、三、四象限，如下图所示，此时不符合题意；
当时，一次函数过第二、四象限，二次函数过第三、四象限，如下图所示，此时不符合题意；
当时，一次函数过第二、三、四象限，二次函数过第二、三、四象限，如下图所示，此时符合题意；
综上：若这两个函数的图像经过的象限完全相同，或．
【点拨】此题考查的是二次函数与一次函数的综合大题，掌握联立方程求交点坐标、二次函数的图像及性质和一次函数的图像及性质是解题关键．
50．（1）C（3，0）；（2）①2：3；②矩形，理由见解析
【分析】（1）由于抛物线F′由抛物线F平移所得，开口方向和开口大小都无变化，因此a＝a′＝1；由于两条抛物线都与y轴交于A点，那么c＝c′＝3．然后可根据抛物线F的坐标求出其顶点坐标，即可得出D点的坐标，然后将D的坐标代入抛物线F′中，即可求出抛物线F′的解析式，进而可求出C点的坐标．
（2）①与（1）的方法类似，在求出D的坐标后，将D的坐标代入抛物线F′中，即可得出关于b，b′的关系式即可得出b，b′的比例关系．
②探究四边形OABC的形状，无非是平行四边形，菱形，矩形这几种．那么首先要证的是四边形OABC是个平行四边形，已知了OABC，只需看A，B的纵坐标是否相等，即OA是否与BC的长相等．根据抛物线F的解析式可求出P点的坐标，然后用待定系数法可求出OP所在直线的解析式．进而可求出抛物线F与直线OP的交点B的坐标，然后判断B的纵坐标是否与A点相同，如果相同，则四边形OABC是矩形（∠AOC＝90°），如果B，A点的纵坐标不相等，那么四边形AOCB是个直角梯形．
解：（1） ∵a = 1，b=－2，c = 3
∴=
∴P（1，2）
∵过点P作PD⊥x轴于点D，
∴D（1，0）
由于抛物线F′由抛物线F平移所得，开口方向和开口大小都无变化，因此a＝a′＝1；由于两条抛物线都与y轴交于A点，那么c＝c′＝3．
∴抛物线F′：，
代入D（1，0）得0=1+b’+3
解得b’=-4
∴=
∴点C的坐标为（3，0）；
（2）①抛物线，令x=0，则y=c，
∴A点坐标（0，c）．
∵，
∴，
∴点P的坐标为（，）．
∵PD⊥x轴于D，∴点D的坐标为（，0）．
根据题意，得a=a′，c= c′，
∴抛物线F′的解析式为．
又∵抛物线F′经过点D（，0），
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴b:b′=．
②由①得，抛物线F′为．
令y=0，则．
∴．
∵点D的横坐标为
∴点C的坐标为（，0）．
设直线OP的解析式为．
∵点P的坐标为（），
∴，
∴，
∴．
∵点B是抛物线F与直线OP的交点，
∴．
∴．
∵点P的横坐标为，
∴点B的横坐标为．
把代入，得．
∴点B的坐标为．
∴BCOA，ABOC．（或BCOA，BC =OA），
∴四边形OABC是平行四边形．
又∵∠AOC=90°，
∴四边形OABC是矩形．
【点拨】本题着重考查了待定系数法求二次函数的性质、函数的平移变换、探究矩形的构成情况等重要知识点． -1
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3
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3
5
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