2020-2021学年江苏省扬州市江都区邵樊片九年级上学期数学第一次质量检测试题及答案

这是一份2020-2021学年江苏省扬州市江都区邵樊片九年级上学期数学第一次质量检测试题及答案，共15页。试卷主要包含了 下列方程中，是一元二次方程是， 下列说法中，正确的是等内容，欢迎下载使用。

1. 下列方程中，是一元二次方程是（ ）
A. 2x+3y＝4B. x2＝0C. x2﹣2x+1＞0D. ＝x+2
【答案】B
【解析】
【分析】
一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程；
B、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
C、含有不等号，不是一元二次方程；
D、含有分式，不是一元二次方程．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2. 已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A. 点P在⊙O内B. 点P在⊙O上C. 点P在⊙O外D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】
已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．
【详解】∵⊙O的半径为5，若PO＝4，
∴4＜5，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，
故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．
3. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 弦是直径B. 半圆是弧
C. 过圆心的线段是直径D. 圆心相同半径相同的两个圆是同心圆
【答案】B
【解析】
试题分析：过圆心的弦是直径，不是所有的弦都是直径，故A选项错误；圆上任意两点间的部分是弧，故半圆是弧，故B正确；过圆心的弦是直径，故C选项错误；圆心相同，半径不等的两个圆是同心圆，故D错误，所以本题选B.
考点：圆的有关定义.
4. 一元二次方程的两根为、，那么二次三项式可分解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
只有把等号左边的二次三项式分解为(x－x1)(x－x2)，它的根才可能是x1，x2．
【详解】若一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根为3、4，
那么有：(x－3)(x－4)＝0，
∴x2＋px＋q＝(x－3)(x－4)．
故选C.
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程的两根为x1，x2，那么一元二次方程可整理为(x－x1)(x－x2)＝0．
5. 不解方程，判别方程2x2﹣3x＝3的根的情况( )
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 有一个实数根D. 无实数根
【答案】B
【解析】
一元二次方程的根的情况与根的判别式有关，
，方程有两个不相等的实数根，故选B
6. 若 a、b 是一元二次方程 x2+3x -6＝0 的两个不相等的根，则 a2﹣3b 的值是（ ）
A. -3B. 3C. ﹣15D. 15
【答案】D
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系可得a+b=﹣3，根据一元二次方程的解的定义可得a2=﹣3a+6，然后代入变形、求值即可．
【详解】∵a、b是一元二次方程x2+3x﹣6=0的两个不相等的根，∴a+b=﹣3，a2+3a﹣6=0，即a2=﹣3a+6，则a2﹣3b=﹣3a+6﹣3b=﹣3（a+b）+6=﹣3×（﹣3）+6=9+6=15．
故选D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，难度适中，关键掌握用根与系数的关系与代数式变形相结合进行解题．
7. 如图，过点B、C，圆心O在等腰的内部，，，．则的半径为（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
过O作OD⊥BC，由垂径定理可知BD=CD= BC，根据△ABC是等腰直角三角形可知∠ABC=45°，故△ABD也是等腰直角三角形，BD=AD，再由OA=1可求出OD的长，在Rt△OBD中利用勾股定理即可求出OB的长．
【详解】
解：过O作OD⊥BC，
∵BC是⊙O的一条弦，且BC=8，
∴BD=CD= ，
∴OD垂直平分BC，又AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，即A，O及D三点共线，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∴△ABD也是等腰直角三角形，
∴AD=BD=4，
∵OA=1，
∴OD=AD-OA=4-1=3，
在Rt△OBD中，
OB= ．
故答案为A．
【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
8. 我们把b2±4ac＝0称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（其中a≠0）共轭判别式，我们知道当b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（其中a≠0）有两个相等的实数根：x1＝x2＝；那么其共轭判别式b2＋4ac＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（其中a≠0）的根x＝______，下列选项中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，一元二次方程有两个相等的实数根，即根的判别式为0，由共轭判别式解得b2﹣4ac＝2b2≥0，从而用求根公式计算一元二次方程的根．
【详解】解：∵b2＋4ac＝0，
∴b2＝﹣4ac，
∴b2﹣4ac＝2b2≥0，
∴x＝＝＝；
故选：D．
【点睛】本题考查根的判别式，其中涉及分母有理化、一元二次方程的根等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
9. 若x2－9＝0，则x＝_________．
【答案】±3
【解析】
【分析】
直接利用平方根的定义解方程即可得出答案．
【详解】∵x2﹣9=0，∴x2=9，∴x=±3．
故答案为±3．
【点睛】本题考查了平方根的定义，正确开平方运算是解题的关键．
10. 如果是关于的一元二次方程，那么的值为________．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，可得的取值范围．
【详解】解：是关于的一元二次方程，
，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：，，是常数且，特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．
11. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共比赛90场比赛，共有____个队参加比赛.
【答案】10
【解析】
设有x支球队，由题意则有：
x(x-1)=90，
解得：x1=10，x2=-9(舍去)，
所以共有10个队参加比赛，
故答案为10.
【点睛】本题考查一元二次方程的应用；根据题意弄清楚是单循环还是双循环比赛，从而得到比赛总场数的等量关系是解题的关键．
12. 在实数范围内定义一种运算“﹡”，其规则为a﹡b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+1）﹡3＝0的解为_____．
【答案】x=2、-4
【解析】
【分析】
先根据新定义得到，再移项得，然后利用直接开平方法求解.
详解】(x+1)﹡3＝0，
，
，
，
所以、.
故答案为：、.
【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：如果方程化成的形式，那么可得，如果方程能化成（）的形式，那么.
13. 设m是一元二次方程x2﹣x﹣2019＝0的一个根，则m2﹣m+1的值为___．
【答案】2020.
【解析】
【分析】
把x=m代入方程计算即可求解．
【详解】解：把x＝m代入方程得：m2﹣m﹣2019＝0，即m2﹣m＝2019，
则原式＝2019+1＝2020，
故答案为2020.
【点睛】本题考查一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
14. 一个点P到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为________
【答案】3cm或8cm
【解析】
【分析】
点P应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点P在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得解．
【详解】解：当点P在圆内时，最近点的距离为5cm，最远点的距离为11cm，则直径是16cm，因而半径是8cm；
当点P在圆外时，最近点的距离为5cm，最远点的距离为11cm，则直径是6cm，因而半径是3cm；
故答案为 3cm或8cm
15. 一元二次方程x2+6x﹣1=0与x2﹣x+7=0的所有实数根的和等于_____．
【答案】﹣6．
【解析】
【分析】
分别求出两方程根的判别式的值，由此可得出方程x2+6x-1=0有两个不相等的实数根、方程x2-x+7=0没有实数根，再根据根与系数的关系即可求出两方程所有实数根的和，此题得解．
【详解】解：∵方程x2+6x-1=0的根的判别式△=62-4×1×（-1）=40＞0，
∴方程x2+6x-1=0有两个不相等的实数根；
∵方程x2-x+7=0的根的判别式△=（-1）2-4×1×7=-27＜0，
∴方程x2-x+7=0没有实数根．
∴一元二次方程x2+6x-1=0与x2-x+7=0的所有实数根的和等于-6．
故答案为-6．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．”是解题的关键．
16. 若（a2+b2）2﹣3a2﹣3b2=4，则a2+b2的值是_____．
【答案】4
【解析】
【分析】
把a2+b2看成一个整体 原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值.
【详解】解：设a2+b2=x,则原方程可化为x2﹣3x=4,
解得,
∵a2+b2＞0,
∴a2+b2=4，
故答案为：4.
【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握整体思想是解本题的关键.
17. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________．
【答案】k＜且k≠2．
【解析】
【分析】
先根据关于x的方程（k-2）x2-6x+9=0有两个不相等的实数根得出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可．
【详解】解：∵关于x的方程（k-2）x2-6x+9=0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：k＜且k≠2．
故答案为：k＜且k≠2．
【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac的关系是解答此题的关键．
18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D是以点A为圆心2为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最小值为__________．
【答案】
【解析】
分析】
作AB的中点E,连接EM,CE,AD根据三角形中位线的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半求出EM和CE长，再根据三角形的三边关系确定CM长度的范围，从而确定CM的最小值.
【详解】解：如图，取AB的中点E，连接CE,ME,AD,
∵E是AB的中点，M是BD的中点，AD=2，
∴EM为△BAD的中位线，
∴ ,
在Rt△ACB中，AC=4,BC=3，
由勾股定理得，AB=
∵CE为Rt△ACB斜边的中线，
∴,
在△CEM中， ,即，
∴CM的最大值为 .
故答案：.
【点睛】本题考查了圆的性质，直角三角形的性质及中位线的性质，利用三角形三边关系确定线段的最值问题，构造一个以CM为边，另两边为定值的的三角形是解答此题的关键和难点.
三．解答题（共10小题，满分96分）
19. 解下列方程：
（1）x2-2x-24=0 （2）用配方法解方程：x2+6x﹣1=0．
【答案】（1）x=-4，x=6；（2）x=﹣3±．
【解析】
试题分析：（1）把左边进行因式分解即可；
（2）用配方法解方程即可．
试题解析：解：（1）（x+4）（x-6）=0，x=-4，x=6．
（2）x2+6x+9=10，即（x+3）2=10，
x=﹣3±．
20. 已知关于x的方程x2＋ax＋a-1＝0
（1）当该方程的一个根为-3时，求a的值及该方程的另一根
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个实数根
【答案】（1）a的值为4，方程的另一根为-1；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）将x＝-3代入原方程计算即可得到a的值，求解原方程即可得到方程的另一根；
（2）根据一元二次方程判别式的性质判断，即可完成求解．
【详解】（1）将x＝-3代入原方程得：9-3a＋a-1＝0
解得：a＝4
∴x2＋4x＋3＝0
∴方程的另一根为-1
∴a的值为4，方程的另一根为-1；
（2）∵方程的判别式
∴不论a取何实数，该方程都有两个实数根．
【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程及其判别式的性质，从而完成求解．
21. 某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品降价的百分率；
（2）若两次降价共售出此种商品100件，销售总额为33480元，问第一次降价后售出该种商品多少件？
【答案】（1）10%；（2）30件
【解析】
【分析】
（1）设该种商品降价的百分率为x，第一次降价后价格为，第二次在第一次降价后再降价百分x，即降价后价格为，根据题意，两次降价后的价格为324元/件，据此列一元二次方程方程，解方程即可；
（2）销售总额=第一次销售额+第二次销售额，根据销售额=销售价销售量，据此解题即可．
【详解】解：（1）设该种商品降价的百分率为x，
依题意，得：400（1﹣x）2＝324，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：该种商品降价的百分率为10%．
（2）设第一次降价后售出该种商品y件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣y）件，
依题意，得：400×（1﹣10%）y＋324（100﹣y）＝33480，
解得：y＝30．
答：第一次降价后售出该种商品30件．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
22. 高致病性禽流感是比SARS病毒传染速度更快的传染病．
（1）某养殖场有8万只鸡，假设有1只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依次类推，请问：到第四天，共有多少只鸡得了禽流感病？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染？
（2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区，如图，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米
【答案】(1)6;(2).
【解析】
【分析】
（1）根据题目的叙述，第一天的数是1，第二天是11，第三天是111，因而第几天就是有几个；
（2）过点O作OE⊥CD交CD于E，连接OC、OA，在Rt△OCE中，就可以求出OE，在Rt△OAE中求出AE，进而求出AC，进而求出．
【详解】解：（1）由题意可知，到第4天得禽流感病鸡数为1+10+100+1000=1111，
到第5天得禽流感病鸡数为10000+1111=11111
到第6天得禽流感病鸡数为100000+11111=111111＞80000
所以，到第6天所有鸡都会被感染；
（2）过点O作OE⊥CD交CD于E，连接OC、OA．
∵OA=5，OC=3，CD=4，
∴CE=2．
在Rt△OCE中，AE= ，
∴AC=AE-CE= ，
∵AC=BD，
∴AC+BD=．
答：这条公路在该免疫区内有（）千米．
考点：（1）垂径定理的应用；（2）勾股定理．
23. 在等腰△ABC中，三条边分别是a，b，c，其中b＝5．若关于x的一元二次方程x2+（a+2）x﹣＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．
【答案】11或13
【解析】
【分析】
若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△＝0，据此可求出a的值；进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴△＝0，
即（a+2）2﹣4×1×（﹣a+7）＝0，
∴a1＝﹣8，a2＝3，
∵a是正数，
∴a＝3．
在等腰△ABC中，①b＝5为底时，则a＝c＝3，
∴△ABC的周长＝11；
②b＝5为腰时，c＝b＝5．
∴△ABC的周长＝5+5+3＝13
综上可知△ABC的周长为11或13．
【点睛】本题是相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的对应边成比例的性质，读懂题目信息，理解强相似点的定义是解题的关键．
24. 如图，在中，直径为，正方形的四个顶点分别在半径、以及上，并且，若．
（1）求的长；（2）求的半径．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）根据图形得到△COD是等腰直角三角形，故可求解；
（2）连接OA，构造直角三角形，求出AB和BO的长，然后利用勾股定理即可求出圆的半径．
【详解】（1）因为ABCD为正方形，
所以DC=AB,∠DCO=∠DCB=90∘，
又因为∠DOC=45∘，
所以CO=DC=1，故△COD是等腰直角三角形，
∴OD==
（2）连接AO，
则三角形ABO为直角三角形，
BO=BC+CO=2,
于是.
【点睛】此题主要考查圆内线段的求解，解题的关键是根据图形构造直角三角形进行求解.
25. 一家水果店以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．
（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是多少斤（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出260斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？
【答案】（1）100＋200x（斤）
（2）1元
【解析】
【分析】
（1）根据题意，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，设这种水果每斤售价降低x元，计算其销售量即可；
（2）总利润=单利销售量，结合（1）中结论解题，并验根．
【详解】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100＋×20＝100＋200x（斤）；
（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100＋200x）＝300，
解得：x1＝，x2＝1，
当x＝时，销售量是100＋200×＝200＜260；
当x＝1时，销售量是100＋200＝300（斤）．
∵每天至少售出260斤，
∴x＝1．
答：水果店需将每斤的售价降低1元．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，其中涉及利润问题，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
26. 例：解方程
解：设，则，∴原方程可化为：，解得
当y=3时，，，当y=4时，．
∴原方程有四个根是：．
以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．
（1）解方程：；
（2）已知a、b、c是Rt△ABC的三边（c为斜边），，且a、b满足,试求Rt△ABC的周长．
【答案】(1)x1，2=，x3，4=；(2)12
【解析】
【分析】
(1)设y=x2+x-2，然后求出y的值，然后根据y的值分别求出x的值，得出方程的解；
(2)y=a2+b2，然后求出y的值，得出C的值，根据面积求出ab=12，然后根据完全平方公式得出a+b的值，从而得出三角形的周长.
【详解】(1)设y=x2+x-2，则y2﹣y-2=0，
解得y1=-1，y2=2，
当x2+x-2="-1" 即x2+x﹣1=0时，
解得：x=；
当x2+x-2=2 即x2+x﹣4=0时，
解得：x=；
综上所述，原方程的解为x1，2=，x3，4=；
(2)，
设y=a2+b2，则y2﹣21y﹣100=0，
整理，得
（y﹣25）（y+4）=0，
解得y1=5，y2=﹣4（舍去），
故a2+b2=25．C=5,
又∵，，，
又a2+b2=25,（a+b）2-2ab=25, （a+b）2=49, a+b=7,
∴a+b+c=12
即△ABC的周长为12
考点：解方程
27. 木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r．用角尺的较短边紧靠⊙O，角尺的顶点B（∠B＝90°），并使较长边与⊙O相切于点C．
（1）如图，AB＜r，较短边AB＝8cm，读得BC长为12cm，则该圆的半径r为多少？
（2）如果AB＝8cm，假设角尺的边BC足够长，若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为 ．
【答案】（1）13；（2）0＜r≤8时，r＝a；当r＞8时，r＝a 2+4
【解析】
【分析】
（1）利用在Rt△AOD中，r2＝（r﹣8）2+122，求出r即可．
（2）根据切线的性质，连接OC，则OC⊥BC，连接OA，过点A作AD⊥OC于点D，在Rt△OAD中用勾股定理计算求出圆的半径．
【详解】解：（1）如图1，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D．则OD＝r﹣8
在Rt△AOD中，r2＝（r﹣8）2+122
解得：r＝13；
答：该圆的半径r为13；
（2）①如图2，易知，0＜r≤8时，r＝a；
②当r＞8时，
如图1：连接OC，连接OA，过点A作AD⊥OC于点D，
∵BC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥BC，
则四边形ABCD是矩形，即AD＝BC，CD＝AB．
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
即：r2＝（r﹣8）2+a2，
整理得：r＝a2+4．
故答案为：0＜r≤8时，r＝a；当r＞8时，r＝a 2+4．
【点睛】
本题考查切线的性质及勾股定理在实际中的运用，根据已知条件作出辅助线，熟知垂径定理的内容是解题的关键．
28. 如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．
【答案】（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S△PMN最大＝．
【解析】
【分析】
（1）由已知易得，利用三角形的中位线得出，，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出得出，最后用互余即可得出位置关系；
（2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法由，即可得出结论；
（3）方法1：先判断出最大时，的面积最大，进而求出，，即可得出最大，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出最大时，的面积最大，而最大是，即可得出结论．
【详解】解：（1）点，是，的中点，
，，
点，是，的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）是等腰直角三角形．
由旋转知，，
，，
，
，，
利用三角形的中位线得，，，
，
是等腰三角形，
同（1）的方法得，，
，
同（1）的方法得，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，
最大时，的面积最大，
且在顶点上面，
最大，
连接，，
在中，，，
，
在中，，，
，
．
方法2：由（2）知，是等腰直角三角形，，
最大时，面积最大，
点在的延长线上，
，
，
．
【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出，，解（2）的关键是判断出，解（3）的关键是判断出最大时，的面积最大．