2020-2021学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知A＝{﹣3，0，1}，B＝{﹣4，﹣3，1}，则A∪B的真子集的个数为（ ）
A．3B．7C．15D．31
2．（5分）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）
A．充分条件
B．必要条件
C．充分必要条件
D．既非充分又非必要条件
3．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），函数g（x）＝f（2x﹣1），则函数g（x）的定义域为（ ）
A．（﹣1，1）B．（0，1）
C．（﹣3，1）D．（f（﹣3），f（1））
4．（5分）已知a，b∈R+，且a+b＝1，则的最小值是（ ）
A．4B．1C．2D．3+2
5．（5分）函数f（x）的单调递减区间是（ ）
A．（﹣∞，2]B．[2，+∞）C．[0，2]D．[2，4]
6．（5分）若关于x的不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤a2+a+1（a∈R）的解集为空集，则实数a的取值范围是（ ）
A．﹣1＜a＜0B．0＜a＜1C．1＜a＜2D．a＜﹣1
7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，f（﹣2）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）
8．（5分）已知函数f（x）＝﹣x2+2x+1，x∈[0，2]，函数g（x）＝ax﹣1，x∈[﹣1，1]，对于任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[﹣1，1]，使得g（x2）＝f（x1）成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣3]B．[3，+∞）
C．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知a，b，c为互不相等的正数，且a2+c2＝2bc，则下列关系中可能成立的是（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．b＞a＞cD．a＞c＞b
（多选）10．（5分）下列各结论中正确的是（ ）
A．“ab＞0”是“”的充要条件
B．函数的最小值为2
C．命题“∀x＞1，x2﹣x＞0”的否定是“∃x0≤1，x0≤0”
D．若函数y＝x2﹣ax+1有负值，则实数a的取值范围是a＞2或a＜﹣2
（多选）11．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0．以下结论正确的是（ ）
A．f（x）为奇函数B．f（x）为偶函数
C．f（x）为增函数D．f（x）为减函数
（多选）12．（5分）设定义域为R的函数f（x），若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b＝0有且仅有三个不同的实数解x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3．下列说法正确的是（ ）
A．x12+x22+x32＝5B．1+a+b＝0
C．x1+x3＞2x2D．x1+x3＝﹣2
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知集合A＝{﹣2，1}，B＝{x|ax＝2，其中x，a∈R}，若A∩B＝B，则a的取值集合为 ．
14．（5分）关于x的一元二次方程x2+kx+2k﹣1＝0在区间（﹣1，2）内、外各有一个实数根，则实数k的取值范围是 ．
15．（5分）两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．则第 种购物方式比较经济．
16．（5分）已知函数在（0，1]上单调递减，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）已知集合，定义A﹣B＝{x|x∈A且x∉B}．
（1）求A﹣B；
（2）求B﹣A．
18．（12分）已知非空集合A＝{x|x2﹣（3a+1）x+2（3a﹣1）＜0}，集合B＝{x|x2﹣（a2+a+2）x+a3+2a＜0}．命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
19．（12分）已知函数是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）＝1．
（1）求m，n的值；判断函数f（x）的单调性并用定义加以证明；
（2）求使f（a﹣1）+f（a2﹣1）＜0成立的实数a的取值范围．
20．（12分）已知函数f（x）＝﹣x2+（a+1）x（a∈R）．
（1）若对于任意x∈[1，2]，恒有f（x）≥2x2成立，求实数a的取值范围；
（2）若a≥2，求函数f（x）在区间[0，2]上的最大值g（a）．
21．（12分）为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设屋子的左右两面墙的长度均为x米（3≤x≤6）．
（Ⅰ）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价．
（Ⅱ）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元（a＞0），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．
22．（12分）若函数y＝f（x）自变量的取值区间为[a，b]时，函数值的取值区间恰为，就称区间[a，b]为y＝f（x）的一个“和谐区间”．已知函数g（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，g（x）＝﹣x+3．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求函数g（x）在（0，+∞）内的“和谐区间”；
（3）若以函数g（x）在定义域内所有“和谐区间”上的图象作为函数y＝h（x）的图象，是否存在实数m，使集合{（x，y）|y＝h（x）}∩{（x，y）|y＝x2+m}恰含有2个元素．若存在，求出实数m的取值集合；若不存在，说明理由．
2020-2021学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1．（5分）已知A＝{﹣3，0，1}，B＝{﹣4，﹣3，1}，则A∪B的真子集的个数为（ ）
A．3B．7C．15D．31
【解答】解：∵A＝{﹣3，0，1}，B＝{﹣4，﹣3，1}，
∴A∪B＝{﹣4，﹣3，0，1}，
∴A∪B的真子集的个数为24﹣1＝15．
故选：C．
2．（5分）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）
A．充分条件
B．必要条件
C．充分必要条件
D．既非充分又非必要条件
【解答】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，
根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．
所以“好货”⇒“不便宜”，
所以“不便宜”是“好货”的必要条件，
故选：B．
3．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），函数g（x）＝f（2x﹣1），则函数g（x）的定义域为（ ）
A．（﹣1，1）B．（0，1）
C．（﹣3，1）D．（f（﹣3），f（1））
【解答】解：∵函数f（x）的定义域为（﹣1，1），
∴﹣1＜2x﹣1＜1，解得：0＜x＜1，
故函数g（x）的定义域是（0，1），
故选：B．
4．（5分）已知a，b∈R+，且a+b＝1，则的最小值是（ ）
A．4B．1C．2D．3+2
【解答】解：∵a，b∈R+，a+b＝1，
∴（a+b）（）
＝12
≥3+2
故选：D．
5．（5分）函数f（x）的单调递减区间是（ ）
A．（﹣∞，2]B．[2，+∞）C．[0，2]D．[2，4]
【解答】解：由4x﹣x2≥0，得x2﹣4x≤0，解得0≤x≤4．
∴函数f（x）的定义域为[0，4]，
令t＝﹣x2+4x，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为x＝2，
则t＝﹣x2+4x在[2，4]上是减函数，又y是定义域内的增函数，
∴函数f（x）的单调递减区间是[2，4]．
故选：D．
6．（5分）若关于x的不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤a2+a+1（a∈R）的解集为空集，则实数a的取值范围是（ ）
A．﹣1＜a＜0B．0＜a＜1C．1＜a＜2D．a＜﹣1
【解答】解：∵|x﹣1|+|x﹣2|≥|（x﹣1）﹣（x﹣2）|＝1，∴|x﹣1|+|x﹣2|的最小值为1．
∵不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤a2+a+1（a∈R）的解集为空集，
∴不等式|x﹣1|+|x﹣2|＞a2+a+1恒成立，
∴a2+a+1＜（|x﹣1|+|x﹣2|）min＝1，∴﹣1＜a＜0，
∴实数a的取值范围为（﹣1，0）．
故选：A．
7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，f（﹣2）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）
【解答】解：由f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在（0，+∞）上单调递减，
可得f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
由f（﹣2）＝0，可得f（2）＝0，
当2＞x＞0时，f（x）＞0，
当﹣2＜x＜0时，f（x）＞0，
∴xf（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．
故选：A．
8．（5分）已知函数f（x）＝﹣x2+2x+1，x∈[0，2]，函数g（x）＝ax﹣1，x∈[﹣1，1]，对于任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[﹣1，1]，使得g（x2）＝f（x1）成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣3]B．[3，+∞）
C．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
【解答】解：∵f（x）＝﹣x2+2x+1，x∈[0，2]，对称轴为x＝1，开口向下，
∴f（0）≤f（x）≤f（1），
即1≤f（x）≤2，即函数f（x）的值域为B＝[1，2]，
若任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[﹣1，1]，使得g（x2）＝f（x1）成立，
则函数f（x）在[0，2]上值域B是g（x）在[﹣1，1]上值域A的子集，
即B⊆A，
①若a＝0，g（x）＝﹣1，此时A＝{﹣1}，不满足条件．
②当a＞0时，g（x）＝ax﹣1在[﹣1，1]是增函数，g（x）∈[﹣a﹣1，a﹣1]，即A＝[﹣a﹣1，a﹣1]，
则 ，
∴a≥3，
③a＜0，g（x）＝ax﹣1在[﹣1，1]是减函数，g（x）∈[a﹣1，﹣a﹣1]，
即A＝[a﹣1，﹣a﹣1]，
∴，
∴a≤﹣3，
综上，实数a的取值范围是a≥3或a≤﹣3．
故选：C．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知a，b，c为互不相等的正数，且a2+c2＝2bc，则下列关系中可能成立的是（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．b＞a＞cD．a＞c＞b
【解答】解：因为a，c均为正数，且a≠c，
所以a2+c2＞2ac，则2bc＞2ac，所以b＞a，
故A，D错误，
若b＞c，则a2+c2＝2bc＞2c2，即a2＞c2，可得a＞c，则b＞a＞c，B正确，
若c＞b，则c＞b＞a，C正确，
故选：BC．
（多选）10．（5分）下列各结论中正确的是（ ）
A．“ab＞0”是“”的充要条件
B．函数的最小值为2
C．命题“∀x＞1，x2﹣x＞0”的否定是“∃x0≤1，x0≤0”
D．若函数y＝x2﹣ax+1有负值，则实数a的取值范围是a＞2或a＜﹣2
【解答】解：对于A：当“ab＞0”时，“”，同时当“”时，“ab＞0”所以“ab＞0”是“”的充要条件，故A正确；
对于B：函数，设（），
所以f（t），根据对勾函数的性质，函数在t＝1时，取得最小值，由于，故函数f（t）为增函数，所以，故B错误；
对于C：命题“∀x＞1，x2﹣x＞0”的否定是“∃x0＞1，x0≤0“，故C错误；
对于D：函数y＝x2﹣ax+1有负值即：x2﹣ax+1＜0，则a2﹣4＞0，解得实数a的取值范围是a＞2或a＜﹣2，故D正确．
故选：AD．
（多选）11．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0．以下结论正确的是（ ）
A．f（x）为奇函数B．f（x）为偶函数
C．f（x）为增函数D．f（x）为减函数
【解答】解：取x＝y＝0 则f（0）＝2f（0），
∴f（0）＝0，
对任意x∈R，取y＝﹣x；则f[x+（﹣x）]＝f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0，
即f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）是R上的奇函数，所以A正确；
任意取x1，x2∈R，x1＜x2，则x2＝x1+△x （其中△x＞0 ），
∴f（x2）＝f（x1+△x）＝f（x1）+f（△x），
∴f（x2）﹣f（x1）＝f（△x）＞0，
即f（x2）＞f（x1），
∴f（x）是R上的增函数，所以C正确．
故选：AC．
（多选）12．（5分）设定义域为R的函数f（x），若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b＝0有且仅有三个不同的实数解x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3．下列说法正确的是（ ）
A．x12+x22+x32＝5B．1+a+b＝0
C．x1+x3＞2x2D．x1+x3＝﹣2
【解答】解：因为函数f（x），作出函数图象如图所示，
关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b＝0有且仅有三个不同的实数解，
由图象可知，只有当f（x）＝1时，方程有三个根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，
故x1＝﹣2，x2＝﹣1，x3＝0，
所以x12+x22+x32＝5，
故选项A正确；
当f（x）＝1时，由[f（x）]2+af（x）+b＝0，可得1+a+b＝0，
故选项B正确；
因为x1+x3＝﹣2+0＝﹣2＝2x2，
故选项C错误；
因为x1+x3＝﹣2+0＝﹣2，
故选项D正确；
故选：ABD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知集合A＝{﹣2，1}，B＝{x|ax＝2，其中x，a∈R}，若A∩B＝B，则a的取值集合为 {﹣1，0，2} ．
【解答】解：A∩B＝B⇒B⊆A，A＝{﹣2，1}的子集有ϕ，{﹣2}，{1}，{﹣2，1}，
当B＝ϕ时，显然有a＝0；当B＝{﹣2}时，﹣2a＝2⇒a＝﹣1；
当B＝{1}时，a•1＝2⇒a＝2；当B＝{﹣2，1}，不存在a，符合题意，
∴实数a值集合为{﹣1，0，2}，
故答案为：{﹣1，0，2}．
14．（5分）关于x的一元二次方程x2+kx+2k﹣1＝0在区间（﹣1，2）内、外各有一个实数根，则实数k的取值范围是 （，0] ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+kx+2k﹣1＝0在区间（﹣1，2）内、外各有一个实数根，
令f（x）＝x2+kx+2k﹣1，
若f（﹣1）＝1+k﹣1＝0，则k＝0，此时，f（x）＝x2﹣1，它的2个零点分别为1 和﹣1，满足条件．
若f（2）＝4k+3＝0，则k，此时，f（x）＝x2x，
它的2个零点分别为2和 全在（﹣1，2）外，不满足条件．
再根据 ，求得k＜0．
综上可得，k≤0，
故答案为：（，0]．
15．（5分）两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．则第 二 种购物方式比较经济．
【解答】解：设第一次和第二次购物时的价格分别为p1，p2，
按第一种策略，每次购nkg，按这种策略购物时，两次的平均价格是：
x．
若按第二种购物策略，第一次花m元钱，能购kg物品，
第二次仍花m元钱，能购kg物品，
两次购物的平均价格为y．
∵x＞0，y＞0，
∴1，
∴第一种策略的平均价格不小于第二种策略的平均价格，
则第二种购物方式比较经济．
故答案为：二．
16．（5分）已知函数在（0，1]上单调递减，则实数a的取值范围为 （﹣∞，]∪[1，+∞） ．
【解答】解：f（x）＝|x+a|，x∈（0，1]，
令g（x）＝x+a，则g′（x）＝1，
①a＞0时，由对勾函数的性质可得g（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，
若f（x）在（0，1]递减，
则，即，解得：a≥1；
②a＜0时，y＝x+a和y在（0，1]递增，
则g（x）在（0，1]递增，则g（1）≤0，即2a+1≤0，解得：a；
③a＝0时，f（x）＝|x|，不成立，
综上：a≥1或a，
故答案为：（﹣∞，]∪[1，+∞）．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）已知集合，定义A﹣B＝{x|x∈A且x∉B}．
（1）求A﹣B；
（2）求B﹣A．
【解答】解：因为A＝{x||x﹣1|≤2}＝{x|﹣1≤x≤3}，
，
所以（1）A﹣B＝{x|﹣1≤x≤2}，
（2）B﹣A＝{x|3＜x＜4}．
18．（12分）已知非空集合A＝{x|x2﹣（3a+1）x+2（3a﹣1）＜0}，集合B＝{x|x2﹣（a2+a+2）x+a3+2a＜0}．命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
【解答】解：A＝{x|（x﹣2）[x﹣（3a﹣1）]＜0}，B＝{x|（x﹣a）[x﹣（a2+2）]＜0}．
∵，∴a2+2＞a．
∴B＝{x|a＜x＜a2+2}．
∵p是q的充分条件，∴A⊆B．
①当a＝1时，3a﹣1＝2，A＝∅，不符合题意；
②当a＞1时，3a﹣1＞2，A＝{x|2＜x＜3a﹣1}，
要使A⊆B，
则∴1＜a≤2．
③当a＜1时，3a﹣1＜2，A＝{x|3a﹣1＜x＜2}，
要使A⊆B，
则∴．
综上所述，实数a的取值范围是．
19．（12分）已知函数是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）＝1．
（1）求m，n的值；判断函数f（x）的单调性并用定义加以证明；
（2）求使f（a﹣1）+f（a2﹣1）＜0成立的实数a的取值范围．
【解答】解：（1）解法一：因为函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，
所以f（0）＝0，即n＝0；
又f（1）＝1，即1，解得m＝2；
经检验m＝2，n＝0时，是定义在[﹣1，1]上的奇函数．
解法二：f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），
即，则n＝0，
所以，
又因为f（1）＝1，得m＝2，所以m＝2，n＝0；
设∀x1，x2∈[﹣1，1]且x1＜x2，
则；
因为﹣1≤x1＜x2≤1，所以，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0，
所以f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在[﹣1，1]上是增函数；
（2）由（1）知，f（x）在[﹣1，1]上是增函数，
又因为f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，
由f（a﹣1）+f（a2﹣1）＜0，得f（a﹣1）＜f（1﹣a2），
所以，
即，
解得0≤a＜1．
所以实数a的取值范围是[0，1）．
20．（12分）已知函数f（x）＝﹣x2+（a+1）x（a∈R）．
（1）若对于任意x∈[1，2]，恒有f（x）≥2x2成立，求实数a的取值范围；
（2）若a≥2，求函数f（x）在区间[0，2]上的最大值g（a）．
【解答】解：（1）解法一：对任意的x∈[1，2]，恒有f（x）≥2x2，即﹣x2+（a+1）x≥2x2，
整理得3x2﹣（a+1）x≤0对任意的x∈[1，2]恒成立，
构造函数g（x）＝3x2﹣（a+1）x，其中x∈[1，2]，则g（x）max≤0，
即，
即，解得a≥5，
因此，实数a的取值范围是[5，+∞）．
解法二：对任意的x∈[1，2]，恒有f（x）≥2x2，即﹣x2+（a+1）x≥2x2，
整理得3x2﹣（a+1）x≤0对任意的x∈[1，2]恒成立，
所以3x2≤（a+1）x任意的x∈[1，2]恒成立，
即a+1≥3x任意的x∈[1，2]恒成立，
所以a+1≥（3x）max＝6；
因此，实数a的取值范围是[5，+∞）．
（2）由，
因为a≥2，所以；
①当，即2≤a＜3时，
函数y＝f（x）在上单调递增，在上单调递减，
此时函数f（x）在区间[0，2]上的最大值为；
②当，即a≥3时，y＝f（x）在[0，2]上单调递增，
此时函数f（x）在区间[0，2]上的最大值为g（a）＝f（2）＝2a﹣2；
综上所述，．
21．（12分）为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设屋子的左右两面墙的长度均为x米（3≤x≤6）．
（Ⅰ）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价．
（Ⅱ）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元（a＞0），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设甲工程队的总造价为y元，
则，．
当且仅当，即x＝4时等号成立．
即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元．
（Ⅱ）由题意可得，对任意的x∈[3，6]恒成立．
即，从而恒成立，
令x+1＝t，，t∈[4，7]
又在t∈[4，7]为单调增函数，故ymin＝12.25．
所以0＜a＜12.25．
22．（12分）若函数y＝f（x）自变量的取值区间为[a，b]时，函数值的取值区间恰为，就称区间[a，b]为y＝f（x）的一个“和谐区间”．已知函数g（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，g（x）＝﹣x+3．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求函数g（x）在（0，+∞）内的“和谐区间”；
（3）若以函数g（x）在定义域内所有“和谐区间”上的图象作为函数y＝h（x）的图象，是否存在实数m，使集合{（x，y）|y＝h（x）}∩{（x，y）|y＝x2+m}恰含有2个元素．若存在，求出实数m的取值集合；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）因为g（x）为R上的奇函数，
∴g（0）＝0，
又当x∈（0，+∞）时，g（x）＝﹣x+3，
所以，当x∈（﹣∞，0）时，g（x）＝﹣g（﹣x）＝﹣（x+3）＝﹣x﹣3，
∴；
（2）设0＜a＜b，
∵g（x）在（0，+∞）上递单调递减，
∴，即a，b是方程的两个不等正根．
∵0＜a＜b，
∴，
∴g（x）在（0，+∞）内的“和谐区间”为[1，2]；
（3）设[a，b]为g（x）的一个“和谐区间”，
则，
∴a，b同号．
当a＜b＜0时，同理可求g（x）在（﹣∞，0）内的“和谐区间”为[﹣2，﹣1]．
∴，
依题意，抛物线y＝x2+m与函数h（x）的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．
因此m应当使方程x2+m＝﹣x+3在[1，2]内恰有一个实数根，并且使方程x2+m＝﹣x﹣3，在[﹣2，﹣1]内恰有一个实数．
由方程x2+m＝﹣x+3，即x2+x+m﹣3＝0在[1，2]内恰有一根，
令F（x）＝x2+x+m﹣3，则，解得﹣3≤m≤1；
由方程x2+m＝﹣x﹣3，即x2+x+m+3＝0在[﹣2，﹣1]内恰有一根，
令G（x）＝x2+x+m+3，则，解得﹣5≤m≤﹣3．
综上可知，实数m的取值集合为{﹣3}．
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