云南省昆明市十中教育集团2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

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A．B．C．D．
2．（3分）已知圆O的半径为5，同一平面内有一点P，且OP＝4，则点P与圆O的关系是（ ）
A．点P在圆内B．点P在圆外C．点P在圆上D．无法确定
3．（3分）将抛物线y＝x2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2﹣2B．y＝（x﹣3）2+6
C．y＝（x+3）2+6D．y＝（x﹣3）2+2
4．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1B．k＜1C．k＞﹣1且k≠0D．k＜1且k≠0
5．（3分）如图，某小区居民休闲娱乐中心是建在一块长方形（长30米，宽20米）场地，被3条宽度相等的绿化带划分为总面积为480平方米的6块活动场所．如果想求绿化带的宽度x米，可列出的方程为（ ）
A．（30﹣x）（20﹣x）＝480B．（30﹣2x）（20﹣2x）＝480
C．（30﹣2x）（20﹣x）＝480D．（30﹣x）（20﹣2x）＝480
6．（3分）已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（5，y3）都在函数y＝（x﹣3）2+1的图象上，则（ ）
A．y3＜y1＜y2B．y2＜y3＜y1C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1
7．（3分）如图，把△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，∠1＝30°，则∠BAE＝（ ）
A．70°B．40°C．30°D．10°
8．（3分）如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径OA＝10m，桥拱的跨度AB＝16m，则拱高CD为（ ）
A．4mB．6mC．8mD．10m
9．（3分）如图，⊙O中，点D，A分别在劣弧BC和优弧BC上，∠BDC＝130°，则∠BOC＝（ ）
A．120°B．110°C．105°D．100°
10．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
B．圆的切线垂直于圆的半径
C．三角形的外心到三角形三边的距离相等
D．同弧或等弧所对的圆周角相等
11．（3分）如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（ ）
A．20cm
B．15cm
C．10cm
D．随直线MN的变化而变化
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，如下结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③a﹣b+c＞0；④b2﹣4ac＜0；⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数）；其中正确个数是（ ）
​
A．2个B．3个C．4个D．5个
二.填空题（每题2分，共8分）
13．（2分）二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣3的顶点坐标是 ．
14．（2分）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯66次，设参加酒会的人数为x，则可列出方程 ．
15．（2分）桥拱截面OBA可以看作抛物线的一部分（如图），在某一时刻，桥拱内的水面宽约20米，桥拱顶点B到水面的距离为4米．模型建立：以该时刻水面为x轴，桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求在距离水面2米处桥拱宽度为 米．
​
16．（2分）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为 ．
三.解答题（共56分）
17．（6分）解方程：
（1）x2﹣2x＝0；
（2）x2+8x﹣9＝0．
18．（6分）如图，平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（﹣1，4），C（0，2）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并求出C1点的坐标；
（2）将△ABC以点A为旋转中心顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB2C2，并求出C2点的坐标．​
19．（7分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D落在边BC上．
（1）若∠A＝70°，∠E＝30°，求旋转的角度的大小；
（2）若AC＝3，CE＝5，求BD的长度．
20．（6分）2022年是中国共产党建党101周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，某市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年8月份该基地接待参观人数10万人，10月份接待参观人数增加到12.1万人．
（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计11月份的参观人数能否突破13.5万人？
21．（8分）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出100件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出10件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写山y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
22．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥DC于点D，AC平分∠DAB．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，∠DAB＝60°，求AD的长．
23．（6分）综合与实践：
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1所示，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2所示，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°，（依据1）
∵∠B＝∠D，
∴∠AEC+∠B＝180°，
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上，（依据2）
∴点A，B，C，D四点在同一个圆上；
反思归纳：
​（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1： ；（从框内选一个选项，直接填序号）
依据2： ．（从框内选一个选项，直接填序号）
（2）如图3所示，在四边形ABCD中，∠1＝∠2＝80°，∠3＝42°，则∠4的度数为 ．
​
24．（9分）如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且点B为（4，0），与y轴交于点C（0，4），直线BC经过B，C两点，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接PB，PC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）直线BC的解析式记为y1＝kx+b，当y＞y1时，直接写出x的取值范围；
（3）设点P的横坐标为n，四边形OBPC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标．
2023-2024学年云南省昆明十中教育集团九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每题3分，共36分）
1．（3分）如图汽车标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、是中心对称图形，本选项正确；
B、不是中心对称图形，本选项错误；
C、不是中心对称图形，本选项错误；
D、不是中心对称图形，本选项错误．
故选：A．
2．（3分）已知圆O的半径为5，同一平面内有一点P，且OP＝4，则点P与圆O的关系是（ ）
A．点P在圆内B．点P在圆外C．点P在圆上D．无法确定
【解答】解：设圆的半径为r，
由题意得：OP＝4＜r＝5，
∴点P与圆O的关系是：点P在圆内．
故选：A．
3．（3分）将抛物线y＝x2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2﹣2B．y＝（x﹣3）2+6
C．y＝（x+3）2+6D．y＝（x﹣3）2+2
【解答】解：将抛物线y＝x2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为：y＝（x+3）2+2﹣4，即y＝（x+3）2﹣2．
故选：A．
4．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1B．k＜1C．k＞﹣1且k≠0D．k＜1且k≠0
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，
解得k＞﹣1且k≠0．
故选：C．
5．（3分）如图，某小区居民休闲娱乐中心是建在一块长方形（长30米，宽20米）场地，被3条宽度相等的绿化带划分为总面积为480平方米的6块活动场所．如果想求绿化带的宽度x米，可列出的方程为（ ）
A．（30﹣x）（20﹣x）＝480B．（30﹣2x）（20﹣2x）＝480
C．（30﹣2x）（20﹣x）＝480D．（30﹣x）（20﹣2x）＝480
【解答】解：∵绿化带的宽度为x米，
∴六块活动场所可合成长为（30﹣2x）米，宽为（20﹣x）米的长方形．
根据题意得：（30﹣2x）（20﹣x）＝480．
故选：C．
6．（3分）已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（5，y3）都在函数y＝（x﹣3）2+1的图象上，则（ ）
A．y3＜y1＜y2B．y2＜y3＜y1C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1
【解答】解：抛物线的对称轴为x＝3，而抛物线开口向上，则点和对称轴间隔越大，对应的函数值越大，
而点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（5，y3）和对称轴的间隔分别为：5、4、2，
故y3＜y2＜y1，
故选：D．
7．（3分）如图，把△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，∠1＝30°，则∠BAE＝（ ）
A．70°B．40°C．30°D．10°
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，
∴∠CAE＝40°，
∴∠BAE＝∠1+∠CAE＝30°+40°＝70°，
故选：A．
8．（3分）如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径OA＝10m，桥拱的跨度AB＝16m，则拱高CD为（ ）
A．4mB．6mC．8mD．10m
【解答】解：根据垂径定理可知AD＝8，
在直角△AOD中，根据勾股定理得：
OA2＝AD2+OD2
则102＝82+（10﹣CD）2
解得：CD＝16或4，
根据题中OA＝10m，可知CD＝16不合题意，故舍去，
所以取CD＝4m．
故选：A．
9．（3分）如图，⊙O中，点D，A分别在劣弧BC和优弧BC上，∠BDC＝130°，则∠BOC＝（ ）
A．120°B．110°C．105°D．100°
【解答】解：∵四边形ABDC为圆内接四边形
∴∠A+∠BDC＝180°
∵∠BDC＝130°
∴∠A＝50°
∴∠BOC＝2∠A＝100°
故选：D．
10．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
B．圆的切线垂直于圆的半径
C．三角形的外心到三角形三边的距离相等
D．同弧或等弧所对的圆周角相等
【解答】解：A、平分弦（不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故本选项说法错误，不符合题意；
B、圆的切线垂直于圆的过切点的半径，故本选项说法错误，不符合题意；
C、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本选项说法错误，不符合题意；
D、同弧或等弧所对的圆周角相等，本选项说法正确，符合题意；
故选：D．
11．（3分）如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（ ）
A．20cm
B．15cm
C．10cm
D．随直线MN的变化而变化
【解答】解：∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD＝10cm，
∴设E、F分别是⊙O的切点，
故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，
∴AM+AN+MN＝AD+AE＝10+10＝20（cm）．
故选：A．
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，如下结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③a﹣b+c＞0；④b2﹣4ac＜0；⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数）；其中正确个数是（ ）
​
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：①抛物线开口方向向上，则a＞0．
抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0．
抛物线与y轴交于y轴负半轴，则c＜0，
所以abc＜0．
故①错误，不符合题意；
②∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，
故②错误，不符合题意；
③从图象看，当x＝﹣1时，y＞0，
即a﹣b+c＞0，
故③正确，符合题意；
④从图象看，抛物线和x轴有两个交点，
则b2﹣4ac＞0，
故④错误，不符合题意；
⑤∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最小值为：a+b+c，
∴m为任意实数时，a+b≤m（am+b）；即a+b+c＜am2+bm+c，
故⑤正确，符合题意；
故选：A．
二.填空题（每题2分，共8分）
13．（2分）二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣3的顶点坐标是 （﹣1，﹣3） ．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣3，
∴该函数的顶点坐标为（﹣1，﹣3），
故答案为：（﹣1，﹣3）．
14．（2分）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯66次，设参加酒会的人数为x，则可列出方程 x（x﹣1）＝66 ．
【解答】解：设参加酒会的人数为x，
根据题意得：x（x﹣1）＝66．
故答案为：x（x﹣1）＝66．
15．（2分）桥拱截面OBA可以看作抛物线的一部分（如图），在某一时刻，桥拱内的水面宽约20米，桥拱顶点B到水面的距离为4米．模型建立：以该时刻水面为x轴，桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求在距离水面2米处桥拱宽度为 10 米．
​
【解答】解：由题意得，点B（10，4），
设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣10）2+4，
将（0，0）代入上式得：0＝a（0﹣10）2+4，
解得：a＝﹣0.04，
即抛物线的表达式为：y＝﹣0.04（x﹣10）2+4，
当y＝2时，即2＝﹣0.04（x﹣10）2+4，
解得：x＝10±5（米），
则在距离水面2米处桥拱宽度为10米，
故答案为：10．
16．（2分）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为 3或4 ．
【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x．
在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2，
∴x2＝42+（8﹣x）2，
∴x＝5，
∴PC＝5，BP＝BC﹣PC＝8﹣5＝3．
如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．
∴PM＝PK＝CD＝2BM，
∴BM＝4，PM＝8，
在Rt△PBM中，PB＝＝4．
综上所述，BP的长为3或4．
三.解答题（共56分）
17．（6分）解方程：
（1）x2﹣2x＝0；
（2）x2+8x﹣9＝0．
【解答】解：（1）x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
x＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝0，x2＝2；
（2）x2+8x﹣9＝0，
（x+9）（x﹣1）＝0，
x+9＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣9，x2＝1．
18．（6分）如图，平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（﹣1，4），C（0，2）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并求出C1点的坐标；
（2）将△ABC以点A为旋转中心顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB2C2，并求出C2点的坐标．​
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求.
点C1（0，﹣2）．
（2）如图，△AB2C2即为所求．
点C2（﹣3，﹣1）．
19．（7分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D落在边BC上．
（1）若∠A＝70°，∠E＝30°，求旋转的角度的大小；
（2）若AC＝3，CE＝5，求BD的长度．
【解答】解：（1）∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴∠E＝∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣30°﹣70°＝80°；
∴旋转的角度为80°；
（2）∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴CD＝AC＝3，BC＝CE＝5，
∴BD＝BC﹣DC＝5﹣3＝2．
20．（6分）2022年是中国共产党建党101周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，某市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年8月份该基地接待参观人数10万人，10月份接待参观人数增加到12.1万人．
（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计11月份的参观人数能否突破13.5万人？
【解答】解：（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为x，
依题意得：10（1+x）2＝12.1，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%．
（2）12.1×（1+10%）＝13.31（万人）．
13.31＜13.5，
∴11月份的参观人数不能突破13.5万人．
答：11月份的参观人数不能突破13.5万人．
21．（8分）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出100件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出10件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写山y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）由题意可得，y＝（60﹣x﹣40）（100+10x）＝﹣10x2+100x+2000，
即y与x的函数关系式是y＝﹣10x2+100x+2000（0≤x＜20）；
（2）∵y＝﹣10x2+100x+2000＝﹣10（x﹣5）2+2250，
∴当x＝5时，y取得最大值，此时y＝2250，
答：当降价5元时，每星期的利润最大，最大利润是2250元．
22．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥DC于点D，AC平分∠DAB．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，∠DAB＝60°，求AD的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图1所示：
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴OC∥AD，
∵AD⊥DC，
∴CD⊥OC，
又∵OC是⊙O的半径，
∴直线CD是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，
∴∠DAC＝∠BAC＝30°，
∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴CD＝AC＝，AD＝CD＝3．
23．（6分）综合与实践：
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1所示，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2所示，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°，（依据1）
∵∠B＝∠D，
∴∠AEC+∠B＝180°，
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上，（依据2）
∴点A，B，C，D四点在同一个圆上；
反思归纳：
​（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1： ① ；（从框内选一个选项，直接填序号）
依据2： ③ ．（从框内选一个选项，直接填序号）
（2）如图3所示，在四边形ABCD中，∠1＝∠2＝80°，∠3＝42°，则∠4的度数为 42° ．
​
【解答】解：（1）由探究展示过程可知，∠AEC+∠D＝180°的依据是：①圆内接四边形对角互补；
点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上的依据是：③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；
故答案为：①，③；
（2）作过A，C，D的⊙O，在劣弧CD上取点K，连接DK，CK，如图：
∵∠1＝80°，
∴∠K＝180°﹣∠1＝100°，
∵∠2＝80°，
∴∠K+∠2＝180°，
∴B，C，D，K共圆，即B在过C，D，K的⊙O上，
∵A在过C，D，K的⊙O上，
∴A，B，C，K，D共圆，
∵＝，
∴∠4＝∠3＝42°，
故答案为：42°．
24．（9分）如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且点B为（4，0），与y轴交于点C（0，4），直线BC经过B，C两点，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接PB，PC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）直线BC的解析式记为y1＝kx+b，当y＞y1时，直接写出x的取值范围；
（3）设点P的横坐标为n，四边形OBPC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标．
【解答】解：（1）由题意，将B（4，0），C（0，4）代入抛物线y＝ax2+x+c，
，解得：，
∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+x+4；
（2）观察函数图象知，当0＜x＜4时，y＞y1；
（3）如图，过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F，
∵B（4，0），C（0，4），
∴OB＝OC＝4，直线BC的表达式为y＝﹣x+4，
∵点P的横坐标为n，
则P（n，﹣n2+n+4），点F（n，﹣n+4），
则S＝S△BCO+S△PFB+S△PFC＝×OB•CO×OB•PF
＝4×4+4×[（﹣n2+n+4）﹣（﹣n+4）]＝﹣（n﹣2）2+12，
∵﹣1＜0，0＜n＜4．
∴当n＝2时，S有最大值，S最大＝12，
此时，n＝2，
∴点P的坐标为（2，4）．
①圆内接四边形对角互补；
②对角互补的四边形四个顶点共圆；
③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；
④经过两点的圆的圆心在这两点所连线段的垂直平分线上；
①圆内接四边形对角互补；
②对角互补的四边形四个顶点共圆；
③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；
④经过两点的圆的圆心在这两点所连线段的垂直平分线上；