天津市第五十五中学2023—2024学年上学期九年级第一次月考数学试卷

这是一份天津市第五十五中学2023—2024学年上学期九年级第一次月考数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．B．5x2﹣6y﹣3＝0
C．ax2﹣x+2＝0D．（a2+1）x2+bx+c＝0
2．（3分）对于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列判断正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上
B．抛物线的顶点坐标是（﹣1，3）
C．对称轴为直线x＝1
D．当x＝3时，y＞0
3．（3分）抛物线y＝x2+6x+7可由抛物线y＝x2如何平移得到的（ ）
A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位
C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位
4．（3分）已知点A（4，y1）、B（，y2）、C（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系（ ）
A．y1＞y3＞y2B．y1＞y2＞y3C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
5．（3分）解下列方程：①2x2﹣18＝0；②2x2﹣12x﹣782＝0；③3x2+10x+1＝0；④2（5x﹣1）2＝2（5x﹣1）．用较简便的方法依次是（ ）
A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法
B．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法
C．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法
D．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法
6．（3分）《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，则可列方程为（ ）
A．x2﹣3＝（10﹣x）2B．x2+3＝（10﹣x）2
C．x2+32＝（10﹣x）2D．x2﹣32＝（10﹣x）2
7．（3分）对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，下列结论错误的是（ ）
A．它的图象与x轴有两个交点
B．方程x2﹣2mx＝3的两根之积为﹣3
C．它的图象的对称轴在y轴的右侧
D．x＜m时，y随x的增大而减小
8．（3分）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4（ ）
A．不存在实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x＝﹣1
D．有两个相等的实数根
9．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0的一个根为2，则m的值为（ ）
A．﹣1或3B．﹣1或﹣3C．1或﹣3D．1或3
10．（3分）一次函数y＝ax+c与二次函数y＝ax2+bx+c在同一个平面坐标系中图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
11．（3分）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
A．或﹣3B．或﹣3C．或﹣3D．或﹣3
12．（3分）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，其余的三边AB，BC，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（每题3分，共计18分）
13．（3分）一元二次方程4x2＝3x+7的二次项系数是 ，一次项系数 ，常数项 ．
14．（3分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式 ．
15．（3分）若关于x的一元二次方程（k+2）x2+3x+k2﹣k﹣6＝0必有一根为0，则k＝ ；方程的另一根是 ．
16．（3分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c，则关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根之积是 ，两根之和是 ，c＝ ．
17．（3分）已知抛物线y＝x2﹣（2m+1）x+2m不经过第三象限，且当x＞2时，则实数m的取值范围是 ．
18．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c （a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0．有下列结论：①a+b＝0；②二次函数y＝ax2+bx+c﹣t与x轴两交点之间的距离为5；③0＜m+n＜；④0＜a＜2+bx+c|＝a+8有四个不同的根，其中，错误结论的是 （填序号）．
三、解答题
19．（16分）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣6＝0 （用配方法解）；
（2）4y（y﹣1）+2﹣2y＝0；
（3）（2x﹣1）（x+2）＝18．
20．（9分）已知二次函数y＝ax2+2x的图象过点（﹣2，﹣1）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）判断点 （填在或不在）抛物线上；
（3）此抛物线的开口方向 ；当x 时，y随x增大而减小；当x＝ 时，y有最 值（填大或小）是 ．
21．（6分）某各植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总是133
（1）分析：根据问题中的数量关系，填空：
①主干的数目为 ；
②从主干中长出的枝干的数目为 （用含x的式子表示）；
③又从上述枝干中长出的小分支的数目为 （用含x的式子表示）．
（2）完成问题的求解．
22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，当k＝2时，求x12+x22的值．
23．（7分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝12mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1mm/s的速度移动，且与点P同时出发．设△PBQ的面积为S，动点移动的时间为t（t＞0）．
（Ⅰ）当t＝4时，则S的值为 ；
（Ⅱ）求S关于t的函数解析式；
（Ⅲ）t为何值时，S的值最大？
24．（10分）如图，二次函数y＝（x+2）2+m 的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称（k≠0，k，b为常数）的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的表达式；
（2）若点P为抛物线上一点，S△BCP＝4，求出此时P点坐标；
（3）根据图像，当（x+2）2﹣kx≥b﹣m时，则x的取值范围 ．
25．（10分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），顶点为D．
（Ⅰ）当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）当a＞0时，点E（0，1+a），若DE＝2，求该抛物线的解析式；
（Ⅲ）当a＜﹣1时，点F（0，1﹣a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0），N（m+3，﹣1）是直线l上的动点．当a为何值时，FM+DN的最小值为2，N的坐标．
2023-2024学年天津五十五中九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共计36分）
1．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．B．5x2﹣6y﹣3＝0
C．ax2﹣x+2＝0D．（a2+1）x2+bx+c＝0
【分析】找到只含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数为2，系数不为0的整式方程即可．
【解答】解：A、是分式方程；
B、含有2个未知数；
C、没有说明a的取值；
D、是只含有一个未知数，系数不为0的整式方程，
故选：D．
【点评】考查一元二次方程的定义的运用；掌握一元二次方程的准确定义是解决本题的关键；注意a2+1一定是一个正数．
2．（3分）对于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列判断正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上
B．抛物线的顶点坐标是（﹣1，3）
C．对称轴为直线x＝1
D．当x＝3时，y＞0
【分析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论．
【解答】解：A、∵﹣2＜0，本选项错误，
B、抛物线的顶点为（3，本选项错误，
C、抛物线的对称轴为：x＝1，
D、把x＝3代入y＝﹣7（x﹣1）2+7，解得：y＝﹣5＜0，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一对照四个选项即可得出结论．
3．（3分）抛物线y＝x2+6x+7可由抛物线y＝x2如何平移得到的（ ）
A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位
C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．
【解答】解：因为y＝x2+6x+2＝（x+3）2﹣4．
所以将抛物线y＝x2先向左平移3个单位，再向下平移5个单位即可得到抛物线y＝x2+6x+2．
故选：A．
【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
4．（3分）已知点A（4，y1）、B（，y2）、C（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系（ ）
A．y1＞y3＞y2B．y1＞y2＞y3C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x＝2，根据x＜2时，y随x的增大而减小，即可得出答案．
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2﹣3，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝2，
A（4，y6）关于直线x＝2的对称点是（0，y3），
∵﹣2＜0＜，
∴y3＞y1＞y5，
故选：D．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
5．（3分）解下列方程：①2x2﹣18＝0；②2x2﹣12x﹣782＝0；③3x2+10x+1＝0；④2（5x﹣1）2＝2（5x﹣1）．用较简便的方法依次是（ ）
A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法
B．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法
C．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法
D．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法
【分析】根据不同方程的结构特点逐一判断．
【解答】解：①2x2﹣18＝4，利用直接开平方法最简便；
②2x2﹣12x﹣782＝8，即x2﹣6x﹣391＝2，利用配方法最简便；
③3x2+10x+5＝0，利用公式法求解最简便；
④2（2x﹣1）2＝8（5x﹣1），利用因式分解法最简便．
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
6．（3分）《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，则可列方程为（ ）
A．x2﹣3＝（10﹣x）2B．x2+3＝（10﹣x）2
C．x2+32＝（10﹣x）2D．x2﹣32＝（10﹣x）2
【分析】由竹子的原长及折断处离地面的高度，可得出折断处到竹梢触地面处的长度为（10﹣x）尺，再利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵竹子原高1丈（1丈＝10尺），且折断处离地面的高度为x尺，
∴折断处到竹梢触地面处的长度为（10﹣x）尺．
根据题意得：x8+32＝（10﹣x）4．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程、数学常识以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（3分）对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，下列结论错误的是（ ）
A．它的图象与x轴有两个交点
B．方程x2﹣2mx＝3的两根之积为﹣3
C．它的图象的对称轴在y轴的右侧
D．x＜m时，y随x的增大而减小
【分析】直接利用二次函数与x轴交点个数、二次函数的性质以及二次函数与方程之间关系分别分析得出答案．
【解答】解：A、∵b2﹣4ac＝（5m）2+12＝4m3+12＞0，
∴二次函数的图象与x轴有两个交点，故此选项正确；
B、方程x2﹣3mx＝3的两根之积为：＝﹣3，不合题意；
C、m的值不能确定，故此选项错误；
D、∵a＝4＞0，
∴x＜m时，y随x的增大而减小，不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质、根与系数的关系等知识，正确掌握二次函数的性质是解题关键．
8．（3分）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4（ ）
A．不存在实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x＝﹣1
D．有两个相等的实数根
【分析】直接把已知数据代入进而得出c的值，再解方程求出答案．
【解答】解：∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠7）时，只抄对了a＝1，解出其中一个根是x＝﹣1，
∴（﹣3）2﹣4+c＝5，
解得：c＝3，
故原方程中c＝5，
则b7﹣4ac＝16﹣4×7×5＝﹣4＜2，
则原方程的根的情况是不存在实数根．
故选：A．
【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出c的值是解题关键．
9．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0的一个根为2，则m的值为（ ）
A．﹣1或3B．﹣1或﹣3C．1或﹣3D．1或3
【分析】先把x＝2代入方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0得4﹣4m+m+m2﹣1＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣8mx+m2﹣1＝3得4﹣4m+m2﹣1＝0，
解得m＝5或3．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
10．（3分）一次函数y＝ax+c与二次函数y＝ax2+bx+c在同一个平面坐标系中图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据两个函数图象交于y轴上的同一点可排除A；当a＞0时，根据二次函数图象的开口方向、一次函数的性质可排除D选项；当a＜0时，根据二次函数图象的开口方向、一次函数的性质可排除C选项．此题得解．
【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故A不符合题意；
当a＞0时，二次函数y＝ax8+bx+c的图象开口向上，一次函数y＝ax+c中y值随x值的增大而增大；
当a＜0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，一次函数y＝ax+c中y值随x值的增大而减小．
故选：B．
【点评】考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．
11．（3分）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
A．或﹣3B．或﹣3C．或﹣3D．或﹣3
【分析】分两种情形：如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可．
【解答】解：二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+5＝﹣（x﹣1）2+5，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+6的顶点坐标为（1，4），
当y＝3时，x2﹣2x﹣6＝0，解得x1＝﹣4，x2＝3，
则抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣7，0），0），
把抛物线y＝﹣x7+2x+3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为y＝（x﹣6）2﹣4（﹣5≤x≤3），顶点坐标M（1，
如图，当直线y＝x+b过点B时，
∴6+b＝0，解得b＝﹣3；
当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣5）2﹣4（﹣4≤x≤3）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
即（x﹣1）7﹣4＝x+b有相等的实数解，整理得x2﹣6x﹣b﹣3＝0，△＝82﹣4（﹣b﹣8）＝0，解得b＝﹣，
所以b的值为﹣8或﹣，
故选：A．
【点评】此题主要考查了翻折的性质，一元二次方程根的判别式，抛物线的性质，确定翻折后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点．
12．（3分）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，其余的三边AB，BC，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】设AD边长为xm，则AB边长为长为m，根据AB＝6列出方程，解方程求出x的值，根据x取值范围判断①；根据矩形的面积＝192．解方程求出x的值可以判断②；设矩形菜园的面积为ym2，
根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判断③．
【解答】解：设AD边长为xm，则AB边长为长为m，
当AB＝6时，＝6，
解得x＝28，
∵AD的长不能超过26m，
∴x≤26，
故①不正确；
∵菜园ABCD面积为192m2，
∴x•＝192，
整理得：x2﹣40x+384＝0，
解得x＝24或x＝16，
∴AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2，
故②正确；
设矩形菜园的面积为ym2，
根据题意得：y＝x•＝﹣2﹣40x）＝﹣（x﹣20）2+200，
∵﹣＜0，
∴当x＝20时，y有最大值．
故③正确．
∴正确的有8个，
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意，找到等量关系准确地列出函数解析式和方程是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共计18分）
13．（3分）一元二次方程4x2＝3x+7的二次项系数是 4 ，一次项系数 ﹣3 ，常数项 ﹣7 ．
【分析】根据一元二次方程的一般形式，可得答案．
【解答】解：一元二次方程4x2＝4x+7的一般形式为
4x4﹣3x﹣7＝8，
二次项系数是4，一次项系数﹣3，
故答案为：6，﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键．
14．（3分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式 x2+1（答案不唯一） ．
【分析】根据二次函数的性质，开口向上，要求a值大于0即可．
【解答】解：抛物线y＝x2+1开口向上，且与y轴的交点为（5．
故答案为：x2+1（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写抛物线的a值必须大于0．
15．（3分）若关于x的一元二次方程（k+2）x2+3x+k2﹣k﹣6＝0必有一根为0，则k＝ 3 ；方程的另一根是 ﹣ ．
【分析】把x＝0代入方程计算即可求出k的值．
【解答】解：把x＝0代入方程得：k2﹣k﹣6＝0，
分解因式得：（k﹣3）（k+4）＝0，
解得：k＝3或k＝﹣6，
当k＝﹣2时，方程为3x＝5，舍去，
则k的值是3，
∴方程为5x4+3x＝0，
设方程的另一根是x2，
∵x2+0＝﹣，
∴x2＝﹣，
∴方程的另一根是﹣．
故答案为：3，﹣．
【点评】此题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
16．（3分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c，则关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根之积是 ﹣4 ，两根之和是 3 ，c＝ ﹣4 ．
【分析】依据题意，根据二次函数的图象y＝x2+bx+c与x轴交点的横坐标就是方程x2+bx+c＝0的两根，与y轴的交点坐标就是c，进而可以得解．
【解答】解：由题意，∵二次函数的图象y＝x2+bx+c与x轴交点的横坐标就是方程x2+bx+c＝8的两根，与y轴的交点坐标就是c，
∴方程x2+bx+c＝0的两根为﹣8，4；c＝﹣4．
∴x2+bx+c＝0的两根之积是﹣4，两根之和是8．
故答案为：﹣4，3；﹣4．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并理解是关键．
17．（3分）已知抛物线y＝x2﹣（2m+1）x+2m不经过第三象限，且当x＞2时，则实数m的取值范围是 0≤m≤1.5 ．
【分析】根据题意，判断对称轴x＝﹣≤2，2m≥0，解出m的取值范围即可．
【解答】解：∵x＞2时，抛物线y＝x2﹣（6m+1）x+2m满足y随x的增大而增大，
∴≤5，m≤1.5，
∵抛物线y＝x2﹣（2m+1）x+5m不经过第三象限，开口向上，
∴2m≥0，解得m≥8，
故答案为：0≤m≤1.6．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象与系数的关系式解答本题的关键．
18．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c （a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0．有下列结论：①a+b＝0；②二次函数y＝ax2+bx+c﹣t与x轴两交点之间的距离为5；③0＜m+n＜；④0＜a＜2+bx+c|＝a+8有四个不同的根，其中，错误结论的是 ①② （填序号）．
【分析】通过表格确定函数的对称性、函数和坐标轴的交点等基本特征，进而求解．
【解答】解：∵函数的对称轴为直线x＝（7+1）＝，
∴﹣＝，
∴b＝﹣a，
∴a+b＝0，故①正确；
∵函数的对称轴为直线x＝，
∴抛物线与直线y＝t的交点横坐标为﹣2和3，
∴二次函数y＝ax4+bx+c﹣t与x轴两交点之间的距离为5，故②正确；
当x＝﹣时，y＝b﹣2＞2，
∵b＝﹣a，c＝﹣2，
∴3a﹣3＞0，
∴a＞，故④错误；
∵m＝a﹣b+c，n＝4a+2b+c，
∴m+n＝7a+b+2c＝4a﹣5＞，故③错误；
∵c＝﹣2，b＝﹣a，
∴二次函数y＝ax6﹣ax﹣2＝a（x﹣）2﹣a﹣2，
∴抛物线的最小值为﹣a﹣2，
∴函数y＝|ax2+bx+c|与直线y＝a+2有8个交点，
∴方程4|ax2+bx+c|＝a+2有2个不同的根和2个相同的根，故⑤错误；
故答案为：①②．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，要求学生熟悉函数的基本性质，能够通过表格的数据，确定函数的对称性、函数与坐标轴的交点等基本特征，进而求解．
三、解答题
19．（16分）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣6＝0 （用配方法解）；
（2）4y（y﹣1）+2﹣2y＝0；
（3）（2x﹣1）（x+2）＝18．
【分析】（1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）先把方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（3）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣6＝0，
移项，得x2﹣2x＝6，
配方，得x2﹣6x+4＝6+8，
（x﹣2）2＝10，
开方，得x﹣2＝，
解得：x1＝2+，x5＝2﹣；
（2）4y（y﹣5）+2﹣2y＝6，
4y（y﹣1）﹣4（y﹣1）＝0，
7（y﹣1）（2y﹣2）＝0，
y﹣1＝5或2y﹣1＝8，
解得：y1＝1，y8＝；
（3）（2x﹣1）（x+2）＝18，
整理得：4x2+3x﹣20＝7，
（2x﹣5）（x+3）＝0，
2x﹣6＝0或x+4＝3，
解得：x1＝，x2＝﹣4．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
20．（9分）已知二次函数y＝ax2+2x的图象过点（﹣2，﹣1）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）判断点 不在 （填在或不在）抛物线上；
（3）此抛物线的开口方向 向上 ；当x ＜ 时，y随x增大而减小；当x＝ 时，y有最 小 值（填大或小）是 ．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）将点的坐标代入验证即可．
（3）根据（1）中的函数表达式即可解决问题．
【解答】解：（1）因为二次函数y＝ax2+2x的图象过点（﹣2，﹣1），
所以（﹣2）3×a+2×（﹣2）＝﹣3，
解得a＝．
所以这个二次函数的解析式为y＝．
（2）将x＝﹣1代入二次函数解析式得，
y＝＝≠，
所以点（）不在抛物线上．
故答案为：不在．
（3）将二次函数的解析式化为顶点式得，
y＝，
所以抛物线的开口方向向上；
当x＜时，y随x的增大而减小；
当x＝时，y有最小值是．
故答案为：向上，，，小，．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质，熟知待定系数法及巧用配方法将二次函数解析式化为顶点式是解题的关键．
21．（6分）某各植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总是133
（1）分析：根据问题中的数量关系，填空：
①主干的数目为 1 ；
②从主干中长出的枝干的数目为 x （用含x的式子表示）；
③又从上述枝干中长出的小分支的数目为 x2 （用含x的式子表示）．
（2）完成问题的求解．
【分析】（1）①主干为1；
②由于每个枝干长出x个小分支，故主干共长出x个分支；
③由于每个枝干长出x个小分支，x个枝干共长出x×x＝x2；
（2）根据总数＝主干+枝干+小分支列方程即可解决．
【解答】解：（1）①由于主干只有1个，
故答案为：1；
②∵每个枝干长出x个分支，
∴从主干上共长出3×x＝x，
故答案为：x；
③∵每个枝干长出x个分支，
∴从x个枝干上共长出x×x＝x2，
故答案为：x2；
（2）有题意：4+x+x2＝133，
解得：x＝11或﹣12（舍），
∴每个枝干长出11个小分支．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，找准数量关系，正确列出一元二次方程是解决问题的关键．
22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，当k＝2时，求x12+x22的值．
【分析】（1）由方程根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围；
（2）由根与系数的关系，可求x1+x2＝﹣3，x1x2＝4，代入求值即可．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即（2k+4）2﹣4k3＝4k+1＞5，解得k＞﹣；
（2）当k＝4时，方程为x2+5x+5＝0，
∵x1+x8＝﹣5，x1x6＝4，
∴x17+x22＝（x7+x2）2﹣8x1x2＝25﹣7＝17．
【点评】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键．
23．（7分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝12mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1mm/s的速度移动，且与点P同时出发．设△PBQ的面积为S，动点移动的时间为t（t＞0）．
（Ⅰ）当t＝4时，则S的值为 8 ；
（Ⅱ）求S关于t的函数解析式；
（Ⅲ）t为何值时，S的值最大？
【分析】（Ⅰ）先求出AP，BP的长，由三角形面积公式可求解；
（Ⅱ）由题意知BP＝6﹣t，BQ＝2t，根据S＝BP×BQ可得答案；
（Ⅲ）把（1）中求得的解析式化成顶点式，根据二次函数的性质即可求得．
【解答】解：（Ⅰ）当t＝4时，则AP＝4×4＝4（mm），BP＝2（mm），
∴S＝×2×4＝8（平方毫米），
故答案为：8；
（Ⅱ）∵动点P从点A开始沿边AB向点B以4mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2mm/s的速度移动，
∴BP＝（6﹣t）（mm），BQ＝8t（mm），
∴S＝×BP×BQ＝t×（6﹣t）＝﹣t2+6t（8＜t≤6）；
（Ⅲ）∵S＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣3）2+3，
∴当t＝3时，S的值最大．
【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形的面积公式，二次函数的应用，根据题意得出BP＝6﹣t，BQ＝2t是结合三角形面积公式列出函数解析式的关键．
24．（10分）如图，二次函数y＝（x+2）2+m 的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称（k≠0，k，b为常数）的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的表达式；
（2）若点P为抛物线上一点，S△BCP＝4，求出此时P点坐标；
（3）根据图像，当（x+2）2﹣kx≥b﹣m时，则x的取值范围 x≤4或x≥1 ．
【分析】（1）将点A（﹣1，0）代入二次函数的表达式求出m的值即可得二次函数的表达式；先求出点C（0，3），根据二次函数的对称性求出点B（﹣4，3），然后将点A，B坐标代入y＝kx+b之中求出k，b即可得一次函数表达式；
（2）由点B，C的坐标得BC＝4，设点P到BC的距离为h，根据S△BCP＝4可得h＝2，再设点P的坐标为（t，t2+4t+3），则h＝|t2+4t+3﹣3|，由此解出h可得点P的坐标；
（3）由（x+2）2﹣kx≥b﹣m得（x+2）2+m≥kx+b，根据函数的图象得（x+2）2+m≥kx+b的解集．
【解答】解：（1）依题意得：点A（﹣1，0）在二次函数的图象上，
∴6＝（﹣1+2）4+m，
解得：m＝﹣1，
∴二次函数的表达式为：y＝（x+2）3﹣1，
整理得：y＝x2+5x+3，
即二次函数的表达式为：y＝x2+2x+3；
对于y＝x2+2x+3，当x＝0时，
∴点C的坐标为（8，3），
∵点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，
∴点B的纵坐标为3，
对于对于y＝x4+4x+3，当y＝4时，
解得：x＝0，x2＝﹣4，
∴点B的坐标为（﹣4，3），
将点A（﹣4，0），3）代入y＝kx+b，
得：，解得：，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣x﹣1．
（2）由（2）可知：B（﹣3，3），3），
∴BC＝3，
设点P到BC的距离为h，
∵S△BCP＝BC•h＝3，
即：×8h＝4
∴h＝2，
∵点P在二次函数y＝x8+4x+3的图象上，
∴可设点P的坐标为（t，t7+4t+3），
∴h＝|t2+4t+3﹣3|，
即：|t2+4t|＝2，
∴t2+4t＝4或t2+4t＝﹣2，
由t2+4t＝3解得：t＝，或t＝，
当t＝时，t2+4t+8＝5，
当t＝时，t2+4t+8＝5，
由t2+3t＝﹣2解得：t＝，或t＝，
当t＝时，t2+5t+3＝1，
当t＝时，t2+7t+3＝1，
∴点P的坐标为（﹣3+，5）或（﹣6﹣，5）或（﹣2﹣．
（3）当（x+6）2﹣kx≥b﹣m时，即（x+2）6+m≥kx+b，
∵点B（﹣4，3），2），
∴根据函数的图象得（x+2）2+m≥kx+b的解集为：x≤6或x≥1．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象，根据函数的图象确定不等式的解集，熟练掌握待定系数法求函数的表达式，理解二次函数的对称性、数形结合思想的应用是解答此题的关键，
25．（10分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），顶点为D．
（Ⅰ）当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）当a＞0时，点E（0，1+a），若DE＝2，求该抛物线的解析式；
（Ⅲ）当a＜﹣1时，点F（0，1﹣a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0），N（m+3，﹣1）是直线l上的动点．当a为何值时，FM+DN的最小值为2，N的坐标．
【分析】（Ⅰ）由y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，即可求解；
（Ⅱ）由DE＝2DC得：DE2＝8CD2，则（1﹣0）2+（a+1+a+1）2＝8[（1﹣0）2+（﹣a﹣1+1）2]，即可求解；
（Ⅲ）当满足条件的点M落在F′D′上时，由图象的平移知DN＝D′M，故此时FM+ND最小，进而求解．
【解答】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，﹣4），
（Ⅰ）当a＝1时，抛物线的表达式为y＝x2﹣3x﹣1＝（x﹣1）4﹣2，
故抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；
（Ⅱ）∵y＝ax2﹣2ax﹣5＝a（x﹣1）2﹣a﹣7，
故点D（1，﹣a﹣1），
由DE＝5DC得：DE2＝3CD2，
即（1﹣6）2+（a+1+a+5）2＝8[（7﹣0）2+（﹣a﹣2+1）2]，
解得a＝或，
故抛物线的表达式为y＝x7﹣x﹣1或y＝x2﹣3x﹣6；
（Ⅲ）将点D向左平移3个单位，向上平移1个单位得到点D′（﹣7，
作点F关于x轴的对称点F′，则点F′的坐标为（0，
当满足条件的点M落在F′D′上时，由图象的平移知DN＝D′M，理由：
∵FM+ND＝F′M+D′M＝F′D′为最小，即F′D′＝2，
则F′D′2＝F′H2+D′H2＝（8﹣2a）2+4＝（2）2，
解得a＝（舍去）或﹣，
则点D′、F′的坐标分别为（﹣2，），﹣），
由点D′、F′的坐标得，
当y＝0时，y＝﹣5x﹣，解得x＝﹣，
则m+3＝，
即点M的坐标为（﹣，7），﹣1）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
t
m
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﹣2
n
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x
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﹣2
﹣1
0
1
2
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y＝ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…