福建省部分达标学校2024届高三上学期期中质量监测数学试题

这是一份福建省部分达标学校2024届高三上学期期中质量监测数学试题，共14页。试卷主要包含了函数在求导时可运用对数法，若复数满足，函数的部分图象如图所示，则等内容，欢迎下载使用。
（满分：150分 时间：120分钟）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2.“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知是三角形的内角，且，则的值是（ ）
A. B. C. D.
4.中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫作信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升到8000，则大约增加了（ ）（其中）
A. B. C. D.
5.已知曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，则下列曲线的方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知关于的不等式的解集为，若，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
7.函数在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到，然后两边同时求导得，于是..用此法可求得的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，满足，当时，，记的极小值为，若对，则的最大值为（ ）
A.-1 B.1 C.3 D.不存在
二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若复数满足（其中为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A.
B.的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限
C.的虚部为
D.
10.函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C.的图象关于直线对称
D.的图象关于点对称
11.下列大小关系中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12.已知函数，其中是自然对数的底数，下列说法中正确的是（ ）
A.的一个周期为
B.在区间上单调递增
C.是偶函数
D.在区间上有且仅有一个极值点
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.不等式的解集是__________.
14.已知定义域为的函数同时具有下列三个性质，则__________.（写出一个满足条件的函数即可）
①；
②；
③.
15.三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理（西方称之为“毕达哥拉斯定理”）.如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积与大正方形的面积之比为，则__________.
16.已知函数，点位于曲线的下方，且过点可以作3条直线与曲线相切，则的取值范围是__________.
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）
如图，在平面四边形中，.
（1）求；
（2）若的面积为，求.
18.（12分）
已知函数.
（1）求在上的单调递增区间；
（2）若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
19.（12分）
如图，四边形是边长为的菱形，平面平面，且分别是的中点.
（1）证明：平面平面.
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
20.（12分）
已知函数，曲线与曲线的一个公共点是，且在点处的切线互相垂直.
（1）求的值；
（2）证明：当时，.
21.（12分）
已知的内角所对应的边分别为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.
22.（12分）
已知函数.
（1）当时，求的最大值；
（2）若存在极大值点，且极大值不大于，求的取值范围.
福建省部分达标学校2023~2024学年第一学期期中质量监测
高三数学试卷参考答案
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1.D 2.A 3.B 4.C 5.B 6.C 7.A 8.B
8.解析：依题作出函数的图象，结合图象可知：
当时，；
当时，；
当时，.
若对，则，
所以的最大值为正确.
二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
9.AB 10.BC 11.ACD 12.ABD
12.解析：对于选项，故选项A正确.
对于选项，由，得，
当时，，
所以在区间上单调递增，故选项B正确.
对于选项C，，
设，
则，
所以函数即是奇函数，故选项C不正确.
对于选项，由，
得，令，
则.
①当时，，
所以，即在区间上单调递减，
又，
，
所以在区间上存在唯一零点；
②当时，，
又，
所以，
则在区间上无零点.
综上，在区间上有且仅有一个极值点，故选项D正确.
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.（或）
14.（答案不唯一，形如即可）
15.
16. 解析：，设切点为，则切线斜率为，
切线方程为，由于切线过点，
，整理得.
构造函数有三个不同的零点，，
易知，即，即，
又点在曲线下方，，即，解得.
四､解答题.
17.解：（1）在中，由正弦定理得，
则，解得.
又由题设知，
所以.
（2），
，
由，得，
解得.
由余弦定理得，
又，所以.
18.解：（1）
.
由，得，
所以的单调递增区间为，
则在上的单调递增区间为.
（2）由题设知，
当时，，
则，即，
所以.
19.（1）证明：如图，连接，交于点，连接，则为的中点，
是的中点，.
平面平面，
平面，
又是的中点，，
平面平面，
平面，
又平面，
平面平面.
（2）解：取的中点，连接.
在菱形中，为正三角形，则，
又平面，
以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
.
设平面的法向量为，
则即
令，则.
设直线与平面所成的角为，则，
直线与平面所成角的正弦值为.
20.（1）解：因为，所以，
则曲线在处的切线的斜率为.
因为，所以，
则曲线在处的切线的斜率为.
因为曲线与曲线在处的切线互相垂直，
所以，即，①
又，所以，②
联立①②得.
（2）证明：由（1）知.
（法一）要证，即证.
令，
则.
因为，所以，
所以在上单调递增，
所以当时，，
即，
所以当时，.
（法二）设，则，
因为时，，所以在上单调递减，
所以，即，
所以，当且仅当时，等号成立.
设，则，
因为当时，，所以在上单调递增，
所以，即，
所以，当且仅当时，等号成立.
要证，即证.
又，所以即证
由，
得（当时，等号成立），
即证，
又在上单调递增，则，即，
所以当时，.
21.解：（1）由正弦定理得
整理得，即，
由余弦定理得，
又，所以.
（2）由（1）知，即.
因为为锐角三角形，所以解得.
由正弦定理，得，
则
，
当时，，则，
又，
所以，
即，
所以周长的取值范围是.
22.解：（1）当时，.
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为.
（2）.
①当时，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，符合题意.
②当时，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，
此时无极值点.
③当时，令，
解得，且.
当时，；当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调
递增，所以的极大值为.
令，则.
设，
则，
所以在上单调递增，
由题意知，即，
所以，即，故.
④当时，，
解得，且满足.
当时，；当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值为，符合题意.
综上，.