2022-2023学年山东省淄博一中高二（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年山东省淄博一中高二（上）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）直线x+y﹣3＝0的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．（5分）若直线l：ax+by+1＝0始终平分圆M：x2+y2+4x+2y+1＝0的周长，则（a﹣2）2+（b﹣7）2的最小值为（ ）
A．B．5C．D．20
3．（5分）甲、乙两人各射击一次，是否命中目标互不影响，已知甲、乙两人命中目标的概率分别为，，则至少有一人命中目标的概率（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若，则x+y+z＝（ ）
A．1B．C．2D．
5．（5分）从点A（2，3）射出的光线沿与向量平行的直线射到y轴上，则反射光线所在直线的方程为（ ）
A．2x+y+1＝0B．x+2y﹣4＝0C．x﹣2y+8＝0D．2x﹣y+7＝0
6．（5分）设F1，F2是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若∠F1PF2＝90°，c＝2，3，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）
A．90°B．45°C．60°D．30°
7．（5分）焦点在x轴上的椭圆方程为1（a＞b＞0），短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知F1，F2是椭圆的左，右焦点，P是椭圆上任意一点，过F1引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则Q与短轴端点的最近距离为（ ）
A．5B．4C．2D．1
二、多选题（共4小题）
（多选）9．（5分）分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），设事件M＝“第一枚骰子的点数为奇数”，事件N＝“第二枚骰子的点数为偶数”，则（ ）
A．M与N互斥B．
C．M与N相互独立D．
（多选）10．（5分）已知双曲线C：，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为2
B．双曲线C的焦点到渐近线的距离为m
C．若（2，0）是双曲线C的一个焦点，则m＝2
D．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则m＝2
（多选）11．（5分）如图所示，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，G为BB1的中点，则下列结论正确的有（ ）
A．CG与A1C1所成角的余弦值为
B．DB1与面A1BC1的交点H是△A1BC1的重心
C．三棱锥A1﹣BB1C1的外接球的体积为
D．BB1与面A1BC1所成角的正弦值为
（多选）12．（5分）已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x﹣2y+4＝0，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为0
C．x2+y2的最大值为D．x+y的最大值为
三、填空题（共4小题）
13．（5分）点A（2，1，1）是直线l上一点，（1，0，0）是直线l的一个方向向量，则点P（1，2，0）到直线l的距离是 ．
14．（5分）若直线ax+y﹣1＝0与连接A（2，3），B（﹣3，2）的线段总有公共点，则a的取值范围是 ．
15．（5分）设半径为3的圆C被直线l：x+y﹣4＝0截得的弦AB的中点为P（3，1），且弦长，则圆C的标准方程 ．
16．（5分）F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上异于顶点的一点，I是△PF1F2的内切圆圆心，若△PF1F2的面积等于△IF1F2的面积的3倍，则椭圆C的离心率为 ．
四、解答题（共6小题）
17．（10分）为庆祝建校115周年，某校举行了校史知识竞赛．在必答题环节，甲、乙两位选手分别从3道选择题、2道填空题中随机抽取2道题作答．已知甲每道题答对的概率为，乙每道题答对的概率为，且甲乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响．
（1）求甲恰好抽到1道填空题的概率；
（2）求甲比乙恰好多答对1道题的概率．
18．（12分）已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9，直线l：（m+2）x+（1﹣2m）y﹣10＝0，直线l与圆C相交于P，Q两点．
（1）求|PQ|的最小值；
（2）当△CPQ的面积最大时，求直线l的方程．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面ABCD所成角为45°，四边形ABCD是梯形，AD⊥AB，BC∥AD，AD＝2，PA＝BC＝1．
（1）证明：平面PAC⊥平面PCD；
（2）若点T是CD的中点，点M是PT的中点，求点P到平面ABM的距离．
20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，，点M为B1C1的中点．
（1）证明：AC1∥平面A1BM；
（2）AC上是否存在点N，使二面角B﹣A1M﹣N的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
21．（12分）已知椭圆的焦距为2，左右焦点分别为F1，F2，以原点O为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线3x﹣4y+5＝0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设不过原点的直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A，B两点，若直线AF2与BF2的斜率分别为k1，k2，且k1+k2＝0，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；
22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，且过点，A为左顶点，B为下顶点，椭圆上有一点P且P点在第一象限，PA交y轴于点C，PB交x轴于点D．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求△PCD面积的最大值．
2022-2023学年山东省淄博一中高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题）
1．（5分）直线x+y﹣3＝0的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【解答】解：设直线x+y﹣3＝0的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°），
由题意可得tanθ，∴θ＝120°，
故选：C．
2．（5分）若直线l：ax+by+1＝0始终平分圆M：x2+y2+4x+2y+1＝0的周长，则（a﹣2）2+（b﹣7）2的最小值为（ ）
A．B．5C．D．20
【解答】解：因为直线l：ax+by+1＝0始终平分圆M：x2+y2+4x+2y+1＝0的周长，可得直线l过圆的圆心，而圆M的圆心M（﹣2，﹣1），
所以﹣2a﹣b+1＝0，即b＝1﹣2a，
所以（a﹣2）2+（b﹣7）2＝（a﹣2）2+（1﹣2a﹣7）2＝5a2+20a+40＝5（a+2）2+20，
当a＝﹣2时，（a﹣2）2+（b﹣7）2最小，且最小值为：20，
故选：D．
3．（5分）甲、乙两人各射击一次，是否命中目标互不影响，已知甲、乙两人命中目标的概率分别为，，则至少有一人命中目标的概率（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：甲、乙两人各射击一次，是否命中目标互不影响，
甲、乙两人命中目标的概率分别为，，
至少有一人命中目标的对立事件是两个人都没有击中目标，
则至少有一人命中目标的概率为：
P＝1﹣（1）（1）．
故选：D．
4．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若，则x+y+z＝（ ）
A．1B．C．2D．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，
，
∵，∴x＝1，y＝z，
∴x+y+z＝2．
故选：C．
5．（5分）从点A（2，3）射出的光线沿与向量平行的直线射到y轴上，则反射光线所在直线的方程为（ ）
A．2x+y+1＝0B．x+2y﹣4＝0C．x﹣2y+8＝0D．2x﹣y+7＝0
【解答】解：A（2，3）关于y轴的对称点为（﹣2，3），
由于入射光线与平行，
所以反射光线的斜率是，
所以反射光线所在直线方程为y﹣3（x+2），x+2y﹣4＝0．
故选：B．
6．（5分）设F1，F2是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若∠F1PF2＝90°，c＝2，3，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）
A．90°B．45°C．60°D．30°
【解答】解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义可知m﹣n＝2a，
又，可得m2+n2＝4c2，mn＝6，
即（m﹣n）2+2mn＝4a2+12＝4c2＝16，解得，
可得双曲线的渐近线方程为，两条渐近线的夹角为60°．
故选：C．
7．（5分）焦点在x轴上的椭圆方程为1（a＞b＞0），短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由椭圆的性质可知：
AB＝2c，AC＝AB＝a，OC＝b，
SABCAB•OC•2c•b＝bc，
SABC（a+a+2c）•r•（2a+2c），
∴bc，a＝2c，
由e，
故选：C．
8．（5分）已知F1，F2是椭圆的左，右焦点，P是椭圆上任意一点，过F1引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则Q与短轴端点的最近距离为（ ）
A．5B．4C．2D．1
【解答】解：∵P是焦点为F1、F2的椭圆上一点，
PQ为∠F1PF2的外角平分线，QF1⊥PQ，
设F1Q的延长线交F2P的延长线于点M，
∴|PM|＝|PF1|，
∵|PF1|+|PF2|＝2a＝10，∴|MF2|＝|PM|+|PF2|＝2a＝10，
由题意知OQ是△F1F2M的中位线，
∴|OQ|＝a＝5，
∴Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，
∴当点Q与y轴重合时，
Q与短轴端点取最近距离d＝a﹣b＝5﹣4＝1．
故选：D．
二、多选题（共4小题）
（多选）9．（5分）分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），设事件M＝“第一枚骰子的点数为奇数”，事件N＝“第二枚骰子的点数为偶数”，则（ ）
A．M与N互斥B．
C．M与N相互独立D．
【解答】解：由题意可知，第一枚骰子的点数与第二枚骰子的点数互不影响，
所以事件M与事件N为相互独立事件，故A错误，C正确，
又因为P（M），故B正确，
P（M∪N）＝1，故D错误，
故选：BC．
（多选）10．（5分）已知双曲线C：，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为2
B．双曲线C的焦点到渐近线的距离为m
C．若（2，0）是双曲线C的一个焦点，则m＝2
D．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则m＝2
【解答】解：∵曲线C：为双曲线，
∴m＞0，且a，b，则双曲线C的实轴长为2，故A错误；
取双曲线一个焦点F（c，0），一条渐近线方程为y，即bx﹣ay＝0，
则双曲线C的焦点到渐近线的距离为，故B错误；
若（2，0）是双曲线C的一个焦点，则2+m＝4，得m＝2，故C正确；
若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则，即m＝2，故D正确．
故选：CD．
（多选）11．（5分）如图所示，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，G为BB1的中点，则下列结论正确的有（ ）
A．CG与A1C1所成角的余弦值为
B．DB1与面A1BC1的交点H是△A1BC1的重心
C．三棱锥A1﹣BB1C1的外接球的体积为
D．BB1与面A1BC1所成角的正弦值为
【解答】解：对于A：连接AC，则由正方体的性质可知AC∥A1C1，
∴∠ACG即为异面直线CG与A1C1所成角或其补角，
连接AG，BD，设AC∩BD＝O，则O为AC的中点，连接OG，则AG＝CG，
AC＝2，OG⊥AC，
在Rt△COG中，cs∠OCGcs∠ACG，即CG与A1C1所成角的余弦值为，故A错误；
对于B：连接DA1，DC1，则DA1＝DC1＝DB＝A1B＝A1C1＝BC1，则四面体D﹣A1BC1为正四面体，
∵A1C1⊥D1B1，A1C1⊥BB1，D1B1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D，
∵DB1⊂平面BB1D1D，∴DB1⊥平面A1BC1，垂足为H，
又四面体D﹣A1BC1为正四面体，所以H为H是△A1BC1的重心，故B正确；
对于C，由于三棱锥A1﹣BB1C1的顶点均为正方体的顶点，∴三棱锥A1﹣BB1C1和正方体有相同的外接球，
∴外接球半径为RD1B2，体积为VπR3＝4π，故C正确；
对于D：连接BH，并延长交A1C1于点O1，由选项B知B1H⊥平面A1BC1，∠B1BH为BB1与面A1BC1所成角，
由△A1BC1为正三角形，且H为是△A1BC1的中心，所以O1为A1C1的中点，也是D1B1的中点，
在Rt△O1B1B中，O1B，∴sin∠B1BH＝sin∠B1BO1，故D正确．
故选：BCD．
（多选）12．（5分）已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x﹣2y+4＝0，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为0
C．x2+y2的最大值为D．x+y的最大值为
【解答】解：∵实数x，y满足方程x2+y2﹣4x﹣2y+4＝0，
∴（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，
对于ABD，令y＝kx，x+y＝a，
则两条直线都与圆有公共点，
∴，，解得，0，
故x+y的最大值为3，的最大值为，最小值为0，故ABD正确，
对于C，原点到圆心的距离为d，
则圆上的点到原点的距离为[]，
∴，
∴，
故x2+y2的最大值为6+2，故C错误．
故选：ABD．
三、填空题（共4小题）
13．（5分）点A（2，1，1）是直线l上一点，（1，0，0）是直线l的一个方向向量，则点P（1，2，0）到直线l的距离是 ．
【解答】解：由题意，点A（2，1，1）和P（1，2，0），可得，且，
所以点P（1，2，0）到直线l的距离是．
故答案为：．
14．（5分）若直线ax+y﹣1＝0与连接A（2，3），B（﹣3，2）的线段总有公共点，则a的取值范围是 ．
【解答】解：直线ax+y﹣1＝0过定点P（0，1），斜率为﹣a，
直线ax+y﹣1＝0与连接A（2，3），B（﹣3，2）的线段总有公共点，如图
kPA1，kPB，
∴﹣a≥1或﹣a，解得a≤﹣1或a，
∴a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）．
15．（5分）设半径为3的圆C被直线l：x+y﹣4＝0截得的弦AB的中点为P（3，1），且弦长，则圆C的标准方程 （x﹣4）2+（y﹣2）2＝9，或（x﹣2）2+y2＝9 ．
【解答】解：由题意设所求的圆的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝9．
圆心到直线的距离为d，
∵圆C被直线l：x+y﹣4＝0截得的弦AB的中点为P（3，1），
∴1，
∴a＝4，b＝2或a＝2，b＝0
即所求的圆的方程为：（x﹣4）2+（y﹣2）2＝9或（x﹣2）2+y2＝9．
故答案为：（x﹣4）2+（y﹣2）2＝9，或（x﹣2）2+y2＝9．
16．（5分）F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上异于顶点的一点，I是△PF1F2的内切圆圆心，若△PF1F2的面积等于△IF1F2的面积的3倍，则椭圆C的离心率为 ．
【解答】解：由于椭圆关于原点对称，不妨设点P在x轴上方，
设点P纵坐标为yP，点I纵坐标为yI，内切圆半径为r，椭圆长轴长为2a，焦距为2c，
则yP•|F1F2|＝33yI•|F1F2|，得yP＝3yI，
又，即yP•|F1F2|r•|F1F2|r•|PF1|r•|PF2|，
又yI＝r，化简得yP•|F1F2|＝yI（|F1F2|+|PF1|+|PF2|），即3×2c＝2c+2a，
解得a＝2c，可得离心率为．
故答案为：．
四、解答题（共6小题）
17．（10分）为庆祝建校115周年，某校举行了校史知识竞赛．在必答题环节，甲、乙两位选手分别从3道选择题、2道填空题中随机抽取2道题作答．已知甲每道题答对的概率为，乙每道题答对的概率为，且甲乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响．
（1）求甲恰好抽到1道填空题的概率；
（2）求甲比乙恰好多答对1道题的概率．
【解答】解：（1）记3道选择题的题号为1，2，3，道填空题的题号为4，5，
则试验的样本空间Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}，
共有10个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型，
记事件A＝“甲恰好抽到1道填空题”，则n（A）＝3×2＝6，故，
因此甲恰好抽到1道填空题的概率为．
（2）设事件A1，A2分别表示甲答对1道题，2道题，事件B0，B1分别表示乙答对0道题，1道题，
根据事件的独立性得，，，，
记事件B＝“甲比乙恰好多答对1道题”，
则B＝A1B0∪A2B0，且A1B0，A2B1两两互斥，A1与B0，A2与B1分别相互独立，
所以，，
所以，
故甲比乙恰好多答对1道题的概率为．
18．（12分）已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9，直线l：（m+2）x+（1﹣2m）y﹣10＝0，直线l与圆C相交于P，Q两点．
（1）求|PQ|的最小值；
（2）当△CPQ的面积最大时，求直线l的方程．
【解答】解：（1）由直线l：（m+2）x+（1﹣2m）y﹣10＝0，得m（x﹣2y）+2x+y﹣10＝0，
由，∴，
∴直线l过定点D（4，2），
∵（4﹣2）2+（2﹣1）2＝5＜9，
∴点D（4，2）在圆C内部，∴直线l与圆C相交，
∴当CD⊥l时，|PQ|最小，又|CD|，|PQ|＝24．
（2）∵S△CPQ|CP|•|CQ|•sin∠PCQ，
∴当∠PCQ＝90°时，△CPQ的面积最大，
此时△CPQ为等腰三角形，故圆心到直线l的距离为dr，
∴，解得m＝±，
∴此时l的方程为：7x+y﹣30＝0或x+y﹣6＝0．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面ABCD所成角为45°，四边形ABCD是梯形，AD⊥AB，BC∥AD，AD＝2，PA＝BC＝1．
（1）证明：平面PAC⊥平面PCD；
（2）若点T是CD的中点，点M是PT的中点，求点P到平面ABM的距离．
【解答】证明：（1）由PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
得PA⊥AB，PA⊥CD，PB 与底面ABCD所成角为∠PBA＝45°，
所以三角形PAB 为等腰直角三角形，AB＝AP＝1，
又由四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，可知AB⊥BC，
所以△ABC为等腰直角三角形，而BC＝1，故AC，
在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AD，垂足为E，则四边形ABCE为正方形，
可知AE＝BC＝CE＝1，
所以DE＝1，在等腰直角三角形CDE 中，CD，
则有AC2+CD2＝2+2＝4＝AD2，所以DC⊥AC，
又因为PA⊥DC，PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC．
所以DC⊥平面PAC．因为DC⊂平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD．
解：（2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在的直线为x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
则A（0，0，0），P（0，0，1），B（1，0，0），D（0，2，0），C（1，1，0），
因为T是CD 的中点，点M是PT 的中点，所以T（），M（），
设平面ABM 的法向量为，，，
则，取y＝4，则z＝﹣6，得平面ABM的一个法向量为，
而，所以点P到平面ABM的距离为．
20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，，点M为B1C1的中点．
（1）证明：AC1∥平面A1BM；
（2）AC上是否存在点N，使二面角B﹣A1M﹣N的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：连接AB1与A1B交于点O，则O为AB1的中点，连接OM，
因为点M为B1C1的中点，
所以OM∥AC1，
因为OM⊂平面A1BM，AC1⊄平面A1BM，
所以AC1∥平面A1BM；
解：（2）存在，；理由如下：
由题意知，AB⊥AC，如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，
设AB＝1，则B（1，0，0），，，
设N（0，a，0），0≤a≤1，
所以，，，
设平面BA1M的一个法向量为，则有，取得，
设平面A1MN的一个法向量为，则有取得，
因为，解得或a＝﹣6（舍），
此时．
21．（12分）已知椭圆的焦距为2，左右焦点分别为F1，F2，以原点O为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线3x﹣4y+5＝0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设不过原点的直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A，B两点，若直线AF2与BF2的斜率分别为k1，k2，且k1+k2＝0，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；
【解答】解：（1）由题意可得c＝1，即a2﹣b2＝1，
由直线3x﹣4y+5＝0与圆x2+y2＝b2相切，
可得，解得，
即有椭圆的方程为；
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线y＝kx+m（m≠0）代入椭圆x2+2y2＝2，
可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，
即有Δ＝16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）＞0，，
由，
即有2kx1x2﹣2m+（m﹣k）（x1+x2）＝0，
代入韦达定理，可得，
化简可得m＝﹣2k，
则直线的方程为y＝kx﹣2k，y＝k（x﹣2），
故直线l恒过定点（2，0）；
22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，且过点，A为左顶点，B为下顶点，椭圆上有一点P且P点在第一象限，PA交y轴于点C，PB交x轴于点D．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求△PCD面积的最大值．
【解答】解：（1）由椭圆C：的离心率为，且过点，
∴，1，又a2＝b2+c2，
解得a＝2，b＝1，c，
∴椭圆C的标准方程为．
（2）设直线PA的方程为：y＝k（x+2），0＜k．
联立，化为：（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4＝0，
∴﹣2xP，xP，
∴yP＝k（xP+2），
∴P（，），
设D（xD，0），B（0，﹣1），
∵P，D，B三点共线，
则kBD＝kPB，
∴，解得：xD，
可得D（，0），
∴△PCD面积S＝S△PAD﹣S△CAD|AD|•|yP﹣yC||2|•|2k|2，
令t＝1+2k，1＜t＜2，∴2k＝t﹣1，
g（t）＝﹣2221，当且仅当t时，即k时取等号，
∴△PCD面积的最大值为1．
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