江苏省灌南高级中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷

这是一份江苏省灌南高级中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1与1，两数的等比中项是（ ）
A. 1B. ﹣1C. ±1D.
已知直线l的斜率为k，倾斜角为α，若45°＜α＜135°，则k的取值范围为（ ）
A. （﹣1，1）B. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
C. [﹣1，1]D. （﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
在等差数列{an}中，已知a1＝2，a3＝8，则a4+a5+a6等于（ ）
A. 40B. 42C. 43D. 45
圆心为B（2，﹣3），且经过点A（5，﹣7）的圆的标准方程为（ ）
A. （x﹣2）2+（y+3）2＝5B. （x+2）2+（y﹣3）2＝5
C. （x﹣2）2+（y+3）2＝25D. （x+2）2+（y﹣3）2＝25
在等差数列{an}中，a2、a4是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，则a3的值为（ ）
A. 2B. 3C. ±2D.
已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点A（1，m）到其焦点的距离为3，则m＝（ ）
A. B. C. ±2D. ±4
若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（）
A. B.
C. 或D. 以上都不对
已知圆C1：x2+y2+4ax+4a2﹣4＝0和圆C2：x2+y2﹣2by+b2﹣1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 9
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
如果A•C＜0，且B•C＜0，那么直线Ax+By+C＝0通过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3+S5＝﹣18，a6＝﹣a3，则（ ）
A. an＝2n﹣9B. an＝2n﹣7C. Sn＝n2﹣8nD. Sn＝n2﹣6n
设数列{an}的前n项和为Sn，下列命题正确的是（ ）
A. 若{an}为等差数列，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍为等差数列
B. 若{an}为等比数列，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍为等比数列
C. 若{an}为等差数列，则（a为正常数）为等比数列
D. 若{an}为等比数列，则{lgan}为等差数列
已知曲线y2＝m（x2﹣a2），其中m为非零常数且a＞0，则下列结论中正确的有（ ）
A. 当m＝﹣1时，曲线C是一个圆
B. 当m＝﹣2时，曲线C的离心率为
C. 当m＝2时，曲线C的渐近线方程为y＝±x
D. 当m＞﹣1且m≠0时，曲线C的焦点坐标分别为（﹣a，0）和（a，0）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知直线l的倾斜角是135°．且过点（2，﹣5），则直线l在y轴上的截距是______．
数列{an}满足a1＝2，an﹣an﹣1，则an＝_____．
两等差数列{an}和{bn}，前n项和分别为Sn，Tn，且，则等于____．
已知椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝1上任意一点，则|MN|﹣|MF1|的最小值为____________．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
(本小题10.0分)
已知△ABC的顶点坐标为A（﹣3，9）、B（2，2）、C（5，3）．
（1）求AC边中线所在直线的方程；
（2）求△ABC的面积．
(本小题12.0分)
已知数列{an}（n∈N*）是公差不为0的等差数列，a1＝1，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}的前n项和为Tn，求证：Tn＜1．
(本小题12.0分)
已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与____，过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点、从①直线x+2y+7＝0相切；②圆（x﹣3）2+y2＝20关于直线2x﹣y﹣1＝0对称；③圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝5的公切线长这3个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题．
（1）求圆A的方程；
（2）当时，求直线l的方程．
(本小题12.0分)
已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，等差数列{bn}中，b1＝2，点P（bn，bn+1}在一次函数y＝x+2的图象上．
（1）求数列{an}，{bn}的通项an和bn；
（2）设cn＝an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．
(本小题12.0分)
已知椭圆C；1（a＞b＞0）长轴长为4，且椭圆C的离心率．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设斜率为1的直线l与椭圆C交于P，Q两点，O为坐标轴原点，以PQ为直径的圆过坐标轴原点，求直线l的方程．
(本小题12.0分)
在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别是椭圆的左焦点和右焦点．
（1）设T是椭圆C上的任意一点，求取值范围；
（2）设A（0，﹣1），直线l与椭圆C交于B，D两点，若△ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程．
C 2.B 3.B 4.C 5.D 6.B 7.C 8.D 9.ABD 10.AC 11.AC 12.ABD
13.-3 14. 15. 16.​​​​​​​
17.解：（1）△ABC的顶点坐标为A（-3，9）、B（2，2）、C（5，3），
所以AC的中点M的坐标为（，）=（1，6），
所以AC边中线所在直线BM的方程为​​​​​​​,
即AC边中线所在直线的方程为4x+y-10=0；
（2）由题意可得，直线AC的方程为，即3x+4y-27=0，
所以点B到直线AC的距离为h==，
则△ABC的面积为．
18.解：（Ⅰ）设{an}的公差为d．
因为成等比数列，所以．
即．
化简得，即d2=a1d．
又a1=1，且d≠0，解得d=1．
所以有an=a1+（n-1）d=n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：．
所以．
因此，Tn＜1．
19.解：选①、
（1）由直线与圆相切知圆A的半径为点A到直线x+2y+7=0的距离，
即，
∴圆A的方程为（x+1）2+（y-2）2=20；
（2）记线段MN的中点为Q，依据AM=AN可得AQ⊥MN，
且，，则，
即点A到直线l的距离为1，
若直线l的斜率存在，设为k，直线l：y=k（x+2），即kx-y+2k=0，
∴，解得，直线l的方程为3x-4y+6=0．
若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x=-2，符合题意．
综上直线l的方程为3x-4y+6=0或x=-2．
选②、
（1）∵与圆（x-3）2+y2=20关于直线2x-y-1=0对称知圆A的半径，
∴圆A的方程为（x+1）2+（y-2）2=20．
（2）记线段MN的中点为Q，依据AM=AN可得AQ⊥MN，
且，，则，
即点A到直线l的距离为1，
若直线l的斜率存在，设为k，直线l：y=k（x+2），即kx-y+2k=0，
∴，解得，直线l的方程为3x-4y+6=0．
若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x=-2，符合题意．
综上直线l的方程为3x-4y+6=0或x=-2．
选③、
（1）与圆（x-3）2+（y-2）2=5的公切线长3，设圆A的半径为r，
则，解得
∴圆A的方程为（x+1）2+（y-2）2=20．
（2）记线段MN的中点为Q，依据AM=AN可得AQ⊥MN，
且，，则，
即点A到直线l的距离为1，
若直线l的斜率存在，设为k，直线l：y=k（x+2），即kx-y+2k=0，
∴，解得，直线l的方程为3x-4y+6=0．
若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x=-2，符合题意．
综上直线l的方程为3x-4y+6=0或x=-2．
20.解：（1）在数列中，，点在直线上．
得：，且，
故数列{bn}为等差数列，
所以；
由...①
得...②（）；
将两式相减得：；
即；
∴（），
又∵，
∴，
∴；
（2）由，
得：...①
​...②
①-②得，
，
所以.
21.解：（1）因为长轴长为4，所以a=2，
又因为椭圆C的离心率为，所以，
∴b2=a2-c2，b2=2，
所以椭圆C的方程为：．
（2）设P（x1y1），Q（x2，y2），l的方程为y=x+m，
由x2+2y2=4且y=x+m得3x2+4mx+2m2-4=0，
令Δ=（4m）2-4⋅3⋅（2m2-4）＞0（1），
∴，
∴，
由题意知OP⊥OQ0所以x1x2+y1y2=0，
，
解得或，验证知满足（1），
所以直线的方程为：或．
22.解：（1）因为椭圆C：＋y2＝1，所以F1(－，0)，F2(，0)，
设T(x0，y0)，则 ·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x02＋y02－3，
因为点T(x0，y0)在椭圆C上，即＋y02＝1，所以·＝x02－2，且x02∈[0，4]，
所以·的取值范围是[－2，1]；
（2）因为直线l与坐标轴不垂直，故设直线l的方程y＝kx＋m (m≠－1，k≠0)．
设B(x1，y1)，Ｄ(x2，y2)，
由得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
因为△ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，所以AB⊥AD，即 ·＝0，
因此( y1＋1)( y2＋1)＋x1x2＝0，即(kx1＋m＋1)( kx2＋m＋1)＋x1x2＝0，
从而(1＋k2)x1x2＋k(m＋1)(x1＋x2)＋(m＋1)2＝0，
即(1＋k2)×－k(m＋1)×＋(m＋1)2＝0，
也即4(1＋k2)(m－1)－8k2m＋(1＋4k2) ( m＋1)＝0，
解得m＝，
又线段BD的中点M(－，)，且AM⊥BD，
所以＝－，即3m＝1＋4k2，解得k＝±，
又当k＝±，m＝时，＝64k2m2－4(1＋4k2)( 4 m2－4)＝＞0，
所以满足条件的直线l的方程为y＝x＋或y＝-x＋.