甘肃省兰州市天庆实验中学2023—-2024学年上学期九年级期中数学试卷

这是一份甘肃省兰州市天庆实验中学2023—-2024学年上学期九年级期中数学试卷，共29页。

A．B．
C．D．
2．（3分）如图，若AB∥CD，EF⊥CD，则∠1等于（ ）
A．26°B．36°C．46°D．54°
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a6＝a8B．（﹣2a）3＝6a3
C．2（a+b）＝2a+bD．2a+3b＝5ab
4．（3分）2022年北京冬奥会开幕式为世界奉献了一场精彩、简约、唯美、浪漫的中国文化盛宴，其中主火炬台的雪花状创意令人惊叹．如图是一个正六边形雪花状饰品，则它的每一个内角是（ ）
A．60°B．105°C．120°D．135°
5．（3分）已知x＜y，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．x﹣5＞y﹣5B．﹣2x＞﹣2yC．a2x＜a2yD．
6．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个根是x＝﹣1，则方程的另一个根为（ ）
A．﹣2B．2C．3D．﹣3
7．（3分）如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）两个相似三角形的相似比是4：9，则其面积之比是（ ）
A．2：3B．4：9C．9：4D．16：81
9．（3分）如图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，C，D，E，使得A，B与C共线，A，且直线AC与河岸垂直，直线BD，得到BC，CE，设AB的长为x，则下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）我国党的二十大报告指出从2020年到2035年基本实现社会主义现代化，从2035年到本世纪中叶把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国．2021年我国GDP约为115万亿元，如果以后每年按相同的增长率增长，将增长率记作x，可列方程为（ ）
A．115+115（1+x）＝135
B．115（1+x）＝135
C．115（1+x）2＝135
D．115（1+x）+115（1+x）2＝135
11．（3分）在学习画线段AB的黄金分割点时，小明过点B作AB的垂线BC，取AB的中点M，BM为半径画弧交射线BC于点D，连接AD，DB为半径画弧，前后所画的两弧分别与AD交于E，最后，以A为圆心，点H即为AB的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（ ）
A．AFB．DFC．AED．DE
12．（3分）如图，已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，我们把关于x的形如的一次函数称为“勾股一次函数”在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是5（ ）
A．1B．5C．25D．
二.填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）分解因式：m3﹣16m＝ ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O、B的坐标分别是（0，0）、（2，0） ．
15．（3分）一次函数y＝kx+b（k≠0）中，x与y的部分对应值，如表：那么 ．
16．（3分）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，折痕为BN，点A对应的点记为点M，则图中与△NDM一定相似的三角形是 ．
三.解答题（共12小题）
17．（4分）．
18．（4分）先化简，再求值：，其中x＝3．
19．（6分）用适当的方法解下列方程：
（1）2（x﹣1）2＝18；
（2）x2﹣4x+1＝0．
20．（4分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1；
（2）请以原点O为位似中心，在第四象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1．
​
21．（6分）如图，已知直线l：y＝kx+b与x轴、y轴分别交于A，B两点，x轴上一点C的坐标为（6，0），P是直线l上一点．
（1）求直线l的函数表达式；
（2）连接OP和CP，当点P的横坐标为2时，求△COP的面积．
22．（5分）【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y
（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，整理数据如下：
【实践探究】分析数据如下：
【问题解决】
（1）m＝ ，n＝ ，求荔枝树叶的长宽比的平均数．
（2）A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”
B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”以上两位同学的说法中，合理的是 同学；
（3）现有一片长11cm，宽5.6cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由．
23．（5分）在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，欲从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买30瓶免洗手消毒液和60瓶84消毒液，如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元．
（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？
（2）若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打八折；方案二，学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶
24．（6分）如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，EO与AB交于点F．
（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明你的理由；
（2）求证：EO＝DC．
25．（6分）如图②，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5m，当他从A处摆动到A'处时，若A'B⊥AB
26．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若AC＝3，BC＝4，求BD的长．
27．（8分）【题目】如图①：根据图形填空：
（1）∠1＝∠C+ ，∠2＝∠B+ ；
（2）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ +∠1+∠2＝ ；
【应用】
（3）如图②．求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
【拓展】
（4）如图③，若∠BGF＝110°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的大小为 度．
28．（12分）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）
2023-2024学年甘肃省兰州市天庆实验中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共12小题每小题3分，共36分）
1．（3分）如图，该几何体的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
2．（3分）如图，若AB∥CD，EF⊥CD，则∠1等于（ ）
A．26°B．36°C．46°D．54°
【分析】先根据垂直的性质得出∠GFD的度数，再由平行线的定义即可得出结论．
【解答】解：∵EF⊥CD，∠2＝36°，
∴∠EFD＝90°，
∴∠GFD＝∠EFD﹣∠2＝90°﹣36°＝54°，
∵AB∥CD，
∴∠7＝∠GFD＝54°．
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线的性质和垂线的定义，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a6＝a8B．（﹣2a）3＝6a3
C．2（a+b）＝2a+bD．2a+3b＝5ab
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，单项式乘多项式及合并同类项的法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a2•a6＝a6，故本选项符合题意；
B．（﹣2a）3＝﹣4a3，故本选项不合题意；
C．2（a+b）＝5a+2b；
D．2a和2b不是同类项，故本选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
4．（3分）2022年北京冬奥会开幕式为世界奉献了一场精彩、简约、唯美、浪漫的中国文化盛宴，其中主火炬台的雪花状创意令人惊叹．如图是一个正六边形雪花状饰品，则它的每一个内角是（ ）
A．60°B．105°C．120°D．135°
【分析】根据多边形的内角和公式：多边形的内角和＝180°×（n﹣2），再利用内角和÷6即可得出每个内角的度数．
【解答】解：180°×（6﹣2）
＝180°×8
＝720°，
720°÷6＝120°，
答：一个六边形的每个内角的度数是120°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形内角和公式的灵活运用，关键是熟记公式．
5．（3分）已知x＜y，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．x﹣5＞y﹣5B．﹣2x＞﹣2yC．a2x＜a2yD．
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵x＜y，
∴x﹣5＜y﹣5，故本选项不符合题意；
B．∵x＜y，
∴﹣5x＞﹣2y，故本选项符合题意；
C．当a＝0时6x＝a2y，故本选项不符合题意；
D．∵x＜y，
∴＜，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，能熟练掌握不等式的性质是解此题的关键．
6．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个根是x＝﹣1，则方程的另一个根为（ ）
A．﹣2B．2C．3D．﹣3
【分析】解法一：利用根与系数的关系得到，算出x2即可．
解法二：将﹣1代入方程中求得m的值，再解一元二次方程即可．
【解答】解：解法一：由题意设一元二次方程x2﹣x+m＝0的两根分别为x2＝﹣1，x2，
∵，
∴x5＝1﹣x1＝3﹣（﹣1）＝2，
∴方程的另一个根为3．
故选：B．
解法二：∵一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个根是x＝﹣3，
∴（﹣1）2﹣（﹣6）+m＝0，
∴m＝2，
∴x5﹣x+2＝0，
解得：x4＝﹣1，x2＝7，
∴方程的另一个根为2．
故选：B．
【点评】本题主要考查根与系数的关系、一元二次方程的解，解题关键是熟知根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝．
7．（3分）如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用列表法或树状图法列举出所有可能的结果，统计出能让灯泡L1发光的结果数，再根据等可能事件概率公式求出即可．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有6种等可能情况1发光的有4种情况，
∴P（灯泡L1发光）＝．
故选：B．
【点评】本题考查列表法和树状图法求等可能事件的概率，解答时涉及简单的物理知识．掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
8．（3分）两个相似三角形的相似比是4：9，则其面积之比是（ ）
A．2：3B．4：9C．9：4D．16：81
【分析】直接利用相似三角形的性质分析得出答案．
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是4：9，
∴其面积之比是16：81，
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题关键．
9．（3分）如图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，C，D，E，使得A，B与C共线，A，且直线AC与河岸垂直，直线BD，得到BC，CE，设AB的长为x，则下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接利用相似三角形的应用，正确得出△ABD∽△ACE，进而得出比例式即可得出答案．
【解答】解：由题意可得：△ABD∽△ACE，
则，
故，
故选：A．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
10．（3分）我国党的二十大报告指出从2020年到2035年基本实现社会主义现代化，从2035年到本世纪中叶把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国．2021年我国GDP约为115万亿元，如果以后每年按相同的增长率增长，将增长率记作x，可列方程为（ ）
A．115+115（1+x）＝135
B．115（1+x）＝135
C．115（1+x）2＝135
D．115（1+x）+115（1+x）2＝135
【分析】利用2023年我国的GDP＝2021年我国的GDP×（1+我国GDP每年的增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：115（1+x）2＝135．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．（3分）在学习画线段AB的黄金分割点时，小明过点B作AB的垂线BC，取AB的中点M，BM为半径画弧交射线BC于点D，连接AD，DB为半径画弧，前后所画的两弧分别与AD交于E，最后，以A为圆心，点H即为AB的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（ ）
A．AFB．DFC．AED．DE
【分析】根据作图可知，∠ABD＝90°，，设DB＝DF＝a，则AB＝2a，，求出，得出，即可得出结论．
【解答】解：根据作图可知，∠ABD＝90°，，
设DB＝DF＝a，则AB＝3a，
∴根据勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴以A为圆心，“AF”的长度为半径画弧交AB于点H，故A正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理，黄金分割，解的关键是求出．
12．（3分）如图，已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，我们把关于x的形如的一次函数称为“勾股一次函数”在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是5（ ）
A．1B．5C．25D．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出+＝①，由Rt△ABC的面积是5，可得出a•b＝10，将方程①两边同时平方可得出＝，结合a2+b2＝c2，即可得出关于c的方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：∵点在“勾股一次函数”的图象上，
∴+＝①；
∵Rt△ABC的面积是5，
∴a•b＝5，
∴a•b＝10．
方程①两边同时平方得：＝，
又∵a6+b2＝c2，
∴＝，
解得：c1＝8，c2＝﹣5，
经检验，c2＝5，c2＝﹣4均为原方程的解，且c1＝5符合题意，c7＝﹣5不符合题意，舍去．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及勾股定理，根据一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积计算公式及勾股定理，找出关于c的方程是解题的关键．
二.填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）分解因式：m3﹣16m＝ m（m+4）（m﹣4） ．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：m3﹣16m
＝m（m2﹣16）
＝m（m+4）（m﹣4）．
故答案为：m（m+4）（m﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O、B的坐标分别是（0，0）、（2，0） （1，﹣1） ．
【分析】根据正方形的性质可知点A、C关于x轴对称，AC所在直线为OB的垂直平分线，根据正方形对角线计算求出点C的坐标．
【解答】解：连接AC，
∵四边形OABC是正方形，
∴点A、C关于x轴对称，
∴AC所在直线为OB的垂直平分线，即A，
根据正方形对角线相等的性质，AC＝BO＝2，
又∵点A、C关于x轴对称，
∴A点纵坐标为1，C点纵坐标为﹣4，
故C点坐标为（1，﹣1）．
故答案为：（2，﹣1）．
【点评】本题考查了正方形对角线互相垂直平分且相等的性质，根据对角线相等的性质求对角线AC的长度，即求点C的纵坐标是解题的关键．
15．（3分）一次函数y＝kx+b（k≠0）中，x与y的部分对应值，如表：那么 1 ．
【分析】此题实际上是求当y＝0时，所对应的x的值，根据表格求解即可．
【解答】解：根据表格可得：
当y＝0时，x＝1，
故答案为：8．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点与一元一次方程的解的关系是解题的关键．
16．（3分）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，折痕为BN，点A对应的点记为点M，则图中与△NDM一定相似的三角形是 △MCB ．
【分析】利用矩形的性质得到∠D＝∠C＝90°，然后利用折叠的性质推导出∠BMN＝∠A＝90°，进而得到∠DNM＝∠CMB，由此推断出△NDM∽△MCB．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∴∠DNM+∠DMN＝90°，由折叠的性质可知，
∴∠DMN+∠CMB＝90°，
∴∠DNM＝∠CMB，
∴△NDM∽△MCB，
故答案为：△MCB．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定、矩形的性质以及翻折变换（折叠问题），熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键：两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
三.解答题（共12小题）
17．（4分）．
【分析】原式利用算术平方根性质，绝对值的代数意义，以及零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝2+2﹣+4﹣1
＝2﹣．
【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（4分）先化简，再求值：，其中x＝3．
【分析】先将除法转化为乘法，同时将分子分母因式分解，进而根据分式的性质化简，再将x＝3代入化简后的结果计算即可求值．
【解答】解：原式＝，
＝，
＝．
当x＝3时，
原式＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的性质与因式分解是解题的关键．
19．（6分）用适当的方法解下列方程：
（1）2（x﹣1）2＝18；
（2）x2﹣4x+1＝0．
【分析】（1）方程两边都除以2，再开方，即可得出两个一元一次方程，最后求出方程的解即可；
（2）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：（1）2（x﹣1）4＝18，
（x﹣1）2＝2，
开方得：x﹣1＝±3，
解得：x2＝4，x2＝﹣7；
（2）x2﹣4x+8＝0，
移项，得x2﹣7x＝﹣1，
配方，得x2﹣3x+4＝﹣1+6，
（x﹣2）2＝7，
开方，得x﹣2＝，
解得：x4＝2+，x7＝2﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
20．（4分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1；
（2）请以原点O为位似中心，在第四象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1．
​
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用相似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C8即为所求；
（2）如图△A2B2C4即为所求．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（6分）如图，已知直线l：y＝kx+b与x轴、y轴分别交于A，B两点，x轴上一点C的坐标为（6，0），P是直线l上一点．
（1）求直线l的函数表达式；
（2）连接OP和CP，当点P的横坐标为2时，求△COP的面积．
【分析】（1）根据题意可得：A（8，0），B（0，4），再根据待定系数法即可求解；
（2）根据题意可得，OC＝6，再将点P的横坐标为2代入直线l的解析式中，求出点P的纵坐标，最后由即可求解．
【解答】解：（1）∵OA＝2OB＝8，
∴A（8，0），4），
∵y＝kx+b的图象过点A、B，
∴，
解得：，
∴直线l的函数表达式为；
（2）∵P是直线l上一点，点P的横坐标为3，
∴点P的纵坐标为＝3，
∵C（4，0），
∴OC＝6，
∴＝＝2．
【点评】本题主要考查用待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．
22．（5分）【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y
（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，整理数据如下：
【实践探究】分析数据如下：
【问题解决】
（1）m＝ 3.75 ，n＝ 2.0 ，求荔枝树叶的长宽比的平均数．
（2）A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”
B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”以上两位同学的说法中，合理的是 B 同学；
（3）现有一片长11cm，宽5.6cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可；
（2）根据题目给出的数据判断即可；
（3）根据树叶的长宽比判断即可．
【解答】解：（1）把10片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为3.7，故m＝；
10片荔枝树叶的长宽比中出现次数最多的是2.6，故n＝2.0；
故答案为：5.75；2.0；
（2）∵4.0424＜0.0669，
∴芒果树叶的形状差别小，故A同学说法不合理；
∵荔枝树叶的长宽比的平均数1.91，中位数是3.95，
∴B同学说法合理．
故答案为：B；
（3）∵一片长11cm，宽5.6cm的树叶，
∴这片树叶更可能来自荔枝．
【点评】本题考查了众数，中位数，平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键．
23．（5分）在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，欲从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买30瓶免洗手消毒液和60瓶84消毒液，如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元．
（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？
（2）若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打八折；方案二，学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶
【分析】（1）根据购买30瓶免洗手消毒液和60瓶84消毒液，共需花费930元，如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元；
（2）根据题意，可以求出方案一和方案二的花费情况，然后比较大小并作差即可解答本题．
【解答】解：（1）设每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是a元、b元，
，
解得，
即每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是15元、8元；
（2）方案一的花费为：（15×100+7×60）×0.8＝1584（元），
方案二的花费为：15×100+5×（60﹣100÷10×5）＝1580（元），
1584﹣1580＝4（元），1584＞1580，
答：学校选用方案二更节约钱，节约7元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程组的知识解答．
24．（6分）如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，EO与AB交于点F．
（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明你的理由；
（2）求证：EO＝DC．
【分析】（1）由菱形的性质可证明∠BOA＝90°，然后再证明四边形AEBO为平行四边形，从而可证明四边形AEBO是矩形；
（2）依据矩形的性质可得到EO＝BA，然后依据菱形的性质可得到AB＝CD．
【解答】解：（1）四边形AEBO是矩形．
证明：∵BE∥AC，AE∥BD
∴四边形AEBO是平行四边形．
又∵菱形ABCD对角线交于点O
∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°．
∴四边形AEBO是矩形．
（2）∵四边形AEBO是矩形
∴EO＝AB，
在菱形ABCD中，AB＝DC．
∴EO＝DC．
【点评】本题主要考查的是菱形的性质判定、矩形的性质和判定，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．
25．（6分）如图②，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5m，当他从A处摆动到A'处时，若A'B⊥AB
【分析】作A'F⊥BD，垂足为F，根据全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：如图2，作A'F⊥BD．
∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠A'FB＝90°；
在Rt△A'FB中，∠1+∠8＝90°；
又∵A'B⊥AB，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠3；
在△ACB和△BFA'中，
，
∴△ACB≌△BFA'（AAS）；
∴A'F＝BC
∵AC∥DE且CD⊥AC，AE⊥DE，
∴CD＝AE＝1.5m；
∴BC＝BD﹣CD＝5.5﹣1.6＝1（m），
∴A'F＝1（m），
即A'到BD的距离是2m．
【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若AC＝3，BC＝4，求BD的长．
【分析】（1）根据相似三角形的判定，由已知可证∠A＝∠DCB，又因为∠ACB＝∠BDC＝90°，即证△ABC∽△CBD；
（2）根据勾股定理得到AB＝5，根据三角形的面积公式得到CD＝，然后根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB．
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC；
（2）解：∵∠ACB＝90°，AC＝4，
∴AB＝＝5，
∵AC•BC＝，
∴AC•BC＝AB•CD，
∴CD＝，
∵CD⊥AB，
∴BD＝＝＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
27．（8分）【题目】如图①：根据图形填空：
（1）∠1＝∠C+ ∠E ，∠2＝∠B+ ∠D ；
（2）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ ∠A +∠1+∠2＝ 180 ；
【应用】
（3）如图②．求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
【拓展】
（4）如图③，若∠BGF＝110°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的大小为 220° 度．
【分析】（1）利用三角形外角性质即可求出；
（2）根据外角性质，将∠A+∠B+∠C+∠D+∠E转化到一个三角形内计算即可；
（3）利用三角形外角性质将∠A+∠B+∠C+∠D+∠E转化到一个三角形中，再根据三角形内角和180°即可得到结果；
（4）利用外角套外角可得∠BGF＝∠B+∠D+∠F，∠CGE＝∠A+∠C+∠E，根据对顶角相等，即可计算出结果．
【解答】解：（1）∵∠1是三角形的外角，
∴∠1＝∠C+∠E，
∵∠6是三角形的外角，
∴∠2＝∠B+∠D．
故答案为：∠E，∠D．
（2）∵∠1＝∠C+∠E，∠8＝∠B+∠D．，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠A+∠1+∠2＝180°，
故答案为：∠A；180°．
（3）∵∠AFG＝∠C+∠E，∠AGF＝∠B+∠D，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠A+∠AFG+∠AGF＝180°；
（4）根据三角形外角性质可得：∠BGF＝∠B+∠D+∠F，∠CGE＝∠A+∠C+∠E，
∵∠BGF＝110°，
∴∠BGF＝∠CGE＝110°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠BGF+∠CGE＝220°．
故答案为：220°．
【点评】本题考查了多边形的外角和以及外角和的求法，熟练掌握三角形外角性质是解答本题的关键．
28．（12分）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 垂直 ，数量关系为 相等 ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）
【分析】（1）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．结合∠BAC＝90°，AB＝AC，得到∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90度．即CF⊥BD．
（2）当∠ACB＝45°时，过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，可推出∠ACB＝∠AGC，所以AC＝AG，由（1）①可知CF⊥BD．
【解答】解：（1）①CF⊥BD，CF＝BD 
故答案为：垂直、相等．
②成立，理由如下：…（3分）
∵∠FAD＝∠BAC＝90°
∴∠BAD＝∠CAF
在△BAD与△CAF中，
∵
∴△BAD≌△CAF（SAS）（5分）
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ACB＝45°，
∴∠BCF＝90°
∴CF⊥BD …（2分）
（2）当∠ACB＝45°时可得CF⊥BC，理由如下：…（8分）
过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G      …（9分）
则∵∠ACB＝45°
∴AG＝AC，∠AGC＝∠ACG＝45°
∵AG＝AC，AD＝AF，
∵∠GAD＝∠GAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠FAC＝∠FAD﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，
∴∠GAD＝∠FAC，
∴△GAD≌△CAF（SAS）    …（10分）
∴∠ACF＝∠AGD＝45°
∴∠GCF＝∠GCA+∠ACF＝90°
∴CF⊥BC           …（12分）
【点评】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．x
﹣2
﹣1
0
1
2
y
﹣6
﹣4
﹣2
0
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
芒果树叶的长宽比
3.8
3.7
3.5
3.4
3.8
4.0
3.6
4.0
3.6
4.0
荔枝树叶的长宽比
2.0
2.0
2.0
2.4
1.8
1.9
1.8
2.0
1.3
1.9
平均数
中位数
众数
方差
芒果树叶的长宽比
3.74
m
4.0
0.0424
荔枝树叶的长宽比
1.95
n
0.0669
x
﹣2
﹣1
0
1
2
y
﹣6
﹣4
﹣2
0
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
芒果树叶的长宽比
3.8
3.7
3.5
3.4
3.8
4.0
3.6
4.0
3.6
4.0
荔枝树叶的长宽比
2.0
2.0
2.0
2.4
1.8
1.9
1.8
2.0
1.3
1.9
平均数
中位数
众数
方差
芒果树叶的长宽比
3.74
m
4.0
0.0424
荔枝树叶的长宽比
1.95
n
0.0669