福建省2022-2023学年高二上学期11月期中数学试卷(含答案)

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一、选择题
1、直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2、已知直线，，若，则( )
A.0B.1C.2D.
3、如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则( )
A.B.C.D.
4、若点在圆的外部，则实数k的取值范围是( )
A.B.
C.D.
5、在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
6、在日常生活中，可以看见很多有关直线与椭圆的位置关系的形象，如图，某公园的一个窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，则该窗户的最短的竖直窗棂的长度为( )
A.B.C.2D.3
7、设点P为直线上的动点，点，，则的最小值为( )
A.B.C.D.
8、设椭圆的左、右焦点分别为，，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，，则C的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、对于直线，下列说法正确的有( )
A.直线l过点
B.直线l与直线垂直
C.直线l的一个方向向量为
D.直线l的倾斜角为
10、下列方程能够表示圆的是( )
A.B.
C.D.
11、椭圆的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，以下说法正确的是( )
A.椭圆C的离心率为
B.椭圆C上存在点P，使得
C.过点的直线与椭圆C交于A，B两点，则的周长为8
D.若P为椭圆上一点，Q为圆上一点，则点P，Q的最大距离为2
12、在平面直角坐标系中，三点，，，动点P满足，则以下结论正确的是( )
A.点P的轨迹方程为B.面积最大时，
C.最大时，D.P到直线距离最小值为
三、填空题
13、直线与平行，则它们的距离是_________.
14、已知点在直线上，则的最小值为_________.
15、如图所示，若正方形的边长为1，平面，且，E，F分别为，的中点，则点A到平面的距离为_________.
16、如图，椭圆的中心在坐标原点，，，，分别为椭圆的左、右、下、上顶点，为其右焦点，直线与交于点P，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围为_________.
四、解答题
17、的三个顶点、、，D为中点，求：
（1）边上的高所在直线的方程；
（2）中线所在直线的方程.
18、已知圆C的圆心在x轴上，且经过点，.
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点的直线l与圆C相交于M，N两点，且，求直线l的方程.
19、如图，已知平面，底面为正方形，，
M，N分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
20、如图所示，已知椭圆的两焦点为，，P为椭圆上一点，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点P在第二象限，，求的面积.
21、如图，在三棱锥中，，，O为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若点M在棱上，且二面角为，求的值.
22、已知椭圆经过点，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，若以，为邻边的平行四边形的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形的面积为定值.
参考答案
1、答案：C
解析：直线的斜率，
设倾斜角为，则，
直线倾斜角为.
故选：C.
2、答案：D
解析：由题意，，则，
，，解得：或1，
当时，，故不符合题意，
当时，，符合题意.
故选：D.
3、答案：D
解析：由题意，因为M为与的交点，
所以M也为与的中点，
因此
.
故选：D.
4、答案：C
解析：因为点在圆的外部，
所以，解得.
故选：C.
5、答案：C
解析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，
再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果，
以D为坐标原点，，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
因为，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：C.
6、答案：B
解析：根据题意，建立如图所示的坐标系，
因为窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，
所以椭圆的标准方程为，
因为其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，
所以当时，，所以最短窗棂的长度为.
故选：B.
7、答案：A
解析：依据题意作出图像如下：
设点关于直线l的对称点为，
则它们的中点坐标为：，且，
由对称性可得：，解得：，，
所以，
因为，
所以当A，P，三点共线时，最大，
此时最大值为.
故选：A.
8、答案：C
解析：依题意作图，由于，点M，N关于原点O对称，
并且线段，互相平分，
四边形是矩形，其中，
由于，设，则，即，
又，，
根据勾股定理，，，
即，，.
故选：C.
9、答案：AB
解析：直线化成斜截式为，
所以当时，，A对；
直线l的斜率为-1，倾斜角为，D错；
直线的斜率为1，，所以两直线垂直，B对；
直线l的一个方向向量为，C错.
故选：AB.
10、答案：AC
解析：对于A，表示圆心为，半径为1的圆，A正确；
对于B，不符合圆的方程，B错误；
对于C，由得：，
则其表示圆心为，半径为的圆，C正确；
对于D，含项，不符合圆的方程，D错误.
故选：AC.
11、答案：BC
解析：对于选项A，因为，，所以，即，
所以椭圆C的离心率，故A错误；
对于选项B，设点为椭圆上任意一点，
则点P的坐标满足，且，又，，
所以，，
因此，
令，可得，故B正确；
对于选项C，由椭圆的定义可得，
因此的周长为，
故C正确；
对于选项D，设点为椭圆上任意一点，
由题意可得点到圆的圆心的距离，
因为，所以，
则，故D错误.
故选：BC.
12、答案：ACD
解析：对于A：设，由，得：，
即，
化简可得：，即点P轨迹方程为，故A正确；
对于B：直线过圆的圆心，
点P到直线的距离的最大值为圆的半径r，
即为，，
面积最大为，此时，
，故B不正确；
对于C：当最大时，则为圆的切线，
，故C正确；
对于D：直线的方程为，
则圆心到直线的距离为，
点P到直线距离最小值为，D正确.
故选：ACD.
13、答案：
解析：直线可化为直线，
又，且，
所以它们的距离.
故答案为：.
14、答案：2
解析：可以理解为点到点的距离，
又点在直线上，
的最小值等于点到直线的距离，
且.
故答案为：2.
15、答案：
解析：如图所示，连接，，
因为正方形的边长为1，且E、F分别为、的中点，
可得，
又因为平面，且，
所以，
设点A到平面的距离为d，即为三棱锥的高，
因为平面，且，平面，
所以，，
由正方形的边长为1，且，
在直角中，可得，则，
在直角中，可得，则，
在直角中，可得，即，
取的中点M，因为，所以，
且，
所以，
又由，可得，
即，解得，
即点A到平面的距离为.
故答案为：.
16、答案：
解析：设椭圆的标准方程为，，
由题意，得，，，
则，，
因为为向量与的夹角，且为钝角，
所以，所以，
又，所以，
即，解得或，
因为，所以.
故答案为：.
17、答案：（1）
（2）
解析：（1），，边斜率，
故边上的高线的斜率，
故边上的高线所在直线的方程为，
即.
（2）的中点，中线所在直线的斜率为，
故边上的中线所在直线的方程为，
即.
18、答案：（1）
（2）或
解析：（1）设的中点为D，则，
由圆的性质得，
所以，得，
所以线段的垂直平分线方程是，
设圆C的标准方程为，
其中，半径为，
由圆的性质，圆心在直线上，化简得，
所以圆心，，
所以圆C的标准方程为；
（2）由（1）设F为中点，则，得，
圆心C到直线l的距离，
当直线l的斜率不存在时，l的方程，此时，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设l的方程，即，
由题意得，解得；
故直线l的方程为，
即；
综上直线l的方程为或.
19、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）取的中点E，连接，，
N，E分别为，的中点，
且，又M为的中点，底面为正方形，
且，
且，故四边形为平行四边形，
，
，，，
因为平面，在面内，所以，
又，，，平面，
所以平面，在面内，所以，
又，，平面，
所以平面，
所以平面.
（2）由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
所以，，，，
故，，，
设平面的法向量，
则，得，
设与平面所成角为，
则，
故与平面所成角的正弦值为.
20、答案：（1）
（2）
解析：（1）依题意得，
又，
，，
，，
所求椭圆的方程为.
（2）设P点坐标为，
，
所在直线的方程为，即.
解方程组，并注意到，，
可得，
.
21、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）在中，，O为的中点，
则中线，且，；
同理在中有，则；
因为，O为的中点，
所以且；
在中有，则，
因为，，平面，
所以平面.
（2）由（1）得平面，
故建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，
而，，，
，
，
设平面的一个法向量为，
由，
得，
令，，
又x轴所在直线垂直于平面，
取平面的一个法向量，
，
平方得，令，
，，，
，.
22、
（1）答案：
解析：（1）因为椭圆C过点，代入椭圆方程，可得①，
又因为离心率为，所以，从而②，
联立①②，解得，，
所以椭圆为.
（2）答案：把代入椭圆方程，
得，
所以，
设，，则，，
所以，
因为四边形是平行四边形，
所以，
所以P点坐标为.
又因为点P在椭圆上，
所以，即.
因为
.
又点O到直线l的距离，
所以平行四边形的面积：
，
即平行四边形的面积为定值.