九年级数学第一次月考模拟测试卷（一元二次方程+二次函数）-【考点通关】2023-2024学年九年级数学上册考点归纳与解题策略（人教版）

这是一份九年级数学第一次月考模拟测试卷（一元二次方程+二次函数）-【考点通关】2023-2024学年九年级数学上册考点归纳与解题策略（人教版），共4页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题（共40分）
1．（本题4分）（2022秋·广东珠海·九年级校考期中）下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据形如得整式方程判定即可．
【详解】A. 不是一元二次方程，不符合题意；
B. 不是一元二次方程，不符合题意；
C. 不是一元二次方程，不符合题意；
D. 是一元二次方程，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
2．（本题4分）（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）如果关于x的一元二次方程的一个根为3，那么k的值是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】把方程的根代入方程，即可求出k的值．
【详解】解：关于x的一元二次方程的一个根为3，
，
解得：，
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，解一元一次方程，熟知一元二次方程根的定义是解题关键．
3．（本题4分）（2021秋·湖南娄底·九年级校考期中）用配方法将方程进行配方得（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】依题意，按照完全平方公式，即可求解；
【详解】由题知，依据完全平方公式，对配方为：
故选：A
【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方，关键在熟练使用完全平方公式；
4．（本题4分）（2023·河南商丘·统考二模）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根
【答案】A
【分析】根据根的判别式进行解答即可．
【详解】解：由题意，可知，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
5．（本题4分）（2023秋·九年级课时练习）用因式分解法解下列方程，正确的是（ ）
A．，所以或
B．，所以或
C．，所以或
D．，所以
【答案】A
【分析】根据因式分解法解方程的基本步骤去判断即可．
【详解】A. ，所以或，符合题意；
B. ，所以或，错误，不符合题意；
C. ，所以或，错误，不符合题意；
D. ，所以，错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了因式分解法解方程，熟练掌握因式分解法解方程的基本步骤是解题的关键．
6．（本题4分）（2022春·九年级课时练习）二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ）
A．开口向上B．当时，函数的最大值是
C．对称轴是直线D．抛物线与x轴有两个交点
【答案】B
【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一分析判断即可.
【详解】解：∵，a=-1＜0，
∴抛物线开口向下，故A错误；
∵当时，函数的最大值是，
∴故B正确；
∵抛物线的对称轴是y轴，
∴故C错误；
∵∆=，
∴抛物线与x轴没有交点，
∴故D错误．
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的系数的几何意义，是解题的关键．
7．（本题4分）（2023·浙江·九年级假期作业）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，可得抛物线解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律进行求解．
【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，可得抛物线解析式为，即．
故选：C．
【点睛】此题主要考查的是二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
8．（本题4分）（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知点，是抛物线上两点，若，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．以上都有可能
【答案】B
【分析】先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的增减性得到结论．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线开口向上，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而减少，
∵点，是抛物线上两点，且，
∴与的大小关系是．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
9．（本题4分）（2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中）若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由二次函数解析式可得函数对称轴和增减性，再根据离对称轴的远近的点的纵坐标的大小比较，即可得出的大小关系．
【详解】解：二次函数的图像开口向下，对称轴为，
∴正好是抛物线的顶点坐标，
∴是二次函数的最大值，
∵在对称轴左侧，随的增大而增大，
又∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了比较函数值的大小，解决此题的关键是理解当二次函数开口向下时，在函数图像上距离对称轴越远的点，函数值越小；当二次函数开口向上时，在函数图像上距离对称轴越远的点，函数值越大．
10．（本题4分）（2022秋·新疆·九年级校考期中）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致．
【详解】解：．由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
B．由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意；
C．由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
D．由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法以及数形结合的方法是解题的关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题（共20分）
11．（本题5分）（2023秋·全国·九年级专题练习）已知方程，则此方程的解为．
【答案】，
【分析】根据直接开平方法可进行求解．
【详解】解：
，
∴，；
故答案为，．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
12．（本题5分）（2023春·福建福州·八年级校考期末）抛物线的顶点坐标为．
【答案】
【分析】把抛物线配方即可解答．
【详解】
，
抛物线的顶点坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握用配方法求二次函数顶点坐标．
13．（本题5分）（2023春·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）如图，已知二次函数的图象过点，对称轴为直线，则下列结论：①；②方程的两个根是，；③当时，随着的增大而增大；④．其中正确结论是（填写序号）．

【答案】①②③
【分析】①根据抛物线的开口方向，对称轴与y轴的交点，判断①正确；
②根据抛物线与x轴的交点坐标即可判断②正确；
③根据二次函数的增减性即可判断③正确；
④根据时，，即可判断④错误．
【详解】解：①∵抛物线的开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵抛物线与y轴的正半轴交于一点，
∴，
∴，故①正确；
②∵抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另外一个交点为，
∴方程的两个根是，，故②正确；
③∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随着的增大而增大，故③正确；
④根据函数图象可知，当时，，
∴，故④错误；
综上分析可知，正确的是①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，数形结合．
14．（本题5分）（2022·安徽合肥·校考二模）已知抛物线
（1）抛物线的对称轴为；
（2）若当时，y的最大值是1，求当时，y的最小值是．
【答案】直线
【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式即可得结论；
（2）根据抛物线的对称轴为直线，可得顶点在范围内，y的最大值是1，得顶点坐标为，把顶点代入，可得a的值，进而可得y的最小值．
【详解】解：（1）抛物线的对称轴为：直线，
故答案为：直线；
（2）∵抛物线，
∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线，当时，取得最大值，
∵当时，y的最大值是1，
∴时，，得，
∴，
∵，
∴时，取得最小值，此时，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，求出a的值，利用二次函数的性质解答．
三、解答题（共90分）
15．（本题8分）（2020秋·上海普陀·八年级统考期中）用配方法解方程：．
【答案】，
【分析】利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
16．（本题8分）（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程的其中一个根是1，求k的值；
(2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【答案】(1)k＝5
(2)k＜9且k≠0
【分析】（1）由于x＝1是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出k的值；
（2）根据根的判别式公式，令Δ＞0，得到关于k的一元一次不等式，解之即可．
【详解】（1）解：把x＝1代入，
得k6+1＝0，
∴k＝5；
（2）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴＝＞0，且k≠0，
∴k的取值范围为k＜9且k≠0．
【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程根的判别式：，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，掌握以上知识是解题的关键．
17．（本题8分）（2023·陕西渭南·统考二模）观察下列各个等式的规律：
第一个等式：，
第二个等式，
第三个等式：
第四个等式：，……
请用上述等式反映出的规律解决下列问题：
(1)写出第五个等式：___________；
(2)猜想第n个等式（用含n的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据规律可以直接得到答案；
（2）根据题目中的式子的变化规律可以猜想出第n等式并加以证明．
【详解】（1）解：根据规律可得第五个等式为：，
故答案为：．
（2）解：第n个等式是．
证明：
，
∴第n个等式是：．
【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，解答本题的关键是明确题目中式子的变化规律，求出相应的式子．
18．（本题8分）（2022秋·辽宁鞍山·九年级校考阶段练习）已知y＝是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大．
（1）则k的值为 ；对称轴为 ．
（2）若点A的坐标为（1，m），则该图象上点A的对称点的坐标为 ．
（3）请画出该函数图象，并根据图象写出当﹣2≤x＜4时，y的范围为 ．
【答案】（1）-3，y轴；（2）（﹣1，m），（3）﹣16＜y≤0
【分析】（1）根据二次函数的性质（未知数的最高次数为2）且当x＜0时，y随x的增大而增大列出相应的方程组，求解可得k值，代入二次函数确定解析式，即可确定其对称轴；
（2）根据坐标系中轴对称的性质：关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数即可得；
（3）当时，，当x＝4时，，结合函数图象可得：当x＝0时，y取得最大值即可得出解集．
【详解】解：（1）由是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大，得
，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
∴对称轴为y轴，
故答案为：-3，y轴；
（2）∵点A（1，m），
∴点A关于y轴对称点的坐标为（﹣1，m），
故答案为：（﹣1，m），
故答案为：（﹣1，m）；
（3）如图所示：
当时，，
当x＝4时，，
根据函数图象可得当x＝0时，y取得最大值，当x＝0时，，
∴当时，；
故答案为：．
【点睛】题目主要考查二次函数得定义和性质、轴对称的性质，理解题意，熟练掌握定义和性质是解题关键
19．（本题10分）（2021秋·山东菏泽·九年级菏泽市牡丹区第二十一初级中学校考阶段练习）阅读下面的材料，回答问题：
解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解得
当，时，∴；
当，时，∴；
原方程有四个根：．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
（2）试用上述方法解方程
【答案】（1）换元（2）x1＝−3，x2＝2．
【分析】（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程．
（2）利用题中给出的方法先把x2＋x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程．
【详解】（1）（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
故答案为：换元；
（2）设x2＋x＝y，原方程可化为y2−4y−12＝0，
解得y1＝6，y2＝−2．
由x2＋x＝6，得x1＝−3，x2＝2．
由x2＋x＝−2，得方程x2＋x＋2＝0，
b2−4ac＝1−4×2＝−7＜0，此时方程无实根．
所以原方程的解为x1＝−3，x2＝2．
【点睛】本题应用了换元法，把关于x的方程转化为关于y的方程，这样书写简便且形象直观，并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便．
20．（本题10分）（2023秋·九年级课时练习）某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
(1)求进馆人次的月平均增长率；
(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)能，见解析．
【分析】（）设进馆人次的月平均增长率为，再分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，最后根据三个月进馆人次等于的等量关系列方程解答即可；
（）根据（）计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，最后与比较即可．
【详解】（1）解：设进馆人次的月平均增长率为，则由题意得：
，
化简得：，
∴，
∴或（舍）；
答：进馆人次的月平均增长率为．
（2）解：能，理由：∵进馆人次的月平均增长率为，
∴第四个月的进馆人次为：．
即校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
21．（本题12分）（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为米和米．该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场，用总长米的木栏围成，中间预留1米宽的通道，在和边上各留1米宽的门，设长x米．

(1)写出的长（用含x的代数式表示）．
(2)若饲养场的面积为平方米，求x的值．
【答案】(1)米
(2)米
【分析】（1）用（总长个1米的门的宽度）即为所求；
（2）由（1）表示饲养场面积计算即可．
【详解】（1）解：如图，
∵，
∴，
∴，
即长度为米；
（2）解：由题意知，，
解得，，
又∵，且，
∴，
∴（米）．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
22．（本题12分）（2023·辽宁鞍山·校考一模）已知：方程的两根为，．
(1)若两根的平方和为7，求k的值
(2)若，求y与k的函数关系式并求y的最值．
【答案】(1)
(2)，有最大值
【分析】（1）根据根与系数的关系可得出、，结合即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，即可确定值；
（2）根据根与系数的关系可得出、，结合即可得出关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求得最值．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不等的实数根，
，
解得：．
方程的两根为，，
，．
，即，
，
解得：，．
，
；
（2）解：，，
，
∴该二次函数的开口向下，对称轴为，
，
当时，有最大值．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程和二次函数的性质，解题的关键是牢记根与系数的关系．
23．（本题14分）（2021秋·甘肃定西·九年级校联考阶段练习）如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为．

(1)求点的坐标；
(2)已知，为抛物线与轴的交点，
①求抛物线的解析式；
②求的面积；
③设点是线段上的动点，作轴于交抛物线于点，求线段长度的最大值．
【答案】(1)
(2)①；②；③
【分析】（1）根据抛物线的对称性，即可求出点的坐标；
（2）①根据抛物线的对称轴，求出，将点代入，利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式；
②令，得出点坐标，进而得到、的长，再利用三角形面积公式，即可求出的面积；
③利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，进而得到，再利用二次函数的性质，即可求出线段长度的最大值．
【详解】（1）解：对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，
、两点关于直线对称，
点的坐标为，
点的坐标为；
（2）解：①，
抛物线，
抛物线对称轴为直线，
，
，
将点代入，得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
②令，则，
，
，
，
，
；
③设直线的解析式为，
，，
，解得：，
直线的解析式为，
点是线段上的动点，
设，
轴，且点在抛物线上，
，
，
当时，长度有最大值，最大值为．

【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴的交点坐标，二次函数的最值问题等知识，利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．