2024届江苏省盐城市联盟五校高三上学期第一次学情调研检测数学试题含答案

这是一份2024届江苏省盐城市联盟五校高三上学期第一次学情调研检测数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，计算题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据解一元二次不等式的解法，结合集合并集的定义进行运算即可.
【详解】由，而，
所以.
故选：B
2．已知复数，其中为虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先将化为的结构，再利用公式求模即可.
【详解】,
则.
故选: A.
3．已知角是第一象限角，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据同角三角函数求出，利用两角和的余弦公式可得.
【详解】因为角是第一象限角，，
所以，
，
故选：C
4．函数的部分图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数解析式判断函数奇偶性和当时函数值的正负，利用排除法即可．
【详解】定义域为，关于原点对称，
，∴函数是偶函数，故排除A，C；
当时，，，∴，故排除B．
故选：D．
5．若函数满足，且当时，，则（ ）
A．10B．4C．2D．
【答案】B
【分析】根据条件，得出是周期函数，从而得到，再根据条件即可求出结果.
【详解】因为，所以函数是周期函数，且它的一个周期为4，
所以，又当时，，
所以，故.
故选：B.
6．已知平面向量，，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量数量积的坐标运算求得，根据向量夹角公式求得正确答案.
【详解】因为，所以，得．
所以，，所以，，，
所以．
又，所以与的夹角为．
故选：B
7．中，分别是角的对边，且，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形
C．直角或钝角三角形D．锐角三角形
【答案】B
【分析】利用二倍角公式、正弦定理和和差公式化简可得，然后根据角的范围判断三角形形状即可.
【详解】由得，
即，
因为，所以，则，
，
，
，
，
又，所以，，所以角为钝角，为钝角三角形.
故选：B.
8．对于实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造同构函数，分析单调性，转化为恒成立，即，再求解的最小值即可.
【详解】已知，由知.故排除BD.
由得，，
构造函数，是上的增函数，
则由得，即，
令，
，由得，
当，则单调递减，
当，则单调递增，
，
则，又，则.
故选：C.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．“”是“”的必要不充分条件
C．若向量，，则，可作为平面向量的一组基底
D．已知向量，满足，且，和的夹角为，则在上的投影向量的坐标为
【答案】BCD
【分析】由全称命题的否定是存在命题可判断A；由充分条件和必要条件的定义可判断B；由平面向量基底的定义可判断C；由投影向量的定义可判断D.
【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，故A错误；
对于B，“”不能推出“”，例如，
但“”能推出“”，故“”是“”的必要不充分条件，故B正确；
对于C，向量，，因为，
故，可作为平面向量的一组基底，故C正确；
对于D，在上的投影向量的坐标为：，故D正确.
故选：BCD.
10．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集是或
【答案】ACD
【分析】由不等式与方程之间的关系及题设条件得到之间的关系，然后逐项分析即可得出正确选项.
【详解】由题意不等式的解集为或，则可知，即A正确；
易知，和是方程的两个实数根，
由韦达定理可得，则；
所以不等式即为，解得，所以B错误；
易知，所以C正确；
不等式即为，
也即，解得或，所以D正确.
故选：ACD
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象的一条对称轴方程为
C．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
D．函数在区间上单调递增
【答案】ABC
【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简得到，然后根据判断A选项；利用整体代入得方法得到的对称轴，即可判断B选项；根据图象的平移变换判断C选项；根据复合函数的单调性判断D选项.
【详解】，函数的最小正周期为，故A正确；
由，得，当时，，故B正确；
由的图象向左平移个单位长度，得，故C正确．
因为，函数在上不单调，故D错误．
故选：ABC．
12．已知定义在上的函数，其导函数的定义域也为.若，且为奇函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由题意可以推出的周期以及对称中心，根据，可得的周期是4，又是由向左平移1个单位得到的，且注意到为奇函数，因此的对称中心为；然后对每一选项逐一验证判断即可.
【详解】对于A选项：注意到，又是由向左平移1个单位得到的，
且注意到为奇函数，因此的对称中心为即，因此；故A选项符合题意.
对于B选项：令，此时满足题意，但，故B选项不符题意.
对于C选项：因为的对称中心为，所以，又已知，
所以，这表明了关于直线对称，即，
由复合函数求导法则且同时两边对求导得；故C选项符合题意.
对于D选项：由的对称中心为，即，两边对求导得，
结合C选项分析结论，可知，
所以这表明了的周期为4，
因此，注意到，
所以；故D选项符合题意.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：解决本题有两个关键之处，一方面：的周期以及对称中心并举反例排除B选项；另一方面：得出的对称轴，进而求出的奇偶性、周期性.
三、填空题
13．已知向量，且，求实数
【答案】5
【解析】根据向量垂直的坐标表示可直接求出.
【详解】∵，∴，故.
故答案为：5.
14．已知函数，则 .
【答案】
【分析】代入分段函数逐步求解即可求出结果.
【详解】因为，
所以，
因此.
故答案为：.
15．已知，则 ．
【答案】
【分析】根据正切的差角公式得出，再结合二倍角正弦公式和同角三角函数的平方关系，构造齐次式化简弦为切计算即可.
【详解】由，
.
故答案为：.
16．已知函数是上的奇函数，，对，成立，则的解集为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数判断单调性，利用函数性质求解不等式作答.
【详解】依题意，构造函数，则，
因为对，成立，所以在单调递增，
又函数是上的奇函数，所以，
所以函数是上的偶函数，所以函数在单调递减，
因为，所以，又，所以当时，，，；
当时，，，；
当时，，，；
当时，，，；当和时，；
综上，当和时，，即的解集为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解决抽象不等式，往往利用函数值的符号分类讨论（或者画图象），本题的关键是根据导数式结构选择恰当的函数，然后利用导数判断函数的单调性，从而判断函数值的符号解抽象函数不等式.
四、计算题
17．计算求值：
(1)；
(2)已知，均为锐角，，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）发掘角关系再利用诱导公式，降幂公式化简求值即可.
（2）先将用来表示，代入，利用两角和差公式求解即可.
【详解】（1）
（2）∵、都为锐角，∴，
又，
∴，
，
∴
.
五、解答题
18．已知函数的定义域为A．
(1)求集合A；
(2)已知集合，，若是的充分不必要条件，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由使得偶次根式、对数函数有意义列式即可.
（2）由已知可得集合A是集合B的真子集，结合集合的包含关系即可求得结果.
【详解】（1）要使函数有意义，则，解得．
故．
（2）是的充分不必要条件，，
则集合A是集合B的真子集．
则有，解得，
所以实数m的取值范围是．
六、应用题
19．为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm），设.
(1)当时，求海报纸（矩形）的周长；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
【答案】(1)900cm
(2)选择长、宽分别为350cm，140cm的海报纸，可使用纸量最少
【分析】（1）根据宣传栏的面积以及可计算出直角三角形的高，再根据留空宽度即可求得矩形的周长；
（2）根据阴影部分面积为定值，表示出矩形面积的表达式利用基本不等式即可求得面积的最小值，验证等号成立的条件即可得出对应的长和宽.
【详解】（1）设阴影部分直角三角形的高为cm，
所以阴影部分的面积，所以，
又，故，
由图可知cm，cm.
海报纸的周长为cm.
故海报纸的周长为900 cm.
（2）由（1）知，，，
，
当且仅当，即cm，cm时等号成立，
此时，cm，cm.
故选择矩形的长、宽分别为350 cm，140 cm的海报纸，可使用纸量最少.
七、解答题
20．已知函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)为坐标原点，复数，在复平面内对应的点分别为，，求面积的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据是的对称轴，结合对称轴处取得最值，计算即可；
（2）根据复数的几何意义，建立三角形面积关于的三角函数关系，求函数值域即可.
【详解】（1）∵，即当时函数取到最值，
又，
其中，
∴，代入得，
即，解得，∴
；
（2）由（1）可得：，
由复数的几何意义知：，
∴，
当，，即，时，有最大值6；
当，，即，时，有最小值2；
∴.
21．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
(1)求角B；
(2)若，D为AC的中点，求线段BD长度的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角关系结合三角恒等变换化简，即可得出答案；
（2）利用余弦定理结合，平方，将用表示，再利用正弦定理求出，再根据三角恒等变换结合三角函数得性质即可得出答案.
【详解】（1）解：因为
所以，
则，
即，
所以，
又，则，
所以，即，
由，得，
所以，
所以；
（2）解：因为，
所以，
因为D为AC的中点，
所以，
则，
因为，
所以，
，
则
，
因为，所以，
所以，
则，所以，
所以.
22．已知函数，.
(1)当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求的单调区间及在区间上的最值；
(2)若对，恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)（i）；（ii）答案见解析
(2)
【分析】（1）（i）求出，求导得到，由点斜式写出切线方程；
（ii）求导，得到函数单调性，进而得到函数的极值，最值情况；
（2）变形为对恒成立问题，令，求导得到其单调性，并画出函数图象，求出恒过点，且在处的切线方程为，刚好在切线上，结合图象在上方，再由图象及直线斜率得到不等式，求出a的取值范围.
【详解】（1）（i）当时，，，
，，
故曲线在点处的切线方程为，
即；
（ii），，
，
令，解得，令，解得，
当时，，
又，，
其中，
故，
故的单调递增区间为，单调递减区间为；
在区间上的最大值为，最小值为；
（2），
对，恒成立，
变形为对恒成立，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
其中，，当时，恒成立，
故画出的图象如下：

其中恒过点，
又，故在处的切线方程为，
又在上，
结合图象可得此时在上方，
另外由图象可知当的斜率为0时，满足要求，当的斜率小于0时，不合要求，
故要想满足，需要，
解得，
a的取值范围是
【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.