专题13.2 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线及构造等腰三角形之六大题型-【学霸满分】2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

这是一份专题13.2 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线及构造等腰三角形之六大题型-【学霸满分】2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版），共5页。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc1127" 【典型例题】 PAGEREF _Tc1127 \h 1
\l "_Tc522" 【题型一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 PAGEREF _Tc522 \h 1
\l "_Tc24677" 【题型二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】 PAGEREF _Tc24677 \h 10
\l "_Tc21691" 【题型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 PAGEREF _Tc21691 \h 17
\l "_Tc18937" 【题型四 利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】 PAGEREF _Tc18937 \h 29
\l "_Tc12846" 【题型五 过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】 PAGEREF _Tc12846 \h 41
\l "_Tc9646" 【题型六 利用倍角关系构造新等腰三角形】 PAGEREF _Tc9646 \h 50
【典型例题】
【题型一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】
例题：如图，在中，，，D为BC的中点，过D作直线DE交直线AB与E，过D作直线，并交直线AC与F．
(1)若E点在线段AB上（非端点），则线段DE与DF的数量关系是______________；
(2)若E点在线段AB的延长线上，请你作图（用黑色水笔），此时线段DE与DF的数量关系是_____________，请说明理由．
【答案】(1)
(2)图见解析，，理由见解析
【分析】（1）连接，先根据等腰直角三角形的性质可得，，再根据垂直的定义、等量代换可得，然后根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）分①当点在线段的延长线上，且在的下方时，②当点在线段的延长线上，且在的上方时两种情况，参考（1）的思路，根据三角形全等的判定与性质即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，连接，
在中，，，为的中点，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
故答案为：．
（2）解：，理由如下：
①如图，当点在线段的延长线上，且在的下方时，
如图，连接，
在中，，，为的中点，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
；
②如图，当点在线段的延长线上，且在的上方时，
如图，连接，
在中，，，为的中点，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
；
综上，线段与的数量关系是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
【变式训练】
1．如图，在等腰直角三角形中，，，点为边上任意一点，点为的中点，过点作交于点．求证：为定值．
【答案】证明见解析
【分析】连接CD，证明△CDE≌△BDF，得CE=BF，进一步证明CE+CF=BC=，从而得到结论．
【详解】证明：连接CD，如图，
∵△ABC是等腰直角三角形，且D为AB的中点，
∴CD⊥AB，CD平分∠ACB，AD=BD=CD
∴∠DCA=∠DCB=∠DBC=45°
又DE⊥DF
∴∠EDC+∠FDC=90°
而∠FDC+∠FDB=90°
∴∠EDC=∠FDB
在△CDE和△BDF中，
∴△CDE≌△BDF
∴CE=BF
∵BC=AC=a
∴CE+CF=BE+CF=BC=AC=a，
故：为定值．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，证明CE=BF是解答此题的关键．
2.如图1，在中，，，点P是斜边的中点，点D，E分别在边上，连接，若．
(1)求证：；
(2)若点D，E分别在边的延长线上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明；
(3)在（1）或（2）的条件下，是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出的度数（不用说理）；若不能，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)成立，见解析
(3)能成为等腰三角形，此时的度数为或或或
【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，可证得，即可求证；
（2）连接，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，再由∵，可得，可证得，即可；
（3）根据等腰三角形的性质，分四种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）明∶ 连接，
∵，
∴，
∵P为斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：仍成立，理由如下：
连接，
∵，
∴，
∵P为斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：能成为等腰三角形，
①当，点E在的延长线上时，则，
又∵，
∴；
②当，点E在上时，则；
③当时，则，
∴；
④当，点E和C重合，
∴；
综上所述，能成为等腰三角形，的度数为或或或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
【题型二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】
例题：如图，点，在的边上，，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当时，过点作于点，如果，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）过作于点，根据三线合一可得：，，即可证明；
（2）过作于点，易证，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：如图过作于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：过作于点，
在和中，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质“三线合一”，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【变式训练】
1．如图，与△BCA均为等腰三角形，，且，为延长线上一点，．
(1)若，求的度数；
(2)求证：；
(3)若，，，求的面积（用含，，的式子表示）．
【答案】(1)20°
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先，是等腰三角形性质与三角形内角和定理求出，即可由求解；
（2）过点作于点，过点作于点，证明，得出，，进而求得，，即可得出，从而得出结论；
（3）由（2）可知，，从而有，再根据，则有
，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
（2）证明：过点作于点，过点作于点，
∴，
又∵，
∴，，
∵，
∴，
∴在和中，，
∴，
∴，，
∵，
设、交于点，则
又，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：由（2）可知，，
∴，
∵，
∴．
．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和，三角形外角性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积，属三角形综合题目，难度适中．
【题型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】
例题：如图，在中，平分，是的中点，过点作交的延长线于，交于，交的延长线于．
求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据证明，即可得出；
（2）过点C作交于点M，由可得，根据平行线的性质得出，可得，进而得出，再根据据证明，得出，等量代换即可得到．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
（2）证明：过点C作交于点M，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理、性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键．
【变式训练】
1．如图所示，D为内一点，平分，， ，若，，
求：线段的长．

【答案】5
【分析】延长交于点E，由题意可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形，可推出，，根据，，即可求出的长度．
【详解】解∶延长交于点E，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．
2．如图，为的角平分线．
(1)如图，若于点，交于点，，则______．
(2)如图，若，点在上，且，，，求的长；用含、的式子表示
(3)如图，，点在的延长线上，连接，若的面积是，求的面积．
【答案】(1)3
(2)
(3)14
【分析】（1）利用证明，得出，再利用即可求得答案；
（2）利用证明，得出，，由题意可得出，再利用等角对等边证得，即可得出答案；
（3）延长、交于，先证明，得出：，，利用等底等高的两个三角形面积相等可得，设，即可得出答案．
【详解】（1）解：平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
故答案为：．
（2）解：平分，
，
在和中，
，
，
，，
，，，
，
在中，，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，延长、交于，
平分，
，
，
，
在和中，
，
,
，，
，
设，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线定义，三角形面积，全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
【题型四 利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】
例题：已知，如图中，、的平分线相交于点，过点作交、于、．

(1)如图1若，图中有________个等腰三角形，且与、的数量关系是________．
(2)如图2若，其他条件不变，（1）问中与、间的关系还成立吗？请说明理由．
(3)如图3在中，若，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．请直接写出与、间的数量关系是．
【答案】(1)；
(2)成立；理由见解析
(3)
【分析】（1）根据，、的平分线相交于点，可得，，，，再加上题目中给出的，可得出等腰三角形的个数；根据等腰三角形的性质，即可得出与、之间的关系；
（2）证明和是等腰三角形，利用等腰三角形的性质即可得出与、的关系；
（3）证明和是等腰三角形，利用等腰三角形的性质即可得出与、的关系．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∵、的平分线相交于点，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴等腰三角形有：，，，，，共个，
与、的数量关系是：，
故答案为：；．
（2）与、的数量关系是：．理由如下：
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
（3）与、间的数量关系是：．
理由如下：
∵，
∴，，
又∵，分别是与的角平分线，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质．线段间的等量代换是解题的关键．
【变式训练】
1．在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E是BC的中点，过E作EFAD交CA延长线于P，交AB于F，求证：
(1)△APF是等腰三角形；
(2)BF=CP
(3)若AB=12，AC=8，试求出PA的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，等量代换可得，根据等腰三角形的判定定理即可得证；
（2）延长至，使得，连接，证明，得出，，根据，，得出，则，即可得出；
（3）根据，，得出，代入数据即可求解．
（1）
解：如图，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴
∵EFAD
∴
∴，
∴
∴△APF是等腰三角形；
（2）
证明：如图，延长至，使得，连接，
∵为的中点，
∴，
又，
∴
∴，
又∵，
∴
∴，
∴；
（3）
∵是等腰三角形
∴，
又，
∴，
即，
∵AB=12，AC=8，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
2．已知：如图1，中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D，过点D作交AB于点E，交AC于点F．
(1)求证：BE+CF＝EF；
(2)若将已知条件中的“∠ACB的角平分线”改为“∠ACB的外角平分线”，其他条件不变（如图2）（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出BE，CF，EF之间的关系．（不需证明）
【答案】(1)证明见详解；
(2)不成立，证明见详解；．
【分析】（1）根据角平分线定义和平行线性质推出，然后推出BE=DE，DF=CF，最后得证；
（2）类比（1）的方法同理可以推出结论．
【详解】（1）证明：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，
∵，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，
∴BE＝DE，CF＝DF，
∵EF=DE+DF，
∴EF＝BE+CF．
（2）解：不成立．
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，
∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCG，
∵，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCG，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，
∴BE＝DE，CF＝DF，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了角平分线定义、平行线的性质和等腰三角形的判定，正确理解角平分线定义与熟练运用“两直线平行内错角相等”、“等角对等边”是解此题的关键．
3．（2023春·江西吉安·八年级统考期末）类比、转化等数学思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
已知△ABC．
(1)观察发现
如图①，若点D是和的角平分线的交点，过点D作分别交，于E，F．填空：与的数量关系是______．请说明理由
(2)猜想论证
如图②，若点D是外角和的角平分线的交点，其他条件不变，填：与的数量关系是______．请说明理由
(3)类比探究
如图③，若点D是和外角的角平分线的交点．其他条件不变，则（1）中的关系成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请写出关系式，再证明．
【答案】(1)
(2)，理由见详解
(3)不成立，理由见详解
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据，得到，根据等腰三角形的判定定理得到，同理得到，结合图形证明即可；
（2）仿照（1）的证明方法，先利用平行线的性质和角平分线的性质，得到角的关系，再利用等角对等边，得到边与边的关系，解答即可；
（3）根据平行线的性质、角平分线的定义得到，得到，结合图形解答即可．
【详解】（1）解：平分，
，
，
，
，
，
同理，，
故答案为：；
（2）解：平分，
，
，
同理，，
故答案为：；
（3）解：不成立．．
理由如下：，
．
平分，
，
，
，
同理：，
．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定，掌握平行线的性质定理、等腰三角形的判定定理是解题的关键．
【题型五 过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】
例题：已知：等边中．
(1)如图1，点M是BC的中点，点N在AB边上，满足，求的值；
(2)如图2，点M在AB边上（M为非中点，不与A，B重合），点N在CB的延长线上且，求证：．
(3)如图3，点P为AC边的中点，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，满足，求的值．
【答案】(1)3
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由等边三角形的性质及直角三角形的性质可得出，设,则,可求出答案；
（2）如图2，过点M作交AC于点G，根据可证明，得出，则结论得证；
（3）如图3，过点P作交于点M，根据可证明，得出，得出，则答案可求出．
【详解】（1）∵为等边三角形，
∴，，
∵点M是BC的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
设，则，，
∴，
∴．
（2）如图2，
过点M作交AC于点G，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴．
（3）如图3，
过点P作交AB于点M，
∴为等边三角形，
∴，，
∵P为AC的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵P为AC的中点，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质与判定、含30度角直角三角形的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形．
【变式训练】
1．如图，在中，，为延长线上一点，且交于点.
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，为中点，求的长.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，得出，根据余角的性质，得出，根据对顶角的性质，得出，即可得出答案；
（2）证明，得出，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
（2）解：过点A作于点G，如图所示：
∵，，，
∴，
∵为中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定方法．
2．已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且．
(1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： （填“＞”、“＜”或“＝”）．
(2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由． （填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作，交于点F．（请你完成以下解答过程）．
(3)【拓展结论，设计新题】在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（直接写出结果）．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)3
【分析】（1）由等腰三角形的性质得到，再由等边三角形的性质得到，然后证，得出即可得出结论；
（2）过点E作，交于点F，证出为等边三角形，得出，再证，得出，即可得出结论；
（3）点E在延长线上时，作，同（2）得出为等边三角形，，则，，即可得出答案．
【详解】（1），
理由如下：，
，
三角形为等边三角形，
，
点E为的中点，
，，
，
，
，
，
，
；
（2），
理由如下：过点E作，交于点F，
则，∠AFE=∠ACB，，
为等边三角形，
，，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）点E在延长线上时，作，
同（2）可得则为等边三角形，
如图所示，同理可得，
∵，，
∴，
，
∵，
则．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
【题型六 利用倍角关系构造新等腰三角形】
例题：如图，在中，，的平分线交于点D．求证：．

【答案】证明见解析
【分析】方法一：（截长）在上截取，连接．结合角平分线的定义，证明，得到，，再利用三角形外角的性质，得到，进而得到，即可证明结论；
方法二：（补短）延长到点使得，连接．结合角平分线的定义，证明，得到，再利用三角形外角的性质，得到，进而得到，即可证明结论；
方法三：（补短）延长到点使得，连接．根据等腰三角形的性质，得到，，再结合三角形角平分线的定义和外角的性质，得到，即可证明结论．
【详解】证明：方法一：（截长）在上截取，连接．

在和中，
，
，
，，
，，
，
；
方法二：（补短）延长到点使得，连接．

在和中，
，
，
，，
，
，
；
方法三：（补短）延长到点使得，连接，

，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形角平分线的定义，外角的性质，利用“截长补短”模型添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
【变式训练】
1．在中，，
(1)如图①，当，为的角平分线时，在上截取，连接，易证．请证明；
(2)①如图②，当，为的角平分线时，线段又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不要求证明；
②如图③，当，为的外角平分线时，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②，证明见解析
【分析】（1）先证明，然后证明，进而推导可得结论；
（2）①首先在上截取，连接，易证，则可得，又由，，所以，即，易证，则可求得；②首先在的延长线上截取，连接，易证，可得，又由，易证，则可求得．
【详解】（1）∵为的角平分线，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）①猜想：．
证明：如图，在上截取，连接，
∵为的角平分线时，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
②猜想：．
证明：在的延长线上截取，连接．
∵平分，
∴．
在与中，，，，
∴．
∴，．
∴．
又，，．
∴．
∴．
∴．
【点睛】此题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．