2024届重庆市巴蜀中学校高三上学期适应性月考（三）数学试题含答案

这是一份2024届重庆市巴蜀中学校高三上学期适应性月考（三）数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，，，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对描述法表示的集合的理解，设出的表示形式，得到，判断其与集合的关系即可.
【详解】因为，，
则由题意可设，，其中，
则，且，
故，
故选：D．
2．已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，利用待定系数法求得，进而利用不等式的性质求解范围即可.
【详解】设，
所以，解得，所以；
又，，所以，
故选：D.
3．已知函数（，）恒过定点，则函数的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】利用指数函数的性质求解.
【详解】∵，∴恒过定点，
∴，，∴，其图象不经过第四象限，
故选：D.
4．已知非零向量，的夹角为，且满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平面向量数量积的几何意义求解投影向量即可.
【详解】因为，所以，
所以，，
所以在方向上的投影向量为.
故选：A.
5．已知抛物线C：，点M在C上，直线l：与x轴、y轴分别交于A，B两点，若面积的最小值为，则（ ）
A．44B．4C．4或44D．1或4
【答案】B
【分析】为定值，设则可将面积表示为以为自变量的二次函数，依据二次函数的性质可将面积的最小值用表示出来，因为面积的最小值为，解方程可以求出的值.
【详解】不妨设，，由，，
知．设，
则，
故，故.
故选：B．
6．把二项式的所有展开项重新排列，记有理项都相邻的概率为，有理项两两不相邻的概率为，则（ ）
A．5B．C．4D．
【答案】A
【分析】根据二项式的展开公式可得有5项有理项，4项无理项，从而可得、的值，再代入求解即可得答案.
【详解】解：，其中，，
当时为有理项，故有5项有理项，4项无理项，
故，，故.
故选:A．
7．已知等差数列的前n项和为，对任意的，均有成立，则的值的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据已知得出，公差，然后返和(即)分类计算.
【详解】由题意知是等差数列的前n项和中的最小值，必有，公差，
若，此时，，是等差数列的前n项和中的最小值，
此时，即，则；
若，，此时是等差数列的前n项和中的最小值，
此时，，即，
则，
综上可得：的取值范围是，
故选:B．
8．已知函数的定义域为，导函数为，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知有，构造则，构造则，即在上是单调递增，把目标不等式化为，即可求解集.
【详解】由，得，
令，则，，
所以，则，
令，则，
所以在上是单调递增．
不等式等价于，即，
而，所求不等式即．
由于在上是单调递增函数，所以，故不等式的解集为.
故选：C．
【点睛】关键点点睛：根据已知结合复合函数的求导法则，构造得，进而构造判断单调性为关键.
二、多选题
9．分别经过以下选项中的图象变换之后，能得到函数的图象的是（ ）
A．先将的图象上各点的横坐标缩小为原来的，再将图象关于x轴翻折
B．先将的图象上各点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位长度
C．先将的图象向右平移个单位长度，再将各点的横坐标缩小为原来的
D．先将的图象向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩小为原来的
【答案】ABD
【分析】先得到，再利用三角函数图象的平移变换和伸缩变换求解判断.
【详解】函数，
A选项，将的图象上各点的横坐标缩小为原来的得，
再将图象关于x轴翻折得到的图象，故正确；
B选项，将的图象上各点的横坐标缩小为原来的，得，
再向右平移个单位长度得的图象，故正确；
C选项，将的图象向右平移个单位长度得的图象，
再将各点的横坐标缩小为原来的得的图象，故错误；
D选项，将的图象左平移个单位长度得，
再将各点的横坐标缩小为原来的得的图象，故正确，
故选：ABD．
10．已知向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，可以作为平面向量的一组基底，则
B．若，则
C．若，则有最小值
D．若，则
【答案】ACD
【分析】利用向量基底的性质与对数运算即可判断A；利用向量垂直与指数运算即可判断B；利用基本不等式“1”的妙用即可判断C；利用模的运算公式，结合不等式的性质即可判断D.
【详解】因为，，所以．
对A：若，可以作为平面向量的一组基底，
则，不平行，故，，故，故A正确；
对B：若，则，
故，则的值不确定，则的值不确定，故B错误；
对C：若，其中，，
则，
当且仅当，即时取等号，故C正确；
对D：由，知，故且，
故，故，故D正确.
故选：ACD．
11．已知定义在R上的函数，记在上的极值点为共n个，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．当时，对任意，均为等差数列
D．当时，存在，使得为等差数列
【答案】BC
【分析】求导，令导数等于0，转化为与的交点，数形结合及等差数列的性质即可求.
【详解】，令，
则，当时，，
则无解，此时无极值点；
当时，，数形结合知：
与在上有个交点，
对应在上的极值点为，
且，，故A错误，B正确；
当时，，并且，故为等差数列，C正确；
当时，，并且，，，
故要使为等差数列，只需为等差数列，
即等价于成立即可，
故，
由二倍角公式：，故时无解，故当时，不存在使得为等差数列，D错误.
故选：BC．
12．已知函数且），则下列说法正确的是（ ）
A．若函数有4个零点，则
B．当时，函数有4个零点
C．若函数有2个零点，则
D．当时，函数有2个零点
【答案】BC
【分析】根据题意，得到与都是偶函数，结合时，与的图象的交点，分类讨论，画出两个函数的图象，即可求解.
【详解】令，则，与都是偶函数，
只需考虑时，与的图象的交点；
当时，作出函数，的图象，如图（1）所示，
可得函数，的图象有两个交点，
所以当时，函数的零点个数为2；
当时，作出函数，的图象，此时两个函数图象的交点个数取决于方程的解的个数，与的函数图象关于对称，
故临界情况是与都与相切，
此时有，可得，即，所以，
当时，时，函数，的图象有3个交点，如图（2）所示，
当时，函数，的图象有2个交点，如图（3）所示；
当时，函数，的图象有1个交点，如图（4）所示．
综上所述：当时，函数的图象有2个零点；
当或时，函数的图象有4个零点；
当时，函数的图象有6个零点.
故选：BC．


三、填空题
13．已知在等比数列中，，是方程的两个实数根，则 ．
【答案】
【分析】根据根与系数的关系可得，，进而可得，，最后根据等比数列的性质即可求解.
【详解】∵，是方程的两个实数根，∴，，
故，，根据等比数列的性质有：且，
故．
故答案为：
14．已知，是双曲线的下、上焦点，直线与x轴交于点，与双曲线的渐近线在第三象限内交于点，且，则双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【分析】由，可得是的中点，进而求得，即可求得双曲线的渐近线方程．
【详解】如图所示，由直线过上焦点且倾斜角为，
因为，可得是的中点，
由，，则，
则，故双曲线的渐近线方程为．
15．已知函数满足：①的图象过点；②是偶函数；③对任意的非零实数，，，请写出一个满足上述条件的函数 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用对数的运算性质、函数的奇偶性运算即可得解.
【详解】解：∵对任意的非零实数，，，是偶函数，
∴令，
又∵的图象过点，
∴，解得：，故．
故答案为：.
16．在三角函数部分，我们研究过二倍角公式，我们还可以用类似方式继续得到三倍角公式．根据你的研究结果解决如下问题：在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用，再根据整体思想将转化为两角和的余弦值化简，再利用诱导公式可得，根据锐角三角形性质可得取值范围，从而得的取值范围，代入化简即可得出结论.
【详解】三倍角公式：
，
因为，
所以.
故，△ABC为锐角三角形，故解得，
故，．
故答案为：
四、解答题
17．2023年9月23日，第19届亚洲运动会在杭州正式开幕．这是1990年第11届北京亚运会、2010年第16届广州亚运会之后，中国第三次主办亚运盛会，也进一步激发了中国全民参与体育活动的热情．为调查学生对亚运会相关知识的了解情况，某中学进行了亚运会知识问答测试，将得分在70分及以上的学生称为“亚运迷”．现将该学校参与知识问答活动的学生的得分（满分100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图：
(1)估计该学校学生参与知识问答测试的得分的中位数（结果保留一位小数）；
(2)按是否为“亚运迷”比例采用分层抽样的方法抽取5名学生前往杭州参加亚运志愿者活动，其中2名学生参与宣传工作，3名学生参与场务工作．记参与宣传工作的“亚运迷”的学生人数为，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；
【分析】（1）根据给定的频率分布直方图中的数据，结合中位数的计算方法，即可求解；
（2）根据题意，得到的所有可能取值分别为，求得相应的概率，得出分布列，进而求得数学期望.
【详解】（1）解：由频率分布直方图可知：分数低于70分的学生所占比例为40%，分数低于80分的学生的所占比例为70%，所以该学校学生参与知识问答测试的得分的中位数在内．
由，
所以该学校学生参与知识问答测试的得分的中位数约为分.
（2）解：根据按比例的分层抽样：抽取的“亚运迷”学生3人，“非亚运迷”学生2人，
的所有可能取值分别为，
可得，，，
所以的分布列为：
所以数学期望．
18．已知函数，且，的最小正周期为．
(1)求的解析式；
(2)求函数在区间上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由三角恒等变换公式化简，即可得到，再由其最小正周期为，即可求得；
（2）根据题意，由条件可得，再由正弦型函数的值域，即可得到结果.
【详解】（1）由，，知，，
故
，
所以，解得，
所以．
（2）由，得，，
在上单调递增，在上单调递减,
，，，
所以函数在区间上的值域为．
19．已知数列满足，．
(1)若且数列是递增数列，求实数k的取值范围；
(2)若且，求数列的通项公式．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由已知得，进而有，应用作差法证对一切都有，即得范围；
（2）由题设有且，由等比数列定义写出通项公式，即得的通项公式．
【详解】（1）由，知，故．
当时，显然，且，
故与同号，故对一切都有．
综上所述：实数k的取值范围是．
（2）若且，则，由，知，
两边取对数：，且，
故，故，
故数列的通项公式为．
20．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，．
(1)若，求△ABC的面积；
(2)若D为所在平面内一点，且D与B不在直线AC的同一侧，，求四边形ABCD面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理，结合平面向量数量积的定义、两角和的正弦公式进行求解即可；
（2）根据余弦定理、三角形面积公式、辅助角公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可.
【详解】（1）在中，由，
可得：，而，
所以，即或．
由，可得，
则，，所以，
由正弦定理可知：，
因为，所以，又，则，故．
又由，知，，
故的面积为．
（2）在中，由余弦定理：，
在中，，则，
故
，
其中，，
所以，当时，取得最大值．
.
21．已知椭圆C：的上、下顶点分别为A，B，左顶点为D，是面积为的正三角形．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆外一点的直线交椭圆于P，Q两点，已知点P与点关于x轴对称，直线与x轴交于点K；若是钝角，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.
（2）联立直线的方程与椭圆的方程，化简写出根与系数关系，根据对称性以及∠AKB是直角列不等式来求得的取值范围.
【详解】（1）由已知得，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）设直线的方程为，联立方程
得：．
则，即，
设，，则由韦达定理：
由点P与点关于x轴对称知，
由M，P，Q三点共线知，即，即，
故，即．
代入韦达定理：，
由，知，
故直线与x轴交于定点．
由在椭圆C：外，得：，
由是钝角，知（O为坐标原点），
即，解得，
综上所述：m的取值范围是．
【点睛】方法点睛：求解椭圆的方程，关键是求得，是两个参数，要求得两个参数，所以需要两个条件，如本题中，等边三角形以及等边三角形的面积，一共两个条件，用这两个条件列方程组，即可求得，从而求得椭圆的方程.
22．已知函数，．
(1)求证：时，；
(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围；
(3)当时，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，转化为，令，利用导数求得的单调性，结合，即可得证；
（2）令，转化为在上恒成立，令在上恒成立， 求得，分、和，三种情况讨论，即可求解；
（3）由（1）（2），令，转化为在上恒成立，令在上恒成立． 分、和，三种情况讨论，结合函数的单调性和最值，即可求解.
【详解】（1）证明：时，求证等价于求证，
令，则，故在上单调递减，
故，不等式成立．
（2）解：令，
因为，所以题设等价于在上恒成立，
即在上恒成立，
可得，且，．
（i）当时，在上，，故，所以，符合题意；
（ii）当时，在上恒成立，故在上单调递增，故，所以，符合题意；
（iii）当时，，，
故必存在，使得，且当时，，
故在上单调递减，故在上，不符合题意．
综上所述：实数a的取值范围是．
（3）解：由（1）知：在上恒成立．
由（2）知：当时，，即在上恒成立．
令，
因为，所以题设等价于在上恒成立，
即：在上恒成立．
（i）当时，在上，，故，所以，符合题意；
（ii）当时，，
令，，
则
，
所以在上单调递增，所以，故，所以，
符合题意；
（iii）当时，，
当且时，，
故，不符合题意．
综上所述：实数的取值范围为．
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
0
1
2
P