广东省肇庆市两所中学2022-2023学年高二上学期11月第一次教学质量联合检测数学试卷(含答案)

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一、选择题
1、直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2、已知，，则( )
A.B.C.0D.1
3、在正方体中，E，F分别为，的中点，则( )
A.B.C.D.
4、“”是直线与直线平行的( )
A.充要条件B.必要不充分条件
C.充分不必要条件D.既不充分也不必要
5、如图，空间四边形中，，，，点M为的中点，点N在线段上，且，则( )
A.B.
C.D.
6、设x，，向量，，，且，，( )
A.B.3C.4D.
7、已知O为内一点，且，，若B，O，D三点共线，则t的值为( )
A.B.C.D.
8、已知正方体，P是线段上一点，下列说法正确的是( )
A.若，则直线平面
B.若，则直线平面
C.若，则直线平面
D.若，则直线平面
二、多项选择题
9、已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数( )
A.1B.-1C.-2D.2
10、给出下列命题，其中正确的有( )
A.空间任意三个向量都可以作为一个基底
B.已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底
C.A，B，M，N是空间中的四个点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
D.已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
11、在空间直角坐标系中，，，则( )
A.
B.点B到平面的距离是2
C.异面直线与所成角的余弦值
D.点O到直线的距离是
12、如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为，，的中点，以下说法正确的是( )
A.三棱锥的体积为
B.平面
C.过点E，F，G作正方体的截面，所得截面的面积是
D.异面直线与所成的角的余弦值为
三、填空题
13、在空间直角坐标系中，点和点间的距离是________.
14、设，是两个不共线的空间向量，若，，，且A，C，D三点共线，则实数k的值为________.
15、已知两点，，直线l：与线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围________.
16、已知三点，，点Q在直线上运动，则当取得最小值时，Q点的坐标________.
四、解答题
17、已知空间向量，，.
（1）若，求；
（2）若，求的值.
18、根据所给条件求直线方程.
（1）直线过点，倾斜角a的正弦值为；
（2）直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为8.
19、三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，.设，，.
（1）试用，，表示向量；
（2）若，，，求的长.
20、如图，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形折叠，使，M为的中点，如图2：
（1）求证：平面；
（2）求点D到平面的距离.
21、如图，在四棱锥中，平面，，，，，点M，N分别为棱，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
22、如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面，，点E，F分别是，的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若，点G是线段上的动点，问：点G运动到何处时，平面与平面所成的角最小.
参考答案
1、答案：C
解析：直线的斜率，则倾斜角为.
故选：C.
2、答案：B
解析：，，
.
故选：B.
3、答案：A
解析：由题，建立如图所示空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则有，，，，，，，，
，，，，
，，，，
.
故选：A.
4、答案：A
解析：因为，所以直线，直线，
则与平行，故充分条件成立；
当直线与直线平行时，，
解得或，当时，
直线与直线重合，
当时，直线，直线平行，故必要条件成立.
综上知，“”是直线与直线平行的充要条件.
故选：A.
5、答案：D
解析：由已知
.
故选：D.
6、答案：B
解析：因为，所以，解得，所以，
因为，所以，解得，所以，
所以，
所以.
故选：B.
7、答案：B
解析：设线段的中点为M，则，
因为，所以，
则，
由B，O，D三点共线，得，解得；故选B.
点睛：利用平面向量判定三点共线往往有以下两种方法：
① A，B，C三点共线；
② O为平面上任一点，A，B，C三点共线，且.
8、答案：A
解析：以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，
则，，，，，，
，则，，，，
，，，
当时，，
设平面的法向量为，
则取，则，，
则为平面的一个法向量，因为，
所以，又因为平面，所以直线平面，
故A正确，B不正确.当时，
，
设平面的一个法向量为，
则，取则，，
则为平面的一个法向量，
因为与不共线，所以直线与平面不垂直，故C不正确；
当时，
，
因为与不共线，所以直线与平面不垂直，故D不正确.
故选：A.
9、答案：AD
解析：，即时，直线化为，
它在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；
，即时，直线化为，
因为直线在两坐标轴上的截距相等，所以，且，解得；
综上所述，实数或.
故选：AD.
10、答案：BCD
解析：选项A：空间中共面的三个向量不能作为基底，故错误；
选项B：向量，即，可平移到一条直线上，
它们与其它任何向量都会共面，
故不能作为基底，正确；
选项C：，，不能构成空间的一个基底，
即它们共面，则A，B，M，N共面，正确；
选项D：是空间的一个基底，即它们不共面，
由即，，共面，
故与，不共面，则是空间的一个基底，正确.
故选：BCD.
11、答案：BD
解析：因为，，所以，A错误；
在空间直角坐标系中，结合A与C两点的坐标可知y轴与平面垂直，
所以为平面的一个法向量，
则点B到平面的距离是，B正确；
因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，C错误；
因为，所以，
所以点O到直线的距离是，D正确.
故选：BD.
12、答案：ABC
解析：对于A，，故A正确；
对于B，以为x轴，为y轴，为z轴，
建立空间直角坐标系，
，，，，，
，，
则，，，，
，，
则平面，B正确；
对于C，作中点N，的中点M，的中点T，
连接，，，，，则正六边形为对应截面面积，
正六边形边长为，
则截面面积为：，故C正确；
对于D，，，
，故D错误.
故选：ABC.

13、答案：
解析：点和点，
点A和点B间的距离是.
故答案为：.
14、答案：或0.4
解析：，，，
，又A，C，D三点共线，，
，.
故答案为：.
15、答案：或
解析：由题意，直线恒经过定点，
由直线的斜率公式，可得，，
要使直线与线段有公共点，或.
故答案为：或.
16、答案：
解析：设，，，，
则由点Q在直线上可得存在实数使得，
所以，则，
所以，，
所以，
根据二次函数的性质可得当时，取得最小值，此时Q点的坐标为：.
故答案为：.
17、答案：（1）
（2）-15
解析：（1），，解得：，
故，故.
（2）由，可得 ，解得：，
，，，
.
18、答案：（1）或
（2）或
解析：（1），且，则，
故所求直线的斜率为，
则直线方程为，即或.
（2）依题意得，所求直线的横截距、纵截距均不为0，
可设直线方程为，
代入点，可得，即，解得或，
所以所求直线方程为或，
即所求直线方程为或.
19、答案：（1）
（2）
解析：（1）由题图知，，
因为，，
所以，，
故.
（2）根据题意，由，，，
得，即，
由（1）知.
20、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：在正方形中，，
因为，，，平面，
所以平面，
平面，，
又在直角梯形中，，，故，，
由余弦定理，所以，
在中，，，
所以，故，
因为，，平面，
所以平面.
（2）解法一：由（1）知平面，因为平面，
所以平面平面，
过点D作的垂线交于点G，
平面平面，平面，
则平面，
所以点D到平面的距离等于线段的长度，
平面，在平面内，
，
在三角形中，，
所以，
所以点D到平面的距离等于.
解法二：由（1）平面，平面，所以，
因为，，
所以，，，
所以，
，
设点D到平面的距离为h，
根据，由（1）可知平面，
即，，解得，
即点D到平面的距离为.
21、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）证明：因为平面，，，
以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
则平面的一个法向量为，
所以，则，
又平面，平面.
（2）由（1）得，所以，
设直线与平面所成角为.
.
直线与平面所成角的正弦值为.
22、答案：（1）证明见解析
（2）当点G为的中点时，平面与平面所成的角最小
解析：（1）因为是正三角形，点E是中点，
所以，又因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，
所以；因为点E，F分别是，的中点，
所以，又因为，所以，
又因为，，
平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）在平面中，过点E作，垂足为H，设，
则，，.
以点E为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：
则，，，，
设，则，，
，，
设平面的法向量为，
由，令，故，
设平面的法向量为，
由，令，则，
设平面与平面所成的角为，
则，
当，最大，此时最小，
故当点G为的中点时，平面与平面所成的角最小.