2024届天津市实验中学滨海学校高三上学期第一次质量检测数学试题含解析

这是一份2024届天津市实验中学滨海学校高三上学期第一次质量检测数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求解集合，再求交集运算即可.
【详解】由，解得或，
则，又，
则.
故选：B.
2．下列选项中，表示的是同一函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】两个函数的定义域、解析式、值域均相等，即为相等函数，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】选项A：函数的定义域为R，函数的定义域为，故这两个函数不是同一函数；
选项B：两个函数定义域均为R，但解析式不同，故这两个函数不是同一函数；
选项C：根据绝对值性质可知：，则两个函数定义域和值域相同，对应关系也相同，故这两个函数是同一函数；
选项D：函数的定义域为，函数的定义域为或}，故这两个函数不是同一函数.
故选：C
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.
【详解】求解二次不等式可得：或，
据此可知：是的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.
4．已知是定义在上的奇函数，当时，，则
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先转化为求-，再代入求解.
【详解】=-.故答案为B
【点睛】本题主要考查奇函数的性质和对数指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.
5．设为所在平面内一点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】以为基底，结合向量的加减法及数乘运算的几何意义求解.
【详解】由得，，
则，
故选：A.
6．已知，则
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】运用中间量比较，运用中间量比较
【详解】则．故选B．
【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．
7．函数的部分图象大致为
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为函数为奇函数，所以其图象关于原点成中心对称，所以选项C，D错误；
又当时，，所以选项B错.
本题选择A选项.
8．要得到的图象，只需将函数图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【答案】B
【分析】由可知.
【详解】因为，
则将函数的图象向右平移个单位可得的图象.
故选：B.
9．若，且，则与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意即可得，得到，从而可得到与的夹角.
【详解】，，，，
，
，，
故选：B.
10．若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据分段函数的解析式，先求出时，函数的值域；再对二次函数的对称轴进行分类讨论；根据题中条件，即可得出结果.
【详解】由题意，
当时，显然单调递增，则；
当时，是开口向下，对称轴为的二次函数，
又函数的值域为，
当，即时，，即，解得：，
当，即时，，，
综上，
故选：D.
【点睛】分段函数的的值域为R，即要求各段函数在定义域内的值域并集为R,本题需要对二次函数的对称轴进行分类讨论.
11．已知是定义域为的奇函数,满足.若，则
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.
详解：因为是定义域为的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
，从而，选C.
点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
12．已知是的重心，且，则（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】由重心条件与，将分别用基底表示两次，则由平面向量基本定理建立方程组求解即可.
【详解】由是的重心，
则，，
由，
；
已知构成，则向量不共线，
由平面向量基本定理得，
，解得，则.
故选：C.
13．设函数若方程恰有2个实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】化简，进行参变分离，求出，画出图像根据图像得出结论.
【详解】化简得
当时，设
∴，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
，且当时， ；
当时，设
易知函数在分别单调递减，
画出函数图像

根据图像可得.
故选：D.
【点睛】本题采取的是数形结合的思想，在进行分离变量的时候要探讨参数的取值范围.
二、填空题
14．设为虚数单位，复数 .
【答案】/-2i+1
【分析】根据复数的除法法则计算即可.
【详解】.
故答案为：.
15．已知，若，则等于 .
【答案】
【解析】根据平面向量平行的坐标表示求出，再根据平面向量的线性运算可得，最后根据平面向量的模长公式可得结果.
【详解】由得，得，
故，
因此.
故答案：.
【点睛】本题考查了平面向量共线的坐标表示，考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量的模长公式，属于基础题.
16．已知，，且，则的最小值是 .
【答案】
【分析】利用1的代换，将求式子的最小值等价于求的最小值，再利用基本不等式，即可求得最小值.
【详解】因为，
等号成立当且仅当.
故答案为：.
【点睛】本题考查1的代换和基本不等式求最值，考查转化与化归思想的运用，求解时注意一正、二定、三等的运用，特别是验证等号成立这一条件.
17．已知，求 ．
【答案】
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得和的值，再利用两角和差的三角公式求得的值．
【详解】∵ ，
∴ ，，，
∴ ，．
∴
故答案为：
18．已知，是第三象限角，则 .（请用数字作答）
【答案】/0.75
【分析】利用诱导公式即可化简求解.
【详解】，
.
由
.
故答案为：.
19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则
【答案】7
【分析】由面积公式与余弦定理求解
【详解】，得
由余弦定理得，即
可得，故
故答案为：7
三、双空题
20．在△ABC中，，，，，则 ，若动点F在线段AC上，则的最小值为 .
【答案】 /0.5
【分析】第一空：用分别表示出，再由数量积的定义及运算律即可求出；
第二空：设，用分别表示出，由数量积的定义及运算律表示出，结合二次函数求出最小值.
【详解】
第一空：，则，则，又，，故，解得；
第二空：设，，，则
，当时，取得最小值.
故答案为：；.
21．设函数，，则函数的最大值为 ；若对任意，，不等式恒成立，则正数的取值范围是 .
【答案】
【解析】利用函数的单调性求出函数的最大值；利用参数分离法将不等式恒成立进行转化，利用基本不等式求出函数的最小值为，利用导数的单调性求出的最大值，再利用最值关系进行求解即可.
【详解】，
，
由可得，此时函数为增函数；
由可得，此时函数为减函数；
的最大值为；
若对任意，，不等式恒成立，
则等价为恒成立，
，当且仅当即时等号成立，
即的最小值为，且的最大值为，则
的最大值为，
则由，
得，即
故答案为：；
【点睛】本题考查了利用导数求函数的最大值、基本不等式求函数的最小值，分离法求参数范围，属于较难题.
四、解答题
22． 在中，内角所对的边分别为.已知，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
【答案】(Ⅰ) ；
(Ⅱ) .
【分析】(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到的比例关系，然后利用余弦定理可得的值
(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式可得的值.
【详解】(Ⅰ)在中，由正弦定理得，
又由，得，即.
又因为，得到，.
由余弦定理可得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，
从而，.
故.
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.
23．已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)求在上的单调递增区间；
(3)若方程在上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据二倍角公式，结合辅助角公式、降幂公式，结合正弦型函数的最小正周期公式进行求解即可；
（2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可；
（3）根据正弦型函数的单调性进行求解即可。
【详解】（1），
所以函数的最小正周期为；
（2）当时，函数单调递增，
解得，令，得，
因为，
所以函数在上的单调递增区间为；
（3）由（2）可知：当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以函数，而，
所以当，函数值由增加到最大值，再减少到，
因为方程在上有两个不同的实数解，
所以有.
24．已知函数．
(1)若曲线在处的切线的方程为，求实数，的值；
(2)当时，，且，求证．
(3)若，对任意， ，不等式恒成立，求的取值范围；
【答案】(1)
(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义列出相应方程，求得；
（2）时求导数，判断的单调性，不妨设，则要证明，即证，，即证，结合，即只需证明，从而令，求其导数，判断单调性，即可证明结论；
（3）利用导数判断函数单调性，从而将 可化为，构造函数，判断其单调性，可得在上恒成立，分离参数，求函数最值，即可求得答案.
【详解】（1） ,
∵曲线在处的切线的方程为，
所以 ， ∴ ；
（2）当时，，则，
当时，，递减，当时，，递增，
由于，且，故不妨设，
则要证明，即证，而，
当时，递增，故即证，
由于，即只需证明，
令，
则，
当时， ，
即单调递减，故，
即时，，即有，
故原命题成立，即；
（3）因为，，
所以，故函数在上单调递增，
不妨设，则 可化为，设，则，
所以为上的增函数，即在上恒成立，
等价于在上恒成立，即在上恒成立，
又，所以 ，所以，
对于函数，，当时，，
故在上是增函数，所以，
所以 ，即m的取值范围为.
【点睛】本题考查了导数几何意义的应用以及不等式的证明和根据不等式恒成立求参数的范围问题，综合性较强，计算量较大，解答时要注意能熟练应用导数的相关知识，比如利用导数解决切线问题和判断函数单调性以及最值问题，解答的关键是将不等式恒成立求参数范围转化为构造函数，利用函数的最值问题加以解决.