湖北省武汉市第十九中学2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

这是一份湖北省武汉市第十九中学2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附解析），共3页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：2023年10月4日 试卷满分：150分
一、单选题
1. 连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，记，则下列说法正确的是（ ）
A. 事件“”的概率为B. 事件“t是奇数”与“”互为对立事件
C. 事件“”与“”互为互斥事件D. 事件“且”的概率为
【答案】D
【解析】
【分析】计算出事件“t＝12”的概率可判断A；根据对立事件的概念，可判断B；根据互斥事件的概念，可判断C；计算出事件“t＞8且mn＜32”的概率可判断D；
【详解】连掷一枚均匀的骰子两次，
所得向上的点数分别为m，n，则共有个基本事件，
记t＝m＋n，
则事件“t＝12”必须两次都掷出6点，则事件“t＝12”的概率为，故A错误；
事件“t是奇数”与“m＝n”为互斥不对立事件,如事件m=3,n=5，故B错误；
事件“t＝2”与“t≠3”不是互斥事件，故C错误；
事件“t＞8且mn＜32”有
共9个基本事件，
故事件“t＞8且mn＜32”的概率为，故D正确；
故选：D．
2. 如图，在平行六面体中，M在AC上，且，N在上，且．设，，，则
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用向量回路方法运算求解即可.
【详解】解：因为M在AC上，且，N在上，且，
所以，，
在平行六面体中，，，，
所以，，
所以
，
故选：A．
【点睛】本题考查空间向量的线性运算，利用向量回路方法是常用的方法.
3. 已知空间三点，，在一条直线上，则实数的值是（ ）
A. 2B. 4C. -4D. -2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三点在一条直线上，利用向量共线原理，解出实数的值.
【详解】解：因为空间三点，，在一条直线上，
所以 ,
故.
所以 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查向量共线原理，属于基础题.
4. 已知直线的方程为，，则直线的倾斜角范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】计算，再考虑和两种情况，得到倾斜角范围.
【详解】，则，
设直线的倾斜角为，故，
所以当时，直线的倾斜角；
当时，直线的倾斜角；
综上所述：直线的倾斜角
故选：B
5. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.
详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,
因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
6. 如图，在二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若，则线段CD的长为（ ）
A. B. 16C. 8D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别过点、点作、的平行线相交于点，连接，则由题意可知为等边三角形，为直角三角形，求解即可.
【详解】分别过点、点作、的平行线相交于点，连接，
则四边形为平行四边形.
线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB.
，则为二面角的平面角，即
，如图所示.
为等边三角形，
，，，平面，平面
平面
又平面
在中
故选：D
【点睛】本题考查空间的距离问题，属于中档题.
7. 如图，平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为（ ）

A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由，转化为向量的模长，然后结合空间向量数量积运算，即可得到结果.
【详解】由，可得，
因为底面为矩形，，，，
所以，，
又
，
所以，则.
故选：B
8. 某知识问答竞赛需要三人组队参加，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每个阶段比赛中，如果一支队伍中至少有一人通过，则这支队伍通过此阶段.已知甲、乙、丙三人组队参加，若甲通过每个阶段比赛的概率均为，乙通过每个阶段比赛的概率均为，丙通过每个阶段比赛的概率均为，且三人每次通过与否互不影响，则这支队伍进入决赛的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得这支队伍通过每个阶段比赛的概率为，利用相互独立事件的概率计算可得出结果.
【详解】“至少有一人通过”的对立事件为“三人全部未通过”，
则这支队伍通过每个阶段比赛的概率为，
所以他们连续通过初赛和复赛的概率为，即进入决赛的概率为.
故选：B
二、多选题
9. (多选)下列说法正确的是（ ）
A. 不经过原点的直线都可以表示为
B. 若直线与两轴交点分别为A、B且AB的中点为(4，1)则直线l的方程为
C. 过点(1，1)且在两轴上截距相等的直线方程为y＝x或x＋y＝2
D. 直线3x－2y＝4的截距式方程为
【答案】BCD
【解析】
【分析】A中，截距式方程不能表示与坐标轴垂直的直线，即可判断；
B中，直接利用截距式方程判断；
C中，直接求出过点(1，1)且在两轴上截距相等的直线方程，即可判断；
D中，直接化为截距式方程判断．
【详解】A中，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A错；
B中，AB的中点为(4，1)，那么A(8，0)，B(0，2)的直线方程为.
故B对；
C中过原点时，直线为y＝x，不过原点时直线为x＋y＝2，故C对；
D中，方程3x－2y＝4可化为，故D对．
故选：BCD
10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
B. 已知，，为空间一个基底，若，则也是空间的基底
C. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
D. 平面的一个法向量为，点为内一点，则点到平面的距离为2
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据线面垂直、基底、共面、点面距等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，虽然，但是无法判断是否在平面外，所以A选项错误.
B选项，由于，所以共面，
由于，，为空间的一个基底，即与不共面，也即与不共面，
所以也是空间的基底，所以B选项正确.
C选项，由，
得，
所以，所以共面，所以四点共面，所以C选项正确.
D选项，，所以到平面的距离是，D选项正确.
故选：BCD
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 甲乙两人独立的解题，已知各人能解出的概率分别是和，则题被解出的概率是
B. 若，是互斥事件，则，
C. 某校名教师的职称分布情况如下：高级占比，中级占比，初级占比，现从中抽取名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取人
D. 一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是
【答案】BCD
【解析】
【分析】用对立事件判断A;根据互斥事件的概念判断B;根据分层抽样方法判断C;根据排列组合公式求出位女生相邻的概率，从而判断D.
【详解】∵他们各自解出的概率分别是和，，则此题不能解出的概率为，
则此题解出的概率为，A选项错，
若、是互斥事件，则，，B选项对，
高级教师应抽取时人，C选项对，
由题意可得女生相邻的概率，D选项对，
故选BCD.
12. 下列命题正确的是（ ）
A. 若是平面的一个法向量，是直线上不同的两点，则的充要条件是
B. 已知三点不共线，对于空间中任意一点，若，则四点共面
C. 已知，若与垂直，则
D. 已知的顶点分别为，则边上的高的长为
【答案】BCD
【解析】
【分析】直接利用法向量和向量垂直的充要条件的应用判定A的结论，利用共面向量的充要条件判断B的结论，利用向量垂直的充要条件判定C的结论，利用空间坐标中点到之直线的距离求解高的值判定D的结论．
【详解】若是平面的一个法向量，直线上有不同的两点，，当时，
即使，也不能说明，故A错误；
若，则，
所以，所以四点共面，故B正确；
由题意可得，若与垂直，
则，解得，故C正确；
由题意可得，则边上的高的长即为点到直线的距离，故D正确．
故选：BCD.
三、填空题
13. 已知直线l的一个方向向量为，若点为直线l外一点，为直线l上一点，则点P到直线l的距离为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用空间中点到线的距离公式计算即可.
【详解】由题意可得l的一个单位方向向量为，
,
故点P到直线l的距离.
故答案为：.
14. 四面体OABC中，M，N分别是OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使，若，则________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由空间向量的线性运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】
因为
又不共面，∴，则.
故答案为：.
15. 口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________.
①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件：④；⑤.
【答案】①④
【解析】
【分析】在①中，由对立事件定义得与为对立事件；有②中，与有可能同时发生；在③中，与有可能同时发生；在④中，（C）（E）；在⑤中，从而（B）（C）．
【详解】口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，
事件 “取出的两球同色”， “取出的2球中至少有一个黄球”，
“取出的2球至少有一个白球”， “取出的两球不同色”， “取出的2球中至多有一个白球”，
①，由对立事件定义得与为对立事件，故①正确；
②，与有可能同时发生，故与不是互斥事件，故②错误；
③，与有可能同时发生，不是对立事件，故③错误；
④，（C），（E），，
从而（C）（E），故④正确；
⑤，，从而（B）（C），故⑤错误．
故答案为：①④．
【点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题，考查对立互斥事件，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件等基本概念的合理运用．
16. 直线过点，且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】作出图形，求出、，观察直线与线段的交点运动的过程中，直线的倾斜角的变化，可得出直线的取值范围.
【详解】如下图所示：设过点且与轴垂直的直线交线段于点，设直线的斜率为，
且，，
当点从点移动到点（不包括点）的过程中，直线的倾斜角为锐角，
此时，；
当点从点（不包括点）移动到点的过程中，直线的倾斜角为钝角，
此时，.
综上所述，直线的斜率的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
17. 已知的顶点，，．
（1）求AB边上的中线所在直线的方程；
（2）求经过点A，且在x轴上的截距和y轴上的截距相等的直线的方程．
【答案】（1）
（2）或．
【解析】
【分析】（1）先利用中点坐标公式求出线段的中点，再利用两点式即可求出所求；
（2）分类讨论截距是否为0的情况，再利用截距式即可求得所求．
【小问1详解】
线段的中点为，
则中线所在直线方程为：，即.
【小问2详解】
设两坐标轴上的截距为，
若，则直线经过原点，斜率，
直线方程为，即；
若，则设直线方程为，即，
把点代入得，即，直线方程为；
综上，所求直线方程为或．
18. 在直三棱柱中，，，．
（1）求异面直线与所成角的正切值；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系.
（1）利用空间向量法求出与所成角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系可得出答案；
（2）利用空间向量法求出直线与平面所成角的正弦值，再利用同角三角函数的基本关系可得出答案.
【详解】在直三棱柱中，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则点、、、、、.
（1）设异面直线与所成角为，，，
，即，，
则，因此，异面直线与所成角的正切值为；
（2）设直线与平面所成角为，设平面的一个法向量为，
，，，
由，得，取，得，
所以，平面一个法向量为，
，，则.
因此，直线与平面所成角的余弦值为.
【点睛】本题考查异面直线所成的角和直线与平面所成的角的计算，解题的关键就是建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解，考查计算能力，属于中等题.
19. 已知空间中三点，，，设，.
（1）若，且，求向量；
（2）已知向量与互相垂直，求的值；
（3）求的面积.
【答案】（1）或；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）首先求出的坐标，由，可设，利用，求出参数的值，即可求出结果．
（2）首先表示出的坐标，由向量与互相垂直，得到，即可求出的值．
（3）求出，， ， ，再由同角三角函数的基本关系求出，最后由面积公式求出的面积．
【详解】解：（1）空间中三点，，，设，，
所以，
，
，
，且，设
，
，
，或．
（2），
且向量与互相垂直，
，解得．
的值是．
（3）因为，，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查向量的求法，考查实数值、三角形的面积的求法，考查向量坐标运算法则、向量垂直、三角形面积等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
20. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点.
（1）求点到平面的距离；
（2）若G是棱上一点，当平面时，求的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将点到平面的距离问题转化为直线与平面所成角相关问题，再运用空间向量法求解直线与平面所成角的相关三角函数值，进而得出的结果；
（2）先将线面平行问题转化为直线与平面的法向量的夹角为0，再运用空间向量法列等式可求解相应点的坐标，进而确定线段的长.
【小问1详解】
如图，以顶点为原点，分别以线段所在直线为轴建立坐标系.
根据题意，图中各点坐标可表示为
设平面的法向量为，直线与平面的夹角为，
点到平面的距离为，则，
即， 取，则有，
.
所以点 到平面 的距离.
【小问2详解】
根据（1）可设点的坐标为，点的坐标为,
当平面时， 即，
解得.
故的长为.
21. 2021年是中国共产党建党100周年，为了使全体党员进一步坚定理想信念，传承红色基因，市教育局以“学党史､悟思想､办实事､开新局”为主题进行“党史”教育，并举办由全体党员参加“学党史”知识竞赛.竞赛共设100个小题，每个小题1分，共100分.现随机抽取1000名党员的成绩进行统计，并将成绩分成以下七组：，，，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图.

（1）根据频率分布直方图，求这1000名党员成绩的众数，中位数，平均数；
（2）用分层随机抽样的方法从低于80分的党员中抽取5人，若在这5人中任选2人进行问卷调查，求这2人中至少有1人成绩低于76分的概率.
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图求得众数，中位数，平均数.
（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案
【小问1详解】
由频率分布直方图可得，1000名学员成绩的众数为，
成绩在的频率为，
成绩在的频率为，
故中位数位于之间，中位数是，
平均数为：.
【小问2详解】
∵与的党员人数的比值为，
采用分层随机抽样方法抽取5人，则在中抽取2人，中抽3人，
设抽取人的编号为，，抽取人的编号为，，，
则从5人中任选2人进行问卷调查对应的样本空间为：
，，，，，，，，，，共10个样本点，
这2人中至少有1人成绩低于76分的有：
，，，，，，，共7个样本点，
故这2人中至少有1人成绩低于76分的概率.
22. 如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

（1）证明：；
（2）点在棱上，当二面角为时，求．
【答案】（1）证明见解析；
（2）1
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；
（2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.
【小问1详解】
以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，
，
，
又不在同一条直线上，
.
【小问2详解】
设，
则，
设平面的法向量，
则，
令 ，得，
，
设平面的法向量，
则，
令 ，得，
，
，
化简可得，，
解得或，
或，
.