上海市上海交通大学附属中学2023-2024学年高一数学上学期10月考试试题（Word版附解析）

这是一份上海市上海交通大学附属中学2023-2024学年高一数学上学期10月考试试题（Word版附解析），共3页。试卷主要包含了填空题，选择题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分）
1. 已知集合，，且，则的值为________.
2. 已知全集，集合，，则______．
3. 关于不等式恒成立，则实数的取值范围是___________.
4. 已知关于的不等式的解集为．若且，则实数的取值范围是______．
5. 已知关于x的一元二次不等式的解集为，则______．
6. 不等式的解集是____________.
7. 已知，若关于不等式无解，则实数的取值范围是______．
8. 已知集合，，若“”是“”的必要非充分条件，则实数a的取值范围是______．
9. 著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．
10. 已知，是一元二次方程的两个实数根，若，满足，则________.
11. 已知，若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，则所有符合条件的的值之和是______．
12. 已知集合，对任意、、，规定运算“”满足如下性质：
（1）；（2）；（3）；
给出下列命题：①；
②若，则；
③若，且，则；
④若、、，且，，则．
其中所有正确命题的序号是______．
二、选择题（本大题满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分，每题有且仅有一个正确选项）
13. 已知，则下列四个命题正确的个数是（ ）
①若，则；②若，则；
③若，则；④若，，，，则，.
A. 1B. 2C. 3D. 4
14. 某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多方案是（其中）（ ）
A. 先提价，再提价B. 先提价，再提价
C. 分两次，都提价D. 分两次，都提价
15. 若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补，记φ（a，b）=﹣a﹣b那么φ（a，b）=0是a与b互补的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要的条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
16. 已知a，b，，若关于x不等式的解集为，则（ ）
A. 不存在有序数组，使得
B. 存唯一有序数组，使得
C. 有且只有两组有序数组，使得
D. 存在无穷多组有序数组，使得
三、解答题（本大题满分78分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤．
17. 已知两个命题：二次函数的图象与轴有两个不同的交点；关于的不等式恒成立．若命题和有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围．
18. 求下列关于的不等式的解集．
（1）；
（2）．
19. 已知，设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
20. 已知．
（1）已知关于的不等式的解集是，求实数的取值范围；
（2）已知的解集为，且，求实数的取值范围．
21. 某天，你突然发现黑板上有如下内容：
例：求，的最小值．
解：由平均值不等式：当、、时，恒成立、当且仅当时取等号，得到，
于是，且等号当且仅当时成立；
所以当且仅当时取到最小值．
（1）请你模仿上面例题，研究，的最小值；
（2）研究，最小值；
（3）求当时，，最小值．
高一数学月考试卷
（说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟．本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．）
一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分）
1. 已知集合，，且，则的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】本题根据题意先得到限制条件，再根据限制条件求的值即可.
【详解】解：因为，，，
所以，解得，
故答案为：0
【点睛】本题考查根据集合相等求参数的值，是基础题.
2. 已知全集，集合，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据集合的交集、补集运算求解.
【详解】由题意可得：，
所以.
故答案为：.
3. 关于不等式恒成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】由一元二次不等式在实数集上恒成立，结合对应函数的性质知，即可求的范围.
【详解】由题设，要使恒成立，
∵函数开口向上，
∴只需即可，解得.
故答案为：
4. 已知关于的不等式的解集为．若且，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为关于的不等式的解集为，且，
所以，，解得.
故答案为：.
5. 已知关于x的一元二次不等式的解集为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知：关于x的一元二次方程的根为，且，利用韦达定理运算求解.
【详解】由题意可知：关于x一元二次方程的根为，且，
可得，解得，
所以.
故答案为：.
6. 不等式的解集是____________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出的范围，再解分式不等式即可.
【详解】由可得且，
，即，
即，解得，
综上所述不等式的解集为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，解不等式时注意式子要有意义，此题属于基础题.
7. 已知，若关于的不等式无解，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】分析可知，对任意的，，可得出，即可得解.
【详解】由题意可知，关于的不等式无解，即对任意的，，
所以，，
故实数的取值范围是.
故答案为：.
8. 已知集合，，若“”是“”的必要非充分条件，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】先求集合，由题意可知集合B是集合A的真子集，根据包含关系运算求解.
【详解】由题意可得，，
若“”是“”的必要非充分条件，则集合B是集合A的真子集，
则，且等号不能同时成立，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
9. 著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．
【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.
【解析】
【分析】从命题的否定入手可解.
【详解】反证法先否定命题，故答案为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.
【点睛】本题主要考查反证法步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出矛盾，从而肯定命题.
10. 已知，是一元二次方程的两个实数根，若，满足，则________.
【答案】
【解析】
【分析】由韦达定理可知，同号，分，都为负数和都为正数两种类型讨论，利用韦达定理和已知条件，解方程并检验即可.
【详解】∵一元二次方程有两个实数根，，∴，即.
由一元二次方程根与系数关系，可得，，则，同号.
①当，都为负数时，可得解得
∴，即，此时，方程无解；
②当，都为正数时，可得解得
∴，即，解得或.
因为，都为正数，则，即，所以.
综上可得.
故答案为：
11. 已知，若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，则所有符合条件的的值之和是______．
【答案】
【解析】
【分析】设关于的不等式的解集为，分析可知集合中的个整数依次为、、、、，由此可得出关于实数的不等式组，解出实数的取值范围，即可得解.
【详解】设关于的不等式的解集为，
因为二次函数的对称轴为直线，
所以，集合中的个整数依次为、、、、，
所以，，解得，
又因为，所以，整数的取值集合为，
因此，所有符合条件的的值之和是.
故答案为：.
12. 已知集合，对任意、、，规定运算“”满足如下性质：
（1）；（2）；（3）；
给出下列命题：①；
②若，则；
③若，且，则；
④若、、，且，，则．
其中所有正确命题的序号是______．
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据新定义计算“”逐项分析可得结果.
【详解】对于命题①，对任意的，，命题①为真命题；
对于命题②，若，则，命题②假命题；
对于命题③，当时，若，则，则显然成立；
当时，若，且，
在（3）中，令，，则，
另一方面，则，即，这与矛盾；
综上，，故命题③为真命题；
对于命题④，若、、，由可得，
又因为，则，
因为，则，
所以，，即，
所以，，所以，，故命题④为真命题.
故答案为：①③④.
【点睛】关键点睛：本题考查新定义运算，解本题的关键在于根据题中三个性质进行推导，解题时应紧扣题中定义进行推导.
二、选择题（本大题满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分，每题有且仅有一个正确选项）
13. 已知，则下列四个命题正确的个数是（ ）
①若，则；②若，则；
③若，则；④若，，，，则，.
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用不等式的性质，逐一分析选项，得到正确结论.
【详解】①当时，，两边同时除以，得到，正确；
②，那么，即，正确；
③ ，

，正确；
④令 同样能满足 ，不正确.
共有3个正确.
故选C.
【点睛】本题考查不等式比较大小，一般不等式比较大小的方法：1.做差法，2.利用不等式的性质，3.利用函数单调性比较大小，4.特殊值比较大小.
14. 某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多的方案是（其中）（ ）
A. 先提价，再提价B. 先提价，再提价
C. 分两次，都提价D. 分两次，都提价
【答案】C
【解析】
【分析】求出每个选项中提价后的水价，结合基本不等式比较大小可得合适的选项.
【详解】设原来的水价为，AB选项中，两次提价后的水价为，
C选项中，两次提价后的水价为，
D选项中，两次提价后的水价为，
因为，则，则，
所以，，则，
即，
由基本不等式可得，
所以，.
故选：C
15. 若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补，记φ（a，b）=﹣a﹣b那么φ（a，b）=0是a与b互补的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要的条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：由φ（a，b）＝0得－a－b＝０且；所以φ（a，b）＝0是a与b互补的充分条件；再由a与b互补得到：，且＝0；从而有，所以φ（a，b）＝0是a与b互补的必要条件；故得φ（a，b）＝0是a与b互补的充要条件；故选Ｃ．
考点：充要条件的判定．
16. 已知a，b，，若关于x不等式的解集为，则（ ）
A. 不存在有序数组，使得
B. 存在唯一有序数组，使得
C. 有且只有两组有序数组，使得
D. 存在无穷多组有序数组，使得
【答案】D
【解析】
【分析】根据，不等式转化为一元二次不等式的解的问题，利用两个一元二次不等式解集有交集的结论，得出两个不等式解集的形式，从而再结合一元二次方程的根与系数关系确定结论．
【详解】由题意不等式的解集为，
即的解集是，
则不等式的解是或，不等式的解集是，
设，，，
所以，，
和是方程的两根，
则，，
又，
所以是的一根，
所以存在无数对，使得．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：本题考查分式不等式的解集问题，解题关键是转化一元二次不等式的解集，从而结合一元二次方程根与系数关系得出结论．
三、解答题（本大题满分78分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤．
17. 已知两个命题：二次函数的图象与轴有两个不同的交点；关于的不等式恒成立．若命题和有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围．
【答案】或
【解析】
【分析】分别求出当命题、为真命题时，实数取值范围，然后分真假、假真两种情况讨论，求出对应的实数的取值范围，综合可得出实数的取值范围.
【详解】解：若命题为真命题，则，解得或，
若命题为真命题，则，即，
若真假，则，可得或，
若假真，则，此时，.
综上所述，或.
18. 求下列关于的不等式的解集．
（1）；
（2）．
【答案】（1）或
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）将所求不等式变形为，即为，结合二次不等式的解法可得出所求不等式的解集；
（2）将所求不等式变形为，对和的大小进行分类讨论，结合二次不等式的解法解原不等式即可得其解集.
【小问1详解】
解：因为，由可得，
即，解得或，
故原不等式的解集为或.
【小问2详解】
解：由可得，
因为，当时，即当时，原不等式即为，
此时，原不等式的解集为；
当时，即当时，解不等式可得，
此时，原不等式的解集为；
当时，即当时，解原不等式可得，
此时，原不等式的解集为.
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
19. 已知，设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）当时，可得出，分、、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；
（2）利用绝对值三角不等式可求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【小问1详解】
解：当时，.
当时，，解得，此时，，
当时，，此时，不等式无解，
当时，，解得，此时，.
综上所述，当时，不等式的解集为或.
【小问2详解】
解：因为，当且仅当时，等号成立，
由绝对值三角不等式可得
，
当且仅当时，等号成立，
因为恒成立，则，可得或，解得或.
所以，实数的取值范围是或.
20. 已知．
（1）已知关于的不等式的解集是，求实数的取值范围；
（2）已知的解集为，且，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将所求不等式变形为，根据二次不等式的解法可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围；
（2）分析可知，对任意的，恒成立，由参变量分离法可得出，令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
由，即，
整理可得，
因为不等式的解集为，
则，解得，
因此，实数的取值范围是.
【小问2详解】
由可得，
因为不等式的解集为，且，则，
所以，对任意的，恒成立，则，可得，
令，则，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，.
当时，函数的最大值为，所以，.
21. 某天，你突然发现黑板上有如下内容：
例：求，的最小值．
解：由平均值不等式：当、、时，恒成立、当且仅当时取等号，得到，
于是，且等号当且仅当时成立；
所以当且仅当时取到最小值．
（1）请你模仿上面例题，研究，的最小值；
（2）研究，的最小值；
（3）求当时，，的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由四元基本不等式可得，进而可求得，的最小值；
（2）由三元基本不等式可得出，进而可求得，的最小值；
（3）令，，令，可得，再利用三元基本不等式可求得当时，，的最小值．
【小问1详解】
由平均值不等式：当、、、时，恒成立、当且仅当时取等号，得到，
于是，当时，，
当且仅当时，等号成立，
故，的最小值为.
【小问2详解】
由平均值不等式：当、、时，恒成立、当且仅当时取等号，得到，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，当时，
，
所以，，的最小值为.
【小问3详解】
当且时，令，，
令，可得，
所以，当且时，，
所以，当时，，的最小值为.