2024届四川省兴文第二中学校高三上学期10月月考数学（理）试题含答案

这是一份2024届四川省兴文第二中学校高三上学期10月月考数学（理）试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合N={x|x2-x-2≤0}，M={-2,0,1}，则M∩N=（ ）
A．[-1，2]B．[-2，1]C．D．
【答案】D
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再利用集合的交运算即可求解.
【详解】由，
M={-2，0，1}，
则M∩N=.
故选：D
【点睛】本题考查了集合的交运算、一元二次不等式的解法，考查了基本运算能力，属于基础题.
2．已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根据复数的代数形式的几何意义得到对应点的坐标，进而判定.
【详解】复数对应的点的坐标为,为第四象限的点，
故选:D.
3．某学校共有学生人，其中高一年级人，高二年级与高三年级人数相等，学校为了了解学生在寒假期间每天的读书时间，按照分层抽样的方法从全校学生中抽取人，则应从高二年级抽取的人数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设高二年级应抽取人，根据分层抽样的含义列出方程，解出即可.
【详解】由题意知，高二年级有600人，设高二年级应抽取人，
则，得，
故选：B.
4．已知均为单位向量，若，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先根据题意得，再根据向量夹角公式即可得答案.
【详解】解：由，均为单位向量，得，
所以，
故与的夹角为.
故选：B.
【点睛】本题考查向量夹角的计算公式，向量模的计算，考查运算能力，是基础题.
5．已知，，，则a，b，c的大小关系（ ）
A．a>b>cB．a>c>bC．c>b>aD．b>a>c
【答案】D
【解析】利用指数、对数的运算和指数函数的单调性判断.
【详解】因为，，，
所以b>a>c
故选：D
【点睛】本题主要考查指数、对数和幂的大小比较，属于基础题.
6．已知和是两个互相垂直的单位向量，，则是和夹角为的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】计算出，利用向量夹角公式求出，根据充分不必要条件的判定即可得到答案.
【详解】，，，
，令，解得，
则和夹角为，，
则可得到和夹角为，
故是和夹角为的充分不必要条件.
故选：A.
7．已知函数，则的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据给定的函数，由时的单调性排除两个选项，当时，利用导数探讨函数的单调性、极值判断作答.
【详解】函数的定义域为，
当时，，因为函数在上递增，函数在上递减，
因此函数在上递增，BD错误；
当时，，求导得：在上递增，
，，而，即有，
则存在，使得，当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，C选项不满足，A选项符合要求.
故选：A
8．设函数是定义在R上的奇函数，且，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据是奇函数，可得，即可求出，进而可求.
【详解】是奇函数，，即，
即，，，
.
故选：C.
9．已知，，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，，由其单调性结合图象得出大小关系.
【详解】构造函数，，，，
易知函数，为增函数.
函数，与函数的图象，如下图所示：
由图可知，.
又，，所以.
综上，.
故选：B
10．锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据余弦定理和正弦定理化简得，再求出的范围即可.
【详解】由，得，由余弦定理得，
∴，即，
由正弦定理得，
∵，
∴，
即.
∵，∴，∴，
又为锐角三角形，∴，
∴，解得，
又，，，∴，
∴.
故选：B.
11．在中，为的中点．将沿翻折，得到三棱锥，当二面角为时，三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意得该三棱锥的面，是边长为1的正三角形，平面，将三棱锥补形成正三棱柱，三棱锥的外接球球心就是正三棱柱的外接球球心，求出其半径可得解.
【详解】由题意，，二面角的平面角是，，又，
是边长为1的正三角形，
平面，将三棱锥补形成正三棱柱，
三棱锥的外接球球心就是正三棱柱的外接球球心，
取外接圆的圆心，外接圆的圆心，
根据对称性知正三棱柱的外接球球心是的中点，
，，
又是边长为1的正三角形，点是其外心，，
在中，，
即，三棱锥的外接球的表面积为.
故选：C.

12．已知函数，，对任意，，都有不等式成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将问题转化为，利用导数求在上的最小值、在上的最小值，即可得结果.
【详解】对任意，，都有不等式成立，
，，，则在区间上单调递增，
∴，
，，，则在上单调递增，
，，则在上单调递减，
，，故，
综上，.
故选：C
二、填空题
13．已知，满足，则目标函数的最大值是 .
【答案】
【分析】作出不等式组所表示的区域，转化为直线在轴上的截距最大值问题即可.
【详解】根据题意，作出所表示的可行域，如图：
由，得，作出的平行直线簇，
结合图像可知当经过点时，截距取得最大值，即取得最大值，
联立，解得，即，
所以.
故答案为：5.
14．若周期为的函数，在其定义域内是偶函数，则函数的一个解析式为 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据奇偶性和周期性直接构造即可.
【详解】为偶函数，若其最小正周期为，则，
一个满足题意的解析式为.
故答案为：（答案不唯一）.
15．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则 .
【答案】/
【分析】根据三角函数的定义和二倍角公式可得答案.
【详解】根据三角函数的定义可知，，
由二倍角公式得.
故答案为：.
16．，其最大值和最小值的和为 ．
【答案】0
【分析】证明函数是奇函数即得解.
【详解】由题得函数的定义域为，关于原点对称.
所以是奇函数，故其最大值和最小值的和为0．
故答案为：0
三、解答题
17．已知函数在与处都取得极值.
(1)求，的值；
(2)若方程有三个实数根，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）求出函数的导数，由给定的极值点列出方程，求解验证作答.
（2）求出函数的极大值和极小值，再根据三次函数的图象特征列不等式即可求解作答.
【详解】（1）由求导得：，
依题意，，解得，此时，，
当或时，，当时，，即，是函数的极值点，
所以.
（2）由（1）知，，令，，
由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减，
当时，取极大值，当时，取极小值，
因方程有三个实数根，则函数有三个零点，
于是得，解得，
所以实数的取值范围是.
18．已知函数的两个相邻的对称中心的距离为．
(1)求在上的单调递增区间；
(2)当时，关于x的方程有两个不相等的实数根，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角正弦公式、降幂公式、辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦型函数的对称性和单调性进行求解即可；
（2）根据正弦函数的对称性，结合两角和的余弦公式进行求解即可,
【详解】（1）
，
由题意知，的最小正周期为，所以，解得，
∴，
令，解得
取，则取，则，
所以在上的单调递增区间为．
（2）由（1）知，
当时，，
由的对称性可知，解得，
所以.
19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若，当取最大值时，求外接圆的半径．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用切化弦、和差角的正弦和正弦定理化简已知等式即得解；
（2）由题得，平方得，再利用基本不等式求出，由余弦定理和勾股定理求出，再利用正弦定理求出三角形外接圆半径.
【详解】（1），
即，
，
即，
则，又，
．
（2）由题得,
所以，
所以，所以，
所以（当且仅当时取等）
所以.
由余弦定理得.
所以，所以.
所以
设外接圆的半径为,所以
所以外接圆的半径为.
四、证明题
20．如图，在三棱锥中，是等边三角形，，是边的中点.

(1)求证：；
(2)，，平面与平面所成二面角为，求直线与平面所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）连接，根据题意证得，结合线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得；
（2）过作的垂线，由平面，以为原点建立空间直角坐标系，根据题意求得平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）证明：如图所示，连接，因为是等边三角形，所以
在和中，因为，，
所以，所以，
又因为是边的中点，所以，.
因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以.
（2）解：在中，过作的垂线，交与点，
由（1）可得平面，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示，
又由，且平面与平面所成二面角为，
因为，，所以为平面与平面所成二面角的平面角，
即，所以，
可得，，，，，
设平面的法向量为，且，
则，令，则，，所以
又因为，
设直线与平面所成角为，则，
可得，即直线与平面所成角的余弦值为.

五、解答题
21．已知函数，.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当，讨论的零点个数；
【答案】（1）单调递减区间为，；单调递增区间为，；（2）答案见解析.
【分析】（1）根据函数奇偶性，只研究在上单调性，利用导数根据其函数值的正负，即可求得函数的单调区间；
（2）对参数进行分类讨论，根据函数的单调性以及最值，即可求得函数的零点个数.
【详解】∵∴为偶函数，
只需先研究,
,
,
当，，当，，
所以在单调递增，在，单调递减,
所以根据偶函数图象关于轴对称，
得在单调递增，在单调递减，
故单调递减区间为：，；单调递增区间为：，.
（2）,
①时，在恒成立,
∴在单调递增
又，所以在上无零点
②时，，
使得，即.
又在单调递减，
所以，，，
所以，单调递增，，单调递减，
又，
（i），即时
在上无零点，
又为偶函数，所以在上无零点，
（ii），即.
在上有1个零点，
又为偶函数，所以在上有2个零点，
综上所述，当时，在上有2个零点，
当时，在上无零点.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及零点个数，属综合中档题.
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）射线：与曲线交于点A，射线：与曲线交于点B．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系；
(1)直接写出曲线、射线的极坐标方程．
(2)求△AOB的面积．
【答案】(1)曲线的极坐标方程为，射线的极坐标方程为
(2)
【分析】（1）曲线表示单位圆，直接写出极坐标方程，射线表示轴非负半轴，即可求极坐标方程；
（2）首先求点的极坐标，再求的面积.
【详解】（1）曲线的极坐标方程为，
射线的极坐标方程为；
注：没有注明也是正确的．
（2）的极坐标方程为，
射线的极坐标方程．
由得点A的一个极坐标为．
由，得点B的一个极坐标为．
∴
．
23．已知函数，记的最小值为m.
(1)求m；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)1;
(2).
【分析】（1）将写成分段函数的形式，求出分段函数的最小值，即可得到结果；
（2）由（1）可知，再利柯西不等式求出最小值.
【详解】（1）
当时，；
当时，；
当时，；
综上，，故．
（2），
，
即
当且仅当时，即时等号成立，
的最小值为．