福建省莆田市莆田文献中学2023-2024学年上学期 九年级数学期中试题

这是一份福建省莆田市莆田文献中学2023-2024学年上学期 九年级数学期中试题，共11页。试卷主要包含了下列方程是一元二次方程的是，下列图标中，是中心对称图形的是，下列事件中，为必然事件的是，将抛物线y＝等内容，欢迎下载使用。
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x+1＝0B．y+x2＝4C．x2﹣3＝0D．+x2＝2
2．下列图标中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列事件中，为必然事件的是（ ）
A．明天要下雨 B．|a|≥0 C．﹣2＞﹣1 D．打开电视机，它正在播广告
4．将抛物线y＝（x﹣2）2+3向左平移3个单位长度，平移后的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x﹣5）2+3B．y＝（x﹣2）2+6
C．y＝（x+1）2+3D．y＝（x+1）2+6
5．某城市2011年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2013年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（ ）
A．300（1+x）2＝363B．300（1+x）＝363
C．300（1+2x）＝363D．363（1﹣x）2＝300
6．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，直线FG切⊙O于点E，交PA于F，交PB于点G，若PA＝6cm，则△PFG的周长是（ ）
A．8cmB．12cmC．16cmD．20cm
7．如图，在△ABC中，∠B＝40°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，点D恰好落在BC的延长线上，则旋转角的度数（ ）
A．70°B．80°C．90°D．100°
8．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点．若∠CAB＝24°，则∠ADC的度数为（ ）
A．45°B．60°C．66°D．70°
9．如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝6，∠ABC＝60°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．9﹣3πB．C．D．
10．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（1，m），B（3，m），若点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），K（7，y3）也在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
二．填空题（共6小题）
11．如果一个正多边形的中心角为45°，那么这个正多边形的边数是 ．
12．某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同样条件下，对这种幼树进行大量移植，并完成统计情况，得到一组统计数据：
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是 （结果精确到0.1）．
13．若圆锥的底面半径为3，母线长为4，则这个圆锥的侧面积是 ．
14．大小、形状完全相同的5张卡片，背面分别写着“我”“的”“中”“国”“梦”这5个字，从中随机抽取一张，则这张卡片背面恰好写着“中”字的概率是 ．
15．某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度h（单位：m）与足球飞行的时间t（单位：s）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是 ．
16．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，I为△ABC的内心，连接OI，AI，BI．若OI⊥BI，OI＝2，则AB的长为 ．
三．解答题（共9小题）
17．用适当的方法解下列方程：
（1）x2+2x﹣3＝0； （2）x﹣7﹣x（x﹣7）＝0．
18．已知关于x的一元二次方程2x2+（2k+1）x+k＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根是正数，求k的取值范围．
19．丽丽与明明相约去天文馆参观，有C、D、E三个出口，他们从入口进入后分散参观，结束后，请用列表法或画树状图法，求她们恰好从同一出口走出的概率．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）作⊙O，使它过点A、B，C（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的圆中，若AC＝1，AB＝2，求出劣弧的长．
21．在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1）、B（﹣1，﹣1）、C（﹣3，2）．
（1）若△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A1B1C1，并写出点A的对应点A1的坐标；
（2）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A2BC2，画出△A2BC2．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB长为半径作圆经过点D，交BC于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若OB＝13，CD＝12，求EC的长．
23．某商家销售一种成本为30元的商品销售一段时间后发现，每天的销量y（件）与当天的销售单价x（元/件）满足的函数关系为y＝﹣15x+1500，物价部门规定，该商品的销售单价不能超过60元/件．
（1）问销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是9000元？
（2）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润．
24．如图1，在等边△ABC中，点D、E分别是BC、AB上的点，CD＝BE，CE与AD交于点O．
（1）填空：∠AOC＝ 度；
（2）如图2，将AO绕点A旋转60°得AF，连接BF、OF，求证：BF＝OC；
（3）如图3，若点G是AC的中点，连接BO、GO，判断BO与GO有什么数量关系？并说明理由．
25.已知：抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点（﹣1，0），（2，0）．
（1）b、c分别用含a的式子表示为：b＝ ，c＝ ；
（2）将抛物线C1向左平移个单位，得到抛物线C2．直线y＝kx+a（k＞0）与C2交于A，B两点（A在B左侧）．P是抛物线C2上一点，且在直线AB下方．作PE∥y轴交线段AB于E，过A、B两点分别作PE的垂线AM、BN，垂足分别为M，N．
①当P点在y轴上时，试说明：AM•BN为定值．
②已知当点P（a，n）时，恰有S△ABM＝S△ABN，求当1≤a≤3时，k的取值范围．
莆田文献中学2023-2024学年上学期期中考试卷
参考答案与试题解析
选择题（共10小题，共40分）
1-5 CBBCA 6-10 BDCDB
填空题（共6小题，共24分）
11.8 12.0.9 13.12π 14 16.45
解答题（共8小题，共86分）
17、（1）解：（1）（x+3）（x﹣1）＝0，
x+3＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣3，x2＝1；
（2）（x﹣7）（1﹣x）0，
x﹣7＝0或1﹣x＝0，
所以x1＝7，x2＝1．
18、解：（1）由题意，得Δ＝（2k+1）2﹣8k
＝（2k﹣1）2
∵（2k﹣1）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）由求根公式，得，x2＝﹣k．
∵方程有一个根是正数，
∴﹣k＞0．
∴k＜0
19.解：画树状图如下：
∵共有9种等可能的情况，其中恰好从同一出口走出的情况有3种，
∴她们恰好从同一出口走出的概率为＝．
20.解：（1）如图，⊙O为所作；
（2）连接OC，如图，∵OA＝OC＝1，AC＝1，
∴OA＝OC＝AC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，
∴劣弧的长＝＝π．
21.解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2BC2即为所求．
22.（1）证明：连接OD，
∵BD为∠ABC平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB，
∴∠CBD＝∠ODB，
∴OD∥BC，
∵∠C＝90°
∴∠ODA＝90°，
则AC为圆O的切线；
（2）解：过O作OG⊥BC，连接OE，
∴四边形ODCG为矩形，
∴GC＝OD＝OB＝13，OG＝CD＝12，
在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG＝5，
∴BC＝18，
∵OG⊥BE，OB＝OE，
∴BE＝2BG＝10．
∴EC＝18﹣10＝8．
23.解：（1）根据题意，得（x﹣30）（﹣15x+1500）＝9000，
整理，得x2﹣100x+2400＝0，
解得x1＝40，x2＝90，
∵销售单价最高不能超过60元/件，
∴x＝40，
答：销售单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润9000元；
（2）设销售利润为w元，
则w＝（x﹣30）（﹣15x+1500）＝﹣15（x﹣65）2+18375，
∵﹣10＜0，且销售单价最高不能超过60元/件，
∴当x＝60时，w取最大值为：18000，
故当销售单价定为60元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，其最大利润为18000元．
24.（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠ACD＝60°，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴∠CAD＝∠BCE，
∴∠AOE＝∠CAD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝60°，
∴∠AOC＝180°﹣60°＝120°；
故答案为：120；
（2）证明：将AO绕点A旋转60°得AF，连接BF、OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴AF＝AO，∠FAO＝60°＝∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAO，
∴△ABF≌△ACO（SAS），
∴BF＝CO；
（3）解：BO＝2GO，理由如下：
如图，延长AO至H，使OH＝AO，连接CH，
∵点G是AC的中点，
∴AG＝GC，
又∵AO＝OH，
∴CH＝2OG，
∵△AFO是等边三角形，
∴AF＝AO＝FO，∠AFO＝∠AOF＝60°，
∴FO＝HO，∠AOC＝120°，∠COH＝60°，
∵△ABF≌△ACO，
∴∠AOC＝∠AFB＝120°，
∴∠BFO＝60°＝∠COH，
又∵BF＝OC，
∴△BFO≌△COH（SAS），
∴CH＝BO，
∴BO＝2OG．
25.解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2），
故b＝﹣a，c＝﹣2a，
故答案为：﹣a，﹣2a；
（2）设：点A、B的坐标分别为：（x1，y1）、（x2，y2），
①由（1）知，b＝﹣a，c＝﹣2a，
抛物线C1的表达式为：y＝ax2﹣ax﹣2a＝a（x﹣）2﹣，
则抛物线C2的表达式为：y＝ax2﹣，
联立直线与抛物线C2的表达式并整理得：ax2﹣kx﹣＝0，
则|x1x2|＝＝AM•BN，
故AM•BN为定值；
②∵S△ABM＝S△ABN，
∴AM＝BN，a﹣x1＝x2﹣a，则x1+x2＝2a，
∵x1+x2＝，
∴＝2a，
∴k＝2a2，
∵1≤a≤3，
∴2≤k≤18．
移植总次数n
1500
3500
7000
9000
14000
成活数m
1335
3203
6335
8037
12628
成活的频率
0.890
0.915
0.905
0.893
0.902