题型全归纳系列-解三角形专题汇总——原卷及解析版

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题型一 正弦定理及其应用
1.在 △ABC 中， a,b,c 是A，B，C所对的边，且 a=3 ， b=6 ， B=45° ，则角 A= （ ）
A. 30° B. 150° C. 30° 或 150° D. 135°
2.在 △ABC 中，角 A ， B ， C 所对应的边分别为 a ， b ， c ，已知 A=π4 ， B=2π3 ， b=6 ，则 a 的值为（ ）
A. 32 B. 6 C. 62 D. 26
3.在 △ABC 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 sin(A+π4)=b ， c=22 ，则 C= （ ）
A. π6 B. π3 C. π4 D. 5π12
4.在 △ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 b+ccsB+csC=acsA ，则 A= （ ）
A. π2 B. π3 C. π4 D. π6
5.已知 △ABC 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 a=2 ， b=2 ， A=π6 ，则满足条件的 △ABC （ ）
A. 无解 B. 有一个解 C. 有两个解 D. 不能确定
6.在 △ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，下列条件使 △ABC 有两解的是（ ）
A. b=2,c=1,A=30∘ B. a=8,B=45∘,C=65∘
C. a=3;c=2,A=30∘ D. a=32,b=4,B=45∘
7.在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边为 a,b,c ，则" A=B" 成立的必要不充分条件为（ ）
A. sinA=cs(B−π2) B. acsA−bcsB=0 C. bcsA=acsB D. acsA=bcsB=ccsC
8.在 △ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，则“ acsA=bcsB=csinC ”是“ △ABC 为等腰三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.△ABC 中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 bc=−3csBcsC ，则A的最大值是（ ）
A. 5π6 B. 2π3 C. π6 D. π3
10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2，c=1，则C的范围是（ ）
A. (0,π2) B. (π6,π3) C. (π6,π2) D. (0,π6]
11.已知 a ， b ， c 分别为 △ABC 内角 A ， B ， C 的对边， a=2csinB ，则 tanA 的最大值为（ ）
A. 2 B. 22 C. 4 D. 8
12.在 △ABC 中，D是 AC 边上一点， AB⊥BD ， ∠A=30° ， ∠C=45° ， CD=3−12 ，则 AB 的值为（ ）
A. 32 B. 62 C. 3 D. 6
13.如图所示，在 ΔABC ，已知 ∠A:∠B=1:2 ，角C的平分线 CD 把三角形面积分为 3:2 两部分，则 csA 等于（ ）
A. 13 B. 12 C. 34 D. 0
14.一辆汽车在一水平的公路上由北向南行驶，在公路右侧有一高山．汽车行驶到A处测得高山在南偏西15°方向上，山顶处的仰角为60°，继续向南行驶 300m 到B处测得高山在南偏西75°方向上，则山高为（ ）
A. 150(3+2)m B. 100(3+2)m C. 150(6+2)m D. 100(6+2)m
15.如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为α，沿倾角为β的斜坡向上走b米到B处，在B处测得山顶P的仰角为γ（A、B、P、Q共面）则山高P等于（ ）米．
A. bsinαsin(γ−β)sin(γ−α) B. sin(γ−β)bsinαsin(γ−α) C. bsinβ+bsinγsin(α−β)sin(γ−β) D. bsinβ+bsinγsin(γ−β)sin(γ−α)
题型二 余弦定理及其应用
16.在 △ABC 中，若满足 sin2A=sin2B+sinB⋅sinC+sin2C ，则 A= （ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
17.在 △ABC 中，角A ， B ， C所以对的边分别为a ， b ， c ， 若 sinBsinC=3sinA ， △ABC 的面积为 332 ， a+b=33 ，则 c= （ ）
A. 21 B. 3 C. 21 或 3 D. 21 或3
18.在 △ABC 中， C=60° ， a+2b=8 ， sinA=6sinB ，则 c= （ ）
A. 31 B. 35 C. 5 D. 6
19.在 △ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 b2+c2−a2=bc ， csC=277 ，则 tanB 的值为（ ）
A. 714 B. 33 C. 32114 D. 39
20.设 △ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边为 a ， b ， c ，若 2acsB=b+c ，则 (ab)2+bc 的最小值为（ ）
A. 4 B. 23 C. 3 D. 22
21.在 ΔABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c ， c2=(a−b)2+6 ， C=π3, 则该三角形的面积为( )
A. 3 B. 932 C. 332 D. 33
22.在△ABC中， AB=3,AC=2,BC=10 ，则 AB⋅AC= （ ）
A. −32 B. −23 C. 32 D. 23
23.在 △ABC 中，角A ， B ， C所以对的边分别为a ， b ， c ， 若 sinBsinC=3sinA ， △ABC 的面积为 332 ， a+b=33 ，则 c= （ ）
A. 3 B. 21 或 3 C. 21 D. 21 或3
24.如图，在 △ABC 中， D 是边 AC 上的点，且 AB=AD ， 2AB=3BD ， BC=2DB ，则 sinC 的值为（ ）
A. 66 B. 63 C. 36 D. 33
25.△ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，则“ a≤12(b+c) ”是“A为锐角”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件
26.在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,2acsA=bcsC+ccsB ，当 △ABC 的外接圆半径 R=2 时， △ABC 面积的最大值为（ ）
A. 3 B. 23 C. 33 D. 43
27.在 △ABC 中，已知 C=60° ， AB=4 ，则 △ABC 周长的最大值为（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
28.如图是公元前约400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数 2,3,5 ，…的图形之一，此图形中 ∠BAD 的余弦值是（ ）
A. 4−36 B. 4+36 C. 23−66 D. 23+66
29.在 △ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边 a ， b ， c 依次成等差数列， △ABC 的周长为15，且 (sinA+sinB)2+cs2C= 1+sinAsinB ，则 csB= （ ）
A. 1314 B. 1114 C. 12 D. −12
30.南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即 S=14[c2a2−(c2+a2−b22)2] ，其中 a 、 b 、 c 是 △ABC 内角 A 、 B 、 C 的对边．若 ac=4 ， B=60∘ ，则 △ABC 的面积为（ ）
A. 3 B. 22 C. 4 D. 42
题型三 三角形的形状判断
31.△ABC 的三内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c ，下列条件中能构成 △ABC 且形状唯一确定的是（ ）
A. bcsAcsC+ccs(B+C)csB=0,C=60°
B. a=1,b=3,A=30°
C. sin2A+sin2C+2sinAsinC=sin2B,A=45°
D. a=1,b=2,c∈Z
32.在 ΔABC 中角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，且 ac=b2−a2,A=π6 ，则 ΔABC 的形状为（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等 腰三角形
33.已知 △ABC 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 b=2acsC ，则 △ABC 的形状为（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 以上均不正确
34.在 △ABC 中，若 acsC+ccsA=bsinB ，则此三角形为（ ）
A. 等边三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
35.在 △ABC 中，已知 c=2a⋅csB ，那么 △ABC 一定是（ ）
A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形
36.在 △ABC 中，若 acsB=bcsA ，则 △ABC 的形状是（ ）
A. 锐角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形
37.在 △ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 csC=cbcsB ，则 △ABC 一定是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形
38.已知 △ABC 的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 csAcsB=ba=2 ，则该三角形的形状是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 钝角三角形
39.在 △ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 a ， b ， c 成等差数列，设 △ABC 的面积为 S ，若 accsB=233S ，则 △ABC 的形状为（ ）
A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
40.在 ΔABC 中，已知 a2tanB=b2tanA ，则该 ΔABC 的形状为（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰或直角三角形
41.若在△ABC中，2csBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ）
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
42.在 △ABC 中，角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c ，且 a,b,c 成等差数列， sinA,sinB,sinC 成等比数列，则 △ABC 的形状为（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
43.在 △ABC 中， sinA:sinB:sinC=2:5:6 ，则 △ABC 的形状为（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
44.在 △ABC 中，若 sin(B+C)sin(B−C)=sin2A ，则 △ABC 是（ ）
A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形
45.△ABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 c=12a+bcsA,2b=a+c ，则 △ABC 的形状为（ ）
A. 等腰非等边三角形 B. 直角非等腰三角形
C. 等边三角形 D. 钝角三角形
46.在 △ABC 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ， 若 bcsA−c>0 ，则 △ABC 为（ ）
A. 等边三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形
47.在 △ABC 中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a，b，c依次成等比数列， csB=34 ，则 △ABC 是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
48.在 △ABC 中，若 sinAa=csBb=csCc ，则 △ABC 是（ ）
A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 有一内角为60°的直角三角形
49.在△ABC中， lgsinA−lgcsB−lgsinC=lg2 .则△ABC—定是（ ）.
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 形状不确定
50.在 ΔABC 中，A为锐角， lgb+lg(1c)=lgsinA=−lg2 ，则 ΔABC 为（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
题型四 解三角形综合应用
51.某宝塔主体是由圆柱、棱柱、球等几何体构成，如图所示.为了测量宝塔的高度 CD ，某数学兴趣小组在宝塔附近选择楼房 AB 作为参照物，楼房高为 10(3−1)m ，在楼顶 A 处测得地面点 M 处的俯角为 15° ，宝塔顶端 C 处的仰角为 30° ，在 M 处测得宝塔顶端 C 处的仰角为 60° ，其中 B ， M ， D 在一条直线上，则该宝塔的高度 CD= （ ）
A. 403m B. 303m C. 203m D. 103m
52.刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 n 边形等分成 n 个等腰三角形(如图所示)，当 n 变得很大时，这 n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到 sin6∘ 的近似值为（ ）
A. π30 B. π60 C. π90 D. π180
53.在 △ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，已知 c=25 ，且 2asinCcsB=asinA−bsinB+ 52bsinC ，点 O 满足 OA+OB+OC=0 ， cs∠CAO=38 ，则 △ABC 的面积为（ ）
A. 553 B. 35 C. 52 D. 55
54.已知 △ABC 的内角 A ， B ， C 满足 sinAcs(B−C)=1−12sin2A ，则在 △ABC 的外接圆内任取一点，该点取自 △ABC 内部的概率为（ ）
A. 12π B. 1π C. 32π D. 2π
55.在一座尖塔的正南方地面某点A，测得塔顶的仰角为 22°30′ ，又在此尖塔正东方地面某点B，测得塔顶的仰角为 67°30′ ，且A，B两点距离为540m，在线段AB上的点C处测得塔顶的仰角为最大，则C点到塔底O的距离为（ ）
A. 90 m B. 100 m C. 110 m D. 270 m
56.在 △ABC 中， ∠BAC=2π3 ， AD 平分 ∠BAC 交 BC 于 D ，且 AD=2 ，则 △ABC 的面积的最小值为（ ）
A. 3 B. 43 C. 4 D. 63
57.在 △ABC 中， a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边，且 acsB+32b=c ，则 A= （ ）
A. 5π6 B. 2π3 C. π3 D. π6
58.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜．其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”题意是有一个三角形的沙田，其三边长分别为13里、14里、15里、1里为300步，设6尺为1步，1尺＝0.231米，则该沙田的面积约为（ ）（结果精确到0.1，参考数据： 415.82=172889.64 ）
A. 15.6平方千米 B. 15．2平方千米 C. 14.8平方千米 D. 14.5平方千米
59.1904年，瑞典数学家柯克构造了一种曲线，取一个正三角形，在每个边以中间的 13 部分为一边，向外凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的 13 部分擦掉，就成了一个很像雪花的六角星，如图所示．现在向圆中均匀的散落1000粒豆子，则落在六角星中的豆子数约为（ ）（ π≈3 ， 3≈1.732 ）
A. 577 B. 537 C. 481 D. 331
60.圣·索菲亚教堂（英语：SAINT SOPHIA CATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑．1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物 AB ，高为 (153−15)m ，在它们之间的地面上的点 M （ B,M,D 三点共线）处测得楼顶 A ，教堂顶 C 的仰角分别是 15° 和 60° ，在楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰角为 30° ，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）
A. 20m B. 30m C. 203m D. 303m
61.2020年5月，《东莞市生活垃圾分类三年行动方案》出台.根据该方案，小明家所在小区设置了两个垃圾回收点A，B，他从自家楼下出发，向正北方向走80米，到达回收点A，再向南偏东60°方向走30米，到达回收点B，则他从回收点B回到自家楼下至少还需走（ ）
A. 50米 B. 57米 C. 64米 D. 70米
62.在 △ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，已知 b=3 ， 2c−a=2bcsA ，则 a+c 的最大值为（ ）
A. 3 B. 23 C. 32 D. 2
63.已知梯形 ABCD 的上底 AB 长为1，下底 CD 长为4，对角线 AC 长为 13 ， BD 长为 22 ，则 △ABD 的面积为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
64.在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，点D在边 AC 上，已知 A=π3,AD=5,BD=7 ， csinB=bcsC2 ，则 BC= （ ）
A. 8 B. 10 C. 83 D. 103
65.在锐角 △ABC 中， BC=2 ，D为BC中点，若 sinB+sinC=2sinA ，则AD的取值范围为（ ）
A. [3,2) B. [132,2) C. [3,132) D. [32,132)
题型五 解三角形大题
66.已知在 △ABC 中， c=2bcsB ， C=2π3 ．
（1）求 B 的大小；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使 △ABC 存在且唯一确定，并求出 BC 边上的中线的长度．
① c=2b ；②周长为 4+23 ；③面积为 SΔABC=334 ；
67.在 △ABC 中， a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边，_______________，
从① (b+c)2−a2=3bc ，② asinB=bsin(A+π3) 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 b=4 ， △ABC 的面积 S=63 ，求 △ABC 的周长．
68.在① asinB+3bcsA=0 ，② (a+b+c)(a−b−c)=−bc ，③ bsin2A+asinB=0 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：在 △ABC 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ， 且 ．
（1）求A；
（2）若角A的角平分线 AD=1 ，且 c≥3 ，求 △ABC 面积的最小值．
69.在① bc=7 ，② csinA=21 这两个条件中任选一个，补充到下面问题中并解答.
已知 △ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 C=2π3 ， 7(b2+c2−a2)=4bc .
（1）求 sinB ；
（2）若 ▲ ， 求 a ， b ， c .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分，
70.在① 3(a−bcsC)=csinB ；② 3acsA+C2=bsinA 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题．
在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，且满足 ▲ ， BD 平分 ∠ABC 交 AC 于点 D, 且 BD=2,AC=3 ，求 △ABC 的面积．
71.在 △ABC 中， csA=78 ， c=3 ，且 b≠c ，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求：
条件①： sinB=2sinA ；
条件②： sinA+sinB=2sinC ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
（1）b 的值；
（2）△ABC 的面积．
72.在① (sinB+sinC)2=sin2A+3sinBsinC ，② 2c=2acsB+b ，③ bcsC+ccsB−2acsA=0 这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题.在 △ABC 中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且 .
（1）求角A的大小；
（2）若 △ABC 是锐角三角形，且 b=2 ，求边长c的取值范围.
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）
73.在条件① 2a+c=2bcsC ， sinA=5314 ，② bsin2A−asinAcsC=12csin2A ， a=7b ，③ (2tanB+tanA)sinA=2tanBtanA ， 2c=3b 中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.
在 △ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 c=3 ， ▲ ， 求 △ABC 的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
74.在 △ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ，已知 (a+c)(a−c)=b(b+c) .
（1）求角 A 的大小；
（2）在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.
若 b=3 ， c=4 ，点 D 是 BC 边上的一点，且 ▲ .求线段 AD 的长.
① AD 是 △ABC 的高；② AD 是 △ABC 的中线；③ AD 是 △ABC 的角平分线.
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.
75.已知函数 f(x)=12−2csxcs(x+π3) ，在 △ABC 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 f(C)=1 ．
（1）求C；
（2）点D为 AB 边中点，且 CD=7 ．给出以下条件：① a=2 ；② c=23(c